4.2 指数函数专题讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

§4.2 指数函数 目录 题型1：指数函数的单调性的应用 3  比较大小 3  指数不等式 4 题型2：与指数函数相关的定义域 4 题型3：指数型复合函数的单调性 5 题型4：与指数函数相关的值域 6 题型5：指数型函数的图像识别 7 题型6：指数型复合函数性质的综合应用 9 题型7：指数函数模型的实际应用 10 【强化训练】 12 1. 指数函数的概念 一般地，函数(且)叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是. (1) 若，则当时，；当时，无意义； (2) 若，则对于的某些取值，可使无意义； (3) (且)对任意实数都有意义，因此指数函数的定义域是. 2. 指数函数的图像和性质 解析式 图象 性质 定义域 R 值域 定点 过定点 函数值的变化情况 当时，； 当时， 当时，； 当时， 单调性 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 对称性 函数与的图像关于轴对称 如图所示是指数函数(1)，(2)，(3)，(4)的图象，则，即在第一象限内，指数函数的图象越高，底数越大． 题型1：指数函数的单调性的应用 · 比较大小 方法提炼 利用指数函数的单调性比较大小的常见方法: ①化同底 因为化同底后即可运用指数函数的单调性比较大小,所以能够化同底的尽可能化同底。 ②商比法 不同底但可以化为同指数的两数比较大小,用商比法即可迎刃而解,这时要特别注意分母的正负。 ③中间值法 要比较A与B的大小,先找一个中间值C,再比较A与C,B与C的大小,由不等式的传递性得到A与B的大小。 ④图解法 转化为同指数的幂后,在同一直角坐标系中作出相应指数函数的图像,根据条件观察图像的变化规律来比较大小。 ⑤估算法 估算法既可快速达到比较大小的目的,又可培养估算能力,它在考试中解答选择题、填空题时常用。 【例1.1.】 已知，，，则三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【例1.3.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 若，则（    ） A． B． C． D． 【例1.5.】 已知函数为偶函数，为奇函数，且满足． (1)求； (2)当时，判断和的大小关系． · 指数不等式 方法提炼 指数不等式的类型及解法 (1) 形如的不等式,借助函数的单调性求解。如果a的取值不确定,需分a>1和0<a<1两种情况讨论。 (2) 形如的不等式,注意先将b化成以a为底的指数幂的形式，再借助函数的单调性求解,一般地,可采用取对数法求解(下节将学到)。 (3) 形如的不等式,利用图像求解,或采用取对数法求解(下节将学到)。 【例1.6.】 若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例1.7.】 若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型2：与指数函数相关的定义域 方法提炼 (1) (且)的定义域与函数的定义域相同。 (2) 求的定义域时,应通过复合函数的定义,由的定义域与的值域的等价性,建立关于x的不等式,利用指数函数的相关性质求解。 【例2.1.】 设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 函数的定义域为 ． 【例2.4.】 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 题型3：指数型复合函数的单调性 方法提炼 一般地，在复合函数中,若函数在区间上是单调增(减)函数,且函数在区间或在区间上是单调函数,那么在区间上的单调性见下表: 增 增 减 减 增 减 增 减 增 减 减 增 【例3.1.】 函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【例3.2.】 若函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3.4.】 函数，满足对、且，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3.5.】 已知函数，若函数满足对于任意的，当时，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型4：与指数函数相关的值域 方法提炼 求与指数函数有关的函数的值域时,应先确定函数的定义域,再根据函数的单调性求出函数的值域。在解题过程中，应注意：①当底数含有字母时，应分，两种情况讨论；②用换元法解决问题时，必须考虑原函数的定义域及值域，并由此确定新元的范围. 【例4.1.】 已知函数且的定义域和值域都是，则（    ） A． B． C． D．或 【例4.2.】 已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 【例4.3.】 已知函数，则它的值域是 ． 【例4.4.】 已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例4.5.】 已知函数，，则的值域为 . 【例4.6.】 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例4.7.】 设函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若，求的值域． 【例4.8.】 已知的最小值为，则的取值范围为 ． 【例4.9.】 设，表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是（    ）． A． B． C． D． 【例4.10.】 已知函数若都使成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型5：指数型函数的图像识别 方法提炼 特殊点法判断函数图像的步骤 第一步:找特殊点。根据已知函数的解析式，找出函数图像所经过的特殊点。 第二步:研究变换。将题设条件所给出的函数解析式通过适当的化简或变形，再与基本初等函数相对应，得出此函数是由哪个基本初等函数通过怎样的图像变换而得到的。 第三步:定选项。顺着图像变换展开，将得到的图像与四个选项对照，确定正确的选项。 【例5.1.】 函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【例5.2.】 函数的图象可能是 A． B． C． D． 【例5.3.】 函数的大致图像是（    ） A．   B．   C． D． 题型6：指数型复合函数性质的综合应用 方法提炼 (1) 对于含有指数函数的复合函数的单调性的证明问题仍然用定义法,即“取值--作差--变形--定号”。其中在定号过程中需要用到指数函数的单调性。 (2) 对于含有指数函数的复合函数的单调性的判断,一般用复合法(“同增异减”),但应注意中间变量的取值范围以及定义域。 (3) 判断与指数函数有关的函数的奇偶性与判断一般函数的奇偶性相同,先求函数的定义域,当定义域关于原点不对称时,此函数既不是奇函数也不是偶函数。当定义域关于原点对称时,判断与或是否相等。若已知函数的奇偶性,也可利用奇偶性求函数的解析式或参数的值等。 【例6.1.】 已知是奇函数，则（   ） A．1 B． C． D． 【例6.2.】 若函数是偶函数，则 ． 【例6.3.】 若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 【例6.4.】 已知定义在R上的函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【例6.5.】 已知函数，则= ；不等式的解集为 ． 【例6.6.】 已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)求证：. 【例6.7.】 已知函数． (1)试确定的奇偶性； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【例6.8.】 已知函数是定义域在R上的奇函数． (1)求实数a的值： (2)判断函数的单调性并证明； (3)若对任意的不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【例6.9.】 已知定义在上的函数（且）. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，函数，，求函数的值域； (3)若，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 题型7：指数函数模型的实际应用 方法提炼 (1) 指数增长模型 设原有量为,每次的增长率为,则经过次増长，该量增长到,则。 (2) 指数减少模型 设原有量为,每次的减少率为,则经过次减少,该量减少到,则。 (3) 指数型函数模型 把形如(,,且)的函数称为指数型函数。 【例7.1.】 某种细菌每半小时分裂一次(一个分裂为两个)，经过小时，这种细菌由个可繁殖(　　) A．个 B．个 C．个 D．个 【例7.2.】 某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【例7.3.】 德国科学家Wilhelm Peukert于19世纪末提出蓄电池的容量（单位：Ah），放电时间（单位：h）与放电电流（单位：A）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数，不同材料的Peukert常数不一样.有两块不同材料的蓄电池，第一块蓄电池的容量为，Peukert常数为；第二块蓄电池的容量为，Peukert常数为.第一块电池测试：当放电电流时，放电时间，当放电电流时，放电时间；第二块电池测试：当放电电流时，放电时间，当放电电流时，放电时间，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【例7.4.】 某中学学校每周对会议室进行消毒，设在药物释放过程中，会议室空气中的含药量（毫克/每立方米）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后（此时药物含量），与满足关系（为常数，）.据测定，空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时.会议室才能进入使用.则工作人员至少在会议开始时提前（    ）分钟进行消毒工作. A． B． C． D． 【例7.5.】 某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线．    (1)写出第一次服药后与之间的函数关系式； (2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间． 【强化训练】 1. 已知集合 若， 则（     ） A． B． C． D． 2. 某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子，则第10代得到的种子数为（    ）参考数据：， A． B． C． D． 3. 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4. 函数的图象的大致形状是（   ） A． B． C． D． 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 6. 若，，，则（    ） A． B． C． D． 7. 函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 8. 已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 9. 函数的值域为（    ） A． B． C． D． 10. 若，其中m，n均为实数，则（   ） A． B． C． D． 11. 已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12. （多选）下列各式比较大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 13. （多选）已知函数，则下列叙述正确的是（    ） A．当，时，函数的图象过点 B．当时，函数的单调递增区间为 C．当时，函数的值域为 D．当时，若函数有最大值2，则 14. 当物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则，其中称为环境温度，称为半衰期，现有一杯的热水，放在的房间中，如果水温降到需要分钟．那么在16环境下，水温从降到时，需要 分钟． 15. （1）函数的单调递增区间是 ． （2）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 16. 已知函数的值域为，且，则 . 17. 已知函数的定义域为R，则函数的值域为 18. 函数的值域是 . 19. 已知函数. (1)若在上为增函数，求实数的取值范围； (2)若在上最小值为4，求实数的值； 20. 函数为奇函数． (1)求a的值； (2)判断函数的单调性并证明； (3)解关于x的不等式： 21. 已知二次函数满足，函数满足，且不等式的解集为． (1)求的解析式； (2)若关于x的不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围． 22. 已知函数． (1)当时，求关于的不等式的解； (2)若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围． 23. 已知奇函数与偶函数满足. (1)求，的解析式； (2)若，求的值； (3)若函数，求在上的最小值. 24. 已知函数且在区间上的最大值比最小值大. (1)求的值； (2)若单调递减. ①设函数，求的最小值； ②设函数，，求的最小值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §4.2 指数函数 目录 题型1：指数函数的单调性的应用 3  比较大小 3  指数不等式 6 题型2：与指数函数相关的定义域 8 题型3：指数型复合函数的单调性 9 题型4：与指数函数相关的值域 13 题型5：指数型函数的图像识别 20 题型6：指数型复合函数性质的综合应用 22 题型7：指数函数模型的实际应用 30 【强化训练】 35 1. 指数函数的概念 一般地，函数(且)叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是. (1) 若，则当时，；当时，无意义； (2) 若，则对于的某些取值，可使无意义； (3) (且)对任意实数都有意义，因此指数函数的定义域是. 2. 指数函数的图像和性质 解析式 图象 性质 定义域 R 值域 定点 过定点 函数值的变化情况 当时，； 当时， 当时，； 当时， 单调性 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 对称性 函数与的图像关于轴对称 如图所示是指数函数(1)，(2)，(3)，(4)的图象，则，即在第一象限内，指数函数的图象越高，底数越大． 题型1：指数函数的单调性的应用 · 比较大小 方法提炼 利用指数函数的单调性比较大小的常见方法: ①化同底 因为化同底后即可运用指数函数的单调性比较大小,所以能够化同底的尽可能化同底。 ②商比法 不同底但可以化为同指数的两数比较大小,用商比法即可迎刃而解,这时要特别注意分母的正负。 ③中间值法 要比较A与B的大小,先找一个中间值C,再比较A与C,B与C的大小,由不等式的传递性得到A与B的大小。 ④图解法 转化为同指数的幂后,在同一直角坐标系中作出相应指数函数的图像,根据条件观察图像的变化规律来比较大小。 ⑤估算法 估算法既可快速达到比较大小的目的,又可培养估算能力,它在考试中解答选择题、填空题时常用。 【例1.1.】 已知，，，则三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】根据给定条件，利用指数函数性质比较大小即得. 【详解】依题意，，，， 所以. 故选：A. 【例1.2.】 已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小 【分析】结合待比较的三个数的指数，底数的特点，构造指数函数，幂函数，根据它们的单调性即可求解. 【详解】设，根据指数函数的单调性，在上单调递减，则，即； 设，根据幂函数的单调性，在上单调递增，则，即. 故. 故选：D 【例1.3.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为， 函数是减函数， 所以， 同理，函数是增函数，所以. 综上，可得. 故选：B 【例1.4.】 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、由指数（型）的单调性求参数 【分析】可采用特值法进行判断，或者采用同构法，将不等式里面参数分到不等号两边，构造函数，根据函数单调性即可判断求解． 【详解】方法一：特值法． 取，得，满足题意，排除A，B； 取，得，满足题意，排除C， 故选：D． 方法二：同构法． 因为不等式，所以， 令，显然函数在上分别单调递增、单调递减， 因此函数在上单调递增， 又原不等式可化为，则，即． 故选：D． 【例1.5.】 已知函数为偶函数，为奇函数，且满足． (1)求； (2)当时，判断和的大小关系． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、指数函数最值与不等式的综合问题、作差法比较代数式的大小、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）先由函数和的奇偶性得出函数和的解析式， （2）利用作差法判断化简可得，进而判断可得出结果. 【详解】（1）由题设可知，由于为偶函数，为奇函数， 则，则， 解得，． （2） ， 由于， 则，即． · 指数不等式 方法提炼 指数不等式的类型及解法 (1) 形如的不等式,借助函数的单调性求解。如果a的取值不确定,需分a>1和0<a<1两种情况讨论。 (2) 形如的不等式,注意先将b化成以a为底的指数幂的形式，再借助函数的单调性求解,一般地,可采用取对数法求解(下节将学到)。 (3) 形如的不等式,利用图像求解,或采用取对数法求解(下节将学到)。 【例1.6.】 若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由指数函数的单调性解不等式 【分析】利用指数函数的单调性解不等式即可得出结果． 【详解】因，则， 即，解得， 所以的取值范围为． 故选：B． 【例1.7.】 若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、判断指数函数的单调性、指数函数图像应用 【分析】根据指数函数的图象和性质求解即可． 【详解】由题知，令，解得． 作出函数和的大致图象，如图，    由图可知，若，则． 故选：A. 题型2：与指数函数相关的定义域 方法提炼 (1) (且)的定义域与函数的定义域相同。 (2) 求的定义域时,应通过复合函数的定义,由的定义域与的值域的等价性,建立关于x的不等式,利用指数函数的相关性质求解。 【例2.1.】 设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求指数（型)函数的定义域 【分析】求出的定义域后可求的定义域， 【详解】因为，所以，故， 故的定义域为， 令，则，故的定义域为. 故选：D. 【例2.2.】 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求指数（型)函数的定义域 【分析】函数定义域满足，解得答案. 【详解】函数的定义域满足，解得. 所以该函数的定义域为. 故选：B. 【例2.3.】 函数的定义域为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、具体函数的定义域、求指数型复合函数的定义域 【分析】利用函数有意义列出不等式组，求解即得定义域. 【详解】函数的意义，则，解得且， 所以原函数的定义域为. 故答案为： 【例2.4.】 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域、求指数型复合函数的定义域 【分析】根据抽象函数定义域以及根式的意义列式，结合指数函数单调性运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D. 题型3：指数型复合函数的单调性 方法提炼 一般地，在复合函数中,若函数在区间上是单调增(减)函数,且函数在区间或在区间上是单调函数,那么在区间上的单调性见下表: 增 增 减 减 增 减 增 减 增 减 减 增 【例3.1.】 函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断指数型复合函数的单调性 【分析】利用复合函数的单调性，结合二次函数、指数函数的单调性可得结果. 【详解】函数中，令，则函数在上单调递减，上单调递增， 而函数为减函数，因此函数在上单调递增，上单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A. 【例3.2.】 若函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由指数（型）的单调性求参数、判断指数型复合函数的单调性 【分析】根据复合函数单调性求解即可. 【详解】由题意知，函数（且）在上单调递增， 要使函数（且）在上单调递减， 则，解得. 故选：B. 【例3.3.】 已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、由指数（型）的单调性求参数 【分析】利用复合函数单调，结合分段讨论外函数单调性，再确定内函数二次函数的单调性即可求解. 【详解】当时，，所以外函数是单调递减的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递减， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 当时，，所以外函数是单调递增的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递增， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 综上可得a的取值范围是或， 故选：A. 【例3.4.】 函数，满足对、且，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由指数（型）的单调性求参数、根据分段函数的单调性求参数 【分析】分析可知，函数在上为减函数，根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】由可得函数在上为减函数， 所以，函数在上为减函数，则，解得， 函数在上为减函数，则， 且有，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 【例3.5.】 已知函数，若函数满足对于任意的，当时，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由指数（型）的单调性求参数、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据题中条件，将问题转化为为递减函数，即可根据分段函数的单调性求解. 【详解】由可得，故为单调递减函数， 又， 则，解得. 故选：C 题型4：与指数函数相关的值域 方法提炼 求与指数函数有关的函数的值域时,应先确定函数的定义域,再根据函数的单调性求出函数的值域。在解题过程中，应注意：①当底数含有字母时，应分，两种情况讨论；②用换元法解决问题时，必须考虑原函数的定义域及值域，并由此确定新元的范围. 【例4.1.】 已知函数且的定义域和值域都是，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求指数型复合函数的值域、求指数型复合函数的定义域 【分析】由函数解析式知，需对分类讨论，根据函数的单调性列出等式求解. 【详解】当时，单调递增，有，无解； 当时，单调递减，有， 解得； 所以； 故选：B. 【例4.2.】 已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域） 【分析】利用指数函数的性质作出的大致图象，数形结合得到的取值（范围），从而得解. 【详解】依题意，令，解得；令，解得； 当时，，则， 由指数函数的性质作出的大致图象，如图，    因为的值域为，所以，， 则，所以，即的取值范围为. 故答案为：. 【例4.3.】 已知函数，则它的值域是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】应用二次函数、指数函数的性质求复合函数的值域即可. 【详解】由，则， 所以函数的值域为. 故答案为： 【例4.4.】 已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】由题意可知即有解，且无最大值，分为，，三种情况讨论求解. 【详解】由，可知有解，且无最大值， 即有解，且无最大值， 当时，有解，无最大值，符合题意； 当时，，则有解， 当时，有最大值，则有最大值，不符合题意； 当时，有解需满足，解得， 此时无最大值，无最大值，满足题意． 综上，实数的取值范围是． 故选：A． 【例4.5.】 已知函数，，则的值域为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求指数型复合函数的值域、求二次函数的值域或最值 【分析】由题意，利用换元法（令）可将原函数变形为关于的二次函数，结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】令，则， 原函数可变形为， 其图象为开口向上的抛物线，对称轴为， 所以该二次函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取到最小值，为； 当时，得， 所以在的值域为. 故答案为： 【例4.6.】 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、求指数型复合函数的值域 【分析】设，由换元法转化为在区间上恒成立，进而可得. 【详解】设，当时，， 故由题意可得关于的不等式在区间上恒成立， 设，由二次函数的性质可知在区间上单调递减， 故，得， 故选：D 【例4.7.】 设函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若，求的值域． 【答案】(1) (2)． 【难度】0.65 【知识点】求指数函数在区间内的值域、求指数型复合函数的值域、已知函数的定义域求参数 【分析】（1）依题意令分母不等于0，换元，化简得对于恒成立，再根据对勾函数性质和基本不等式计算得到结果； （2）当时，．两次换元法令，，化简得．分类讨论①当时，②当时，计算函数值域； 【详解】（1）的定义域为，即对于恒成立， 令，则，即对于恒成立， 由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， 所以，又，当且仅当时等号成立， 所以，即的取值范围为． （2）当时，． 令，则， 令，则． ①当时，； ②当时，， 因为， 所以由对勾函数的性质可得， 所以， 即， 所以． 综上，的值域为． 【例4.8.】 已知的最小值为，则的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式、换元法、指数函数、二次函数等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】当时，，当且仅当，即时，取等号， 当时，设，则， 则在上单调递减， 则当时，取得最小值为， 要使的最小值为，则，得， 即实数的取值范围是. 故答案为：． 【例4.9.】 设，表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】根据不同的范围，求解出的值域，从而得到的值域，同理可得的值域，再根据取整运算得到可能的取值. 【详解】由题意得，． ①当时，，此时，， 则，， 从而，， 所以． ②当时，，， ，，，， 故． ③当时，，此时，， 则，， 从而，， 所以． 综上所述，的值域为． 故选：B． 【例4.10.】 已知函数若都使成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、利用函数单调性求最值或值域、求指数型复合函数的值域 【分析】先把原命题转化为，再结合指数复合函数的单调性及最小值计算不等式即可. 【详解】都使成立，等价于 单调递增，所以， 所以对于恒成立， 即，所以恒成立，所以， 单调递增，， 所以即 故选：D. 题型5：指数型函数的图像识别 方法提炼 特殊点法判断函数图像的步骤 第一步:找特殊点。根据已知函数的解析式，找出函数图像所经过的特殊点。 第二步:研究变换。将题设条件所给出的函数解析式通过适当的化简或变形，再与基本初等函数相对应，得出此函数是由哪个基本初等函数通过怎样的图像变换而得到的。 第三步:定选项。顺着图像变换展开，将得到的图像与四个选项对照，确定正确的选项。 【例5.1.】 函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、函数奇偶性的应用、求指数型复合函数的定义域 【分析】结合函数奇偶性及函数正负，借助排除法即可得. 【详解】由题意可得，解得， 又，故为偶函数，故可排除A、C； 又时，，故可排除B，故D选项正确. 故选：D. 【例5.2.】 函数的图象可能是 A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别 【详解】 故函数额为偶函数，排除A，当时 排除C，函数与的图像只有2个交点即函数 只有2个零点，排除B. 故选D. 【例5.3.】 函数的大致图像是（    ） A．   B．   C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、指数函数y=2x和y=(1/2)x的图像和性质 【分析】根据题意，当时，可得，排除B、D选项；在根据指数函数与幂函数的增长趋势，得到当时，，即可求解. 【详解】由函数，当时，可得，可得排除B、D选项； 当时，可得； 当时，根据指数函数与幂函数的增长趋势， 可得函数大于函数的增长速度，所以， 所以选项A不符合，选项C符合. 故选：C. 题型6：指数型复合函数性质的综合应用 方法提炼 (1) 对于含有指数函数的复合函数的单调性的证明问题仍然用定义法,即“取值--作差--变形--定号”。其中在定号过程中需要用到指数函数的单调性。 (2) 对于含有指数函数的复合函数的单调性的判断,一般用复合法(“同增异减”),但应注意中间变量的取值范围以及定义域。 (3) 判断与指数函数有关的函数的奇偶性与判断一般函数的奇偶性相同,先求函数的定义域,当定义域关于原点不对称时,此函数既不是奇函数也不是偶函数。当定义域关于原点对称时,判断与或是否相等。若已知函数的奇偶性,也可利用奇偶性求函数的解析式或参数的值等。 【例6.1.】 已知是奇函数，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数、指数幂的运算、求指数型复合函数的定义域 【分析】利用奇函数的定义列式求解. 【详解】函数的定义域为，由为奇函数，得， 即，则. 故选：B 【例6.2.】 若函数是偶函数，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数、求指数（型)函数的定义域 【分析】根据偶函数的定义求解即可. 【详解】因为是偶函数，所以，即，解得， 当时,的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以是偶函数， 故答案为：. 【例6.3.】 若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、由奇偶性求函数解析式 【分析】由奇偶性求得函数解析式，然后分类讨论解不等式可得. 【详解】是定义在上的奇函数，且当时，， 所以， 时，， 时，，解得， 时，，解得， 故答案为：. 【例6.4.】 已知定义在R上的函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断一般幂函数的单调性、判断指数型复合函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式 【分析】分析函数的性质，利用性质求解不等式. 【详解】依题意，函数，函数是上的奇函数， ，函数分别是上的减函数和增函数， 因此函数是上的增函数，不等式， 则，解得，所以原不等式的解集为. 故选：D 【例6.5.】 已知函数，则= ；不等式的解集为 ． 【答案】 2 【难度】0.65 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式 【分析】直接代入可得答案；先判断出，得到是奇函数和单调递增函数，利用单调性和奇偶性求解即可. 【详解】依题意，，，所以； 函数的定义域为R，， 即，则，令， 于是，是上的奇函数，且， 由，都是上的增函数，得是上的增函数， 由，得，即， 则，因此，解得， 的解集为. 故答案为：2； 【例6.6.】 已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)求证：. 【答案】(1)； (2)为偶函数，理由见解析； (3)证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、具体函数的定义域、求指数（型)函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）根据解析式有，即可得定义域； （2）利用奇偶性定义判断的关系及定义域是否关于原点对称； （3）根据偶函数的对称性，只需上，利用指数函数、幂函数性质判断函数值符号，即可证. 【详解】（1）由解析式知，，可得，故函数定义域为； （2）为偶函数，理由如下： 因为定义域，定义域关于原点对称， 又， 则为偶函数； （3）由（2）知，为偶函数，只需证明上， 此时，故，又， 所以在上恒成立， 结合偶函数对称性可知，在定义域上恒成立，得证. 【例6.7.】 已知函数． (1)试确定的奇偶性； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、定义法判断或证明函数的单调性、判断指数型复合函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）由于函数的定义域为，关于原点对称，且化简求得，可得函数为奇函数； （2）化简函数的解析式为，设，化简，可得函数在上是减函数； （3）由于为奇函数，不等式即恒成立，再由函数在上是减函数可得恒成立，即恒成立．由判别式，解得的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称， 且有， 故函数为奇函数. （2）证明：， 设，再由， 可得， 故函数在上是减函数. （3）对任意的，不等式恒成立，为奇函数， 恒成立， 由函数在上是减函数， 可得 恒成立， 即恒成立， ，解得：， 故的取值范围为. 【例6.8.】 已知函数是定义域在R上的奇函数． (1)求实数a的值： (2)判断函数的单调性并证明； (3)若对任意的不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)； (2)在上是增函数，证明见解析； (3) 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求参数、判断指数型复合函数的单调性 【分析】（1）由求得，再检验是否为奇函数； （2）由单调性的定义证明； （3）由奇偶性变形不等式，再上单调性化简，用分离参数法转化为求函数的最值． 【详解】（1）函数 是定义域在R上的奇函数， 由，得，即有， 下面检验：， 且定义域为R关于原点对称，所以为奇函数，故符合． （2）在上是增函数．证明如下： 设任意， 由于，则，即有，则有， 故在上是增函数． （3）因为对任意的，不等式恒成立， 所以对于恒成立， 因为是定义域在R上的奇函数，所以对于恒成立， 又在R上是增函数，所以，即对于恒成立， 而函数 ， ，当且仅当，即时等号成立， 所以在上的最大值为，所以， 所以实数的取值范围为． 【例6.9.】 已知定义在上的函数（且）. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，函数，，求函数的值域； (3)若，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)； (3). 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、求指数型复合函数的值域、判断指数型复合函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）利用函数奇偶性定义判断并证明. （2）求出值，判断的单调性，并求出时的范围，再变形并借助二次函数求出值域. （3）化简函数并探讨其性质，进而脱去函数不等式中法则“h”转化为二次函数在闭区间上恒成立问题求解. 【详解】（1）函数是上的奇函数， 证明：由，得，， 所以函数是上的奇函数. （2）由，得，即，而，解得， 函数，函数在上都是增函数， 因此是上的增函数，故当时，， ， 则当时，，当时，， 所以函数的值域是. （3）当时，函数在上都是增函数， 因此是上的增函数，而， 当时，；当时，， 因此，，故函数是上的偶函数，且在上单调递减， 不等式， 因此，则依题意对任意，恒成立， 则，即，解得， 所以实数的取值范围是. 题型7：指数函数模型的实际应用 方法提炼 (1) 指数增长模型 设原有量为,每次的增长率为,则经过次増长，该量增长到,则。 (2) 指数减少模型 设原有量为,每次的减少率为,则经过次减少,该量减少到,则。 (3) 指数型函数模型 把形如(,,且)的函数称为指数型函数。 【例7.1.】 某种细菌每半小时分裂一次(一个分裂为两个)，经过小时，这种细菌由个可繁殖(　　) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】列出指数函数模型的解析式、指数函数模型的应用（1） 【分析】根据题意，建立该种细菌分裂的个数的数学模型，求出经过3小时，细菌分裂6次的细菌个数即可． 【详解】根据题意知，该种细菌分裂的个数满足指数函数； 经过3小时，细菌分裂6次，x＝6， 细菌分裂的个数为y＝26＝64． 故选：D． 【例7.2.】 某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】指数函数模型的应用（1）、指数函数模型的应用（2） 【分析】设植物原来长度为m，根据8天后，该植物的长度是原来的倍，求出，再结合指数幂的运算即可求得24天后该植物的长度是原来的多少倍． 【详解】方法1 设植物原来长度为m，8天后，该植物的长度是原来的倍， 故，即，即． 24天后该植物的长度是，即为原来的倍， 又， 所以24天后该植物的长度是原来的倍． 方法2  设植物原来长度为1，8天后，该植物的长度是， 24天后，该植物的长度是， 即24天后该植物的长度是原来的倍． 故选：C 【例7.3.】 德国科学家Wilhelm Peukert于19世纪末提出蓄电池的容量（单位：Ah），放电时间（单位：h）与放电电流（单位：A）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数，不同材料的Peukert常数不一样.有两块不同材料的蓄电池，第一块蓄电池的容量为，Peukert常数为；第二块蓄电池的容量为，Peukert常数为.第一块电池测试：当放电电流时，放电时间，当放电电流时，放电时间；第二块电池测试：当放电电流时，放电时间，当放电电流时，放电时间，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】指数函数模型的应用（1） 【分析】根据条件，列出关于，，，的关系式，根据指数函数的单调性，判断它们的大小关系. 【详解】由题意：，所以； ，所以. 因为指数函数在上单调递减，且，所以. 又指数函数在上单调递增，且，所以，所以，即. 故选：D 【例7.4.】 某中学学校每周对会议室进行消毒，设在药物释放过程中，会议室空气中的含药量（毫克/每立方米）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后（此时药物含量），与满足关系（为常数，）.据测定，空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时.会议室才能进入使用.则工作人员至少在会议开始时提前（    ）分钟进行消毒工作. A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】指数函数模型的应用（1）、分段函数模型的应用、由指数函数的单调性解不等式 【分析】由已知得出时的函数解析式，然后解不等式，即可求解. 【详解】由题意可知，当时，过点， 则，解得，所以， 当时，空气中每立方米的含药量逐渐升高至毫克， 当时，空气中每立方米的含药量逐渐降低， 由，解得， 又，所以工作人员至少在会议开始时提前分钟进行消毒工作. 故选：. 【例7.5.】 某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线．    (1)写出第一次服药后与之间的函数关系式； (2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、分段函数模型的应用、根据函数图象选择解析式 【分析】（1）根据曲线特征设分段函数，用待定系数法求出相关系数，即可得到函数解析式； （2）根据题意，由得到不等式组，解出的取值范围可得到结果. 【详解】（1）由题意，设 由图可知，当时，， 由解得，由解得． 所以 （2）由得或 解得． 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是（小时）． 【强化训练】 1. 已知集合 若， 则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合的包含关系、由指数函数的单调性解不等式、交集的概念及运算、并集的概念及运算 【分析】先求集合，再由，逐项验证即可求解. 【详解】由题意有，当时，，故C正确，D错误； 当时，，，但当时，上述关系不成立， 故AB错误； 故选：C. 2. 某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子，则第10代得到的种子数为（    ）参考数据：， A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】指数函数模型的应用（1） 【分析】根据指数函数模型计算即可. 【详解】由题意，第10代得到的种子数为 故第10代得到的种子数约为 故选：C. 3. 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求指数（型)函数的定义域 【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可. 【详解】函数的定义域满足，解得且． 则函数定义域为， 故选：D 4. 函数的图象的大致形状是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、指数函数y=2x和y=(1/2)x的图像和性质、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】分别在和两种情况下得到函数解析式，根据指数函数单调性可判断出所求函数单调性，进而得到所求图象. 【详解】当时，， 当时，， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故选：B 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、抽象函数的定义域、求指数型复合函数的定义域 【分析】根据抽象函数定义域法以及指数函数单调性运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以对于函数有，解得， 所以函数的定义域是. 故选：D. 6. 若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小 【分析】根据已知条件，结合指数函数、幂函数的单调性，即可求解． 【详解】，在上单调递增， ，故，所以， ，在上单调递增， ，故，即，所以． 故选：D 7. 函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求指数函数在区间内的值域 【分析】根据得，然后利用指数函数的单调性求得，即可求解值域. 【详解】因为，所以．即，则， 所以函数的值域为． 故选：B 8. 已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数、指数幂的运算、求指数型复合函数的定义域 【分析】利用奇函数定义，可得，进而利用奇函数定义验证求解即可. 【详解】因为函数是奇函数，定义域为， 所以， 即，即，又，故解得， 此时， 则， 所以函数是奇函数，满足题意， 所以. 故选：B. 9. 函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求指数函数在区间内的值域、基本不等式求和的最小值、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】利用换元法令，把函数变形为，结合基本不等式求解即可； 【详解】令，则，则原函数可化为， 因为，所以，当且仅当即时取等号， 所以当时，；当时，， 所以函数的值域为； 故选：C. 10. 若，其中m，n均为实数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】构造函数，可得函数为增函数，借助单调性即可得出结果. 【详解】由变形，可得：， 设函数， 因为指数函数在上是增函数，在上是减函数， 所以在上是增函数， 所以在上是增函数. 由可得，即. 故选：C 11. 已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、由指数（型）的单调性求参数、根据分段函数的单调性求参数 【分析】考虑的两段分段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系即可求解出a的范围． 【详解】因为单调递减，故对应的指数函数部分、二次函数部分都要单调递减， 对指数函数在单调递减，需， 对二次函数，开口向下、对称轴为，故二次函数在单调递减，满足要求， 此外还需满足分段点处的函数值满足，整理得，解得或， 结合，可得， 故选：B． 12. （多选）下列各式比较大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】利用指数函数的单调性逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，且，所以，所以A错误， 对于B，，因为在上单调递减，且， 所以，即，所以B正确， 对于C，，因为在上单调递增，且， 所以，即，所以C正确， 对于D，因为在上单调递增，且，所以， 因为在上单调递减，且，所以， 所以，所以D正确. 故选：BCD 13. （多选）已知函数，则下列叙述正确的是（    ） A．当，时，函数的图象过点 B．当时，函数的单调递增区间为 C．当时，函数的值域为 D．当时，若函数有最大值2，则 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】求指数型复合函数的值域、求二次函数的值域或最值、判断指数型复合函数的单调性 【分析】明确函数解析式，代入验证可判断A的真假；利用指数函数的单调性，结合复合函数单调性的有关结论，可判断B的真假；明确函数解析式，求函数值域，可判断C的真假；分情况讨论，根据函数的最大值，求参数的值，可判断D的真假. 【详解】对A：当，时，． 将代入可得，， 所以函数的图象不经过点．故A错误； 对B：当时，． 令，二次函数图象的对称轴为，在区间上单调递增，在上单调递减． 又因为指数函数是减函数，所以根据复合函数“同增异减”的原则，可知的单调递增区间为．故B错误； 对C：当时，，令． 因为函数是减函数，所以. 所以函数的值域为．故C正确； 对D：当时，． 若，则，此时函数无最大值． 若，令， 要使有最大值2，则在t取最小值时取最大值，所以． 对于二次函数，其图象的对称轴为， 当时，， 因为的最大值为2，所以，所以，解得．故D正确. 故选：CD 14. 当物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则，其中称为环境温度，称为半衰期，现有一杯的热水，放在的房间中，如果水温降到需要分钟．那么在16环境下，水温从降到时，需要 分钟． 【答案】20 【难度】0.85 【知识点】列出指数函数模型的解析式、简单的指数方程、指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据所给函数模型，由已知数据求得，然后令求得． 【详解】由已知可得， 由题意知，即， 解得， 当时， 由，得． 解得， 故答案为：. 15. （1）函数的单调递增区间是 ． （2）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由指数（型）的单调性求参数、判断指数型复合函数的单调性 【分析】求指数型复合函数的单调性主要利用“同增异减”原则． （1）求函数定义域，函数单调递增区间为定义域内二次函数的减区间； （2）根据题意，问题等价于二次函数在上单调递增，考虑其对称轴即可得到答案． 【详解】（1）函数的定义域满足，即． 设， 则根据幂函数和二次函数的单调性可知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 又∵指数函数在其定义域内为减函数， ∴由复合函数的单调性可知的单调递增区间为． （2）将原函数拆解为外层函数和内层函数， 其中内层函数为二次函数，其图象开口向上，且对称轴为 外层函数是增函数， ∵是上的增函数， ∴，即， ∴实数的取值范围为． 故答案为：；． 16. 已知函数的值域为，且，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域） 【分析】根据条件，利用指数函数的性质，即可求解. 【详解】由指数函数的性质可知， 若，则，为常数，不合题意； 若，则，不合题意； 若，则， 因为函数的值域为，则， 又，则，解得， 所以. 故答案为：. 17. 已知函数的定义域为R，则函数的值域为 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求指数函数在区间内的值域、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】由题意在R上恒成立，求得，再结合指数函数、分式型函数的性质求的值域. 【详解】由题设知，在R上恒成立， 所以，则，故， 所以在上单调递增，故. 故答案为： 18. 函数的值域是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】函数可化为，根据题意，结合二次函数的单调性，求出函数y的最小值与最大值，即可得出函数的值域. 【详解】由题意可得：， 因为时，则， 根据二次函数的单调性知， 时，y取得最小值为；时，y取得最大值为； 所以函数y的值域是 故答案为： 19. 已知函数. (1)若在上为增函数，求实数的取值范围； (2)若在上最小值为4，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】含参指数函数的最值、由指数（型）的单调性求参数 【分析】（1）由复合函数的性质得在上是增函数，由此可得的范围； （2）换元后根据二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论． 【详解】（1）令，由于是增函数，若在为增函数， 则在上是增函数， 则，所以 （2）令 即最小值为4 若则时最小，得. 若则时最小，得无解. 若时则时最小，得舍去. . 20. 函数为奇函数． (1)求a的值； (2)判断函数的单调性并证明； (3)解关于x的不等式： 【答案】(1)1； (2)单调递增，证明见解析； (3)答案见解析. 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求参数、解含有参数的一元二次不等式、判断指数型复合函数的单调性 【分析】（1）利用奇函数的定义求出值； （2）借助指数函数单调性判断单调性，再利用单调函数的定义推理得证. （3）由（2）脱去法则“f”，再解含参数的一元二次不等式. 【详解】（1）函数的定义域为R，由为奇函数，得， 即，则， 所以a的值为1. （2）由（1）知，，函数在R上单调递增， ，， 由，得，则， 因此，即， 所以函数在R上单调递增. （3）由（1）知，，不等式， 则， 当时，解得； 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为， 若，解得或； 若，解得； 若，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 21. 已知二次函数满足，函数满足，且不等式的解集为． (1)求的解析式； (2)若关于x的不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、求指数函数在区间内的值域、由一元二次不等式的解确定参数、求二次函数的解析式 【分析】（1）求出函数，设出的解析式，利用给定的解集求出参数得解析式. （2）由（1）的结论，等价变形不等式，分离参数，利用指数函数值域及基本不等式求出最小值即可求解. 【详解】（1）由，得，则， 由二次函数满足，设， 不等式，即， 依题意，是方程的二实根，且， 于是，解得， 所以的解析式为. （2）由（1）知，， 不等式， 依题意，不等式对任意的恒成立， 而，，当且仅当，即时取等号， 因此，解得， 所以实数m的取值范围是. 22. 已知函数． (1)当时，求关于的不等式的解； (2)若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题、由指数函数的单调性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）利用二次函数的性质及得到，解一元二次不等式及指数函数的单调性求解集； （2）问题化为，上，应用基本不等式及分类讨论求函数的最值，进而求参数范围. 【详解】（1）由题设，则在上单调递增， 由，且，即， 所以，可得，故， 所以不等式的解集为； （2）由题意，，上， 在上，， 当且仅当时取等号，故， 在上，的开口向上且对称轴为， 当时，在上单调递增，则， 此时，不符合前提； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则， 此时，故； 当时，在上单调递减，则， 此时恒成立，即； 综上，. 23. 已知奇函数与偶函数满足. (1)求，的解析式； (2)若，求的值； (3)若函数，求在上的最小值. 【答案】(1)，. (2) (3)当时，； 当时，； 当时，. 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、指数幂的化简、求值、求已知指数型函数的最值 【分析】（1）根据函数的奇偶性列出等式，联立方程组求解可得. （2）将和代入函数解析式中化简求解即可. （3）首先化简，然后讨论一元二次函数的单调性，计算最小值. 【详解】（1）因为奇函数与偶函数满足， 得，联立得，，. （2）由（1）得，即， 因为.又因为，则，所以， 则 . （3）由题， 令，则，则， 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，. 综上：当时，；当时，； 当时，. 24. 已知函数且在区间上的最大值比最小值大. (1)求的值； (2)若单调递减. ①设函数，求的最小值； ②设函数，，求的最小值． 【答案】(1)或． (2)①520；②1314 【难度】0.65 【知识点】求指数函数在区间内的值域、求指数型复合函数的值域、由指数（型）的单调性求参数、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）分和两种情况，应用单调性结合最值计算求参； （2）应用指数函数的单调性结合二次函数的性质求出最小值. 【详解】（1）当时，单调递增， 在区间[1，2]上， 当时，， 当时，， 所以，即得 当时，单调递减， 在区间[1，2]上， 当时，， 当时，， 所以，即得. 所以或． （2）①因为单调递减，所以， 设，则． 所以当时，函数， 所以的最小值为520． ②由则 设则单调递减，且， 故， 所以，当时，， 所以的最小值为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $