第5章 函数的概念、性质及其应用（高效培优单元测试·强化卷）数学沪教版2020必修第一册

第5章 函数的概念、性质及其应用（高效培优单元测试·强化卷） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．若函数，则 ． 2．函数的定义域是 . 3．设常数R，函数，若的反函数的图像经过点，则 4．函数满足条件：①图象为轴对称图形，②至少有一个最值，③至少有两个零点，请写出的一个表达式 ． 5．变量随变量变化的数据如下表： 1 2 3 4 5 6 2 4 8 16 32 64 现有三种函数模型：①，②，③最符合上表变化规律的函数模型序号是 . 6．若函数在内是严格减函数，则的取值范围是 ． 7．若函数是定义在区间上的奇函数，则 ． 8．函数的值域为 ． 9．设，，是自然对数的底数，下列命题中，真命题为 ．（填序号） ①若，则；            ②若，则； ③若，则；        ④若，则． 10．已知函数，若函数至少有2个零点，则实数的取值范围为 . 11．已知满足，当时有，则当时， ． 12．已知定义在上的函数满足：，且当时，．则关于的不等式的解集为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 14．已知函数的图象如图所示，则方程的解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 15．下列函数中，值域是的是（    ）． A． B．（） C．（） D． 16．若在上是单调函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知函数. (1)求证：是奇函数； (2)当时，求的最小值. 18．已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的表达式； (2)判断在区间上的单调性，并证明你的结论． 19．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求函数在上的解析式 (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的结论求解：若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围. 20．设为定义在上的偶函数，如图是函数图象的一部分，当时，是线段；当时，图象是顶点为，且过点的二次函数图象的一部分． (1)在图中的直角坐标系中补充完整函数的图象； (2)求函数在上的解析式； (3)求函数的单调区间和最大值． 21．已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，. (1)证明：为奇函数. (2)证明：在上是减函数. (3)求不等式的解集. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 函数的概念、性质及其应用（高效培优单元测试·强化卷） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．若函数，则 ． 【答案】3 【分析】将 代入函数表达式即可得到答案. 【详解】将 代入函数表达式： . 故答案为：3 2．函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】要使得函数有意义，则，解得且， 故函数的定义域为. 故答案为：. 3．设常数R，函数，若的反函数的图像经过点，则 【答案】 【分析】根据反函数的概念，代值计算即可. 【详解】根据题意，，即，∴. 故答案为：7 4．函数满足条件：①图象为轴对称图形，②至少有一个最值，③至少有两个零点，请写出的一个表达式 ． 【答案】（答案不唯一，写出一个即可） 【分析】由题可得满足题意的函数可为偶函数，结合最值，零点情况可得答案. 【详解】函数的对称轴为y轴，有一个最小值－1，两个零点，，符合题意． 故答案为：（答案不唯一，写出一个即可） 5．变量随变量变化的数据如下表： 1 2 3 4 5 6 2 4 8 16 32 64 现有三种函数模型：①，②，③最符合上表变化规律的函数模型序号是 . 【答案】① 【分析】观察表中数据分别判断三个模型的规律可得结论. 【详解】根据表格数据可知最符合变量随变量变化规律. 故答案为：① 6．若函数在内是严格减函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的性质即可求解. 【详解】因为函数在内是严格减函数， 所以，即，解得或. 故的取值范围是. 故答案为:. 7．若函数是定义在区间上的奇函数，则 ． 【答案】2 【分析】由奇函数定义及性质求解. 【详解】因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，解得． 因为是奇函数，所以，所以， 即，解得，所以． 故答案为：2. 8．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】解法1：利用换元法，转化为二次函数，利用二次函数的性质求解即可；解法2：利用函数的单调性求解. 【详解】解法1：设（），则， 原函数转化为（）， 因为二次函数图象的对称轴为，且抛物线开口向上， 所以在上单调递增， 所以， 所以函数的值域为． 解法2：函数的定义域为， 因为和在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以， 所以函数的值域为． 故答案为：. 9．设，，是自然对数的底数，下列命题中，真命题为 ．（填序号） ①若，则；            ②若，则； ③若，则；        ④若，则． 【答案】①④ 【分析】构造函数，利用函数的单调性解不等式 【详解】由知， 因为函数在上是增函数，所以，①正确；②错误； 由知， 因为函数在上是增函数，所以，④正确．③错误； 故答案为：①④． 10．已知函数，若函数至少有2个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】画出的图象，依题意直线与的图象至少有2个交点，结合图象即可得解. 【详解】因为，作出的大致图象如图所示， 则至少有2个零点等价于直线与的图象至少有2个交点， 由图可知，即实数的取值范围为. 故答案为： 11．已知满足，当时有，则当时， ． 【答案】 【分析】推导出的图象的对称轴为直线，当时，，可得出，即可得出函数在时的解析式. 【详解】在等式中，用替代可得， 所以的图象的对称轴为直线， 当时，，则. 即当时，. 故答案为：. 12．已知定义在上的函数满足：，且当时，．则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由条件结合奇函数的定义证明为奇函数，再结合单调性定义证明为减函数，利用函数性质化简不等式可得，结合一元二次不等式解法求结论. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为函数满足条件， 所以①，②， 由①可得， 所以，故， 所以函数为奇函数， 任取，且，则 ， 因为，所以，又当时，， 所以，故， 所以， 所以函数为减函数， 因为， 所以，又函数为奇函数， 所以，又函数为减函数， 所以，故 所以， 所以关于的不等式的解集为， 故答案为：. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解. 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 14．已知函数的图象如图所示，则方程的解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据给定的函数图象，求出直线与该图象交点个数即得. 【详解】由给定的图象知，直线与函数的图象有且只有1个交点， 所以方程的解的个数为1. 故选：B 15．下列函数中，值域是的是（    ）． A． B．（） C．（） D． 【答案】D 【分析】分别求出各函数的值域即可. 【详解】因为，所以函数值域为，故A错误； 因为时，，故B错误； 因为时，函数的值域为集合，不是区间．故C错误； 因为，所以函数的值域为，故D正确. 故选：D． 16．若在上是单调函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知二次函数的对称轴和开口方向，结合单调性列式求解即可. 【详解】因为函数的图象开口向下，对称轴为， 若在上是单调函数，则或，解得或， 所以的取值范围是. 故选：D. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知函数. (1)求证：是奇函数； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）根据奇函数定义即可得证； （2）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）因的定义域为. 对于任意，都有，且， 故是奇函数. （2）已知，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，函数取得最小值4. 18．已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的表达式； (2)判断在区间上的单调性，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析． 【分析】（1）由题知区间需对称，则，结合，即可求解，注意需检验； （2）由题易得函数在上单调递增，再利用定义法证明单调性即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以且，所以，，则， 此时恒成立， 故. （2）在上单调递增． 证明如下： 任取， ， 而，，所以，故在上单调递增． 19．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求函数在上的解析式 (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的结论求解：若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)函数在上的单调递增，. 【分析】（1）根据时的解析式，结合函数奇偶性，得出函数在时的解析式，验证符合解析式，从而得到. （2）设，则，根据恒正且单调递增判断分子、分母的符号，得出，从而得出函数在上的单调递增，结合函数单调性和奇偶性，得出若在恒成立，则在上恒成立，令，结合函数性质得出. 【详解】（1）当时，，则， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，. 所以，. 又同样满足该解析式， 所以. （2）已知，设，则 , 因为单调递增，故，而，故， 即在上单调递增. 若在恒成立，结合函数奇偶性， 有在上恒成立. 因为在上单调递增，所以，即在上恒成立. 令，则的对称轴为，开口向上， 所以当时取最大值. 由，得，即，解得. 所以. 20．设为定义在上的偶函数，如图是函数图象的一部分，当时，是线段；当时，图象是顶点为，且过点的二次函数图象的一部分． (1)在图中的直角坐标系中补充完整函数的图象； (2)求函数在上的解析式； (3)求函数的单调区间和最大值． 【答案】(1)作图见解析； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据偶函数的对称性画出函数图象； （2）根据已知写出解析式，结合点在函数图象上求参数，再用分段函数形式写出解析式； （3）由图象确定函数的单调区间和最大值. 【详解】（1）如图，根据函数为偶函数，函数的图象关于轴对称，补充完整其图象如下： （2）当时，； 当时，依题设， 将点代入，得，解得， 故． 即函数在上的解析式为； （3）由图知，函数单调递增区间为和，单调递减区间为和， 函数在和处取得最大值，且， 所以函数的最大值为4． 21．已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，. (1)证明：为奇函数. (2)证明：在上是减函数. (3)求不等式的解集. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）令、，结合奇偶性定义即可证； （2）设有，结合已知和单调性定义即可证； （3）利用奇偶性、单调性，化不等式为，即可求解集. 【详解】（1）令，则，所以， 令，则， 所以且定义域为R，故为奇函数； （2）设，因为， 所以， 所以， 因为，所以，所以，故在上单调递减； （3）因为为奇函数，且，所以， 不等式化为， 因为在上单调递减，所以，即，解得， 即不等式的解集是. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $