第四章 图形的相似——相似 三角形经典模型（二）讲义2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级上册

该初中数学讲义以相似三角形经典模型为核心，通过“一线三等角”“旋转型手拉手”等模型梳理构建知识体系，用图形示例与结论归纳呈现模型条件、辅助线作法及相似关系，突出概念性质判定的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与模型应用指导，基础练习覆盖比例线段、位似等基础，题型专项如“一线三等角等腰三角形分类讨论”“旋转型辅助线构造”培养推理意识与几何直观，变式题梯度提升，助力不同学生掌握模型应用，教师可据此实施精准复习教学。

相似三角形的经典模型（二） 一、教学目标 1． 掌握相似三角形的概念，性质及判定方法． 2． 掌握三角形相似中常见的模型 3.灵活运用相似三角形的的性质定理进行有关的证明和计算． 二、教学重难点 重点：（1）相似三角形的概念，性质及判定方法 （2）三角形相似中常见的模型 难点：灵活运用相似三角形的的性质定理进行有关的证明和计算． 三、知识精讲 模型1：一线三等角型 (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 模型2：旋转型，手拉手 条件:如图1,△OAB,△OCD 是非等腰三角形,且△OAB∽△OCD,∠AOB=∠COD=α. 作辅助线方法:如图2 ,连接AC ,BD. 结论:△OAC∽△OBD 例题精讲 【相似三角形基础练习】 1．（2024秋•高新区期末）已知，则 　 　 ． 2．（2024秋•武侯区校级期中）如图，AD∥BE∥CF，若AB＝2，AC＝5，EF＝6，则DE的长度是 　 　 ． 3．（2023秋•武侯区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（8，2）、（16，4），若点A的坐标为（5，6），则点A′的坐标为 　 　 ． 4．（2025春•成都期末）若，则　 　 ． 5．（2025•成都二模）如图，在△ABC中，DE∥BC，且BD＝2AD，若△ABC的面积为15，则四边形BCED的面积为 　 　 ． 6．（2025•崇州市模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC为对角线，BE⊥AC于点E，CF∥BE，，则S△BCE：S△ACF的值为 　 　 ． 8．（2025•成都模拟）如图，已知AC∥BE，AB∥DE，点B，C，D在同一条直线上，若AC＝3，CD＝2，BE＝4，则BC的长为 　 　 ． 9．（2025春•锦江区校级月考）如图，AB，CD相交于点O，OC＝2，OD＝3，AC∥BD，EF是△ODB的中位线．若EF＝3，则AC的长为 　 　 ． 10．（2025春•金牛区校级月考）如图，D、E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝2：3，则S△DOE：S△AOC＝　 　 ． 【题型1 一线三等角型】 【例1】如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 【变式1-1】 【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 【变式1-2】（1）问题发现：如图1，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得．请求出线段与的数量关系； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．    【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F． （1）探究发现： 如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝　 　； （2）数学思考： ①如图2，若点E在线段AC上，则＝　 　（用含m，n的代数式表示）； ②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； （3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长． 【题型2 旋转型】 【例2】已知正方形DEFG的顶点F在正方形ABCD的一边AD的延长线上，连结AG，CE交于点H，若，，则CH的长为 . 【变式2-1】【问题背景】如图1,已知 .求证： 【尝试应用】如图2，在 和 中， ,AC与DE 相交于点 F,点 D 在 BC 边上, 求 的值. 课堂小结 模型1：一线三等角型 (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 模型2：旋转型，手拉手 条件:如图1,△OAB,△OCD 是非等腰三角形,且△OAB∽△OCD,∠AOB=∠COD=α. 作辅助线方法:如图2 ,连接AC ,BD. 结论:△OAC∽△OBD 家庭作业： 1．如图，若△AED∽△ACB，且AE＝6，EB＝3，AD＝7．则DC＝　 　． 2．如图，△ABC∽△ACP，若∠A＝75°，∠APC＝65°，则∠B的大小为　 　度． 3．如图，已知△ABC∽△AMN，点M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，则AN＝　 　． 4．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值． 课堂过关检测 时间： 姓名： 1．如图，已知△ADE∽△ABC，且AD＝6，AE＝4，AB＝12，求CD的长为 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，则BF的长为　 　 ． 3．为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，30cm长的箭头AB在暗盒中所成像CD的长为 　 　 cm． 4．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在线段DE上，且△ADF∽△DEC，若DC＝4cm，AD＝cm，AF＝cm． （1）求DE的长； （2）求▱ABCD的面积． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $