专题02 函数的奇偶性（高效培优专项训练）数学沪教版2020必修第一册

专题02函数的奇偶性 题型一：函数奇偶性的判断 题型二：由奇偶性求解析式 题型三：由奇偶性求参数 题型四：由奇偶性求值 题型五：抽象函数的奇偶性 题型六：函数奇偶性的应用 题型一：函数奇偶性的判断 1．已知函数是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 4．已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 5．判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 6．已知. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性. 7．已知． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并加以证明； (3)求的值． 题型二：由奇偶性求解析式 8．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则当时，等于（   ） A． B． C． D． 10．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， 11．已知函数为奇函数，为偶函数，，则 ． 12．定义在上的奇函数，当时，，其中，且，其中是自然对数的底，． (1)求的值； (2)当时，求函数的解析式． 13．已知是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求的解析式； (2)求的值域. 14．是奇函数，是偶函数，且，求，的解析式． 题型三：由奇偶性求参数 15．已知函数是定义域为R的偶函数，则 ． 16．已知是偶函数，则的取值为 ． 17．已知是偶函数，则实数的值为 . 18．已知函数是奇函数，则 ． 19．若函数为奇函数，则 . 20．已知函数为奇函数，则等于 ． 题型四：由奇偶性求值 21．已知函数．若的最小值为，则的最大值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．9 22．已知函数，若，则（   ） A． B． C． D．2 23．已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则（   ） A． B． C．25 D．15 24．设是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B． C．-1 D． 25．设函数是奇函数.若函数，则（    ） A．28 B．33 C．38 D．43 题型五：抽象函数的奇偶性 26．已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 27．已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 28．已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 29．函数的定义域为，且与都为奇函数，则说法不正确的是（    ） A．为奇函数 B．为周期函数 C．为奇函数 D．为偶函数 30．已知 ，且，则是（　　） A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶函数 D．不能确定 题型六：函数奇偶性的应用 31．已知，都是定义域为的奇函数，则函数的部分图象可能为（   ） A． B． C． D． 数的部分图象有可能是（    ） A．   B．   C．   D．   33．已知函数，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 34．已知函数为奇函数，且，则（   ） A．2 B． C．1 D．3 35．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02函数的奇偶性 题型一：函数奇偶性的判断 题型二：由奇偶性求解析式 题型三：由奇偶性求参数 题型四：由奇偶性求值 题型五：抽象函数的奇偶性 题型六：函数奇偶性的应用 题型一：函数奇偶性的判断 1．已知函数是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数奇偶性的定义判断可得结论． 【详解】因为的定义域为R，又因为，所以是偶函数，不符合题意； 令，则，所以是偶函数，不符合题意； 令，则，所以是偶函数，不符合题意； 令，则，所以是奇函数，符合题意． 故选：D． 2．下列函数中，是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式的形式，直接判断选项. 【详解】是偶函数，是奇函数，和是非奇非偶函数. 故选：B 3．已知函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数性质判断选项 【详解】根据得 可得，故为奇函数 故选：A 4．已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】D 【分析】根据奇偶性的定义判断即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以； 是定义在上的偶函数，所以， 则，所以为奇函数，故A错误； ，所以为偶函数，故B错误； ，则为非奇非偶函数，故C错误； ，故为偶函数，故D正确. 故选：D 5．判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 【答案】(1)奇函数 (2)既是奇函数又是偶函数 (3)既不是奇函数也不是偶函数 (4)奇函数 (5)奇函数 【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，对于函数定义域不对称的即为非奇非偶函数，再结合函数奇偶性的定义逐一判断（1）（5）题即可． 【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称，且，则为奇函数． （2）对于函数，由可得， 其定义域为，关于原点对称．因为当时，都有， 满足，故既是奇函数又是偶函数． （3）由可得，即函数的定义域为，不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数． （4）由可得，且， 即函数的定义域为且，关于原点对称，此时． 因为，所以函数是奇函数． （5）因函数的定义域为，关于原点对称． 且当时，，则； 当时，，则． 综上所述，，所以函数是奇函数． 6．已知. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性. 【答案】(1)； (2)奇函数. 【分析】（1）根据对数的真数大于0列不等式可得解； （2）先判断定义域是否关于原点对称，再根据函数奇偶性的定义计算判断即可. 【详解】（1）由题意，，则，即，，解得， 故的定义域为. （2）由（1）可知，的定义域关于原点对称， 又， 函数是奇函数. 7．已知． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并加以证明； (3)求的值． 【答案】(1) (2)偶函数，证明见解析 (3)0 【分析】（1）根据对数的真数大于零列不等式组求解即可； （2）根据偶函数的定义证明即可； （3）根据对数的运算法则求解即可. 【详解】（1）由得， 所以函数的定义域为． （2）为偶函数，证明如下： 因为函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数为偶函数． （3）． 题型二：由奇偶性求解析式 8．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义求出解析式. 【详解】函数是定义在上的偶函数，当时，， 当时，，则. 故选：A 9．已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则当时，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，，由奇函数的性质得出，即可得解. 【详解】因为函数为定义在上的奇函数，且当时，， 则当时，，所以，， 此时，. 故选：D. 10．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， 【答案】 【分析】根据条件得到时，，又，求出答案. 【详解】当时，，故， 又是定义在上的奇函数，故， 所以，故. 故答案为： 11．已知函数为奇函数，为偶函数，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，由函数解析式和奇偶性可得，，从而由可得，综合可得的解析式． 【详解】函数为奇函数，则， 为偶函数，则， 因为①，则， 所以②， 则由①-②可得. 故答案为：． 12．定义在上的奇函数，当时，，其中，且，其中是自然对数的底，． (1)求的值； (2)当时，求函数的解析式． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求得的值； （2）根据奇函数的定义求解析式． 【详解】（1）∵，是上的奇函数， ∴，则； （2）当时，，则，又是奇函数，则； 当时，，则，又是奇函数，则. ∵是定义在R上的奇函数，则， 故当时，函数解析式为：. 13．已知是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求的解析式； (2)求的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用奇函数性质求对称区间的解析式，及奇函数满足，即得答案； （2）求两个分段的二次函数值域，再求三段值域的并集即可. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ， 由题， 当， ， 所以， （2）在单调递增， 所以 在单调递增， 所以， 又因为， 所以的值域为. 14．是奇函数，是偶函数，且，求，的解析式． 【答案】， 【分析】根据奇函数和偶函数的定义，通过解方程组进行求解即可. 【详解】∵是奇函数，是偶函数， ∴，， 又，① 用代替上式中的，得， 即．② 联立①②得，． 题型三：由奇偶性求参数 15．已知函数是定义域为R的偶函数，则 ． 【答案】 【分析】法一：由偶函数性质有恒成立，求参数值，进而求函数值；法二：由偶函数得求参数值，注意验证，进而求函数值. 【详解】法一：由函数是定义域为R的偶函数，得恒成立， 即恒成立，即恒成立， 又不恒为0，所以，则； 法二：，，因为函数是定义域为R的偶函数， 所以，即，解得， 经检验，此时为偶函数，故， 所以． 故答案为： 16．已知是偶函数，则的取值为 ． 【答案】 【分析】由题意得，代入解出即可. 【详解】由题意有，即， 所以，所以， 解得，解得， 故答案为：. 17．已知是偶函数，则实数的值为 . 【答案】3 【分析】由偶函数的性质有、求参数，即可得. 【详解】由题设，则，得恒成立，故， 由偶函数的定义域关于原点对称，则，可得， 所以. 故答案为：3 18．已知函数是奇函数，则 ． 【答案】0 【分析】方法1，由奇函数定义可得答案； 方法2，由特殊值法可得答案. 【详解】方法1，因是奇函数，则 （舍去）或，得； 方法2，由题可得，则. 故答案为： 19．若函数为奇函数，则 . 【答案】3 【分析】根据奇函数定义可得，代入运算求解即可. 【详解】设，则，则，， 因为是奇函数，则，即，可得， 即，所以. 故答案为：3. 20．已知函数为奇函数，则等于 ． 【答案】 【分析】根据奇函数求出时的解析式，对照所给解析式得出a，b即可得解． 【详解】设，则，所以， 所以， 又当时，，所以，，故， 故答案为：． 题型四：由奇偶性求值 21．已知函数．若的最小值为，则的最大值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】A 【分析】由题意得，令，，可得为奇函数，然后根据奇函数的性质结合的最小值为，可求得其最大值. 【详解】因为， 所以， 令，，则， 所以为奇函数， 因为的最小值为，所以， 因为为奇函数，所以， 即， 所以. 故选：A． 22．已知函数，若，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】应用函数是偶函数的定义及对数运算计算求解函数值. 【详解】函数，函数定义域为， ，所以是偶函数， 所以； 故选：D. 23．已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则（   ） A． B． C．25 D．15 【答案】A 【分析】利用偶函数性质可得，即可求得，从而可求解. 【详解】由偶函数的性质可知，，得， 即时，，则，故A正确. 故选：A． 24．设是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B． C．-1 D． 【答案】C 【分析】由函数的奇偶性知，代入相应解析式计算即可. 【详解】因为 是定义在上的奇函数，且当时，， . 故选：C. 25．设函数是奇函数.若函数，则（    ） A．28 B．33 C．38 D．43 【答案】A 【分析】首先利用函数的奇偶性列出等式，然后根据的值求出的值. 【详解】由函数是奇函数可知， 因此可得； 又，因此； 两式相加可得； 又，因此. 故选：A. 题型五：抽象函数的奇偶性 26．已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】通过赋值法结合奇函数的性质即可求解. 【详解】令，则， 因为是定义在上的奇函数， 所以，则. 故选：C. 27．已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】B 【分析】用赋值法，先令求得，再令求解后即可判断． 【详解】在中， 令，则，又，所以， 令得，所以， 所以是偶函数， 故选：B． 28．已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】C 【分析】根据抽象函数，利用奇偶函数的性质直接判断即可. 【详解】因为， 所以令，可得， 令，则， 所以， 则既不是奇函数又不是偶函数， 且， 所以是奇函数. 故选：C 29．函数的定义域为，且与都为奇函数，则说法不正确的是（    ） A．为奇函数 B．为周期函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】D 【分析】由奇函数性质及题意得且，因此即，进而得且即可判断A、B；由可得，结合奇函数的定义即可判断C、D. 【详解】因为为奇函数，所以， 又为奇函数，所以， ∴，即， 所以，且， ∴是周期为2的函数，且是奇函数，故A、B正确； 由得， 故由A、B得， 即为奇函数，故C正确； 由得， 所以为奇函数，故D错误； 故选：D. 30．已知 ，且，则是（　　） A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶函数 D．不能确定 【答案】A 【分析】由赋值法得出，再由，结合定义判断即可. 【详解】取，则，因为，所以. 取，则，即. 即函数是偶函数. 故选：A 题型六：函数奇偶性的应用 31．已知，都是定义域为的奇函数，则函数的部分图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断的奇偶性，然后求，结合图像判断，利用排除法即可求解.. 【详解】由题知，的定义域为，关于原点对称， 由，得是偶函数，A，B错误. ，都是定义域为的奇函数，则， 则，D错误，C正确. 故选：C 32．下列图象中，函数的部分图象有可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 定义域关于原点对称，因为，即函数为奇函数，排除CD选项， 当时，，则，此时，排除B选项. 故选：A. 33．已知函数，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，得到函数为奇函数，由，求得，化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 所以函数为奇函数， 因为正实数满足， 可得，即， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 34．已知函数为奇函数，且，则（   ） A．2 B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】由即可求解. 【详解】由函数为奇函数， 可得：． 故选：B． 35．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】采用排除法，根据函数奇偶性可排除D，根据且时，可排除A，C. 【详解】记，函数的定义域是， ，所以函数为偶函数，其图像关于轴对称，故D错误； 当且时，，，即，图像在轴下方，故A，C错误． 故选：B. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $