2.4.2 圆的一般方程同步作业-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.4.2 圆的一般方程 【基础巩固】 1．已知圆的一般方程为，则圆的圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 2．已知，，则以为直径的圆的一般方程为（ ） A． B． C． D． 3．“关于的方程：表示圆”是“”的（ ）条件 A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 4．由曲线围成的图形面积为（ ） A． B． C． D． 5．（多选）已知圆，，则（ ） A．当时，的面积是 B．实数的取值范围是 C．点在内 D．当的周长最大时，圆心坐标是 6．已知点在圆的外部，则的取值范围是__________． 7．已知圆的圆心在直线上，且圆过点、，若圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为___________________． 8．已知的三个顶点分别是． (1)求的外接圆（为圆心）的标准方程： (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【能力拓展】 9．已知圆，圆分别是圆、上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 10．（多选）经过，两点的曲线如图所示，关于曲线，下列说法正确的是（ ） A． B．曲线经过的整数点个数为个 C．的取值范围均为 D．若点在曲线上，则以为半径的圆的面积的最大值为 11．古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知为上一动点，则的最小值为__________． 【素养提升】 12．已知点是平面内不同的两点，若点满足(，且)，则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的—阿波罗尼斯圆.若点满足()，则点的轨迹是以为“稳点”的—卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，(）. (1)当，时，若点的轨迹是以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆，求点的轨迹方程； (2)在(1)的条件下，若点在以为“稳点”的—卡西尼卵形线上，求(为原点）的取值范围； (3)卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有个对称中心，若，，试判断是否存在实数，，使得以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称，若存在，求出实数，的值，若不存在，请说明理由. 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4.2 圆的一般方程 【基础巩固】 1．已知圆的一般方程为，则圆的圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 可知圆的圆心坐标为．故选：C 2．已知，，则以为直径的圆的一般方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，则的中点为，且， 所以为直径的圆的方程为，即， 故选：A. 3．“关于的方程：表示圆”是“”的（ ）条件 A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【解析】由题意有， 所以或，由于为或的真子集， 故方程表示圆是的必要不充分条件，故选：A. 4．由曲线围成的图形面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，曲线为， 当时，曲线为， 当时，曲线为， 当时，曲线为， 同时点均在曲线上，如下图示， 所以围成图形是个半径均为的半圆，与个边长为的正方形组成， 故图形面积为.故选：A 5．（多选）已知圆，，则（ ） A．当时，的面积是 B．实数的取值范围是 C．点在内 D．当的周长最大时，圆心坐标是 【答案】AB 【解析】对于A，由，则，整理可得， 所以此时方程表示以为圆心，以为半径的圆，其面积为，故A正确； 对于B，由，则， 可得，解得，故B正确； 对于C，由圆，则圆心，半径， 点到圆心的距离为， 当时，，此时点在圆外，故C错误； 对于D，当圆的周长最大时，半径取最大，即，，此时圆心，故D错误.故选：AB. 6．已知点在圆的外部，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】由圆，可得， 则，即，解得， 又由点在的外部， 可得，即，解得或， 综上可得，，即实数的取值范围为.故答案为：. 7．已知圆的圆心在直线上，且圆过点、，若圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为___________________． 【答案】 【解析】设圆的方程为， 已知圆的圆心在直线上，且圆过点、， 则，解得， 即圆的方程为， 所以，圆的标准方程为． 圆的圆心，半径， 设圆的圆心坐标为，因为圆与圆关于直线对称， 则有，解得，即． 所以，圆的标准方程为． 8．已知的三个顶点分别是． (1)求的外接圆（为圆心）的标准方程： (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】见解析 【解析】(1)设圆的方程为（其中） 因为三点都在圆上，可得 解得，满足， 所以所求圆的方程为，即 (2)设的坐标是，点的坐标是， 因为的坐标是，且， 所以，解得， 又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即， 代入得，整理得， 点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 【能力拓展】 9．已知圆，圆分别是圆、上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 作圆关于轴对称的圆，其圆心 因此， 当且仅当是线段与轴的交点时取等号， 所以的最小值为.故选：C 10．（多选）经过，两点的曲线如图所示，关于曲线，下列说法正确的是（ ） A． B．曲线经过的整数点个数为个 C．的取值范围均为 D．若点在曲线上，则以为半径的圆的面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】对于A，将与代入方程，可得，故A正确； 对于B，由A可知曲线，当时，，解得； 当时，，解得或或；同理可得当时，或或； 当，，时，，即， 由，则方程无解， 综上可得曲线经过的整数点有，，，，，， ，，共个，故B错误； 对于C，将曲线的方程等价转化为关于的一元二次方程， 则，解得， 同理可得，故C正确； 对于D，，当且仅当时，等号成立， 由，则，即的最大值为，所以圆的面积最大值为，故D正确.故选：ACD. 11．古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知为上一动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】令，则， 由题意可得圆是关于点的阿波罗尼斯圆，且， 设，则， 则， 整理得 又因为， 所以，解得，所以点的坐标为， 所以， 因此当点在同一条直线上时，取等号， 所以最小为. 故答案为：. 【素养提升】 12．已知点是平面内不同的两点，若点满足(，且)，则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的—阿波罗尼斯圆.若点满足()，则点的轨迹是以为“稳点”的—卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，(）. (1)当，时，若点的轨迹是以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆，求点的轨迹方程； (2)在(1)的条件下，若点在以为“稳点”的—卡西尼卵形线上，求(为原点）的取值范围； (3)卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有个对称中心，若，，试判断是否存在实数，，使得以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称，若存在，求出实数，的值，若不存在，请说明理由. 【答案】见解析 【解析】(1)由已知，且，设：，则：， ∴，整理得：， ∴点的轨迹方程为：. (2)由(1)知，，设，由， 得，所以， ，整理得，即， 所以，，由，得， 即的取值范围是. (3)若，则以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆的方程为， 整理得，该圆关于点对称. 由点，关于点对称及， 可得—卡西尼卵形线关于点对称， 令，解得，与矛盾， 所以不存在实数，，使得以为稳点的一阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称. 第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $