精品解析：浙江省上虞中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷

2025学年第一学期10月月考 高二数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡上交. 5.测试范围：人教版2019选择性必修第一册空间向量与立体几何+直线. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系的对称性可解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，即． 故选：C. 2. 直线l：x+y﹣3＝0的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程求得斜率，再由 求解. 【详解】直线l：x+y﹣3＝0的倾斜角为 则， 因为 ， 所以 故选：C 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角与斜率，属于基础题. 3. 设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. 1 B. 0 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】把，，三点共线转化为列出方程组，求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为，，三点共线，所以存在唯一的，使得， 即， 即，解得：. 故选：B. 4. 过点和，的直线的一般式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用直线的截距式方程求得直线的方程，再化为一般式方程，即可求解. 【详解】由直线过点和，可得直线的截距式得直线方程为， 整理得，即直线的一般式方程为. 故选：C. 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可求得向量在向量上的投影向量. 【详解】向量，， 则向量在向量上的投影向量为： ； 故选：D 6. 已知点AB斜率为k的直线l过点P则满足下列条件的直线l与线段AB相交的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，数形结合求解即可. 【详解】根据题意，在平面直角坐标系中，作出点，如图， 当直线与线段相交时，，， 所以，斜率取值范围是或. 故选：D 7. 在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，计算、的坐标，利用数量积的坐标运算化简即可. 【详解】由点在直线上运动，故可设，， 则， ， 所以 ， 故当时，取得最小值. 故选：C． 8. 在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立如图所示的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，由反射性质得四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可． 【详解】 建立如图所求的直角坐标系，得，， 则直线方程为， 且的重心为，即， 设，关于直线的对称点为， 则，解得，则， 易知关于轴的对称点为， 根据光线反射原理知四点共线，且，， 所以直线的方程为，即， 又直线过， 所以，解得或（舍去）， 所以，，, 所以， 所以的周长为. 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用对称性，把的三边转化到同一条直线上，利用直线方程求得点的坐标. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，直线：，则（ ） A. 当时，两直线的交点为 B. 直线恒过点 C. 若，则 D. 若，则或 【答案】AC 【解析】 【分析】求出两直线的交点判断A，求出直线过定点坐标即可判断B，根据两直线垂直、平行求出参数，即可判断CD. 【详解】对于A：当时直线：，直线：，由， 解得，所以两直线的交点为，故A正确； 对于B：直线：，令，解得，即直线恒过点，故B错误； 对于C：若，则，解得，故C正确； 对于D：若，则，解得或， 当时直线：，直线：两直线重合，故舍去， 当时直线：，直线：，两直线平行， 所以，故D错误； 故选：AC 10. 如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（ ） A. 长为 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为一组基底，将用基底表示，得，利用数量积的运算即可求解，进而判断A，先求，利用向量的夹角公式即可判断B，计算和即可判断CD. 【详解】由题意有：，所以 ，所以，故A正确； ，所以，所以 ， 所以，故B错误； 由，， 所以 ，所以，故C正确； 由，所以，故D正确； 故选：ACD. 11. 定义点到直线的有向距离为.已知点到直线的有向距离分别是以下命题不正确的是（ ） A. 若，则直线与直线平行 B. 若，则直线与直线垂直 C. 若，则直线与直线垂直 D. 若，则直线与直线相交 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据有向距离的定义可得直线的方程，故可判断A的正误，根据反例可判断BCD的正误. 【详解】设， 对于A，即为， 故， 所以直线的方程为：， 因为，直线与直线平行，故A正确； 对于B，设直线，取， 则，但，此时直线与直线不垂直，故B错误； 此时也成立，故C错误； 对于D，仍取直线，取， 此时，故成立，此时与直线重合，故D错误. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，则_________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示，列方程求. 【详解】因为，，， 所以，解得：. 故答案为：. 13. 若直线m被两平行直线与所截得的线段长为，则直线m的倾斜角大小为________. 【答案】或 【解析】 【分析】设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为，求出两平行直线的距离，得到，所以，求出直线倾斜角为30°，从而求出直线m的倾斜角. 【详解】设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为， 两平行直线与间的距离 ， 因为直线m被两平行直线与所截得的线段长为，所以， 所以，因为直线的斜率为，所以其倾斜角为30°， 所以直线m的倾斜角可以是或. 故答案为：或 14. 如图，在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由，结合已知可得，利用共面向量基本定理求解. 【详解】因为， 因为，所以， 所以，又， 所以，所以，因为共面， 所以，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 中，顶点，，求： （1）边所在直线的方程； （2）边的垂直平分线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算直线的斜率，结合点斜式求解即可； （2）求出的中点坐标，结合直线垂直的斜率关系与点斜式求解即可. 【小问1详解】 因为，，故的斜率， 故所在直线的方程为，即. 【小问2详解】 因为，，故的中点坐标，即. 垂直平分线的斜率， 故边上垂直平分线所在直线的方程为，即. 16. 如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设，，. （1）用表示，并求EF的长； （2）求与夹角的大小． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合空间向量的线性运算求，再根据向量的数量积运算求即可； （2）根据题意结合空间向量的线性运算求，再根据向量的数量积运算可得，即可得结果. 【小问1详解】 因为E，F分别为棱BC，AD的中点，且，，， 可得 ， 因为正四面体ABCD的棱长为1，则，且， 可得 ， 即，所以EF的长为. 【小问2详解】 由题意得 ， 因此 ， 即，即与的夹角为. 17. 已知空间中三点，，． （1）设，且，求的坐标； （2）若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，可设，根据模长求得即可求解； （2）设，由ABCD是平行四边形可得，利用向量相等即可解出点坐标； （3）根据空间向量模长及夹角公式，再利用公式求解. 【小问1详解】 由已知得． 因为，所以可设， 所以，解得， 所以或． 【小问2详解】 设，因为ABCD是平行四边形，所以， 由，，， 得，， 所以，故． 【小问3详解】 由题可得，， 所以，， 所以， 又，所以， 所以的面积． 18. 如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：在图1中，由，，得，则， 所以，由，得，即， 在图2中，，取的中点，连接，由为的中点， 得，则，由，得，而， 平面，则平面，又平面，所以. （2） （3）线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且 【解析】 【分析】（1）在平面图形中证得，，取的中点，连接，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）由（2）中信息，利用点到平面的距离的向量公式计算得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知及（1）得平面平面，平面平面，， 于是平面，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为， 则， 由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 假设线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为， 在中，，所以， 因为三棱锥的体积为，设点到平面的距离为， 所以，所以，所以点到平面的距离为， 令，由（2）得，， 又平面的法向量为， 则点到平面的距离为，解得， 线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且. 19. 如图，圆台的一个轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于、的点． （1）求该圆台的侧面积； （2）若是线段的中点，求证：直线平面； （3）若，设直线为平面与平面的交线，设平面，点在线段上（不含端点），直线与平面所成的角大小为，求的最大值． 【答案】（1） （2）证明：取中点，连接，如图， 因为为中点，所以， 在等腰梯形中，， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （3） 【解析】 【分析】（1）由圆台侧面积公式即可求解； （2）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形得到，然后根据线面平行的判定定理完成证明； （3）延长交于点，建立合适空间直角坐标系，然后利用向量法表示出，再根据二次函数的性质求解出最大值即可. 【小问1详解】 因为， 所以圆台的侧面积为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 延长交于点，作直线， 因为两点分别在平面与平面内， 所以直线即为直线， 又平面， 所以点，即为点， ，则， 以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 在等腰梯形中，， 此梯形的高为， 因为，所以为的中位线， 则， 所以， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得， 则有：， 令，则， 当时，，此时， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 综上所述，的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期10月月考 高二数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡上交. 5.测试范围：人教版2019选择性必修第一册空间向量与立体几何+直线. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 直线l：x+y﹣3＝0的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 90° 3. 设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. 1 B. 0 C. 3 D. 2 4. 过点和，的直线的一般式方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点AB斜率为k的直线l过点P则满足下列条件的直线l与线段AB相交的是（ ） A. B. C. D. 7. 在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，直线：，则（ ） A. 当时，两直线的交点为 B. 直线恒过点 C. 若，则 D. 若，则或 10. 如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（ ） A. 长为 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 11. 定义点到直线的有向距离为.已知点到直线的有向距离分别是以下命题不正确的是（ ） A. 若，则直线与直线平行 B. 若，则直线与直线垂直 C. 若，则直线与直线垂直 D. 若，则直线与直线相交 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，则_________ 13. 若直线m被两平行直线与所截得的线段长为，则直线m的倾斜角大小为________. 14. 如图，在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 中，顶点，，求： （1）边所在直线的方程； （2）边的垂直平分线的方程. 16. 如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设，，. （1）用表示，并求EF的长； （2）求与夹角的大小． 17. 已知空间中三点，，． （1）设，且，求的坐标； （2）若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标； （3）求的面积． 18. 如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 如图，圆台的一个轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于、的点． （1）求该圆台的侧面积； （2）若是线段的中点，求证：直线平面； （3）若，设直线为平面与平面的交线，设平面，点在线段上（不含端点），直线与平面所成的角大小为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $