2.4圆的方程讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.4-2.5圆 思维导图 圆的定义及标准方程 圆的方程 待定系数法 二元二次方程表示的图形 几何法 圆的一般方程 圆过定点 点与圆 3种关系：点在圆内、圆上、圆外 3种关系：相交、相切、相离 圆及有关位置关系 直线与圆 相切：切线方程、切线长、切点弦 与圆有关的位置关系 相交：弦长问题、距离问题 5种关系：相离（外离、内含）、 相切（外切、内切）、 相交 圆与圆 两圆相切：公切线条数、公切线长度 两圆相交：公共弦的直线方程、长度 两点距一→连圆心 距离型 点线距→与切线有关 与圆有关的最值问题 斜率型 截距型 2.4圆的方程 第1页 知识梳理 一.圆的定义与方程 1、圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为A(a,b),半径为F,M(x,y)为圆上任意一点， ⊙A可用集合表示为：P={MIMA=r} 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 2、圆的2种方程及对应关系 圆方程 圆心、半径 对应关系 标准 (x-a)2+(y-b)2=r2 圆心为C(a,b),半径为r 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 半径r= Dg玩 D 2, ①当且仅当D+E2-4F>0时，方程表示圆，且圆心为 b=- E 2 一般 (95.半张为064 D2+E2-4F 方程 Y= 2 ②当D2+E2-4F=0时，方程只有实数解x=-D 2 所以它表示个点（号5： ®当D2+E2-4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何 图形. 3、求圆的方程的常用方法 (I)待定系数法：列出关于a、b、r(或D,E,F)的方程组，代入条件进行求解 一般步骤：①根据题意选择标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组； 第2页 ③解出α，b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程 (2)几何法：由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长， 常用到圆的几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；→圆心在对称轴上 ②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心 ③圆心与切点的连线长是半径长 ④圆心与切点的连线必与过该切点的切线垂直 典例剖析 【考点一圆的方程】 【题型一求圆的方程】 (方法一待定系数法：直接求解) 【归纳总结】待定系数法求圆的一般方程的步骤 根据题意，设出所求圆的标准方程 设 (x-a)24Hy-bP=r2(r>0)或圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 根据已知条件，建立关于a,b,r或D,E,F的方 列> 程组 解方程组，求出a,b,r或D,E,F的值 代 将a,b,r或D,E,F的值代入所设的方程，即得 所求圆的方程 1.圆心在y轴上，半径为5，且过点(3,4)，则圆的标准方程为 【变式】已知圆M过C(1,-1),D(-1,1)两点，且圆心M在x+y-2=0上，则圆M的方程 为」 第3页 2.已知A(2,0),B(3,3),C(-1,1),则△ABC的外接圆的一般方程为() A.x2+y2-2x+4y=0 B.x2+y2-2x+4y+2=0 C.x2+y2-2x-4y=0 D.x2+y2-2x-4y+1=0 (方法二根据几何关系先确定要素，再求解) (直径) 3.在平面直角坐标系xOy中，己知P(0,2)、P2(4,4两点，若圆M以PP为直径，则圆M的标准方 程为() A.(x-2)+y-3)2=5 B.(x-2)2+(y-32=V5 C.(x-1)2+(y-4)2=5 D.（x-12+y-42=5 【变式】已知圆C:(x-3)+(y-4)-25,0为原点，则以0C为直径的圆方程为() A(+++2-翠 c-+y-4-药 D.(-+-2-9 第4页 (对称) 【归纳总结】 (1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置，其半径与已知圆相等. (2)两圆关于点对称，则对称点为两圆圆心连线的中点. 4.已知A(4,0),B1,V5),圆M经过A,B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为() a-9-B-r4c+r4D--4 【变式】若曲线(x-12+(y-2=4上相异两点P、Q关于直线c-y-2=0对称，则k的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 5.圆M与圆c:(x+2)+y-62=1关于直线3x-4y+5=0对称，则圆M的方程 为」 第5页 【变式】与圆C:x2+y2-x+2y=0关于直线1：x+y=0对称的圆的标准方程是 （相切) 6.与x轴相切，且圆心坐标为-1，-2)的圆的标准方程为 【变式】与直线y=5x切于点A5,3且经过点3，)的圆的方程为（） A.x+3)2+y-B=24 B.x-5+y+2=16 C(x+5)2+y-12=16 D.(x-23+y-22=4 第6页 【题型二圆的一般方程与标准方程的互化】 7.(多选)已知圆的一般方程为x2+y2+3x-2y-3=0,则() A.该圆圆心坐标为(3，-1) B.该圆圆心坐标为(-昌，1) C.该圆半径为5 D.该圆半径为号 8.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey-2=0的圆心坐标为(-1,1)，则C的半径为 SI 知识梳理 二、二元二次方程与圆的方程的关系 二元二次方程表示圆的条件 第7页 A=C≠0 B=0 二元二次方程Ax2+By十Cy2+Dx十Ey+F=0表示圆的条件是 ()+()-份) B 典例剖析 【考点二圆一般方程的应用】 【题型一二元二次方程与圆的关系】 判断二元二次方程Ax2十By十Cy2十Dx十Ey十F=0是否表示圆 “两看”： 一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A=C≠0；②B=0: 二看它能否表示圆，看D2十E2一44F是否大于0，或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常 数。 9.(多选)已知方程x2+y2-2x+4y+a=0,则下列说法正确的是() A.方程表示圆，且圆的半径为1时，a=4 B.当a=5时，方程表示圆心为(1，-2)的圆 C.当a=0时，方程表示圆且圆的半径为V⑤ D.当a<5时，方程表示圆心为(1，-2)的圆 10.方程x2+y2+4x-2y+5m=0表示圆，则m的取值范围为 【变式】已知a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆，则实数a的值为 第8页 1.方程(x-2)2++3=0表示的图形是 【题型二圆过定点】 12.对任意实数m,圆x2+y2-3mx-6my+9m-2=0恒过定点，则定点坐标为 【变式】已知方程x2+y2+2mx-2my-2=0表示的曲线恒过第三象限内的一个定点A,若点A又 在直线：mx+ny+1=0上，则2m+2n=(） A.1 B.2 C.3 D.4 13.已知点A为直线2x+y-10=0上任意一点，0为坐标原点.则以0A为直径的圆除过定点 (0,0)外还过定点() 第9页 A.(10,0) B.(0,10) C.(2,4) D.(4,2) 2 知识梳理 三、与圆有关的动点轨迹和轨迹方程 求与圆有关的勒迹方程的常用方法： (1)直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程.步骤如下： 建系 建立适当的直角坐标系 设点 用(x,y)表示轨迹曲线)上任意一点M的坐标 列式 列出关于x、y的方程 化简 把方程化为最简形式 证明 证明以化简后的方程的解为坐标的点都 是曲线上的点 (2)相关点法：若动点P(x,y)随着圆上的另一动点Q(x,y)运动而运动，且x,y可用x,y表示， 则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程 (3)定义法：当动点的轨迹符合圆的定义时，可直接写出动，点的轨迹方程 典例剖析 【考点三与圆有关的动点轨迹及其方程】 【方法一直接法】 14.已知向量=(xy),石=(2，-4)，满足1（言-)，则动点P(x,y)的轨迹方程 第10页 2.4-2.5圆 2.4 圆的方程 知识梳理 1． 圆的定义与方程 1、圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 2、圆的2种方程及对应关系 圆方程 圆心、半径 对应关系 标准方程 圆心为，半径为r ， ， 一般方程 圆心为， 半径. ① 当且仅当时，方程表示圆，且圆心为，半径长为； ② 当时，方程只有实数解，所以它表示一个点； ③ 当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 3、求圆的方程的常用方法 （1） 待定系数法：列出关于a、b、r（或）的方程组，代入条件进行求解 一般步骤：①根据题意选择标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于或的方程组； ③解出或，代入标准方程或一般方程. （2） 几何法：由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长， 常用到圆的几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；→ 圆心在对称轴上 ②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． ③圆心与切点的连线长是半径长． ④圆心与切点的连线必与过该切点的切线垂直． 典例剖析 【考点一 圆的方程】 【题型一 求圆的方程】 （方法一 待定系数法：直接求解） 【归纳总结】 待定系数法求圆的一般方程的步骤 1．圆心在轴上，半径为5，且过点，则圆的标准方程为_______． 【答案】或. 【详解】由题意，设圆的方程为， 因为点在圆上，可得，解得b＝0或b＝－8， 所以所求圆的方程为或. 故答案为：或. 【变式】已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上，则圆M的方程为 ； 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设圆的方程为：，由已知列出方程组，解之可得圆的方程； （2）由已知得四边形的面积为，即有，又有.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，根据点到直线的距离公式可求得答案. 【详解】解：（1）设圆的方程为：， 根据题意得， 故所求圆M的方程为： ； 2．已知，则的外接圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设外接圆的方程为：，然后将三点坐标代入解方程组求出的值，从而可求出的外接圆的一般方程. 【详解】设外接圆的方程为：， 由题意可得：，解得：， 即的外接圆的方程为：． 故选：C. （方法二 根据几何关系先确定要素，再求解） （直径） 3．在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出圆心坐标以及圆的半径，即可得出圆的标准方程. 【详解】由题意可知，圆心的横坐标为，纵坐标为，即点， 圆的半径为， 因此，圆的标准方程为. 故选：A. 【变式】已知圆C：，O为原点，则以为直径的圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由圆C：可知圆心，， 故以为直径的圆的圆心为，半径为， 故所求圆的方程为：. 故选：D （对称） 【归纳总结】 (1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置，其半径与已知圆相等. (2)两圆关于点对称，则对称点为两圆圆心连线的中点. 4．已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出线段的中垂线，求得与轴的交点即为圆心坐标，进而求得圆的方程. 【详解】由题意，，中点为， 所以线段的中垂线为，令得， 所以，半径，所以圆M的标准方程为． 故选：B. 【变式】若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据圆上的任意两点关于直径对称即可求解. 【详解】若曲线上相异两点P、Q关于直线对称， 则圆心在直线上，故代入解得， 故选：D． 5．圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 ． 【答案】 【分析】求得圆的圆心，由此求得圆的方程. 【详解】设关于直线对称点为， 则， 解得， 所以圆的方程为. 故答案为： 【变式】与圆关于直线对称的圆的标准方程是______. 【答案】 【分析】先求得所求圆的圆心坐标，进而得到该圆的标准方程. 【详解】圆的圆心，半径， 点关于直线对称的点坐标为 则所求圆的标准方程为 故答案为： （相切） 6．与x轴相切，且圆心坐标为的圆的标准方程为_______________ 【答案】 【分析】根据圆的圆心坐标结合与y轴相切可得到该圆的半径可得答案. 【详解】∵圆心坐标为，又与y轴相切， ∴圆的半径为2， ∴圆的标准方程为. 故答案为：. 【变式】与直线切于点，且经过点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆的方程为，根据题意列出方程组，求得，即可得出答案. 【详解】解：设圆的方程为， 根据题意可得， 解得， 所以该圆的方程为. 故选：D. 【题型二 圆的一般方程与标准方程的互化】 7．（多选）已知圆的一般方程为，则（   ） A．该圆圆心坐标为 B．该圆圆心坐标为 C．该圆半径为5 D．该圆半径为 【答案】BD 【分析】利用配方法整理圆的方程，结合圆的标准方程，可得答案. 【详解】圆转化为，其圆心坐标为，半径为. 故选：BD. 8．已知圆的圆心坐标为，则的半径为 . 【答案】 【分析】根据圆的一般方程配方得到圆的标准方程，求出圆心坐标的表达式 ，求出、，进而计算出半径即可. 【详解】由，有， 因为圆心坐标公式为，所以，， 所以的半径为. 故答案为： 【变式】设实数，圆的面积为，则 ． 【答案】 【分析】将一般方程化成标准方程后可得圆的半径，结合已知面积可求参数的值. 【详解】圆的标准方程为， 故，故（负解舍去）， 故答案为：. 二、二元二次方程与圆的方程的关系知识梳理 二元二次方程表示圆的条件 二元二次方程表示圆的条件是 【考点二 圆一般方程的应用】典例剖析 【题型一 二元二次方程与圆的关系】 判断二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆 “两看”： 一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A＝C≠0；②B＝0； 二看它能否表示圆，看D2＋E2－4AF是否大于0，或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数． 9．（多选）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．方程表示圆，且圆的半径为1时， B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示圆且圆的半径为 D．当时，方程表示圆心为的圆 【答案】ACD 【分析】若方程表示圆，把一般方程化为标准方程，根据方程成立的条件，验证各选项. 【详解】由题意，方程，可化为， 若方程表示圆，则圆的圆心坐标为，半径， 中，当时，可得，所以正确； 中，当时，此时半径为，所以错误； 中，当时，表示的圆的半径为，所以正确； 中，当时，此时半径大于0，表示圆心为的圆，所以正确； 故选：ACD． 10．方程表示圆，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】由方程表示圆得到不等式，直接求解即可. 【详解】由题意知：，即，解得或. 故答案为：或. 【变式】已知表示圆，则实数a的值为 【答案】 【分析】根据圆的标准方程和一般方程计算即可求解. 【详解】由圆的方程，知， 解得或， 当时，变为， 此时不表示圆； 当时，变为， 此时表示圆， 故. 故答案为：-1 11．方程表示的图形是 ． 【答案】点 【分析】由，，根据方程可得，从而可得答案. 【详解】由，且， 所以 ，从而得到 所以方程表示的图形表示点． 故答案为：点． 【题型二 圆过定点】 12．对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【详解】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 【变式】已知方程表示的曲线恒过第三象限内的一个定点，若点又在直线：上，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】把方程化为，解方程组，即得定点的坐标.把点的坐标代入直线的方程，即得答案. 【详解】方程可化为. 曲线恒过定点， ，解得或. 点在第三象限，，代入直线的方程， 可得. 故选：. 【点睛】本题主要考查曲线过定点，属于中档题. 13．已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设垂直于直线，可知圆恒过垂足；两条直线方程联立可求得点坐标. 【详解】设垂直于直线，垂足为，则直线方程为：， 由圆的性质可知：以为直径的圆恒过点， 由得：，以为直径的圆恒过定点. 故选：D. 三、与圆有关的动点轨迹和轨迹方程知识梳理 求与圆有关的轨迹方程的常用方法： （1）直接法： 能直接根据题目提供的条件列出方程．步骤如下： （2）相关点法：若动点随着圆上的另一动点运动而运动，且可用表示，则可将点的坐标代入已知圆的方程，即得动点的轨迹方程． （3）定义法：当动点的轨迹符合圆的定义时，可直接写出动点的轨迹方程． 【考点三 与圆有关的动点轨迹及其方程】典例剖析 【方法一 直接法】 14．已知向量，满足，则动点的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】先计算出，利用向量垂直得到方程，求出轨迹方程. 【详解】， ，故， 即， 故答案为： 15．已知点，，动点满足，则点的轨迹方程为 【答案】 【分析】根据已知条件求出点的轨迹方程，再根据轨迹方程分别分析面积的最大值、点到点的距离的最大值以及的最大值. 【详解】设点，已知，，且， 可得：， 两边同时平方可得：即， 化简可得：， 配方可得：，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆 【变式】已知动点与两个定点，的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直接法求点的轨迹，过点作圆的切线，连接，利用对称即可得出直线的斜率范围 【详解】设动点，则，化简得， 所以点的轨迹为圆 ， 如图，过点作圆的切线，连接，则，， 所以，同理，则直线的斜率范围为 故选：C 【方法二 相关点法】 16．点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】设点，， 因为为的中点， 所以，则，即， 又因为动点在圆上，所以， 则，即， 则点轨迹方程为. 故选：A. 17．已知圆C：，D是圆C上的动点，点，若动点M满足，则点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，根据得到，将其代入圆C方程，即得点的轨迹方程. 【详解】设，， 因，则， 由，可得， 即，故（*）， 因D是圆C上的动点，故， 将（*）代入上式，可得， 整理得，即为点M的轨迹方程. 故选：B 【方法三 定义法】 （定点定长） 18．已知是虚数单位，若，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据复数运算的几何意义求解. 【详解】因为 ， 所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆. 如图：    又因为 表示点到的距离， 且， 所以 . 故答案为： 【变式】已知复数，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由几何意义得到点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，，的几何意义为过圆C上的点与定点的直线的斜率，设出直线的方程，由点到直线距离得到不等式，求出答案. 【详解】因为，所以，所以， 故复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆. ，的几何意义为过圆C上的点与定点的直线的斜率， 设斜率为k，则直线的方程为， 圆心C到直线的距离，即，解得， 即，所以. 故选：C. 19．设为圆上两个动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设，设圆的圆心为，则有，由得，在中得，进而得点在以为圆心，半径为2的圆上，根据圆的标准方程即可求解. 【详解】设，设圆的圆心为，连接， 则，又，所以， 在中有：， 所以点在以为圆心，半径为2的圆上， 所以点的轨迹方程为， 故答案为：. （定长对定角） 20．已知直线过点，直线过点，且，互相垂直，若，交于点，求点的轨迹方程． 【答案】 【分析】可由题意分析得：点C的轨迹为以AB为直径的圆，从而得到圆心坐标和圆的半径，写出圆的方程.也可根据求什么设什么的原则，设点的坐标，写两出直线的斜率，将两直线互相垂直转化为两直线斜率乘积为 或向量数量积为零，即可列出点的轨迹方程.用直线斜率时,要特别注意直线或斜率不存在的情形. 【详解】解：方法一：由题可知 ,所以点C的轨迹是以AB为直径的圆，圆心坐标为 ,半径为1. 分析可知，当点 C 与 A 或 B 重合时，满足题意. 所以点C的轨迹方程是：. 方法二：设点． 当直线，的斜率都存在时，可得其斜率分别为, . 由，互相垂直，可得, 化简整理得 ，即为点的轨迹方程. 当直线斜率不存在时，其方程是:,此时的斜率为,其方程是,点与点重合,满足上述方程； 当直线的斜率不存在时，其方程是:,此时直线的斜率为,其方程是:  .  ,此时点  C  与点 重合；点与点重合,满足上述方程. 综上可知，点的轨迹方程为． 方法三: 解:由直线，互相垂直，且，交于点，得,即,所以, 设点(异于、)，则， 当点与或重合时，满足条件，其坐标满足上述方程. 所以,点的轨迹方程为. 【变式】已知两定点，，若直线上的一点满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据两点距离公式列出等式，然后化简，确定点的轨迹方程，进而根据直线与圆的位置关系求出的取值范围. 【详解】设，因为，所以， 化简得，此即为点的轨迹方程． 由于点在直线上，也在圆上，因此直线与圆至少有一个公共点． 所以圆心到直线的距离，解得，所以或． 故答案为： . 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $