精品解析：江苏省南京市金陵中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

金陵中学高一十月月考数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的基本运算进行求解即可. 【详解】因为集合， 所以，. 故选：D. 2. 设命题，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，一般形式为“，”，其否定形式为“，”，即存在量词改为全称量词，同时否定结论． 【详解】命题“，”的否定为“，”， 命题“，”的否定为“，”， 故选：B． 3. 若全集，且，则集合的非空真子集的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集和子集的定义直接可得. 【详解】由，所以， 所以集合A的非空真子集有：，，，，，，一共有6个非空真子集. 故选：C. 4. 高三某班共有51名学生，该班通过强基计划初审的有25人，通过综合评价录取初审的学生有31人，既通过强基计划又通过综合评价录取初审的学生有18人，则既没有通过强基计划也没有通过综合评价录取的有（ ） A. 13人 B. 14人 C. 15人 D. 16人 【答案】A 【解析】 【分析】根据容斥原理求解即可. 【详解】通过强基计划初审或综合评价录取初审的学生有人， 所以既没有通过强基计划也没有通过综合评价录取的有人. 故选：A. 5. 设正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用“1”的妙用，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，，，所以， 又，，所以， 所以， 当，即，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 6. 对于全集的子集，，若，则下列集合一定为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先画出韦恩图，由图判断选项. 【详解】如图所示，当时，，， 因为是全集的子集，不一定等于，故A错误； 当时，，当真包含于时，，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C 7. 下列所给的各组，中，满足的充分条件是的个数是（ ） （1）：四边形的对角线相等，：四边形是正方形； （2）：两个直角三角形全等，：两个直角三角形的斜边相等； （3）：，：； （4）：，：； （5）：同位角相等，：两条直线平行； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件的定义，逐一判断能否推出，即可得解. 【详解】对于（1），对角线相等的四边形不一定是正方形，例如长方形，所以； 对于（2），由全等三角形对应边相等，可知全等的直角三角形斜边一定相等，所以； 对于（3），时，，不是只有，所以； 对于（4），时，，不是只有，所以； 对于（5），根据平行线判定定理，同位角相等则两直线平行，所以. 因此，只有（2）和（5）满足是的充分条件，共2个. 故选：B. 8. 已知集合，设，且，则集合的元素的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合运算的性质，得出，而集合中的元素为方程的根，所以分两种情况讨论集合中的元素分别是和的根，解出的值，进而求出两个方程的所有根，即可确定集合. 【详解】设的根为，，则，； 设的根，，则. 因为，所以，即， 当1是的根，2是的根，即，， 代入方程可解得集合，有4个元素； 当2是的根，1是的根，即，， 代入方程可解得集合，有4个元素. 故选：B. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若的取值范围是，的取值范围是，则的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用不等式性质推理判断AD；举例说明判断B；利用反证法及作差法判断C. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，当时，，B错误； 对于C，，假设，则， 与矛盾，因此，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：AC 10. 下列日常生活中的说法正确的是（ ） A. 水管横截面制成圆形而不是正方形，一个原因是圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积 B. 两次购买同一种物品，可以用两种策略（假设两次价格不等，分别为，），一是每次购买这种物品的数量一定，二是每次购买这种物品所付的费用一定，则用第二种方式购买比较经济 C. 某生产线第一年产量为，第二年、第三年的增长率分别为，，则年平均增长率为 D. 金店使用一不等臂天平称黄金.一位顾客拟购买黄金，店员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘，使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘，使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.则顾客实际购得的黄金克数大于20 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，设水管周长为，则可求出正方形的面积及圆的面积，进而比较大小； 对于B，根据题意算出两种物品的平均价格，比较大小即可得出结论； 对于C，设年均增长率为，根据题意列出等式即可求出； 对于D，令左、右臂长分别为，，两次所放黄金分别为，，根据题意列出等式，结合基本不等式即可判断. 【详解】对于A，设水管周长为，则，，则，所以A正确； 对于B，第一种策略，设每次购买量为1，则购买均价为； 第二种策略，设每次花费为1，则两次购买均价为； 因为，所以，又因为， 所以，故用第二种方式购买比较经济，B正确； 对于C，设年均增长率为，则，可得，C错误； 对于D，令左、右臂长分别为，，两次所放黄金分别为，，则，则，D正确. 故选：ABD. 11. 已知，为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为45 【答案】ABC 【解析】 【分析】因为、为正实数，由，根据基本不等式得，解不等式即可得，进而确定，代入原式即可求得，由此判断A、B选项；变为，利用基本不等式得，进而求得，判断C选项；根据利用重要不等式得，判断D选项. 【详解】因为，为正实数，由基本不等式有：， 所以，解得， 所以，代入，有， 当且仅当，即，时取“”，A，B正确； 由得， 因为，为正实数，所以，， 所以由基本不等式有：， 所以，当且仅当， 即，时取“”，所以C正确； ，D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 设集合，，若，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的互异性得且，利用集合相等的概念得，，求出，即可求解. 【详解】由集合元素互异性，所以且，则， 故当时，，，解得，，故. 故答案为： 13. 设关于的不等式的解集为区间，若区间内有且仅有5个整数，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先求出的对称轴，根据题意可知区间内有且仅有5个整数，进而列出不等式求解. 【详解】的对称轴为直线， 根据对称性可知内的5个整数为， 所以，即，解得. 所以的取值范围为. 故答案为： 14. 若，，使成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由均值不等式可得的最小值，然后将问题转化为一元二次不等式恒成立问题，即可得到结果. 【详解】由，则，当时取“”， 对，， 使成立对，， 所以， 所以，解得，所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）在实数范围内因式分解，直接写出结果：； （2）直接写出关于实数的不等式的解集； （3）设和分别是方程的两实根，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据原式整理再进行因式分解即可；（2）根据题意分、、三种情况化简解不等式再求并集即可；（3）化为，根据已知条件结合韦达定理有：，，代入上式计算求解即可. 【详解】（1） . 所以， （2）因为 当时，化为：， 即，，因为，解得：， 当时，化为：， 即，所以解得：， 当时，化为：， 即，，因为，解得， 综上所述，. 所以解集为. （3）因为和是方程的两根， 所以，， . 16. 当前，机器人产业蓬勃发展，正极大改变着人类生产和生活方式，为经济社会发展注入强劲动能.2022年，工业和信息化部等十七部门印发了《“机器人＋”应用行动实施方案》，《方案》指出，到2025年，制造业机器人密度较2020年应实现翻番，服务机器人、特种机器人行业应用深度和广度应显著提升，机器人促进经济社会高质量发展的能力应明显增强.某动力电池生产企业为提高产能，计划投入6300万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后的前年，设备维护成本共万元，每年电池销售收入为6700万元，设使用该批智能机器人后，前年的总盈利额为万元. （1）写出关于的函数关系式，并指出的取值范围； （2）使用若干年后，对该批智能机器人的处理方案有两种. 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以4800万元的价格处理.问哪种方案更合理？并说明理由. 【答案】（1） （2） 方案一：总盈利额， 当时，， 若此时处理掉智能机器人，总盈利为万元； 方案二：年均盈利额（万元）， 当且仅当时，年平均盈利额最大，若此时处理掉智能机器人， 总盈利为万元. 两方案总利润都是13200万元，但方案二用时更短，则方案二更合理. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出函数关系式即可； （2）分别计算出方案一与方案二的总盈利，然后比较，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意，. 【小问2详解】 略 17. 设集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若是双元素集，且，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解出集合，再利用推出，讨论集合的所有可能情况，进而求出实数的取值范围； （2）根据是双元素集，且，利用二次函数的性质及判别式来确定的取值范围． 【小问1详解】 ，解得， ， ， ， 若，则，解得； 若，原方程等价于，则，无解； 若，原方程等价于则，解得； 若，原方程等价于，则，无解． 综上，实数的取值范围是. 【小问2详解】 集合是双元素集，且， 关于的方程在内有两个相异实根， 则，解得， 设， ， 对称轴，解得， ，解得或， 的取值范围是． 18. 设，. （1）当时，写出关于的不等式的解集； （2）若，解关于的不等式； （3）设命题，，若为真命题，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为. （3） 【解析】 【分析】(1)代入，解不等式即可； (2)分析当时， 当时， 当时， 当时，比较两根大小即可； (3) 根据题意可得到对，，法一：利用二次函数对称轴与定义之间位置关系和二次函数图像性质分析求解；法二：分离参数，结合基本不等式求解. 【小问1详解】 当时，原不等式可化为，解得， 故原不等式解集为. 【小问2详解】 ，即， 解方程得或， 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为， 综上，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为. 【小问3详解】 因为为真命题，故对，，即， 法1：当，即时，，满足； 当，即时，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 法2：因为，所以，又，所以， 所以， 又，当且仅当，即时取“”. 所以， 所以实数的取值范围是. 19. 已知集合，且中至少有三个元素.如果，，，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，其中，（例如：），对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“优美子集”. （1）若集合，，判断，是否具有性质，并说明理由； （2）若集合具有性质，判断集合是否集合的“优美子集”，并说明理由； （3）对于集合的非空子集，证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“优美子集”. 【答案】（1）具有，不具有，理由如下： 取，，，满足，，是偶数， 所以集合具有性质； 集合中所有元素均为奇数，任意三个元素的和为奇数，不满足条件③， 所以不具有性质. （2）是，理由如下： 由是偶数，得实数是偶数， ①若，则由，得，矛盾. ②若，则，，.由，得，故，满足题意， 所以集合. ，，， 所以是的“优美子集”. （3） 先证充分性：是集合的“优美子集”具有性质. 集合是集合的“优美子集”，所以存在三个互不相同的，，， 不妨设，使得，，. 且，， 为偶数， 所以集合具有性质. 再证必要性：具有性质是集合的“优美子集”. 集合具有性质，所以中存在，，， 同时满足①；②；③为偶数， 令，，， 所以，，，，均为整数， 因为，所以， 所以，且，，均为正整数，所以，，， 因为，，，所以，，， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“优美子集”. 综上所述，对于的非空子集，集合是集合的“优美子集”的充要条件是集合具有性质. 【解析】 【分析】（1）根据给定的定义条件，分别判断集合是否具有性质. （2）由性质P确定集合B，再根据“优美子集”的定义，确定集合是集合的“优美子集”. （3）由存在三个互不相同的，使得均属于，证明满足性质P的三个条件；再证明集合具有性质，集合是集合的“优美子集”即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金陵中学高一十月月考数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若全集，且，则集合的非空真子集的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 高三某班共有51名学生，该班通过强基计划初审的有25人，通过综合评价录取初审的学生有31人，既通过强基计划又通过综合评价录取初审的学生有18人，则既没有通过强基计划也没有通过综合评价录取的有（ ） A. 13人 B. 14人 C. 15人 D. 16人 5. 设正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 6. 对于全集的子集，，若，则下列集合一定为的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列所给的各组，中，满足的充分条件是的个数是（ ） （1）：四边形的对角线相等，：四边形是正方形； （2）：两个直角三角形全等，：两个直角三角形的斜边相等； （3）：，：； （4）：，：； （5）：同位角相等，：两条直线平行； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知集合，设，且，则集合的元素的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若的取值范围是，的取值范围是，则的取值范围是 10. 下列日常生活中的说法正确的是（ ） A. 水管横截面制成圆形而不是正方形，一个原因是圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积 B. 两次购买同一种物品，可以用两种策略（假设两次价格不等，分别为，），一是每次购买这种物品的数量一定，二是每次购买这种物品所付的费用一定，则用第二种方式购买比较经济 C. 某生产线第一年产量为，第二年、第三年的增长率分别为，，则年平均增长率为 D. 金店使用一不等臂天平称黄金.一位顾客拟购买黄金，店员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘，使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘，使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.则顾客实际购得的黄金克数大于20 11. 已知，为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为45 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 设集合，，若，则的值为______. 13. 设关于的不等式的解集为区间，若区间内有且仅有5个整数，则实数的取值范围为_____. 14. 若，，使成立，则实数的取值范围为_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）在实数范围内因式分解，直接写出结果：； （2）直接写出关于实数的不等式的解集； （3）设和分别是方程的两实根，求的值. 16. 当前，机器人产业蓬勃发展，正极大改变着人类生产和生活方式，为经济社会发展注入强劲动能.2022年，工业和信息化部等十七部门印发了《“机器人＋”应用行动实施方案》，《方案》指出，到2025年，制造业机器人密度较2020年应实现翻番，服务机器人、特种机器人行业应用深度和广度应显著提升，机器人促进经济社会高质量发展的能力应明显增强.某动力电池生产企业为提高产能，计划投入6300万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后的前年，设备维护成本共万元，每年电池销售收入为6700万元，设使用该批智能机器人后，前年的总盈利额为万元. （1）写出关于的函数关系式，并指出的取值范围； （2）使用若干年后，对该批智能机器人的处理方案有两种. 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以4800万元的价格处理.问哪种方案更合理？并说明理由. 17. 设集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若是双元素集，且，求实数的取值范围. 18. 设，. （1）当时，写出关于的不等式的解集； （2）若，解关于的不等式； （3）设命题，，若为真命题，求的取值范围. 19. 已知集合，且中至少有三个元素.如果，，，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，其中，（例如：），对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“优美子集”. （1）若集合，，判断，是否具有性质，并说明理由； （2）若集合具有性质，判断集合是否集合的“优美子集”，并说明理由； （3）对于集合的非空子集，证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“优美子集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $