精品解析：四川省广安中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试题

高2023级高三上期第一次月考 数学试卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z满足，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合复数运算法则求的代数形式，再求其模. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：A. 2. 已知命题；命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】举反例判断命题的真假，再结合命题的性质判断即可. 【详解】对于命题，由时，不满足，可得是假命题，是真命题， 对于命题，由时，满足，可得是真命题，是假命题，故B正确. 故选：B 3. 已知是空间的一组基底，其中，，．若，，，四点共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设存在唯一的实数对，使得，结合向量的数乘运算和相等向量的概念计算，即可求解. 【详解】由题意，设存在唯一的实数对，使得， 即， 则， 则，，，解得. 故选：C 4. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难 日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了 A. 60里 B. 48里 C. 36里 D. 24里 【答案】C 【解析】 【分析】每天行走的里程数是公比为的等比数列，且前和为，故可求出数列的通项后可得. 【详解】设每天行走的里程数为，则是公比为的等比数列， 所以，故（里），所以（里），选C. 【点睛】本题为数学文化题，注意根据题设把实际问题合理地转化为数学模型，这类问题往往是基础题. 5. 已知焦点在 轴上的双曲线 与双曲线 有共同的渐近线，且点 在双曲线 上，则双曲线 的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据共渐近线方程可设双曲线的方程为，代入点坐标，解出即可. 【详解】设双曲线的方程为， 将点代入得，得， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 6. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上的一点，将角终边逆时针旋转得到角的终边，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式可求得的值，利用诱导公式、二倍角公式结合弦化切可求得所求代数式的值. 【详解】由题可知，所以， 则 . 故选：A． 7. 已知函数，若，，都有成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，函数是增函数，利用分段函数单调递增的条件，列不等式求的取值范围. 【详解】因为对于，，都有成立，所以函数是增函数， 则函数和均为增函数，且有，即解得. 故选：C． 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的运算，计算可得，则.构造函数，根据导函数得到函数的单调性，即可得出，根据对数函数的单调性即可得出；先证明当时，.然后根据二倍角公式以及不等式的性质，推得. 【详解】因为， 所以，. 令，，则， 当时，，所以在上单调递增， 所以， 所以. 因为在上单调递增，所以； 令，则恒成立， 所以，在R上单调递减， 所以，当时，有，即， 所以. 因为， 所以， 所以. 所以. 故选：B． 【点睛】方法点睛：对变形后，作差构造函数，根据导函数得到函数的单调性，即可得出值的大小关系. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，其中的最小正周期为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的一条对称轴为 B. 若，则有是的整数倍 C. 的图象关于对称 D. 若，函数的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意求得，对于A：说明为一条对称轴；对于B：两个零点之间相差半个周期的整数倍；对于C：验证是否为的零点；对于D：先求出的范围，再求的值域. 【详解】因为的最小正周期为，所以，所以， 对于A：因为，所以的一条对称轴为，故A正确； 所以，所以，因为，所以，所以， 对于B：由得， 所以，所以，故B正确； 对于C：因为，所以不是的图象的对称中心，故C错误； 对于D：由得，所以，故D正确. 故选：ABD 10. 眼睛是心灵的窗户，保护视力从青少年开始.“近视”（设为事件）和“老花”（设为事件）是影响中老年人学习与生活质量的重要视力因素.设，，，则（ ） A. 与互为对立 B. 与相互独立 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据对立事件及独立事件定义判断A，B，应用条件概率公式判断D，应用概率基本性质判断C即可. 【详解】因为，，， 则，所以， 所以，则与不对立，故A错误； 得到，与相互独立，故B正确； 而，故，故C正确； ， 所以，故D正确； 故选：BCD. 11. 已知函数，，，则下列结论中正确的有（ ） A. 当时有1个零点 B. 当时有4个零点 C. 当有6个不同零点时，实数m的取值范围为 D. 当的零点个数最多时，实数m的取值范围为[ln3，ln4] 【答案】BC 【解析】 【分析】转化为方程的解的个数，令，画出，的图象，数形结合，对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，的零点个数等价于关于的方程的解的个数， 令，画出，的图象如下： 当时，的解为，令，结合图象可知，有2个解， 故时，有2个零点，A错误； B选项，当时，有2个解，设为， 令，解得或，不妨设， 其中对应两个解，对应两个解， ，共四个解，当时有4个零点，B正确； CD选项，当时，有3个解，分别为， 易得， ，均有2个解， 当或时，有2个解，此时有6个解， 故或， 当有6个不同零点时，实数m的取值范围是，C正确； 最多有4个解，所以最多有8个解， 当有4个解时，则，即， 即当的零点个数最多时，m的取值范围为，D错误. 故选：BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知实数、满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可求最小值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 故答案为：. 13. 某校团委举办《在青春的赛道上，我们都是追光者》主题演讲比赛，经过初赛，共7人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级2人，现采取抽签方式决定演讲顺序，设事件为“高一年级2人不相邻”，事件为“高二年级3人相邻”，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用插空法求出事件的排法，再使用捆绑法和插空法求出事件的排法，利用条件概率公式计算得到. 【详解】由题意，先将高二和高三年级的5个人全排列，有种排法，将高一年级2人进行插空，有种排法， 所以事件 “高一年级2人不相邻”的排法有种排法. 将高二年级3人进行全排列，有种排法，再将高二年级3人看作一个整体，和高三年级的2人进行全排列，有种排法， 排好后，将高一年级的2人进行插空，有种排法，所以事件共有种排法. 所以，. 故答案为：. 14. 已知，当时，恒成立，则的最小值为________． 【答案】e 【解析】 【分析】由分析得到，再构造函数，，求导，进而分析其单调性即可求出的最小值． 【详解】由，均递增，且与轴均只有一个交点， 要使在上恒成立，只需要，与轴交于同一点， 令，得；令，得， 所以，又，，所以， 则， 令，，则，， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增， 所以，即的最小值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处的切线方程为． （1）求a的值； （2）当时，求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为和 【解析】 【分析】（1）由题可得，据此可得答案； （2）由（1）可得，在范围内解不等式可得单调区间. 【小问1详解】 ，因在处的切线方程为， 则； 【小问2详解】 由（1），， 因，， ， 则的单调递增区间为，单调递减区间为和. 16. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用数列中前项和与项的关系求解； （2）先写出奇数项、偶数项的通项公式，再按奇数项、偶数项分组求和. 【小问1详解】 由题意 当时，； 当时， 两式相减得， 所以，当时也成立． 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 根据题意，得 所以 所以 17. 某城市实施了机动车尾号限行，该市报社调查组为了解市民对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成如下表： 年龄（岁） 频数 5 5 10 15 10 5 赞成的人数 3 4 9 10 7 3 （1）用样本估计总体，将样本频率视为概率，且每位市民是否赞成相互独立.现从全市年龄在的市民中随机选取4人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若在这50名被调查者中随机发出20份的调查问卷，记为所发到的20人中赞成“车辆限行”的人数，求使概率取得最大值的整数. 【答案】（1）分布列： 0 1 2 3 4 数学期望为； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，随机变量，写出分布列，根据二项分布的期望公式计算即可； （2）由得到关于的不等式组，根据组合数的计算以及可得出所求的整数. 【小问1详解】 由题意，的可能取值为0，1，2，3，4， 因为年龄在的市民不赞成“车辆限行”的频率为，则， 所以， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 . 【小问2详解】 这50被调查者中，有36人赞成，14人不赞成， 所以， 由，则，解得， 因为，所以. 18. 已知四边形是直角梯形，，，， ，E，F分别为CD，BC的中点（如图1），以AE为折痕把折起，使点D到达点S的位置且平面平面（如图2）． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）在梯形中证得，再利用面面垂直的性质、线面垂直的判断定理推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 连接，令，由E、F分别为CD、BC的中点，得， 又四边形ABCD是直角梯形，，，，， 则，， 因此，，四边形为正方形， 则，，由平面平面ABCE，平面ABCE， 平面平面，得平面SAE，而平面SAE，则， 又，平面SEF，所以平面SEF. 【小问2详解】 由（1）得直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，设平面SCE的法向量为， 则，取，得， 由平面SEF，得平面SEF一个法向量为， 因此．而二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 19. 定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． （1）若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围． （2）若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”． ①求b的取值范围； ②证明：． 【答案】（1）； （2）①； ②由（1）知，当时，，令， 求导得， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减，，， 函数在上单调递减，，因此当时，， 而，则，又，于是， 又，函数在上递减，则， 所以. 【解析】 【分析】（1）由给定的定义把问题转化为方程有唯一零点，再构造函数，利用导数探讨函数的性质求解即可. （2）①根据给定的定义将问题转化为方程有两个不同的零点求解；②由①中信息，利用极值点偏移求解. 【小问1详解】 由与为“契合函数”，得，使 ，令，依题意，方程有唯一解， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 当时，，时，，， 又和只有一个“契合点”，则直线与函数的图象只有1个交点，则或， 所以实数a的取值范围是. 【小问2详解】 ①由与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”， 得存在，使， 即关于的方程有两个相异正根，令函数， 求导得， 由，得，得当时，；当时，， 则函数在上递增，在上递减，则， 当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 因此当时，直线与函数的图象有两个不同交点， 所以b的取值范围是. ②略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2023级高三上期第一次月考 数学试卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z满足，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 2. 已知命题；命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 已知是空间的一组基底，其中，，．若，，，四点共面，则（ ） A. B. C. D. 4. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难 日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了 A. 60里 B. 48里 C. 36里 D. 24里 5. 已知焦点在 轴上的双曲线 与双曲线 有共同的渐近线，且点 在双曲线 上，则双曲线 的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上的一点，将角终边逆时针旋转得到角的终边，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，，都有成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，其中的最小正周期为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的一条对称轴为 B. 若，则有是的整数倍 C. 的图象关于对称 D. 若，函数的值域为 10. 眼睛是心灵的窗户，保护视力从青少年开始.“近视”（设为事件）和“老花”（设为事件）是影响中老年人学习与生活质量的重要视力因素.设，，，则（ ） A. 与互为对立 B. 与相互独立 C. D. 11. 已知函数，，，则下列结论中正确的有（ ） A. 当时有1个零点 B. 当时有4个零点 C. 当有6个不同零点时，实数m的取值范围为 D. 当的零点个数最多时，实数m的取值范围为[ln3，ln4] 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知实数、满足，则的最小值为__________． 13. 某校团委举办《在青春的赛道上，我们都是追光者》主题演讲比赛，经过初赛，共7人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级2人，现采取抽签方式决定演讲顺序，设事件为“高一年级2人不相邻”，事件为“高二年级3人相邻”，则______. 14. 已知，当时，恒成立，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处的切线方程为． （1）求a的值； （2）当时，求函数的单调区间． 16. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列前项和． 17. 某城市实施了机动车尾号限行，该市报社调查组为了解市民对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成如下表： 年龄（岁） 频数 5 5 10 15 10 5 赞成的人数 3 4 9 10 7 3 （1）用样本估计总体，将样本频率视为概率，且每位市民是否赞成相互独立.现从全市年龄在的市民中随机选取4人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若在这50名被调查者中随机发出20份的调查问卷，记为所发到的20人中赞成“车辆限行”的人数，求使概率取得最大值的整数. 18. 已知四边形是直角梯形，，，， ，E，F分别为CD，BC的中点（如图1），以AE为折痕把折起，使点D到达点S的位置且平面平面（如图2）． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 19. 定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． （1）若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围． （2）若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”． ①求b的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $