1.1.1空间向量及其线性运算（5知识点+5题型）讲义-2025-2026学年高二上学期数学同步讲练（人教A版选择性必修第一册）

1.1.1 空间向量及其线性运算 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 空间向量的有关概念 1.在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. 空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作其模记为|a|或||. 2.几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为-a 共线(平 行)向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 注意点： (1)平面向量是一种特殊的空间向量. (2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同. (3)空间向量不能比较大小. (4)已知向量a，b，c，其中b≠0，若a∥b，b∥c，则a∥c. 知识点2 空间向量的加减运算 空间向量的加法、减法运算及运算律 加法 运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行 四边形 法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法 运算 几何 意义 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 运算律 交换律 a+b=b+a 结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 注意点： (1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，必须共起点. (2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即+++…+. (3)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即+++…+=0. (4)一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量. 知识点3 空间向量的数乘运算 空间向量的数乘运算及运算律 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 (a≠0) λ>0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ<0 λa与向量a的方向相反 λ=0 λa=0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)=(λμ)a 分配律 (λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb 注意点： (1)当λ=0或a=0时，λa=0，反之，当λa=0时，λ=0或a=0. (2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度. (3)向量λa与向量a一定是共线向量. 知识点4 空间向量共线的充要条件 1.对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb. 2.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得=λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示. 注意点： (1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定. (2)非零向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同一条直线上. 知识点5 空间向量共面的充要条件 1.向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. 2.共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p=xa+yb 注意点：共面向量中，向量a，b不共线. 思路方法总结 1.向量共线的判定及应用 (1)判定或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a=λb成立. (2)判定或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法： ①=λ(λ∈R)； ②对空间任一点O+λ(λ∈R)； ③对空间任一点O=x+y(x+y=1). 2.向量共面的判定及应用 (1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下几个条件进行证明. ①=x+y； ②对于空间任意一点O=x+y+z(x+y+z=1). (2)若已知点P在平面ABC内，则有=x+y或=x+y+z(x+y+z=1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数. 典例·举一反三 题型一 空间向量概念的理解 1．下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．若向量，平行，则，所在直线平行 B．若，则，的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 2．给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量满足，则； ③在正方体中，必有 ； ④若空间向量 满足，，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．空间向量就是空间中的一条有向线段 C．若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 题型二 向量的加减法运算 5．在平行六面体中，若，则（    ） A． B． C． D． 6．设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且,则四边形ABCD是(　　) A．空间四边形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．矩形 7．在棱长为1的正方体中，（    ） A．1 B． C． D．2 8．在正方体中，下列选项中化简后为零向量的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，E，F分别是长方体ABCD-A′B′C′D′的棱AB，CD的中点，化简下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三 数乘的理解与运算 10．如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 11．如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 12．如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台，若，点在上，且，则（    ）      A． B． C． D． 13．已知为空间四面体，为底面上一点，且满足，则以下等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 14．在正四面体中，过点A作平面的垂线，垂足为H点，点M满足，则（    ）． A． B． C． D． 15．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，点是边上一点,且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 16．如图所示，在平行六面体中，设分别是的中点，试用表示以下各向量： (1)； (2)； (3) 17．如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝，＝，＝，E，F分别是PC和PB的中点，试用表示，，，. 题型四 向量共线共面问题 18．在下列命题中： ①若、共线，则、所在的直线平行； ②若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面； ③若、、三个向量两两共面，则、、三个向量一定也共面； ④已知三个向量、、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为． 其中正确命题的个数为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 19．下列命题中正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．是共线的充要条件 C．若共线，则 D．对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中，且），则P，，，四点共面 20．下列命题中是假命题的为（    ） A．若向量，则与，共面 B．若与，共面，则 C．若，则四点共面 D．若四点共面，则 21．已知不共线向量，，，，，，则一定共线的三个点是（    ） A． B． C． D． 22．设，是两个不共线的平面向量，若，，，且三点共线，则实数的值为 ． 23．如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    24．如图，已知分别为四面体的面与面的重心，为上一点，且.设.    (1)请用表示； (2)求证：三点共线. 25．在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（    ） A． B． C． D． 26．已知在正方体中，，为空间任意两点，如果，那么点必（ ） A．在平面内 B．在平面内 C．在平面内 D．在平面内 27．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（x，y，），则“，，”是“P，A，B，C四点共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 28．如图所示，若为所在平面外一点，为上的点，且，点在上，且，若，，，四点共面，求的值为（    ） A． B． C． D． 29．在平行六面体中，若，则 . 30．已知，是同一平面内一组不共线的向量，对于平面内任意向量，有且只有一对实数x，y使，且当P，A，B共线时，有．同样，在空间中若三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的一组实数组，使得，且当P，A，B，C共面时，有．如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点、PC与平面ABE交于F点，设，则 ； ． 31．图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图形，将其沿折起使得与重合，如图②，其中分别为的中点． (1)用表示； (2)证明：四点共面． 题型五 向量法解决平行问题 32．如图所示，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，，，分别是棱，，的中点． 求证：（1）直线平面； （2）平面平面． 33．如图，在多面体中，四边形是正方形，∥，，，，，为的中点．    （1）求证：∥平面； （2）求证：平面； （3）求二面角的大小． 34．已知分别是空间四边形的边的中点.    (1)用向量法证明四点共面； (2)用向量法证明：平面； (3)设是和的交点，求证：对空间任一点，有 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.1 空间向量及其线性运算 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 空间向量的有关概念 1.在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. 空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作其模记为|a|或||. 2.几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为-a 共线(平 行)向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 注意点： (1)平面向量是一种特殊的空间向量. (2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同. (3)空间向量不能比较大小. (4)已知向量a，b，c，其中b≠0，若a∥b，b∥c，则a∥c. 知识点2 空间向量的加减运算 空间向量的加法、减法运算及运算律 加法 运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行 四边形 法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法 运算 几何 意义 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 运算律 交换律 a+b=b+a 结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 注意点： (1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，必须共起点. (2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即+++…+. (3)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即+++…+=0. (4)一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量. 知识点3 空间向量的数乘运算 空间向量的数乘运算及运算律 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 (a≠0) λ>0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ<0 λa与向量a的方向相反 λ=0 λa=0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)=(λμ)a 分配律 (λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb 注意点： (1)当λ=0或a=0时，λa=0，反之，当λa=0时，λ=0或a=0. (2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度. (3)向量λa与向量a一定是共线向量. 知识点4 空间向量共线的充要条件 1.对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb. 2.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得=λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示. 注意点： (1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定. (2)非零向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同一条直线上. 知识点5 空间向量共面的充要条件 1.向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. 2.共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p=xa+yb 注意点：共面向量中，向量a，b不共线. 思路方法总结 1.向量共线的判定及应用 (1)判定或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a=λb成立. (2)判定或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法： ①=λ(λ∈R)； ②对空间任一点O+λ(λ∈R)； ③对空间任一点O=x+y(x+y=1). 2.向量共面的判定及应用 (1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下几个条件进行证明. ①=x+y； ②对于空间任意一点O=x+y+z(x+y+z=1). (2)若已知点P在平面ABC内，则有=x+y或=x+y+z(x+y+z=1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数. 典例·举一反三 题型一 空间向量概念的理解 1．下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．若向量，平行，则，所在直线平行 B．若，则，的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 2．给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量满足，则； ③在正方体中，必有 ； ④若空间向量 满足，，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．空间向量就是空间中的一条有向线段 C．若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 题型二 向量的加减法运算 5．在平行六面体中，若，则（    ） A． B． C． D． 6．设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且,则四边形ABCD是(　　) A．空间四边形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．矩形 7．在棱长为1的正方体中，（    ） A．1 B． C． D．2 8．在正方体中，下列选项中化简后为零向量的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，E，F分别是长方体ABCD-A′B′C′D′的棱AB，CD的中点，化简下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三 数乘的理解与运算 10．如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 11．如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 12．如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台，若，点在上，且，则（    ）      A． B． C． D． 13．已知为空间四面体，为底面上一点，且满足，则以下等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 14．在正四面体中，过点A作平面的垂线，垂足为H点，点M满足，则（    ）． A． B． C． D． 15．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，点是边上一点,且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 16．如图所示，在平行六面体中，设分别是的中点，试用表示以下各向量： (1)； (2)； (3) 17．如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝，＝，＝，E，F分别是PC和PB的中点，试用表示，，，. 题型四 向量共线共面问题 18．在下列命题中： ①若、共线，则、所在的直线平行； ②若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面； ③若、、三个向量两两共面，则、、三个向量一定也共面； ④已知三个向量、、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为． 其中正确命题的个数为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 19．下列命题中正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．是共线的充要条件 C．若共线，则 D．对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中，且），则P，，，四点共面 20．下列命题中是假命题的为（    ） A．若向量，则与，共面 B．若与，共面，则 C．若，则四点共面 D．若四点共面，则 21．已知不共线向量，，，，，，则一定共线的三个点是（    ） A． B． C． D． 22．设，是两个不共线的平面向量，若，，，且三点共线，则实数的值为 ． 23．如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    24．如图，已知分别为四面体的面与面的重心，为上一点，且.设.    (1)请用表示； (2)求证：三点共线. 25．在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（    ） A． B． C． D． 26．已知在正方体中，，为空间任意两点，如果，那么点必（ ） A．在平面内 B．在平面内 C．在平面内 D．在平面内 27．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（x，y，），则“，，”是“P，A，B，C四点共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 28．如图所示，若为所在平面外一点，为上的点，且，点在上，且，若，，，四点共面，求的值为（    ） A． B． C． D． 29．在平行六面体中，若，则 . 30．已知，是同一平面内一组不共线的向量，对于平面内任意向量，有且只有一对实数x，y使，且当P，A，B共线时，有．同样，在空间中若三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的一组实数组，使得，且当P，A，B，C共面时，有．如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点、PC与平面ABE交于F点，设，则 ； ． 31．图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图形，将其沿折起使得与重合，如图②，其中分别为的中点． (1)用表示； (2)证明：四点共面． 题型五 向量法解决平行问题 32．如图所示，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，，，分别是棱，，的中点． 求证：（1）直线平面； （2）平面平面． 33．如图，在多面体中，四边形是正方形，∥，，，，，为的中点．    （1）求证：∥平面； （2）求证：平面； （3）求二面角的大小． 34．已知分别是空间四边形的边的中点.    (1)用向量法证明四点共面； (2)用向量法证明：平面； (3)设是和的交点，求证：对空间任一点，有 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 题型一 空间向量概念的理解 1．下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．若向量，平行，则，所在直线平行 B．若，则，的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【分析】根据平行向量、相等向量的概念，以及向量的性质，即可判断各项的正误. 【详解】A中，对于非零向量，平行，则，所在的直线平行或重合； B中，只能说明，的长度相等而方向不确定； C中，向量作为矢量不能比较大小； D中，由相等向量的定义知：方向必相同； 故选：D. 2．给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可. 【详解】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题； 对于②，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为真命题； 对于④，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故④为假命题. 故选：B 3．给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量满足，则； ③在正方体中，必有 ； ④若空间向量 满足，，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可. 【详解】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题； 对于②，向量相等即模相等和方向相同，故②为假命题； 对于③，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，，故③为真命题； 对于④，根据向量相等的定义，明显成立，故④为真命题. 对于⑤，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故⑤为假命题 故选：C 4．下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．空间向量就是空间中的一条有向线段 C．若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】A 【分析】利用空间向量的有关概念逐项判断. 【详解】A. 向量与是相反向量由相反向量的定义知，向量与的长度，故正确； B. 空间向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段表示，但不是有向线段，故错误； C. 若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，故错误； D.互为相反向量的两个向量不相等，但两个空间向量的模相等，故错误； 故选：A 题型二 向量的加减法运算 5．在平行六面体中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量基本定理可得答案． 【详解】. 故选：B. 6．设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且,则四边形ABCD是(　　) A．空间四边形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．矩形 【答案】B 【分析】由题意，化简可得，利用向量相等证明四边形为平行四边形. 【详解】由已知得,即是相等向量,因此的模相等,方向相同, 即四边形ABCD是平行四边形.故选B. 【点睛】本题主要考查了向量的加法，向量相等的意义，属于中档题. 7．在棱长为1的正方体中，（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算得，即可得结果． 【详解】． 故选：B． 8．在正方体中，下列选项中化简后为零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算结合正方体的结构特征逐一判断即可. 【详解】解：对于A，， 对于B，， 对于C，， 对于D，. 故选：A. 9．如图，E，F分别是长方体ABCD-A′B′C′D′的棱AB，CD的中点，化简下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据空间向量线性运算的性质逐一判断即可. 【详解】A：，因此本选项正确； B：，因此本选项正确； C：，因此本选项不正确； D：，因此本选项不正确， 故选：AB 题型三 数乘的理解与运算 10．如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的数乘及加、减运算求解即可. 【详解】解：由题意可得： . 故选：A. 11．如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算即可求解； 【详解】=. 故选：C. 12．如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台，若，点在上，且，则（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的基本定理可求解. 【详解】因为:， 所以：.又因为：， 所以：， 所以：. 故C项正确. 故选：C. 13．已知为空间四面体，为底面上一点，且满足，则以下等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，结合向量的减法可得出、、关于、的表达式，由此可得出的值. 【详解】因为平面，设， 则， 所以，， 则，，，因此，. 故选：B. 14．在正四面体中，过点A作平面的垂线，垂足为H点，点M满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解. 【详解】在正四面体中， 因为平面，所以是的中心，连接， 则， 所以 . 故选：B. 15．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，点是边上一点,且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量基本定理将用，和表示出来，对照各项系数计算即得. 【详解】∵，∴， ∴ ， 则，，，故． 故选:A. 16．如图所示，在平行六面体中，设分别是的中点，试用表示以下各向量： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由是的中点，得，再根据空间向量的线性运算结合基底向量求解即可. （2）由为的中点，得，再根据空间向量的线性运算结合基底向量求解即可. （3）由为的中点，得，再根据空间向量的线性运算结合基底向量分别出和求解即可. 【详解】（1）因为是的中点，， 所以. （2）因为为的中点，， 所以. （3）因为为的中点，， 所以， ， 所以. 17．如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝，＝，＝，E，F分别是PC和PB的中点，试用表示，，，. 【答案】； ； ＝；＝. 【分析】运用空间向量的坐标表示即平面向量定理计算即可得出答案. 【详解】连接BO， 则＝＝(＋)＝(＋＋)＝＝； ＝＋＝＋＝＋(＋)＝； ＝＋＝＋＋(＋)＝； ＝＝＝. 题型四 向量共线共面问题 18．在下列命题中： ①若、共线，则、所在的直线平行； ②若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面； ③若、、三个向量两两共面，则、、三个向量一定也共面； ④已知三个向量、、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为． 其中正确命题的个数为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据空间向量共线，共面的性质及定理逐一分析每个选项. 【详解】对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行，也可能重合，故①错误； 对于②，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故②错误； 对于③，任意两个向量两两都共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系中分别在轴上的向量两两共面，但是显然轴不共面，三个向量也不共面，故③错误； 对于④，若， 则成立，此时； 又还可以写成的形式，此时， 即表示形式并不唯一； 若，当不与向量共线时，不存在使，故④错误. 综上可知，四个命题都不正确. 故选：A. 19．下列命题中正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．是共线的充要条件 C．若共线，则 D．对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中，且），则P，，，四点共面 【答案】AD 【分析】由空间向量的概念与运算对选项逐一判断． 【详解】对于A，，故A正确， 对于B，当同向时，，当反向时，，故B错误， 对于C，若共线，则或四点共线，故C错误， 对于D，由空间向量基本定理得若， 则，化简得， 故P，，，四点共面，故D正确， 故选：AD 20．下列命题中是假命题的为（    ） A．若向量，则与，共面 B．若与，共面，则 C．若，则四点共面 D．若四点共面，则 【答案】BD 【分析】由平面向量基本定理对四个选项逐一判断即可. 【详解】对于A：由平面向量基本定理得与，共面，A是真命题； 对于B：若，共线，不共线时，不能用，表示出来，B是假命题； 对于C：若，则三个向量共面， 又点为三个向量的公共起点，所以四点共面，C是真命题； 对于D：若共线，点不在此直线上， 则不成立，D是假命题. 故选：BD. 21．已知不共线向量，，，，，，则一定共线的三个点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量共线定理分别判断，，，四组向量是否共线，即可得解. 【详解】若，则存在唯一实数使得， 即， 所以，无解， 所以不共线，则三点不共线， 若，则存在唯一实数使得， 即， 所以，无解， 所以不共线，则三点不共线， ， 若，则存在唯一实数使得， 即， 所以，无解， 所以不共线，则三点不共线， ， 所以， 又点为两向量的公共端点，所以三点共线. 故选：D. 22．设，是两个不共线的平面向量，若，，，且三点共线，则实数的值为 ． 【答案】4或 【分析】根据条件可求出，并且，根据三点共线可得出与共线，从而存在实数使，这样便可得出，解出的值即可. 【详解】由，， 所以 因为， 所以与共线， 所以存在实数使， 即 又，是两个不共线的平面向量， 所以解得或 故答案为：4或 【点睛】本题主要考查三点共线求参数值，三点共线转化两向量共线，利用向量的共线定理求解，属于基础题. 23．如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    【答案】证明见解析 【分析】把用基底表示后证明它们共线，再由共顶点可得三点共线． 【详解】连接，， ∵ ， ， ∴，∴， 又，∴，，三点共线．    24．如图，已知分别为四面体的面与面的重心，为上一点，且.设.    (1)请用表示； (2)求证：三点共线. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解， （2）根据空间向量的线性运算用基底表示，即可根据向量共线证明. 【详解】（1）． （2）； 则， 又有公共起点，，，三点共线．    25．在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共面向量基本定理及其推论判断即可. 【详解】A选项：，所以A错； B选项：，所以B错； C选项：原式可整理为，所以C正确； D选项：原式可整理为，，故D错. 故选：C. 26．已知在正方体中，，为空间任意两点，如果，那么点必（ ） A．在平面内 B．在平面内 C．在平面内 D．在平面内 【答案】C 【分析】根据空间向量运算得出即可判断. 【详解】因为 ， 所以，，，四点共面. 故选：C. 27．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（x，y，），则“，，”是“P，A，B，C四点共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用空间向量的共面定理进行推理可得结果. 【详解】当，，时， 即则有 又因为,所以， 根据共面向量定理可知，P，A，B，C四点共面； 反之，当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理， 设， 即, 即, 即，，， 因为，所以不止这一组， 故“，，”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件. 故选:A. 28．如图所示，若为所在平面外一点，为上的点，且，点在上，且，若，，，四点共面，求的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，，，四点共面，得即为与平面的交点，连接，交于点，连接，则即为与的交点，取的中点，连接，结合三角形的中位线定理及相似三角形，可得答案． 【详解】解：如图，若，，，四点共面， 则即为与平面的交点， 连接，交于点，连接， 则即为与的交点，如图所示： 在截面中，为的中点，为的四等分点，取的中点， 连接，则， 故， 即， 则． 故选：C． 29．在平行六面体中，若，则 . 【答案】 【分析】把用、和来表示出来，与题中给的式子比较系数就可以算出的值． 【详解】如下图所示，有.= 又因为,所以解得 所以=. 【点睛】本题是空间几何与空间向量结合的题目，要注意把其中关系找出来． 30．已知，是同一平面内一组不共线的向量，对于平面内任意向量，有且只有一对实数x，y使，且当P，A，B共线时，有．同样，在空间中若三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的一组实数组，使得，且当P，A，B，C共面时，有．如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点、PC与平面ABE交于F点，设，则 ； ． 【答案】 2． 【分析】设，以为基底表示，由共面，求出，可得的值和，可求. 【详解】， 设， 由共面，有，解得，故. 又，有， 则. 故答案为：；2． 31．图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图形，将其沿折起使得与重合，如图②，其中分别为的中点． (1)用表示； (2)证明：四点共面． 【答案】(1)，． (2)证明见解析 【分析】（1）根据空间向量的基本运算求解即可； （2）根据空间向量的基本运算，证明即可. 【详解】（1）因为分别为的中点， 所以，． （2）因为， ， 所以，故四点共面． 题型五 向量法解决平行问题 32．如图所示，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，，，分别是棱，，的中点． 求证：（1）直线平面； （2）平面平面． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】取的中点，连接，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， （1）求出向量和平面的一个法向量为，利用向量法进行证明； （2）设平面的法向量为，利用向量法证明平面平面． 【详解】（1）因为，，是棱的中点，所以，则为正三角形． 因为底面为等腰梯形，所以． 取的中点，连接，则，所以． 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则， 令，可得平面的一个法向量为， 则，所以． 又直线平面，所以直线平面． （2）因为，，， 所以，． 设平面的法向量为， 则， 令，可得平面的一个法向量为． 由（1）知，所以，即，所以平面平面． 33．如图，在多面体中，四边形是正方形，∥，，，，，为的中点．    （1）求证：∥平面； （2）求证：平面； （3）求二面角的大小． 【答案】（1）见解析; （2）见解析; （3） 【详解】（1）设与交于点，则为的中点， ，， 四边形为平行四边形，，而平面， 平面; （2）由四边形为正方形，有， 又，，而， 平面，， 又为的中点，， 平面，又， 又，平面;    （3），平面， 在平面内过点作交的延长线于， 则为二面角的一个平面角， 设，则，又， , ， 二面角为. 34．已知分别是空间四边形的边的中点.    (1)用向量法证明四点共面； (2)用向量法证明：平面； (3)设是和的交点，求证：对空间任一点，有. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）用向量的加法求出，即可证明四点共面； （2）用向量表示，就证明线线平行，进而由线面平行的判断即可求证. （3）根据线线平行证明四边形为平行四边形，利用向量的加法运算即可求解. 【详解】（1）连接，由于均为中点，所以, 则， 所以共面，进而可得：四点共面．    （2）因为． 所以，又平面，平面， 所以平面． （3）连接， ，，所以， ，故四边形为平行四边形， 所以交于点且被平分， 所以 ＝． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $