精品解析：浙江省桐乡市高级中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷

桐乡市高级中学2025学年第一学期高二年级10月月考 数学学科试题卷（普通班） 命题人：数学组 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将直线的方程化为斜截式，再利用倾斜角和斜率关系即可求解. 【详解】将化为，则直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，，则，得. 故选：C. 2. 椭圆的焦距是2，则（ ） A. 3 B. 5 C. 3或5 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 由于焦距是2，所以，然后分焦点在轴上和在轴上求解即可 【详解】解：由题意得，得， 当焦点在轴上时，， 因为，所以， 当焦点在轴上时，， 因为，所以，解得， 综上，或， 故选：C 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值判断A、B、C，根据不等式的性质判断D. 【详解】对于A，当，时，满足，但是，故A错误； 对于B，当，时，满足，但是，故B错误； 对于C，当，时，满足，但是，故C错误； 对于D，因为，所以，即，故D正确. 故选：D 4. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数、平均数、方差、极差的定义判断即可. 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为． 对于A，原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余， 中位数仍为，A正确． 对于B，原始平均数，后来平均数， 平均数受极端值影响较大，所以与不一定相同，B不正确. 对于C，，， 结合B选项易知，方差会改变，C不正确． 对于D，原极差，新极差，可能相等可能变小，D不正确． 5. 已知向量与向量夹角为，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的定义结合已知条件直接求解即可 【详解】因为向量与向量夹角为，， 所以， 则在上的投影向量为 ， 故选：A. 6. 若函数，则（ ） A. 0 B. C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】直接代入求值即可. 【详解】由题意. 故选：C. 7. 如图，三棱锥P-ABC的体积为V，E，F分别是棱PB，PC上靠近点P的三等分点，G是棱AB 上靠近点B的三等分点，H是棱AC上靠近点C的三等分点，则多面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】多面体体积为三棱锥与四棱锥体积之和,再利用体积之比与高之比底面积之比的关系解题即可. 【详解】连接， ∵ ∴， ∵， ∴, ∴多面体体积为：. 故选： B. 8. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化，再结合弦切互化和余弦定理计算即可. 【详解】根据正弦定理，由可得， 因为在中，，所以， 又根据余弦定理，， 故原式. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 关于复数，下列说法正确的是（ ） A. 是实数 B. z的共轭复数对应的点与z关于实轴对称 C. 若复数z满足，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】先算z与其共轭复数的乘积，再从几何的角度考虑与关于实轴对称，最后分析表示圆. 【详解】对于A，复数的共轭复数为，,正确. 对于B，复数对应点，其共轭复数对应点，两点关于实轴（轴）对称，正确. 对于C，假设，则，但复数平方根有双解，另一个解为，题目中仅给出，未包含全部解，C错误. 对于D，表示以z为圆心、半径为1的圆.圆心z到原点的距离为，因此圆上的点到原点的距离范围为：，，即，D正确. 故选：ABD. 10. 已知点是圆上任意一点，直线：分别与轴、轴相交于点，则（ ） A. 直线与圆相离 B. 面积的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由圆心到直线距离与半径大小即可判断，对于B，确定圆心到直线的距离，即可求解，对于C，设，通过直线与圆恒有交点即可，对于D，由与圆相切即可求解. 【详解】对于A，由，得圆心， 圆心到的距离，直线与圆相离，A正确； 对于B，易知，，由A知，圆心到直线距离为， 故圆上点到直线距离的最小值为， 所以面积最小值为，B错误； 对于C，令，得，因为为圆上的点， 所以与圆有交点， 故，解得，C正确； 对于D，结合图象可知当与圆这种相切时，最小， 设斜率为，直线方程为：，由相切可得：， 解得，即的倾斜角为，所以， 易知，所以，D正确. 故选：ACD 11. 如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为底面上的动点（包括边界），则（ ） A. 满足平面的点P的轨迹长度为 B. 满足的点P的轨迹长度小于 C. 存在点P满足 D. 存在点P满足 【答案】AC 【解析】 【分析】构造面面平行，确定点轨迹，求其长度，判断A的真假；确定P的轨迹，根据弧长与弦长的关系判断B的真假；取特殊点验证C的真假；转化为两点之间直线段最短求的最小值，可判断D的真假. 【详解】对A：如图： 取中点，中点，连接，则易证平面平面，此时平面， 故平面时，点的轨迹为线段. 因为正方体棱长为2，所以，故A正确； 对B：如图： 因为，且，所以，此时点轨迹为以为圆心，半径为的圆在正方形内的部分，易得分别为，中点， 所以，故劣弧的长度大于，故B错误； 对C：如图： 当为正方形中心时，，，， 所以，所以，故C正确； 对D：如图： 做点关于平面的对称点，则在直线上，且，连接， 则，且.故D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：对B选项，一定要弄清楚点的轨迹. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知事件互相对立，且，则＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】由对立事件的定义代入计算可得答案. 【详解】解：由题意事件互相对立，且, 可得：且， 可得， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查对立事件的定义，考查学生对基础概念的理解，属于基础题. 13. 已知函数在区间上有零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用基本初等函数的单调性判断得在上都单调递增，再利用零点存在定理得到，解之即可. 【详解】因为与在上都单调递增， 所以在上单调递增， 因为在区间上有零点， 所以，即，即， 解得， 所以实数m的取值范围为. 故答案为：. 14. 在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱为一“堑堵”，是的中点，，则在过点且与平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】取、、分别为、、的中点，分析出四边形为等腰梯形，求其面积可得结果；然后将三棱柱补成正方体，计算出三棱柱的外接球半径，结合球体表面积公式可得结果. 【详解】如图，取、、分别为、、的中点， 、分别为、的中点，则且， 在直三棱柱中，且， 因为、分别为、的中点，则且， 所以四边形为平行四边形，且， 且、分别为、的中点，则， 所以，四边形是等腰梯形， 当不是中点时，不平行平面， 则四边形不是等腰梯形，等腰梯形有且仅有一个， 取的中点，连接、， ，，且点为的中点， 则且， 所以，四边形为平行四边形，可得， 同理可得， 所以，、、均为等边三角形， . 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某校进行“AI知识”讲座，讲座之后对所有参加学习的学生进行学习效果测评，通过简单随机抽样，获得了100名学生的测评成绩作为样本数据，分成，，，，，六组，整理得到如下频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图求a的值，并估计众数和中位数； （2）在抽取的100名学生中，选取2名测评成绩在的学生作为座谈代表，求这两名学生的测评成绩恰好在同一组的概率. 【答案】（1），众数为75分，中位数为64 （2） 【解析】 【分析】（1）结合频率分布直方图的性质，通过矩形面积和为1求，再依据众数、中位数的定义进行求解； （2）先确定相关区间人数，再利用古典概型概率公式计算概率. 【小问1详解】 因为 所以 参加这次测评学生成绩的众数为75分 由所给频率分布直方图知 100名学生成绩在的频率为0.4，在的频率为0.65， 所以参加这次问卷调查学生成绩的中位数在内 设中位数为，则， 解得 所以参加这次问卷调查学生成绩的中位数为64. 【小问2详解】 在抽查的100名学生中，成绩在中的学生有人， 成绩在中的学生有人， 记［80,90）中的3人为， 记［90,100］中的2人为 所有基本事件有： 共10种， 来自同一组的有：，共4种情况， 故恰好来自同一组的概率. 16. 已知函数，将y=f（x）的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象，且y=g（x）在区间内的最小值为 （1）求m的值； （2）在锐角三角形ABC中，若g（）=，求sinA+cosB的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】⑴根据二倍角公式化简，利用平移规律得出的解析式，根据最小值列方程求出 ⑵根据条件求出，用表示出，化简得出关于的函数，根据的范围，正弦函数的性质得出的范围 【详解】⑴ ，则 当时，取得最小值， 解得 ⑵ , ，则 ，即 是锐角三角形， 则，解得 ， 即 的取值范围是 【点睛】本题主要考查了三角函数解析式的求解以及解三角形中的取值范围问题，运用辅助角公式、两角和的正弦公式进行化简，需要注意角的取值范围，有一定的计算量，属于中档题． 17. 如图，在四棱台中，底面是菱形，，，是的中点． （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：延长交于点，连结， 因为， 故，即，所以，又因为菱形， 即，又因为，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）延长交于点，连结，证明，，得到证明. （2）过点作于，即，连结，直线与平面所成的角，即为与平面所成的角，利用体积计算得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作于，即，连结， 因为，即是的中点，是的中点， 故， 所以直线与平面所成的角，即为与平面所成的角， 又因为，所以，因为平面， 所以面平面，所以平面， 故， 所以， 所以，设点到平面的距离是， 故，即， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 18. 已知过点的直线与圆相交于、两点，直线． （1）当时，求直线的方程； （2）设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值； （3）是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）或 （2） （3）存在直线，使得向量与共线，直线的方程为 【解析】 【分析】（1）法一：设弦的中点为，分直线的斜率不存在与直线的斜率存在两种情况讨论可求得直线的方程；法二：设直线的方程为，利用点到线的距离可得，求解即可； （2）法一：由题意得，结合，可求面积的最小值；法二：前面与法一相同，利用，结合二次函数的知识可求得的最小值，进而可得结论； （3）设直线的方程为，、，与圆的方程联立方程组，结合根与系数的关系，可得，进而得，结合已知得，判断方程有无解即可. 【小问1详解】 （解法一）设弦的中点为， ①当直线的斜率不存在时，易知符合题意． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为即， ，，则由，解得， 此时直线的方程为， 故直线的方程为或； （解法二）易知直线的斜率不为零，设直线方程为， ，，则由，解得或， 故直线的方程为或； 【小问2详解】 （解法一）由于、为圆的两条切线， 所以， 又，而的最小值为点到直线的距离， 所以， 故四边形面积的最小值为； （解法二） （前两步同解法一） 设点的坐标为，则， ， 所以当时，， 故四边形面积的最小值为； 【小问3详解】 易知直线的斜率不为零，设直线的方程为，、， 由，可得， 可得， 所以，所以， 则，所以. 又，，所以， 若向量与共线，则， 由，可得，解得， 当时，， 所以存在直线，使得向量与共线， 直线的方程为，即. 19. 如图，为边长为2的正三角形，，和都垂直于平面，且，，.是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角； （3）若动点在线段上，求三棱锥的外接球半径的最小值及此时的位置. 【答案】（1）证明：延长，交于点，延长，交于点，连接， 平面，平面，，， ，即是线段上靠近的三等分点， 平面，平面，，， ，即是线段上靠近的三等分点， 为中点，是线段上靠近的三等分点， ，，， 平面，平面，平面； （2） （3）外接球半径的最小值为；为线段上靠近的三等分点 【解析】 【分析】（1）延长，交于点，延长，交于点，连接，利用三角形相似，即可得到，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）利用（1）中的辅助线即可得到平面与平面的夹角的平面角，可得解； （3）作出和的外心，分别求出外接圆的半径，即可将三棱锥的外接球半径用表示，进而可求得最小值以及点的位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直角梯形中，，，，， ，同理可得，即为等腰三角形， 为中点，，即， 在平面中，，，， ，，， 是平面与平面的交线， 是平面与平面的夹角的平面角， ，，， 即平面与平面的夹角为； 【小问3详解】 ，，，平面， 平面， ，平面， 平面，平面平面， 在三棱锥中，设的外心为，的外心为， 过点作直线平面，过点作直线平面，交于点， 此时，，即三棱锥的外接球球心为， 在中，，，， 设外接圆半径为，则，解得，， 在平面中，四边形为矩形，即， 在中，，设外接圆半径为， 由正弦定理得，，即， 又， 要让三棱锥的外接球半径最小，即只要让最小， 在上动，， ，即三棱锥的外接球半径的最小值为， ，，四边形是平行四边形， ，此时为线段上靠近的三等分点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桐乡市高级中学2025学年第一学期高二年级10月月考 数学学科试题卷（普通班） 命题人：数学组 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆的焦距是2，则（ ） A. 3 B. 5 C. 3或5 D. 2 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 5. 已知向量与向量夹角为，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数，则（ ） A. 0 B. C. 4 D. 5 7. 如图，三棱锥P-ABC的体积为V，E，F分别是棱PB，PC上靠近点P的三等分点，G是棱AB 上靠近点B的三等分点，H是棱AC上靠近点C的三等分点，则多面体的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 关于复数，下列说法正确的是（ ） A. 是实数 B. z的共轭复数对应的点与z关于实轴对称 C. 若复数z满足，则 D. 若，则 10. 已知点是圆上任意一点，直线：分别与轴、轴相交于点，则（ ） A. 直线与圆相离 B. 面积的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为底面上的动点（包括边界），则（ ） A. 满足平面的点P的轨迹长度为 B. 满足的点P的轨迹长度小于 C. 存在点P满足 D. 存在点P满足 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知事件互相对立，且，则＝_____． 13. 已知函数在区间上有零点，则实数的取值范围是__________. 14. 在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱为一“堑堵”，是的中点，，则在过点且与平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某校进行“AI知识”讲座，讲座之后对所有参加学习的学生进行学习效果测评，通过简单随机抽样，获得了100名学生的测评成绩作为样本数据，分成，，，，，六组，整理得到如下频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图求a的值，并估计众数和中位数； （2）在抽取的100名学生中，选取2名测评成绩在的学生作为座谈代表，求这两名学生的测评成绩恰好在同一组的概率. 16. 已知函数，将y=f（x）的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象，且y=g（x）在区间内的最小值为 （1）求m的值； （2）在锐角三角形ABC中，若g（）=，求sinA+cosB的取值范围. 17. 如图，在四棱台中，底面是菱形，，，是的中点． （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知过点的直线与圆相交于、两点，直线． （1）当时，求直线的方程； （2）设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值； （3）是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 19. 如图，为边长为2的正三角形，，和都垂直于平面，且，，.是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角； （3）若动点在线段上，求三棱锥的外接球半径的最小值及此时的位置. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $