专题03 函数的单调性与最值（高效培优专项训练）数学沪教版2020必修第一册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03函数的单调性与最值 题型归纳 题型一：定义法判断或证明函数单调性 题型二：求函数（复合函数）单调区间 题型三：根据函数的单调性求参数 题型四：根据函数的单调性解不等式 题型五：函数单调性+奇偶性综合 题型六：根据单调性（图象）求最值或值域 题型七：根据函数的最值（值域）求参数 题型八：函数不等式恒成立问题 题型九：函数不等式能成立（有解）问题 题型专练 题型一：定义法判断或证明函数单调性 1.已知函数)=ar+(其中a,b为常数)的图象经过，22，》两点。 (1)求a,b的值： (2)判断并证明函数f(x)的奇偶性； (3)用定义证明函数f(x)在区间1，+∞)上单调递增. 1/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.设a为实数，f)=a2 、2 ,(x∈R) (1)是否存在Q,使得f(x)为奇函数？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由； (2)判断函数f(x)的单调性，并用定义法证明你的结论. 3.设函数号 (1)证明函数f(x是奇函数； (2)证明函数f(x)在(-0，+0)内是增函数. 2/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4。设m为实数，已知函数八=1写xe风是奇函数 (1)求m的值： (2)求证：f(x是增函数. 5.函数fx=n-+a心. 1+x (1)证明：函数f(x)的图象是中心对称图形： (2)若a=0,根据定义证明函数∫(x)的单调性. 3/10 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型二：求函数（复合函数）单调区间 6.函数f(x)=5-2x+4的单调递增区间为」 2-4x-5 7.函数y 的严格递减区间为」 8.函数f(x)=ln(x2-x-6)的单调递增区间是 9.函数fx)=1og2x-3x-2)的单调递增区间为_- +2x 的单调递减区间为_ 题型三：根据函数的单调性求参数 11.已知函数fx=+9在区间-2，+w上为增函数，则实数a的取值范围是 x+2 12.若函数f(x)=V7+ax-x2在区间-1,1上单调递减，则实数a的取值范围为」 13.已知函数y=6-a (a>0)在(1,2)上单调递减，则a的取值范围为 a-2 14.已知函数y=√2-ax在(0,1上单调递减，则a的取值范围为 15.已知a>0且a≠1，若函数f(x)=1og,(ar2-x)在[3,4上是减函数，则a的取值范围是 题型四：根据函数的单调性解不等式 16.函数y=f(x)是R上的增函数，且y=fx)的图象经过点A(-2,6和B1,6,则不等式f(2x-1)k6的 解集为 [x+2,x≥0 17.已知函数f(x)= x-2,x<0'若f川5a>f6-,则实数a的取值范围是 (x-1 18.已知函数f八)是定义在区间0，+上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f2x-<f得的x 的取值范围是」 x+2,x20 19.已知函数f(x)= 2<0则不等式2-4>八3的解华为— 4 20.已知函数y=f(x)在其定义域(-l,1)上是减函数，且f(1-a<fa2-1,则a的取值范围为. 题型五：函数单调性+奇偶性综合 21.设函数y=∫(x为R上的偶函数，且对任意的x,x,∈(-0,0](x≠x)均有[f(x)-f(x)](:,-x)<0, 则满足∫(x+1)<f(2x-1)的实数x的范围是 4/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.定义在R上的偶函数)满足：对任意的x,,∈(~0,05≠x)有，)-f①<0，则满足 x2-x1 f(2x-)<f(兮)的x取值范围是一 23.函数f(x为定义在R上的奇函数且在区间(-0,0]上单调递减，gx)=∫(x)-x+2,则不等式 f(x)-f(2-x)>2x-2的解集为 24.已知定义在R上的函数fx在0，+0)上单调递增，且函数f(x)为奇函数，则f(3x+4)+f(1-x)<0的 解集为」 25.已知函数f(x)=-2x3-3x+2,若不等式fa2-1+f(-a-5)>4成立，则a的取值范围是」 题型六：根据单调性（图象）求最值或值域 26.函数x)=x+xE2的最大值为 a,a≤b 27.对于任意实数a,b,定义min{a,b= 6,a>b' 设函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数 h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是 28.函数y=x2-2x-3在x∈[-1,3]上的最大值为 29.函数y=log(x+2)-r,x∈[2,6的最大值为」 30.函数y=4-3.2+5在区间[0,2]的最大值为 题型七：根据函数的最值（值域）求参数 31.函数∫x=x2-2x-3,x∈[-2，a值域是-4,5]，则实数a的取值范围是 32.己知函数y= +ixe(a,b]的最小值为2，则a的取值范围是」 4+x [x2-2ax+7,x≤0， 33.己知函数f(x)= 9 的最小值为6，则实数a的取值范围为 x+-,x>0, 4.若=+片在5上的最大值为号。测实数加的能大雀为 35.己知函数f(x)= m2+4W5x+”的值域为[-1,7刀，则m+n的值为 x2+1 5/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型八：函数不等式恒成立问题 36.已知定义在R上的函数f(x)在区间0,3上单调递减，且3f1)=1.x,y∈R, f(x-y)=3f(x)f(y)-f(x+y). a证男：到2号 (2)判断函数f(x)的奇偶性，并给予证明； (3)当xe[-3,3]时，求不等式f(2x)≤3f(x)-4f1的解集. 37.已知函数f1到=。+a为偶函数 (1)求a的值： (2)若函数gx=f(x)+2x-3,且xe[2,+o),gx≥2m+5恒成立，求m的取值范围. 6/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 38.已知函数fx=1-2 Γ1+2" (1)试确定f(x)的奇偶性； (2)求证：函数∫(x在R上是减函数： (3)若对任意的teR，,不等式f2-21+f22-k)<0恒成立，求k的取值范围. 39.已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间2,3]上有最大值4和最小值1. (1)求a,b的值： (2)若存在x∈[3,4，使gx>m2-2tm+1对任意的m∈[-2，都成立，求实数t的取值范围. 7/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 40.已知函数f(x)的定义域为R,对任意x,y都满足f(x+y)=f(x)f(y),且f(x)≠0，当x>0时， 0<f<1且2-号 (1)求f①，f(3)的值： (2)用函数单调性的定义证明f(x)在R上单调递减； 3)若对任意的xeR,3f2x2-a2+a≤f(x-5)f(3x-4)恒成立，求实数a的取值范围. 题型九：函数不等式能成立（有解）问题 41设酒数函数-+5-2 (1)若对于任意的x1∈(0，+o),总存在x2e[-1,1,使得gx2≥fx),求实数m的取值范围； 若存在[引 使得gx(x-1)≥1成立，求实数m的最大值 8/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 42.已知函数/()=2x2-x+10,g()=x-x+3引 ,(a∈R) (1)当a=1时，求f(2)的值： (2)若对任意xeR,都有f(x)>g(x)成立，求实数a的取值范围： 3)若Vxe(0,2),3x2∈[0,1，使得不等式fx)>gx成立，求实数a的取值范围. 43.已知函数fx到=2-mx+4,m∈R,gx=国 (1)当m=2时，求关于x的不等式f(2*+3)≤f4+1)的解； (2)若对任意的x∈[-1,1，存在x2∈[1,3，使得fx)≥gx,)成立，求实数m的取值范围. 9/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 44.己知函数gx=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1. (1)求a,b的值； (2)若存在xe[3,4,使gx<2m2-tm+7对任意的1e[0,5引都成立，求实数m的取值范围. 45已角函数=2x-瓜+d-4g到=-+r-aeR (1)当a=1时，解不等式f(x)>gx): (2)若任意x>0,都有f(x>gx)成立，求实数a的取值范围； 3)若xe[0,1,x,∈0,1，使得不等式fx,)>gx,)成立，求实数a的取值范围. 10/10 专题03函数的单调性与最值 题型一：定义法判断或证明函数单调性 题型二：求函数（复合函数）单调区间 题型三：根据函数的单调性求参数 题型四：根据函数的单调性解不等式 题型五：函数单调性+奇偶性综合 题型六：根据单调性（图象）求最值或值域 题型七：根据函数的最值（值域）求参数 题型八：函数不等式恒成立问题 题型九：函数不等式能成立（有解）问题 题型一：定义法判断或证明函数单调性 1．已知函数(其中为常数)的图象经过两点. (1)求的值； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)用定义证明函数在区间上单调递增. 【答案】(1) (2)函数是奇函数，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）将点坐标代入得到方程组，求出的值； （2）利用函数的奇偶性的定义求证； （3）利用单调性的定义求证. 【详解】（1） ∵函数的图象经过两点， ∴，解得； （2）函数是奇函数.证明如下： 由（1）知，，函数的定义域为. ∵， ∴函数是奇函数. （3）任取，则， ∵，∴， ∴，即， ∴在区间上单调递增. 2．设为实数，. (1)是否存在，使得为奇函数？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (2)判断函数的单调性，并用定义法证明你的结论. 【答案】(1)存在，； (2)在上为增函数，证明见解析 【分析】（1）方法一：根据得到方程，求出； 方法二：根据求出，检验后得到结论； （2）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论. 【详解】（1）方法一：若为奇函数，则， 即，变形得，解得， 所以当时，为奇函数. 方法二：若为奇函数，且，则， 所以，解得， 此时， 此时， 所以当时，为奇函数. （2）对于任意的实数，在上为增函数，证明如下： 任取，，， 则， 由于指数函数在上是增函数， 且，所以，即， 又，， 所以，即， 因为此结论与实数的取值无关， 所以对于任意的实数，在上为增函数. 3．设函数. (1)证明函数是奇函数； (2)证明函数在内是增函数. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据奇函数定义化简的表达式可得结论； （2）利用函数单调性定义直接按照步骤即可判断得出证明. 【详解】（1）由题意，得，即函数的定义域关于原点对称， ， ∴函数为奇函数. （2）设是内任意两实数，且， 则， ∵，∴，∴， ∴函数在内是增函数. 4．设为实数，已知函数是奇函数． (1)求的值； (2)求证：是增函数． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 【分析】（1）利用，求出的值，验证即可； （2）利用函数单调性的定义证明即可； 【详解】（1）函数是奇函数， 则，解得， 经检验，当时，， 则，则为奇函数， 所以的值为2. （2）由（1）可知，，设， 则，因为， 所以，， 故，即， 所以是上的增函数. 5．函数 . (1)证明：函数 的图象是中心对称图形； (2)若，根据定义证明函数的单调性. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求函数定义域，再证明函数为奇函数即可； （2）根据定义证明函数为减函数. 【详解】（1）根据题意，令，得， 即函数的定义域为，关于原点对称， 且， ， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称； （2）根据题意，时，， 设， 则， 因为，所以，， ， ， ，， 即，所以函数在上为减函数. 题型二：求函数（复合函数）单调区间 6．函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】根据指数函数以及绝对值函数的单调性，结合复合函数单调性原则即可求解. 【详解】因为的定义域为R，设， 则在上单调递减，在上单调递增． 因为在R上单调递增，所以的单调递增区间为． 故答案为： 7．函数的严格递减区间为 ． 【答案】 【分析】由题意结合指数函数、二次函数以及复合函数单调性即可得解. 【详解】由题意指数函数在定义域内严格单调递减， 若要函数关于严格单调递减，只需关于严格单调递增即可， 而二次函数对称轴为，且开口向上， 故它的严格单调递增区间为，即函数的严格递减区间为. 故答案为：. 8．函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数单调性判断方法“同增异减”，求出函数的单调递增区间. 【详解】函数的定义域即或， 令则在上单调递增，需求函数的单调递增区间，则由复合函数单调性判断方法“同增异减”， 可知需求单调递增区间，即，因此函数的单调递增区间是. 故答案为：. 9．函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】求得的定义域，由二次函数和对数函数的单调性，结合复合函数的单调性，可得所求区间 【详解】令，解得或，则的定义域为， 由在单调递减，根据复合函数的单调性：同增异减，求出的 减区间即为的增区间，再结合的定义域可知的单调递增区间为， 故答案为： 10．函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】将函数看成函数与的复合函数，根据复合函数单调性求单调区间. 【详解】函数为函数与的复合函数， 又在上单调递减， 在单调递减，在上单调递增， 又由复合函数单调性满足同增异减， 可得函数在单调递增，在上单调递减， 故答案为： 题型三：根据函数的单调性求参数 11．已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先将函数进行变形，然后根据函数的单调增区间来确定实数a的取值范围. 【详解】因为， 结合复合函数的增减性，再根据在区间上为增函数， 可得在区间上为增函数， 那么，即. 故答案为：. 12．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据复合函数单调性求解即可. 【详解】解：根据复合函数单调性可知，函数在区间上单调递减, 因此可知对称轴，且， 解得. 故答案为： 13．已知函数在（1，2）上单调递减，则a的取值范围为 . 【答案】（2，3] 【分析】分析可知函数在（1，2）上单调递减，所以，且对任意的，恒成立，可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围. 【详解】令，因为，所以为减函数，故函数为单调递减，所以 即 又在恒成立，故，所以 综上所述，实数的取值范围是（2，3]. 故答案为：（2，3]. 14．已知函数在上单调递减，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分析可知函数在上单调递减，且对任意的，恒成立，可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围. 【详解】令，因为函数在上单调递减，且外层函数在上为增函数， 故内层函数在上为减函数，所以， 对任意的，恒成立，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 15．已知且，若函数在上是减函数，则的取值范围是 【答案】 【分析】令，根据函数在上是减函数，利用复合函数的单调性，分，讨论求解. 【详解】令， 当时，因为函数在上是减函数， 所以函数在上是减函数，且成立， 则，无解， 当时，因为函数在上是减函数， 所以函数在上是增函数，且成立， 则，解得， 综上：实数的取值范围是 故答案为： 题型四：根据函数的单调性解不等式 16．函数是上的增函数，且的图象经过点和，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由函数的单调性和经过点和得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为的图象经过点和，所以， 又，所以，即. 因为函数是上的增函数，所以，解得. 故答案为：. 17．已知函数，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过分析在与两个区间段内的单调性知，在上单调递增，将抽象不等式转化为具体不等式，即可求出实数的取值范围. 【详解】因为时，单调递增，且， 因为时，单调递增，且， 所以在上单调递增， 因为，所以， 所以或，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 18．已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足 的 的取值范围是 . 【答案】 【分析】由函数单调性脱去函数外衣求解可得答案，注意定义域的限制. 【详解】因是定义在区间上的单调递增函数，且， 则. 故答案为：. 19．已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】确定给定函数的单调性，再借助单调性脱去法则，进而求解不等式得答案. 【详解】当时，函数在上单调递增，， 当时，函数在上单调递增，， 因此函数在R上是增函数，不等式， 即，解得，所以原不等式的解集为. 故答案为： 20．已知函数在其定义域上是减函数，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用函数单调性可得答案. 【详解】因为函数在定义域上是减函数， 需满足，解得， 即的取值范围为. 故答案为：. 题型五：函数单调性+奇偶性综合 21．设函数为上的偶函数，且对任意的均有，则满足的实数的范围是 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】因为函数是偶函数，且由题可知其为上的减函数， 则该函数在为增函数. 若函数在为增函数， 则等价于. 两边平方整理得，解得. 故答案为： 22．定义在R上的偶函数满足：对任意的有，则满足的x取值范围是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，可得函数在上单调递减，再利用单调性及偶函数性质求解即得. 【详解】函数对任意的有， 则函数在上单调递减，而是R上的偶函数，则在上单调递增， 所以不等式，于是，解得， 所以所求的x取值范围是. 故答案为：. 23．函数为定义在上的奇函数且在区间上单调递减，，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性可得函数的单调性，根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】由题意，，， 则不等式等价于； 由于为定义在上的奇函数且在区间上单调递减，所以在上单调递减， 又函数在上单调递减，所以在上单调递减， 所以原不等式等价于，解得，则解集为. 故答案为：. 24．已知定义在上的函数在上单调递增，且函数为奇函数，则的解集为 ． 【答案】 【分析】先判断出在单调递增，利用单调性解不等式. 【详解】函数为奇函数，又在上单调递增， 在单调递增， 从而可化为：， ，原不等式的解集为. 故答案为：. 25．已知函数，若不等式成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】构造函数，利用的奇偶性与单调性求解即可. 【详解】设，定义域为， 则，故是奇函数． 不等式等价于不等式， 即不等式． 因为是奇函数，所以． 因为均是上的减函数，所以是上的减函数， 则，即，解得． 则的取值范围是. 故答案为：. 题型六：根据单调性（图象）求最值或值域 26．函数的最大值为 ． 【答案】4 【分析】根据对勾函数的单调性即可求解. 【详解】由于对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 故的最大值为4， 故答案为：4 27．对于任意实数，定义，设函数，则函数的最大值是 ． 【答案】1 【分析】法1，把函数化成分段函数，再利用单调性求出最大值；法2，在坐标系内作出函数图象，求出最高点的纵坐标值即得. 【详解】法1：令， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 而，当时，，即，当时，， 因此函数，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在时取得最大值. 故答案为：1 法2：作函数的图象，依题意，的图象为如图所示的实线部分， 由，得，而函数在上都单调递增， 则函数在上单调递增，且当时，， 因此点为图象的最高点，所以的最大值为. 故答案为：1 28．函数在上的最大值为 ． 【答案】4 【分析】作出函数的图象，求出出函数的单调性，进而得出函数的最大值. 【详解】由题意可知， 作出函数的图象，如图所示    由图可知，在上单调递增，在上单调递减; 所以当时，取的最大值为. 故答案为：. 29．函数的最大值为 . 【答案】 【分析】判断函数的单调性，根据函数单调性即可求得答案. 【详解】由题意，知在上单调递减，在上单调递减， 故在上单调递减， 则当时该函数取到最大值， 故答案为： 30．函数在区间的最大值为 . 【答案】9 【分析】令()，利用换元法将原函数变为，结合二次函数的单调性即可求出函数的最大值. 【详解】由题意知，，令，则， 所以， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 且时，；当时，， 所以，即函数的最大值为9. 故答案为：9 题型七：根据函数的最值（值域）求参数 31．函数值域是，则实数的取值范围是 ； 【答案】 【分析】根据二次函数的值域，以及其单调性，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】因为的对称轴为，故在单调递减，在单调递增， 又，，故. 故答案为：. 32．已知函数的最小值为2，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用分离常量法化简出函数，再利用数形结合的思想分类讨论函数最小值为2的情况. 【详解】由函数，若，则，即当时，函数有最小值2. 作出图象，由图象可得要取得最小值2，； ∵在区间上单调递减， 当时，取得最小值为2，即，可得， ∴a的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】此题考查已知最值求参数取值范围，而函数是关于x的齐次式，首先需要分离常量将函数化简，再利用数形结合的思想求参数取值. 33．已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】当时，利用定义判断函数的单调性求出函数的最小值为；当时，分和两种情况讨论，根据二次函数的性质结合题意可得不等式，两种情况取并集即可求解. 【详解】当时，任取，则， 由于，则，，当时，， 当时，，则函数在区间内单调递减， 在区间上单调递增，则； 当时，的对称轴为， 若，则，符合题意； 若，则， 要使函数最小值为，则，解得：， 综上，的取值范围为． 故答案为： 34．若在上的最大值为，则实数的最大值为 . 【答案】 【分析】解方程可得出，分、两种情况讨论，结合可求得实数的取值范围，即可得解. 【详解】由可得，解得或， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数在上单调递减，此时； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 由题意可得，此时，. 综上，，因此，实数的最大值为. 故答案为：. 35．已知函数的值域为，则的值为 . 【答案】 【解析】利用判别式法将函数进行转化，即可得到结论． 【详解】解：函数的定义域是， 则函数等价为， 即． 当时，方程有解， 当时，方程必有实数根， 则判别式， 即， 函数的最大值为7，最小值为， ， 即和7是方程的两个根， 则， 故答案为：6 【点睛】本题主要考查函数最值的应用，将函数进行转化为一元二次函数，利用判别式法是解决本题的关键，属于中档题． 题型八：函数不等式恒成立问题 36．已知定义在上的函数在区间上单调递减，且．，． (1)证明：； (2)判断函数的奇偶性，并给予证明； (3)当时，求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析； (2)函数为偶函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）令，得到，令，得，结合已知得，即可证； （2）取，观察等式与奇偶性的自变量互为相反数，即可证； （3）用赋值法，将转化为，从而把不等式转化为关于的一元二次不等式，利用的单调性和奇偶性可可解不等式． 【详解】（1）令，则有， 由，得，即，所以． 令，，则，即， 因为，所以，所以； （2）函数为偶函数，证明如下： 由（1）知，，令．则， 所以，所以， 所以函数为偶函数； （3）令，则， 所以，所以． 因为，所以， 所以，即，即， 又，，所以． 当时，在区间上单调递减， 由（2）知函数为偶函数，所以在上单调递增， 所以，所以，解得． 所以当时，不等式的解集为. 37．已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)若函数，且恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用偶函数的定义可求答案； （2）利用定义法判断的单调性，根据单调性求出在的最小值即得答案. 【详解】（1）由是偶函数得， 即，解得． （2）由（1）得，则， 因为恒成立， 即． 当时，， 因为，所以， 则，则， 因此，即， 故函数在区间上单调递增， 则， 则原不等式等价于，解得， 故的取值范围是． 38．已知函数． (1)试确定的奇偶性； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由于函数的定义域为，关于原点对称，且化简求得，可得函数为奇函数； （2）化简函数的解析式为，设，化简，可得函数在上是减函数； （3）由于为奇函数，不等式即恒成立，再由函数在上是减函数可得恒成立，即恒成立．由判别式，解得的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称， 且有， 故函数为奇函数. （2）证明：， 设，再由， 可得， 故函数在上是减函数. （3）对任意的，不等式恒成立，为奇函数， 恒成立， 由函数在上是减函数， 可得 恒成立， 即恒成立， ，解得：， 故的取值范围为. 39．已知函数在区间上有最大值4和最小值1. (1)求a，b的值； (2)若存在，使对任意的都成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二次函数的性质列方程组即可求解； （2）原题条件等价于对任意的都成立，进一步列不等式组即可求解. 【详解】（1）因为，且， 可知的图象开口向上，对称轴为，可知在上单调递增， 则，解得. （2）由（Ⅰ）得， 因为存在，使对任意的都成立， 由（Ⅰ）可知：在内单调递增，则， 可得，即对任意的都成立， 因为可得，解得， 故实数的取值范围为. 40．已知函数的定义域为，对任意，都满足，且，当时，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递减； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对进行赋值，计算即可求得答案； （2）利用函数的单调性定义结合题设条件推理证明即得； （3）利用（1）已得将不等式等价变形得到，再利用函数的单调性得到，求出函数的最小值，代入求解关于的一元二次不等式即可. 【详解】（1）由，取，可得：， 又当时，，则， 再取，可得：； （2）， ，且，则，依题， 则， 即在上单调递减； （3）由已知， 又由（1）得，则有， 因在上单调递减，则恒成立， 即恒成立，又， 则，解得， 故实数的取值范围为. 题型九：函数不等式能成立（有解）问题 41．设函数，函数. (1)若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围； (2)若存在，使得成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）转化为，由基本不等式得到，由函数单调性得到，从而得到不等式，求出答案； （2）参变分离得到，变形后，由基本不等式求出的最大值，从而求出答案. 【详解】（1）对于任意的，总存在，使得， 即， 其中，， 当且仅当，即时，等号成立， 故， 因为是减函数，所以当时，， 所以，解得. （2）时，可得，， 即， 因为，分离参数可得 ， 由题意，不等式在存在解集，则 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以，解得， 所以的最大值为1. 42．已知函数，，（） (1)当时，求的值； (2)若对任意，都有成立，求实数a的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）将自变量代入求函数值即可； （2）由题设恒成立，结合求参数范围； （3）问题化为在，，有成立，求出，讨论对称轴与区间位置关系列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设，则； （2）由题设恒成立，即恒成立， 所以，只需，可得； （3）由题设，在，，有成立， 对于，，易知， 对于，， 当，时，，显然，满足； 当，时，，只需，可得； 当，时，，只需，无解； 综上，. 43．已知函数． (1)当时，求关于的不等式的解； (2)若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用二次函数的性质及得到，解一元二次不等式及指数函数的单调性求解集； （2）问题化为，上，应用基本不等式及分类讨论求函数的最值，进而求参数范围. 【详解】（1）由题设，则在上单调递增， 由，且，即， 所以，可得，故， 所以不等式的解集为； （2）由题意，，上， 在上，， 当且仅当时取等号，故， 在上，的开口向上且对称轴为， 当时，在上单调递增，则， 此时，不符合前提； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则， 此时，故； 当时，在上单调递减，则， 此时恒成立，即； 综上，. 44．已知函数在区间上有最大值4和最小值1． (1)求，的值； (2)若存在，使对任意的都成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合二次函数单调性和最值列式求解即可； （2）根据存在性问题结合二次函数最值可得对任意的都成立，结合一次函数性质分析求解. 【详解】（1）因为，且， 可知的图象开口向上，对称轴为，可知在上单调递增， 则，解得. （2）由（1）得， 因为存在，使对任意的都成立， 由（1）可知：在内单调递增，则， 可得，即对任意的都成立， 可得，解得或， 故实数的取值范围为． 45．已知函数 (1)当时，解不等式； (2)若任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)R． (2) (3)． 【分析】（1）利用作差法计算可得，即可求解； （2）由题意可得在恒成立.法一：根据一元二次不等式恒成立问题计算即可求解；法二：利用分离参数法可得，结合基本不等式求出即可； （3）由题意可知，结合二次函数的图象与性质分别求出，建立不等式，解之即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以，即， 所以的解集为R． （2）若对任意，都有成立，即在恒成立， 解法一：设，对称轴， 由题意，只须， ①当即时，在上单调递增， 所以，符合题意，所以； ②当即时，在上单调递减，在单调递增， 所以，解得且， 所以． 综上，． 解法二：不等式可化为，即， 设， 由题意，只须， 当且仅当即时等号成立，则， 所以，即． （3）若对任意，存在，使得不等式成立， 即只需满足， ，对称轴在上递减，在上递增， 所以； ，对称轴， ①即时，在递增， 所以恒成立； ②即时，在递减，在递增， ， 所以，故； ③即时，在递减，， 所以，解得. 综上：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $