5.3 诱导公式 同步课堂讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.3 诱导公式 目录 题型01 由角求值 4 题型02 由值求值 5 题型03 化简求值 7 题型04 由互余互补求值 10 题型05 综合应用 12 建体系 新知廊 知识点1： 诱导公式(2kπ＋α) 1．sin(2kπ＋α)=sinα． 2．cos(2kπ＋α)=cosα． 3．tan(2kπ＋α)=tanα． 知识点2： 诱导公式(-α) 1．sin(﹣α)=﹣sinα． 2．cos(﹣α)=cosα． 3．tan(﹣α)=﹣tanα． 知识点3： 诱导公式(π±α) 1．sin(π＋α)=﹣sinα，sin(π﹣α)=sinα． 2．cos(π＋α)=﹣cosα，cos(π﹣α)=﹣cosα． 3．tan(π＋α)=tanα，tan(π﹣α)=﹣tanα． 知识点4： 诱导公式(±α) 1．，． 2．，． 求甚解 1．诱导公式． (1)要化的角的形式为（为常整数）． (2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”． (3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”． (4)；． 2．由角求值． (1) “负化正”：用公式一或三来转化． (2) “大化小”：用公式一将角化为到间的角． (3) “小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角． (4) “锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 3．由值求值． (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 4．化简求值． (1)化简后项数尽可能少，函数的种类尽可能的少，分母不含三角函数的符号，能求值的一定要求值，含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． (2)合理转化：将角化成，，的形式． (3)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． (4)注意“1”的应用：． (5)用诱导公式进行化简时，若遇到的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简． 5．由互余互补求值． (1)巧用相关角的关系会简化解题过程． (2)观察所求角与已知角是否具有互余、互补等特殊关系． (3)常见的互余关系有，；，；，等． (4)常见的互补关系有，；，等． 练题型 题型01 由角求值 典型例题 典例 01 （2025春•北京期中）化简　　　　． 【答案】． 【分析】运用诱导公式化简求值即可． 【解答】解：因为， 所以， 所以， 可得原式． 故答案为：． 即学即练 【变式练1】（2025•黑龙江开学）sin2100°的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式求特殊角的正弦值． 【解答】解：． 故选：D． 【变式练2】（2025春•丹东期末）cos600°＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式化简即可． 【解答】解：∵cos600°＝cos240°＝cos（180°+60°）＝﹣cos60°． 故选：B． 【变式练3】（2025春•辽宁期中）求值cos945°+sin300°＝　　　　． 【答案】． 【分析】由题意利用诱导公式进行化简，结合特殊角的三角函数值算出答案． 【解答】解：根据题意得cos945°+sin300°＝cos（720°+225°）+sin（360°﹣60°） ＝cos225°+sin（﹣60）°＝cos（180°+45°）﹣sin60° ＝﹣cos45°﹣sin60°． 故答案为：． 题型02 由值求值 典型例题 典例 02 （2025春•东营期末）若，且α是第三象限角，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式结合同角三角关系可得，再利用诱导公式运算求解． 【解答】解：若，且α是第三象限角， 因为，即， 且α是第三象限角，则， 所以． 故选：B． 即学即练 【变式练1】（多选）（2025春•修水县校级期中）已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用三角函数定义结合诱导公式逐项判断即可． 【解答】解：由题意角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，所以，，，对于A，错； 对于B，，对； 对于C，，错； 对于D，，对． 故选：BD． 【变式练2】（2025春•西乡塘区校级月考）若P（﹣4，3）是角α终边上一点，则的值为　　　　． 【答案】． 【分析】求出sinα，对原式利用诱导公式进行变形化简可求值． 【解答】解：根据题意可知，P（﹣4，3）是角α终边上一点， 则P（﹣4，3）点到原点的距离是，所以， 则． 故答案为：． 【变式练3】（2025春•北京校级期中）在平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣5，12）． （1）求sinα和tanα的值； （2）若，化简并求值． 【答案】（1），； （2）化简结果为，值为． 【分析】（1）由三角函数定义得到正弦和正切值； （2）利用诱导公式和同角三角函数关系化简得到f（α）的解析式，代入求值即可． 【解答】解：（1）由三角函数的定义知 sinα， tanα； （2）f（α） ， 因为tanα， 所以． 题型03 化简求值 典型例题 典例 03 （2025秋•安丘市校级月考）化简求值： （1）已知tan（α+π）＝3，求的值； （2）已知，，求sinα﹣cosα的值． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）由已知可求tanα＝3，利用诱导公式化简所求即可计算得解． （2）将平方得出，再将sinα﹣cosα平方，根据α的范围，即可得解． 【解答】解：（1）∵tan（α+π）＝tanα＝3， ∴； （2）∵， ∴cosα＞0，则sinα＜0，故sinα﹣cosα＜0， 又∵，∴，得， 而， ∴． 即学即练 【变式练1】（2025春•信州区校级月考）　　　　． 【答案】． 【分析】应用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【变式练2】（2025春•石景山区校级月考）已知． （1）求tanα的值． （2）若π＜α＜2π，求的值． 【答案】（1）tanα＝2； （2）． 【分析】（1）先由题设得sinα＝2cosα，即可弦化切求解； （2）先由题设结合（1）求出，再由诱导公式即可计算得解． 【解答】解：（1）由已知等式解得sinα＝2cosα， 所以tanα2； （2）因为π＜α＜2π，且tanα＝2，所以，所以cosα＜0， 由sinα＝2cosα，得（2cosα）2+cos2α＝1，解得， 所以． 【变式练3】（2025春•汉中月考）化简求值： （1）； （2）； （3）若sin（3π﹣α）＝﹣3cos（α﹣6π），求的值． 【答案】（1）﹣1； （2）﹣sinα； （3）﹣8． 【分析】（1）根据诱导公式化简即可； （2）根据诱导公式化简即可； （3）先根据诱导公式化简，再结合同角求值进行切弦互化，即可求解． 【解答】解：（1）； （2）原式； （3）由sin（3π﹣α）＝﹣3cos（α﹣6π），得sinα＝﹣3cosα， 所以，又sinα＝﹣3cosα， 所以． 题型04 由互余互补求值 典型例题 典例 04 （2025秋•威远县校级月考）已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式化简即可求解． 【解答】解：因为， 所以． 故选：B． 即学即练 【变式练1】（2025春•东湖区校级期中）已知，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合诱导公式求得，根据角的范围，利用平方关系求得，即可求出结果． 【解答】解：由，得， ∴，， 又，∴，∴， 则． 故选：B． 【变式练2】（多选）（2025春•河南期中）（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】运用诱导公式对选项逐一化简求解即可． 【解答】解：选项A，sin（α）＝sin[（α）]＝cos（α），故选项A错误； 选项B，，故选项B正确； 选项C，，故选项C错误； 选项D，，故选项D正确． 故选：BD． 【变式练3】（2025春•回民区校级期中）已知cos（θ），则sin（θ）的值是　　　　． 【答案】． 【分析】直接利用诱导公式化简求解即可． 【解答】解：cos（θ）， 则sin（θ）＝cos（θ）＝cos（θ）． 故答案为：． 题型05 综合应用 典型例题 典例 05 （2025春•南阳期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为顶点，x轴非负半轴为始边作角α与β，它们的终边分别与以O为圆心的单位圆相交于点M，N，且点M的坐标为．单位圆与x轴的非负半轴交于点A，△OAN的面积是△OAM的面积的倍． （1）求sinα，cosα的值； （2）求的值． 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）首先求出M点的坐标，再根据三角函数的定义得解； （2）依题意可得，即可求出sinβ，再由平方关系求出cosβ，最后由诱导公式化简，代入计算可得． 【解答】解：（1）因为在单位圆上，且M位于第一象限， 所以x＞0且，解得，所以， 所以，； （2）因为△OAN的面积是△OAM的面积的倍，所以， 又，所以，即， 又sin2β+cos2β＝1，解得或（舍去）； 所以． 即学即练 【变式练1】（2025春•牡丹江校级期末）已知，且，求的值为（　　） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】应用诱导公式及同角三角函数关系计算求解． 【解答】解：由题意可知，，且， 则， 则． 故选：B． 【变式练2】（2025•天津开学）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，P（5a，12a）（a≠0）为角α终边上一点，且． （1）求tanα，cosα的值； （2）求的值． 【答案】（1），； （2）． 【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义求解． （2）由（1）的结论，利用诱导公式化简即得． 【解答】解：（1）因为P（5a，12a）（a≠0）为角α终边上一点， 所以，解得a＜0， 所以，； （2）由（1）知，， 所以． 【变式练3】（2025春•镇宁县校级月考）已知α是第三象限角，且． （1）求tanα的值； （2）求sin2α+3sinαcosα的值； （3）角β的终边与角α的终边关于x轴对称，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）由诱导公式化简原式，即可得到结果； （2）先对式子sin2α+3sinαcosα除以sin2α+cos2α，再分子分母同时除以cos2α，将第一问的结果代入即可； （3）因为角β的终边与角α的终边关于x轴对称，所以，利用用诱导公式化简，再分子分母同除cosβ，即可得到结果． 【解答】解：（1）由题意，得 ， 因为α是第三象限角，所以tanα＞0， 所以； （2）sin2α+3sinαcosα ； （3）因为α是第三象限角，且，角β的终边与角α关于x轴对称， 则， 所以 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3 诱导公式 目录 题型01 由角求值 4 题型02 由值求值 4 题型03 化简求值 6 题型04 由互余互补求值 7 题型05 综合应用 8 建体系 新知廊 知识点1： 诱导公式(2kπ＋α) 1．sin(2kπ＋α)=sinα． 2．cos(2kπ＋α)=cosα． 3．tan(2kπ＋α)=tanα． 知识点2： 诱导公式(-α) 1．sin(﹣α)=﹣sinα． 2．cos(﹣α)=cosα． 3．tan(﹣α)=﹣tanα． 知识点3： 诱导公式(π±α) 1．sin(π＋α)=﹣sinα，sin(π﹣α)=sinα． 2．cos(π＋α)=﹣cosα，cos(π﹣α)=﹣cosα． 3．tan(π＋α)=tanα，tan(π﹣α)=﹣tanα． 知识点4： 诱导公式(±α) 1．，． 2．，． 求甚解 1．诱导公式． (1)要化的角的形式为（为常整数）． (2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”． (3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”． (4)；． 2．由角求值． (1) “负化正”：用公式一或三来转化． (2) “大化小”：用公式一将角化为到间的角． (3) “小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角． (4) “锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 3．由值求值． (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 4．化简求值． (1)化简后项数尽可能少，函数的种类尽可能的少，分母不含三角函数的符号，能求值的一定要求值，含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． (2)合理转化：将角化成，，的形式． (3)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． (4)注意“1”的应用：． (5)用诱导公式进行化简时，若遇到的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简． 5．由互余互补求值． (1)巧用相关角的关系会简化解题过程． (2)观察所求角与已知角是否具有互余、互补等特殊关系． (3)常见的互余关系有，；，；，等． (4)常见的互补关系有，；，等． 练题型 题型01 由角求值 典型例题 典例 01 （2025春•北京期中）化简　　　　． 【答案】． 【分析】运用诱导公式化简求值即可． 【解答】解：因为， 所以， 所以， 可得原式． 故答案为：． 即学即练 【变式练1】（2025•黑龙江开学）sin2100°的值为（　　） A． B． C． D． 【变式练2】（2025春•丹东期末）cos600°＝（　　） A． B． C． D． 【变式练3】（2025春•辽宁期中）求值cos945°+sin300°＝　　　　． 题型02 由值求值 典型例题 典例 02 （2025春•东营期末）若，且α是第三象限角，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式结合同角三角关系可得，再利用诱导公式运算求解． 【解答】解：若，且α是第三象限角， 因为，即， 且α是第三象限角，则， 所以． 故选：B． 即学即练 【变式练1】（多选）（2025春•修水县校级期中）已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（　　） A． B． C． D． 【变式练2】（2025春•西乡塘区校级月考）若P（﹣4，3）是角α终边上一点，则的值为　　　　． 【变式练3】（2025春•北京校级期中）在平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣5，12）． （1）求sinα和tanα的值； （2）若，化简并求值． 题型03 化简求值 典型例题 典例 03 （2025秋•安丘市校级月考）化简求值： （1）已知tan（α+π）＝3，求的值； （2）已知，，求sinα﹣cosα的值． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）由已知可求tanα＝3，利用诱导公式化简所求即可计算得解． （2）将平方得出，再将sinα﹣cosα平方，根据α的范围，即可得解． 【解答】解：（1）∵tan（α+π）＝tanα＝3， ∴； （2）∵， ∴cosα＞0，则sinα＜0，故sinα﹣cosα＜0， 又∵，∴，得， 而， ∴． 即学即练 【变式练1】（2025春•信州区校级月考）　　　　． 【变式练2】（2025春•石景山区校级月考）已知． （1）求tanα的值． （2）若π＜α＜2π，求的值． 【变式练3】（2025春•汉中月考）化简求值： （1）； （2）； （3）若sin（3π﹣α）＝﹣3cos（α﹣6π），求的值． 题型04 由互余互补求值 典型例题 典例 04 （2025秋•威远县校级月考）已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式化简即可求解． 【解答】解：因为， 所以． 故选：B． 即学即练 【变式练1】（2025春•东湖区校级期中）已知，，则（　　） A． B． C． D． 【变式练2】（多选）（2025春•河南期中）（　　） A． B． C． D． 【变式练3】（2025春•回民区校级期中）已知cos（θ），则sin（θ）的值是　　　　． 题型05 综合应用 典型例题 典例 05 （2025春•南阳期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为顶点，x轴非负半轴为始边作角α与β，它们的终边分别与以O为圆心的单位圆相交于点M，N，且点M的坐标为．单位圆与x轴的非负半轴交于点A，△OAN的面积是△OAM的面积的倍． （1）求sinα，cosα的值； （2）求的值． 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）首先求出M点的坐标，再根据三角函数的定义得解； （2）依题意可得，即可求出sinβ，再由平方关系求出cosβ，最后由诱导公式化简，代入计算可得． 【解答】解：（1）因为在单位圆上，且M位于第一象限， 所以x＞0且，解得，所以， 所以，； （2）因为△OAN的面积是△OAM的面积的倍，所以， 又，所以，即， 又sin2β+cos2β＝1，解得或（舍去）； 所以． 即学即练 【变式练1】（2025春•牡丹江校级期末）已知，且，求的值为（　　） A． B． C．0 D． 【变式练2】（2025•天津开学）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，P（5a，12a）（a≠0）为角α终边上一点，且． （1）求tanα，cosα的值； （2）求的值． 【变式练3】（2025春•镇宁县校级月考）已知α是第三象限角，且． （1）求tanα的值； （2）求sin2α+3sinαcosα的值； （3）角β的终边与角α的终边关于x轴对称，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $