5.1.2 导数的概念及其几何意义课件教案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

上课。是。请坐。谢谢。这节课我们来学习这个导数，导数这一章里面第二节导数的概念及其几何。一第一课时第一个是首先我们来看一下我们这节课的学习目标主要有三个。第一个是能够从具体的实例中抽象出导数的定义，并能理解导数是瞬时变化率的数学表达。第二个是理解从平均变化率到瞬时变化率的过杜，并能够理解导数定义的推导过程。第三个是能够用导数的定义解决一些简单函数在某一点处的导数。重点就是导数的概念，难点就是从这个平均变化率到瞬时变化率的推导或者说过度。我们回到我们上节课学过的两个问题。变化率问题中的第一个问题，一运动员跳水的速度问题。在这个里面我们的平均速度就是我们说的平均变化率，而我们的瞬时速度就指的是瞬时瞬时变化率瞬时变化率。所以你看到我们从平均速度到顺顺时速度，我们是对这个平均速度取了一个啥极限是吧？极限在问题二中，抛物线曲线斜率问题中，我们的割线斜率就是指的是。平均变化率。我们的切线斜率指的是。所以我们也是对割线斜率取了一个极限是吧？取了一个极限那就变成了切线斜率、斜线斜率。我们这两个问题有什么共同特征？是变化的变化率。我们找个同学来说，孙悦。都是从。平均变化率到。瞬时秒好做都是从平均变化率到瞬时变化率。也就是说我们都采用了极限思想，都是从平均变化率无限的区域逼近瞬时变化率的这样一种思想方法。这种方法在一般情况下，对于我们的一个函数Y等于FX能不能用平均变化率无限逼近瞬时变化率的思想方法来研究这个函数在某一点处的瞬时变化率呢？为了研究这个函数的瞬时变化率，我们可以先研究哪个范围内的平均变化率。还是回到我们的问题一和问题2。你看在问题一中，我们的平均速度计算，我们是从看从1到1加德尔塔T这个范围内是吧？我们从这个范围内来看这个平均速度，来计算这个平均速度。在问题二中，我们是从1到1加德尔塔X这个范围内来研究这个函数的平均变化率。所以说我们这两个问题中，我们都是给这个自变量X相当于给了一个啥变化量？一个是德耳塔X一个是德耳塔T德耳塔T所以我们为了研究函数的瞬时变化率，我们可以给自变量取一个长改变量或者说变化量。这个变化量德耳塔X可以是正值，也可以是但不能为零不能为零。我们计算自自变量从X0变化到F0加德台是这个范围中的平均变化率。那么自变量X从X0变化到X0加德耳耳塔X这个过程中的平均变化率又该如何表示？再次回到问题一和问题2。在问题一中，我们的自变量是从一变化的加两款T对吧？这个时候对应的函数值是从H一变化到H1加，我们是用函数值的变化量去除以可自变量的变化量？算出的平均速度就是平均变化率。在问题二中，我们的自变量是从一变化到一加，德尔塔没错，对应的函数值FF1F1变化的F1加，我们用函数值的变化量去除以自变量的变化量就得到了隔线的斜率是吧？对，就是这个平均变化率。所以说对于我们一般的情况下面，对于函数Y等于FX我们的X0，自变量从X0变化到X0加德耳塔X的时候，函数值对应的从FX0变化到FX0加德耳。塔X那么这个变化量。德耳塔Y就等于FX0加上德耳塔X减去。所以根据我们前面的这个问题一和问题二的学习和复习，我们可以看到平均变化率函数FX在X0到X0加德耳塔X这个区间上的平均，或者说范围内的平均变化率是怎么计算的。用德耳塔Y除以德耳塔X也就是FX0，加德耳塔X减去FX0再除以S就是说函数值的改变量除以自变量X的改变量，对吧？这就是我们的平均变化率。那么平均变化率我们表示出来了，那么这个瞬时变化率函数FX在X0处的瞬时变化率又应该如何表示？回到我们的问题一和问题二中。在问题一中，当这个德耳塔T小于0的时候，就是从我们的这个一的左侧去无限逼近。这个时候我们看到这个速度基本上趋近于多少，负-5 8负的4.09左右。负五在德尔塔T大于0的时候，它基本上也近似等于-5。所以我们说这个运动员的这个顺时速度就等于负是吧？-5就是说从两个方向直线的距离性，然后在问题二中抛物线斜对问题中抛物线曲线斜率问题中，我们的德耳塔小于0的时候，我们的这个斜率基本趋近于多少二是吧？21.99左右。对，在德耳塔X大于零的时候，它也基本上趋近于多少。所以我们说这个抛物线的切线斜率在一处的一处的切线斜率基本上等于几二约等于2。所以取极限极极限它是个近似值，约等于2。那么基于这样的一个学习，我们看到函数Y等于FX。在德耳塔X它无限趋近于零的时候，就是两个点之间的距离无限制的接近到我们可以认为这两个点基本上都重合了。那么这个时候我们的X0加德尔塔X是不是无限接近于X这个时候我们刚才说到的这个平均变化率，德耳塔Y比德耳塔X它到底接近于多少？当德耳塔X无限接近于零的时候，我们的平均变化率它是不是一定会接近无限接近于一个确定的数？对，我们一起来看一下，我们来看函数FX等于X的绝对值，考察这个函数在X0等于零附近的变化情况。根据刚才的学习，我们先要计算平均变化率，就是德耳塔Y比上德耳塔X是吧？因为它求的是在X等于零处的。啥平平均平均。SS0处的变化情况，对吧？所以说我们把X零换成0，那么经过简单计算就得到是德耳塔X的绝对值。除以X这个。地方出现了绝对值。要把绝对值范围要能去掉的话，我们要分类讨论？因为德耳塔X在分母上，所以它不能为零，所以它要么大于零。要么小于00。第一种情况看它小于0，德耳塔X如果小于0，那么这个delta y比德耳塔X这个平均变化率就等于负的。德尔塔X除以德尔塔等于负一。如果德耳塔X大于0，这个平均变化率。就等于51 1。我们看到在这个问题中，在零的附近，从零的左侧小于0，从零的左侧无限逼近的时候它等于负一。德尔塔X在零从0的右侧无限逼近的时候它等于一。这两个数值是不一样的是吧？对，从左右无限逼无限趋近于同一个数的时候，我们说这个函数的瞬时变化率是存在的，顺瞬时变化率是存在的。所以这个问题说明当德尔塔XX无限趋近于零的时候，我们的平均变化率德耳塔Y比delta x它不一定无限趋近于同一个数，明白吗？明白，它不一定同时趋近于同一个数，所以我们得到导数的概念，在课本65页上那个一什么叫做导数？当德耳塔无限趋近于零的时候，我如果我们的这个平均变化率它也无限趋近于一个确定数。这个时候我们说这个平均变化率德耳塔V比德耳塔X它有啥极限？我们把这个称为函数FX在X您说啥可导，并把这个数值叫做函数FXX0处的啥导数，导数也称为记为FPXV即为SPXV。那么我们用式子来表示，用极限符号来表示的话，就可以表示成这个形式这个形式。FPX0就是指的是函数FX在X0处的导数数。它是什么的极限？它是平均变化率的极限，就是德耳塔Y比德耳塔X的极限。在德耳塔X趋于零时的极限，极限是吧？极限我们把德尔塔的这个函数值的变化量进一步的写成FX0加减去. FX再除以X. 对差取直线，这就是我们导数的定义式，导数的定义式这个形式非常重要的非常重要的。那么通过我们先前面的学习，我们可以看到导数就是平均变化率的啥导出就是平均变化率的极限，它是瞬时变化率的数学是吧？数学表达。那么根据我们刚才学习的导数的定义，能不能把我们问题一和问题二中两类问题的结论用导数的定义去描述呢？在问题一中运动员跳水问题中，我们的这个瞬时变化率就是这个瞬时速度，我们算出来它等于-5。那么前面这一部分我们可以用FPX0的形式去表示。我们找位同学来说一下，可以把这个表示成多少？吖吖伊沙利克林。可以把它表示成多少？F撇E是函数的，我们的因变量是不是要变一下？因为英文的字母是不一样的，H撇E好做，H撇E所以我们这个就可以根据导数定义把它表示成还是撇一一。在问题二中我们的这个切线的斜率，我们可以把它表示成夏美丽。在这个问题中我们把可以把这个式子用导数定义式把它表示成MK1F便宜好做F撇EF便宜。所以这个导数的定义式，是非常重要的非常重要的。下面我们看这样的两道例题两道例题。第一道。函数FX等于X分之一，我们要求的是F撇一，要求F瞥F撇一。根据导数的定义，它就指的是这个函数FX在哪一点处导数在一处的导数。那么根据我们导数的定义式，我们只需要把这个导数定义式中的X0换成解变成一。所以我们就可以写出来这样一个F撇一的式子。F撇一它。等于F1. 加德耳塔X减去F1除以，然后取它的极限让德耳塔X趋于00，趋于零是吧？趋于0，然后我们把这个对应的函数值给它换掉，这个就是德耳塔X趋于0. 分母还是XX分子上。我们的一加德尔塔X的函数值就是把原函数中的X换成多少。换成把X都换成一加X所以它就等于一加德尔塔X分之以一再减去F1。F1就是把函数解析式的X都换成以及那就是减一是吧？减1，然后我们简单的化简一下。对，封不上。我们的这个一可以把它通分分成一，加德耳塔X分之一加德尔塔，我们的前面还是一加德尔塔，X4分之1减去它对吧？对，然后我们简单做计算，这个是同分母分数相减，那么这个一减去一再减去德耳塔X所以这个分子上会变成负的多少负的德耳塔S分子上会变成负的德耳塔S分母还是一加德耳塔S它再除以德耳塔X那么乘以它的倒数德耳塔X分之1，那么这个约掉德耳塔X约掉以后，分子就剩那个负一，然后让德耳塔X趋于0 1加0分之负。一等于一负一。所以这就是我们的问题一，这就直接根据导数的定义去计算某个函数在某一点处的导数导数。我们再来看我们的例2，再来看我们的例2例2例2这个是要他告诉你某产品的销售量QP是月份的函数，这个函数关系式是QT等于10T减去T平方。求的是第三个月末的销售量的变化率。那么根据我们的学习，这个销售量的变化率应该指的是什么？是平均变化率还是瞬时变化率？顺序变化率？瞬时变化率也就是我们的导数，除了导数，也就是说求的是第三个月末的导数，没有导第三个月的导数。就求的相当于把我们导数定义式中的X0要换成三是吧？换成3，那么这个里面我们的因变量是适当这个变量这地方我们的F要变成Q自变量X要变成，所以这边X要变成T德耳塔X要变成德耳塔T德耳塔T所以我们这地方我们简单来看一下。我们的函数解析式QT等于10，T减去T平方，然后计算的是第三个月的就T等于30的啥瞬时变化率。根据导数的定义式就求的是Q撇减3，Q撇3就是对。第三法。T分之QQ66663点。3加2减加德尔塔T减去Q63，然后对它取极限对吧？这是平均变化率，然后对它取极限让德耳塔T趋于0，然后我们带进去简单算一下。阿尔法T那么QT等于10T减T平方。现在我们要算的是3加德尔塔T数的函数值，那就把这个T都换成3加德尔塔T也就10乘以3加德尔塔T然后减去3加德尔塔T的平方，然后再减去这是我们的Q3加德耳塔Q3就是把T都换成30乘以3再减3的平方，所以这个地方我们编号的话就一步完成，是吧？这地方要变成正好的，这个要变成正好，然后继续我们往下算一算，然后它继续0欧米伽德尔塔T这个地方10乘以3有个30，这个地方有个减去10乘以3，所以这两个就抵消了，抵消了，不是约的抵消了。然后我们这边有个十倍的德耳塔T是吧？对，十倍德耳塔T这个地方是3。这个完全平和展开以后有个三的平方，负三的平方对吧？对，负三的平方加3的平方这两部分就抵消掉了，抵消掉了。然后这个地方还有个六倍的2AB就是六倍的德耳塔T前面是负号就减去六倍的德耳塔T是吧？对，那么前面是十倍的德耳塔T10倍的德耳耳塔T减去六倍的德耳耳塔T等于0。那个阿尔法T阿尔法T然后这个地方还有一个平方项，阿尔法T的平方，那么括号去掉以后，它就变成负的是吧？负的，所以它减去德耳塔T的平方，然后我们对它进行进一步的化简。那么这边我们约分约掉就变成了4，这边约掉就变成了德尔塔T那么中间减号减号，然后让德尔塔T趋于0，让它等于0，那么4减0等于，所以我们算出来我们的这个第三个月末的销量变化率是多少四是吧？四就是我们严格按照我们的这个定义式去做。那么在以后的学习中以后的学习中，我们的导数的定义是这个计算的时候，在具体题目中可以分成两步去做。因为我们知道导数是瞬时变平均变化率的什么极限，对吧？所以我们可以先算德耳塔Y比德耳塔X先算这个平均变化率，算完以后再让德耳塔X趋于0，再算瞬时变化率，再算瞬时变化率。好，接下来我们做练习，练习这有两道题，我们找两位同学上后面做，然后其他同学都在下面做，一组以组为单位，然后我们这个。第一道题，FX等于X求X等于一处的导数，流利吐槽而已。第二道题，物体运动位移和时间T之间的关系设计出来，然后求T等于1秒时的瞬时速度。阿克比，其他同学在下面坐，组内可以。就是。在去年的七月、三月。民事诉讼时效。具体情况。好，我们时间差不多了，差不多，我们下边同学也算都都算的差不多了。然后我们黑板上两位同学都都做完了，做完了我们一起来看一下他做的这个第一道题，由你符合阿姨做函数FX等于X求这个函数在X等于一处导数对吧？对，所以求的是F撇一。那它这个地方它是不是缺个符号？对，撇撇撇什么撇撇对吧？所以地方有一个撇，这个很重要的。撇就是我们那个符号里面导出的意思。明显的话它就指的是函数FX在一处的函数值是吧？对它等于德耳塔X趋于0，对这个求求极限，delta x趋于零的极限，一加德尔塔T这个地方有没有问题？大家看一下，看一看德耳塔T德耳塔S哪个没有问题，放点塔什么应该怎么改？把德耳塔T德尔要放出德耳塔X是吧？对，一加德尔塔X因为它的自变量是X是吧？你要保持对应的，那么就分不上德耳塔T变吗？我比你阿尔法。T阿尔法变成尔。X然后说下面这个都要改了是吧？对，都要改。这都是德耳塔X改过来。然后我们这个抵消一和一抵消掉，然后这个约塔等于一。那么你对一个常数取极限相当于对它没有影响对吧？因为是常函数常函数，所以它它就等于一，这样的话就对了。所以这个里面还需要注意一点，就是说这个写的时候，我们的导数的定位是一定要记清楚，记清楚这个符号要注意一下对应的题目中符号可能需要变一变因变量和自变量。这是第一个同学做的。再看第二个同学，我们的阿克比比，阿克比做的第二个就是我们这个T求的是T等于1秒时的瞬时速度，对吧？对，它的函数解析式是2T平方，2T平方加1，对吧？20平方加1，我们先他先算的是这个叫啥？这个先算的是德尔塔S比德尔塔T这个我们叫什么？刚才学学过德尔塔该比德尔塔S变化率是吧？平均变化率。那么一加德尔塔T我们的函数解析式是S等于2T平方加一的对吧？对，那么这个地方它这个地方有个问题，你看一下，大家看一下，他写的是一加德尔塔T. 减去S2 2乘2乘以. 那应该怎么改？S的地方是。S前面。加S前面加S是吧？前面加S然后减去S11，这个也要写写清楚一点，S一然后再除以2，然后把它带进去，带进去以后有没有问题？看一下这一部分，2乘以括号一加德尔塔T这个减号，减号往后挪一挪，然后这个地方有没有平方，有有吗？那原式中这个地方是有平方的对吧，所以这个地方漏了一个二，然后再减去。这地方。这地方不对了，对吧？这地方应该改成怎么改？一多了一个。对，然后后面应该是几加加多少加一对吧？加一块的话就往前挪都是一样的，然后再减去S1，S一我就把T都换成5，那就是2加1是吧？那直接变好了，就直接减去2，再减去一除以阿尔法T然后把这个展开，这个是二加上四倍的阿尔法T对吧？这个是这个平方的积，乘起来是2，然后这个地方是有个二倍德耳塔T乘起来是四倍德尔塔T然后这个地方又变成了减去二倍之二的T平方。对了吗？这个应该是加。对吧？面对这是加号，展开一会儿，正的二倍的它，然后再加上这个一减去2，减去1，然后除以二的T然后这个地方他省了一点，没关系，然后这个22和2抵消掉，一和一抵消掉，那剩下就是四倍的德耳塔T加上德尔塔T的平方，再除以德尔塔T那个约掉以后就是4加。对，4加倍的是吧，二倍的阿尔法T然后这是第一步，他算的是我们的平均变化率。第二步他算的是啥顺序的话，这是一个导数。那么导数这个地方一定要注意，这个地方又又缺了一个啥S撇一求的是这个函数ST在T等于一时的瞬时速度导数？对方还缺了个啥？等号让德耳塔T趋于0，对它求极限，而我们刚才对平均变化率求出来是4加2倍的德尔塔T所以这地方是有省略的。那么带进去0乘2加4等于几四是吧？4加2倍阿尔法T那这个关系是对的，然后等于4米每秒，等于4米每秒，所以这个T等于1秒时的瞬时速度，等于几？等于。4米每秒秒。4米每秒，这个就是我们的这个练习练习。然后我们接下来对我们特别愤怒做一个总结。问题，我们来找一位同学来说一下，我们这节课主要学习哪些东西哪些东西？古二丫铁，你想到啥就是啥，可以用自己的话来去做。导数的概念。导数的概念？我们导数概念还记不记得是怎样去描述的，能不能简单的用自己的话说说几句。对瞬时变化率就。是从平均变化率到瞬时变化率，就是对平均变化率我们取什么可以取。它就可以。变成瞬时变化率，所以平均变化率取。是不是应该对平均变化率去体现，对吧？平对平均变化率取极限，它就是瞬时变化率，瞬时变化率就是我们的导数是吧？好，第一个你说的是对的，就是说我们第一个学的主要的东西是啥？导数的概念导数。的概念导数概念定义是和导这个导数概念，文课本上的文字叙述是比较严谨的，但是这个导导数定义式相对可可能可能好记一点，可能好记一点。好做，我们再找一个同学来说一下，你从这节课里面还学到了啥？过儿童的。导出就是导出的。概念是吧，还是还有没有？瞬时变化率，导数也就称为瞬时变化率是吧？还有没有？平均变化率平均变化率因为我们的导数就是瞬时变化率，它是平均变化率的极限。所以我们在学习的时候，我们在反复的复习之前学过的平均变化率？平均变化率我们就是用平均变化率去定义，结合极限极限去定义瞬时变化率。好做我们这节课，刚才两位同学也说了，主要学了两个东西。第一个就是导数的概念，导数的概念我们这个定式定式一定要要要把它要记清楚。文字叙述中特别重要的一点就是说我们的导数并不是所有的函数在某个点处都存在导数。什么情况下它存在导数？我们课本上说的是什么？德耳塔Y比德耳塔X有极限，对吧？展开来说就是说当德耳塔X无限趋近于零的时候，我们的平均变化率德耳塔Y比德耳塔X从左右两侧都同时趋近于同一个数，对吧？这个时候我们说这个函数是有导数的，在这点这点附近是有导数的。第二个就是平我们平均变化率到瞬时变化率的一个推导对吧？推导要计算瞬时变化率，其实首先要先计算什么平均变化率。变化率对平均变化率取极限就变成了我们的。顺瞬时变化率。瞬时变化率瞬时变化率。然后这是我们这节课和课后的一个作业一个作业一个作业。然后我们现在还有时间，我们就先把它来做一做，先做一做，然后我们就先做第一题，做第一题我们找一个同学来上来把这个第一题做一做。根据导数的定义，其他同学都在下面自己做自己做。夏美丽，夏米丽，你把这道题用我们的导数的定义来做一做。做的时候紧扣我们的导数的定义是。其他同学在下面自己做一下。自己做的。这个题你说的是一个20分，这个二次元的时候X平方是减1，然后求的是在X等于一处的导X等于二处的导数。那么这个根据导数的定义，它应该指的是多少和在导数证明它应该指的是多少。确实是全属于技术的。事情都。点是不一样的，尤其是四个地点是。替换过来是很简单的。像这个函数没事。然后SQ技术。系统的IX技术。这应该是。后来他走去了。前面这一步，然后预算这个工作。是就直接说是H。那你的FX。X平方减1。现在F2加的S2加的估计又被。可以长一些电，二站的。拨号的平方减一就。缺平方去，每平方米几，最上面是，然后同样的这个就重重写了，并没有，因为这两个是一样的。过程他申请。这个平方等于计算，至少对比这一部分计算过程中有些东西。你把这个2。在我们这个下面地坡的中间，有有些地方它脑还存在一点问题，你再找个同学把他帮帮一帮他一下就可以。你给他帮助下来，他在他就在他的一个基础上去改，你看哪些你可以用的，你就直接留下来。我们的这种导数的计算，函数在某一点处的导数的计算需要回归导数定义导数定义导数的定义是，所以你多看一看我们的导数定义是。可以分成两部分去做，也可以，也直接用钉钉手机。对应的这个电量该换的要换。你比如说这个里面我们我们的一个音变量是YT是Y是吧？自变量是T因变量是Y所以说对应的这个字母的定义词中，该换地方还是要换一。除以7等于7平方加6的是吧，就是。这是要这样。好，我们就按一下这个过程，我们简单看一下，你看它这个地方算的是FP2对吧？同时在TX等于2处的导数，根据导数定义式列下来，然后算下来这个横线画长一点，然后这样算下来等于四是吧？等于4，这个地方照顾好啊，照顾好颜色。对的。好，我们这节课的学习到这里下课。 学习目标 ◎能够从具体实例中抽象出导数的定义，理解导数是函数在某点处瞬时变化率的数学表达（数学抽象） ◎理解从平均变化率到瞬时变化率的过渡过程，并掌握导数定义的推导（逻辑推理） ◎能够用导数的定义准确地求出简单函数在某点处的导数（数学运算） 学习重难点   ◎导数的概念（重点）   ◎从平均变化率到瞬时变化率的过渡（难点） 问题1 高台跳水运动员的速度 平均速度 瞬时速度 问题2 抛物线的切线斜率 割线斜率 切线斜率 ——平均变化率 ——瞬时变化率 ——平均变化率 ——瞬时变化率 （一）复习导入 问题1 解决这两类问题有什么共性？ 都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法。 （一）复习导入 （一）复习导入 （一）复习导入 问题1 高台跳水运动员的速度 平均速度 瞬时速度 问题2 抛物线的切线斜率 割线斜率 切线斜率 ——平均变化率 ——瞬时变化率 ——平均变化率 ——瞬时变化率 （一）复习导入 （一）复习导入 （一）复习导入 问题1 高台跳水运动员的速度 平均速度 瞬时速度 问题2 抛物线的切线斜率 割线斜率 切线斜率 ——平均变化率 ——瞬时变化率 ——平均变化率 ——瞬时变化率 （一）复习导入 （一）复习导入 瞬时速度 ——瞬时变化率 问题1 高台跳水运动员的速度 （一）复习导入 问题2 抛物线的切线斜率 切线斜率 ——瞬时变化率 （一）复习导入 （一）复习导入 追问4 （一）复习导入 举反例 （一）复习导入 （二）新课讲授 ★导数: 导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达。 （二）新课讲授 问题3 根据导数的定义，你能用导数来重述跳水运动员速度问题和抛物线切线问题的结论吗？ （二）新课讲授 问题1 高台跳水运动员的速度 平均速度 瞬时速度 问题2 抛物线的切线斜率 割线斜率 切线斜率 ——平均变化率 ——瞬时变化率 ——平均变化率 ——瞬时变化率 （二）新课讲授 （三）例题精讲 （四）课堂练习 （五）课堂小结 （1）导数的概念。 （2）平均变化率到瞬时变化率的过渡。   （六）作业布置 谢 谢！ （六）作业布置 $ 5.1.2 导数的概念及其几何意义教案设计 教师姓名 赵永良 学校名称 塔什库尔干塔吉克自治县深塔中学 学 科 数学 年 级 高二 教材版本 人教新课标A版（2019） 课题名称 5.1.2 导数的概念及其几何意义 课 时 1 教学内容 导数的概念； 从平均变化率到瞬时变化率的过渡。 教材分析 人教A版2019将“导数的概念及其几何意义”整合为选择性必修二5.1.2，以“高台跳水瞬时速度”与“抛物线切线斜率”抛物线双线并行，从平均变化率逼近瞬时变化率，从而导出导数定义，凸显概念建构过程，为后续运算及应用奠定了基础。 教学目标 数学抽象：能够从具体实例中抽象出导数的定义，理解导数是函数在某点处瞬时变化率的数学表达。 逻辑推理：理解从平均变化率到瞬时变化率的过渡过程，并掌握导数定义的推导。 数学运算：能够运用导数的定义准确地求出简单函数在某点处的导数。 教学重难点 教学重点：导数的概念。   教学难点：从平均变化率到瞬时变化率的过渡。 教学素材 “高台跳水瞬时速度”与“抛物线切线斜率”的例子 教学过程 过程设计 教育数字化应用 （一）复习导入 问题1 解决这两类问题有什么共性？ 都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法。 问题2 一般地，对于函数 ，你能用“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法研究其在某点（如 ）处的瞬时变化率吗？ ( 追问1 为了研究函数 在 处的瞬时变化率，我们可以研究哪个范 围内函数值的平均变化率呢？ ) ( 追问2 自变量x从x 0 变化到 这个过程中，函数值的平均变化率如何表 示呢？ ) ( 追问3 函数 处的瞬时变化率该如何表示呢？ ) 追问4 反例： （二）新课讲授 导数的定义： 导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达。 ( 问题3 根据导数的定义，你能用导数来重述跳水运动员速度问题和抛物线切 线问题的结论吗？ ) （三）例题精讲 （四）课堂练习 （五）课堂小结 （1） 导数的概念。 （2）平均变化率到瞬时变化率的过渡。   （六）作业布置 （七）板书设计 1.教案设计过程中，设计思路参考了deepseek、腾讯元宝等AI工具。 2.“班班通+PPT” 教学反思 本课以跳水和切线双情境串连，学生成功经历“平均→瞬时”抽象，目标达成。但“Δx→0极限必存在”追问仅半数回应，反例|x|口述单薄，几何直观缺位，可导条件未深化。后续用GeoGebra动态放大尖角与光滑点，对比割线摇摆与稳定，辅以“局部像直线”比喻，固化极限存在感知。 学科网（北京）股份有限公司 $ 教学反思 一、教学亮点 1. 情境双线贯穿有效 “高台跳水+抛物线切线”两个生活化例子首尾呼应，学生整节课都在用同一句话“平均速度→瞬时速度”回答问题，成功把“平均变化率逼近瞬时变化率”的思想烙进脑海。 2. 板书逻辑清晰 导数定义作为最重要的一个概念，在班班通第二版展示。例题由教师亲自板演。左右两版作为学生练习之用。 3. 参与度较高 大部分同学都能参与到课堂学习中来，导学案在学生学习中起到较大的辅助作用。 二、存在的不足 1.几何直观“看不见” 只有静态 PPT 插图，没有动态演示或实物操作，学生对“割线摇摆”无感，对“不可导”反例 |x| 仅停留在教师口头描述，半数人把“Δx 很小”直接当成“极限存在”。 2.评价方式单一 整节课只有口头追问和纸笔小测，缺少小组互评或即时反馈，教师无法精准知道“谁还不会”。 3.反例资源单薄 只提到 |x|，未出现 x^(1/3)、尖点、垂直切线等更多不可导类型，学生容易形成“只有绝对值不可导”的片面印象。 学科网（北京）股份有限公司 $