精品解析：福建省莆田市第十八中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题

2025-2026学年上学期莆田第十八中学第一次月考 高一数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 命题人：肖丽霞 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 满足条件⫋的所有集合的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 16 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】一一列出满足条件的集合，即可得到答案. 【详解】满足条件的集合有：，，，共3个. 故选：B 2. 设，，10以内的素数，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合交集和补集运算得到结果即可. 详解】，， 由补集运算得到结果为：. 故选D. 【点睛】这个题目考查了集合的交集运算和补集运算，较为简单. 3. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. A 【答案】D 【解析】 【分析】由题可化简集合A，由集合关系可判断选项正误. 【详解】由题可得，则，故ABC错误，D正确. 故选：D 4. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. ，则 C. 若，则 D 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式性质结合特例判断各选项. 【详解】对于A：当，，A错误； 对于B：因为，所以，又， 所以，B错误； 对于C：因为，，又，所以，C正确； 对于D：当时，满足， 但，D错误； 故选：C. 5. 集合，则的子集的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再找出中6的正约数，可确定集合，进而得到答案． 【详解】集合，, ， 故有个子集. 故选：D． 6. 设集合，若，则 A 3 B. 1 C. 4 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合的补集，根据交集运算确定取值. 【详解】因为，所以，又， 当时，，又， 所以， 故选：B. 7. 已知命题，命题，则（ ） A. 命题､命题都是真命题 B. 命题的否定､命题都是真命题 C. 命题､命题的否定都是真命题 D. 命题的否定､命题的否定都是真命题 【答案】D 【解析】 【分析】先判断两个命题真假，再根据命题的否定与原命题真假的关系即可得解. 【详解】对于命题，当时，，故是假命题，则的否定为真命题， 对于命题，故是假命题，的否定是真命题， 综上可得，的否定和的否定都是真命题. 故选：D. 8. 为了更加深入地了解重庆，高一某班倡导学生利用周末时间去参观洪崖洞，南山一棵树，磁器口这三个地方.调查发现该班共有55名同学，其中31个同学去了洪崖洞，21个同学去了南山一棵树，30个同学去了磁器口，同时去了洪崖洞和南山一棵树的有10人，同时去了南山一棵树和磁器口的有7人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，则只去了一个地方的有（ ）人 A. 24 B. 26 C. 28 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用容斥原理列式计算即得. 【详解】设去了洪崖洞的同学组成集合，去了南山一棵树的同学组成集合，去了磁器口的同学组成集合， 依题意，， 而，由容斥原理得， 解得，所以只去了一个地方的有(人). 故选：C 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系判断各个选项. 【详解】对于A，空集是任何集合的子集，所以，故A错误； 对于B，0属于集合，故B正确； 对于C，属于集合，故C正确. 对于D，空集是任何集合的子集，故D正确. 故选：BCD. 10. 对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（　　） A. “”是“”的充要条件 B. “是无理数”是“a是无理数”的充要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的必要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义，验证各选项. 【详解】“”⇒“”为真命题， 但当时，“”⇒“”为假命题， 故“”是“”的充分不必要条件，故A为假命题； “是无理数”⇒“a是无理数”为真命题， “a是无理数”⇒“是无理数”也为真命题， 故“是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题； “”⇒“”为假命题，“”⇒“”也为假命题， 故“”是“”的即不充分也不必要条件，故C为假命题； ，故“”是“”的必要条件，故D为真命题． 故选：BD． 11. 以下结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为2 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】直接根据基本不等式及不等式求最值得条件即可判断ABC；根据结合基本不等式即可判断D. 【详解】对于A，，当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，，当且仅当时等号成立，但，故B错误； 对于C，因为，所以， ， 当且仅当即即时等号成立，故C错误； 对于D，由， 得， 当且仅当，即时取等号，故D正确； 故选：AD. 二､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式，计算即可得答案. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 13. 命题“，”的否定为__________. 【答案】， 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，改量词否定结论即可. 【详解】因为全称量词命题的否定为特称量词命题，改量词否定结论， 故“，”的否定为“，”， 故答案为：， 14. 已知集合，集合，若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据集合中元素的互异性和集合并集的运算可求的值. 【详解】因为，所以或. 若，则，此时，集合中的元素不满足互异性，故舍去. 若则或. 当时，，集合中的元素不满足互异性，故舍去； 当时，，，，故符合题意. 故答案为：2 三､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明或演算步骤） 15. （1）比较与的大小； （2）已知，试比较与的大小 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）（2）利用作差法比较大小即可. 【详解】（1）因为， 所以 （2） ， ∵，∴，又，∴， 所以. 16. 已知集合，. （1）若，求､； （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1），或；（2）. 【解析】 【分析】 （1）先求得集合B，再运用集合的交集、并集、补集运算求得答案； （2）分和时，建立不等式，解之可得范围. 【详解】（1）若，则， 所以，或； （2）若，则 当时，即，解得； 当时，即且，,解得. 综上所述：实数a的取值范围为. 17. （1）已知，求的取值范围； （2）若，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据不等式的同向可加性结合待定系数法即可求的取值范围； （2）根据不等式的性质结合逐步判断即可得结论. 【详解】（1）设， 所以，解得， ， 即 的取值范围是. （2）证明： ， ， . 18. 已知集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出两个集合，再根据补集和交集的定义即可得解饿； （2）由“”是“”的充分不必要条件，得，再分，和三种情况讨论即可得解. 【小问1详解】 若，则， ， 则或，或， 所以或； 【小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以P是Q的真子集， ， 方程的解为， 当，即时，不等式的解为， 则，此时不符题意； 当，即时， 不等式的解为， 则， 因为P是Q的真子集， 所以（不同时取等号），无解； 当，即时， 不等式的解为， 则， 因为P是Q的真子集， 所以（不同时取等号），解得， 综上所述，的取值范围为. 19. 在抗击疫情中，某市根据需要迅速启动“方舱医院”建设，在方舱医院中要建1000个长方体形状､高度恒定的相同房间，每个房间造价不超过960元.为了充分利用资源，每一个房间的后墙利用原有的五合板，不需要购买，正面用木质纤维板隔离，每米造价60元.两侧面用高密度合成板，每米造价30元，顶部每平方米造价30元.设每个房间正面木质纤维板长度为米，一侧面高密度合成板的长度为米. （1）用，表示每个房间造价； （2）当每个房间面积最大时，求的值. 【答案】（1）（） （2）当每个房间面积最大时， 【解析】 【分析】（1）直接根据题意列出关于，，的方程即可； （2）利用基本不等式求最大值，当且仅当时，每个房间面积最大. 【小问1详解】 根据题意，只需要计算正面、两个侧面和一个顶面的造价，则有： （） 【小问2详解】 根据题意，每个房间造价不超过960元，则有： 即有： 设每个房间的面积为S，则有： 则有：，当且仅当时，取得“=” 解得： 故 当每个房间面积最大时， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期莆田第十八中学第一次月考 高一数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 命题人：肖丽霞 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 满足条件⫋的所有集合的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 16 D. 15 2. 设，，10以内的素数，则 A. B. C. D. 3 已知集合，，则（    ） A B. C. D. A 4. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. ，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 集合，则的子集的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 15 D. 16 6. 设集合，若，则 A. 3 B. 1 C. 4 D. -1 7. 已知命题，命题，则（ ） A. 命题､命题都是真命题 B. 命题的否定､命题都是真命题 C. 命题､命题的否定都是真命题 D. 命题的否定､命题的否定都是真命题 8. 为了更加深入地了解重庆，高一某班倡导学生利用周末时间去参观洪崖洞，南山一棵树，磁器口这三个地方.调查发现该班共有55名同学，其中31个同学去了洪崖洞，21个同学去了南山一棵树，30个同学去了磁器口，同时去了洪崖洞和南山一棵树的有10人，同时去了南山一棵树和磁器口的有7人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，则只去了一个地方的有（ ）人 A. 24 B. 26 C. 28 D. 30 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 下列说法正确是（ ） A. B. C. D. 10. 对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（　　） A. “”是“”的充要条件 B. “是无理数”是“a是无理数”的充要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的必要条件 11. 以下结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为2 C. 若，则 D. 若，则 二､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若，则的最小值为__________. 13. 命题“，”否定为__________. 14. 已知集合，集合，若，则______． 三､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明或演算步骤） 15. （1）比较与的大小； （2）已知，试比较与的大小 16. 已知集合，. （1）若，求､； （2）若，求实数a的取值范围. 17. （1）已知，求的取值范围； （2）若，求证：. 18. 已知集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 19. 在抗击疫情中，某市根据需要迅速启动“方舱医院”建设，在方舱医院中要建1000个长方体形状､高度恒定相同房间，每个房间造价不超过960元.为了充分利用资源，每一个房间的后墙利用原有的五合板，不需要购买，正面用木质纤维板隔离，每米造价60元.两侧面用高密度合成板，每米造价30元，顶部每平方米造价30元.设每个房间正面木质纤维板长度为米，一侧面高密度合成板的长度为米. （1）用，表示每个房间造价； （2）当每个房间面积最大时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $