第5章 函数的概念、性质及其应用 单元题型总结（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第一册

第5章 函数的概念、性质及其应用 单元题型总结 教学目标 （1）理解函数的概念和表示方法，并能应用函数的概念解决一些问题； （2）掌握函数单调性的概念，会用符号语言表达单调性、最值，能用定义证明简单函数的单调性并会简单应用； （3）了解函数奇偶性的概念和几何意义，并能解决具体问题； 教学重难点 教学重点：　 （1）进一步理解函数概念，使用函数的单调性解决问题. （2）巩固函数奇偶性的概念，能运用函数的奇偶性解决具体的问题. （3）巩固函数零点的概念，能运用函数的图象解决函数零点的问题. 3、 教学难点： 理解函数概念，函数性质的应用 知识点01 函数的概念 一般地，给定两个非空实数集与，以及对应关系，如果对于集合中的每一个实数，在集合中都有 的实数与对应，则称为定义在集合上的一个函数，记作 ，，其中称为 ，称为 ，自变量取值的范围(即数集)称为这个函数的 ，所有函数值组成的集合,称为函数的 ． 【即学即练】下列能表示是的函数的是(　　) ①　 ②　 ③　 ④ A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 知识点02 求函数解析式 1、待定系数法：若已知 （如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． 2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 【即学即练】已知函数满足：对任意，都有，求的解析式． 知识点03函数单调性 1.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当 时， 都有 那么就称函数在区间上 .（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 1.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当 时， 都有 那么就称函数在区间上是 .（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 【即学即练】若函数对于任意恒成立，则实数的取值范围是 ． 知识点04 函数单调性性质 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 【即学即练】设都是单调函数，有如下四个命题： （1）若单调递增，单调递增，则单调递增； （2）若单调递增，单调递减，则单调递增； （3）若单调递减，单调递增，则单调递减； （4）若单调递减，单调递减，则单调递减． 其中为真命题的是 （填序号）． 知识点05 函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 【即学即练】已知函数在区间内的最大值为，则 ． 知识点06函数奇偶性 1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且 ，那么函数就叫做 . 1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做 . 1.3性质法判断函数奇偶性： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 【即学即练】设函数，且为奇函数，则 . 知识点07 函数零点存在性定理 1、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有 ，那么函数在区间内 ，即存在 ，使得，这个也就是方程的解. 说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可. 【即学即练】函数的零点在区间内，则正整数 . 题型01 求函数的定义域 【典例1】若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【变式1】函数的定义域为 【变式2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【变式3】若函数的定义域为，则实数取值范围是 . 【变式4】若函数的定义域为一切实数，则实数的取值范围是 ． 题型02 求函数的值域 【典例1】函数的值域是 ． 【变式1】的值域为 【变式2】函数的值域为 【变式3】已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【变式4】若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 题型03求函数解析式 【典例1】（1）已知，则＝ ； （2）已知函数是一次函数，若，则＝ ； （3）已知函数对于任意的都有，则＝ . 【变式1】写出一个二次函数，使得不等式的解集为，该函数 . 【变式2】已知函数，则 ． 【变式3】若函数满足方程且，则： （1） ；（2） ． 【变式4】已知函数f（x）满足：①对，，；②．请写出一个符合上述条件的函数f（x）＝ ． 题型04 分段函数 【典例1】已知函数的值域为，则的取值范围是 . 【变式1】已知函数，若恒成立，其中，则的取值范围是 ． 【变式2】已知函数，其中为正实数，则 ． 【变式3】已知函数，在上单调递增，则实数a的取值范围为 . 【变式4】已知函数是奇函数，则 ． 题型05 函数单调性 【典例1】已知函数，若在单调递增，则m的范围为 . 【变式1】已知函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是 ． 【变式2】已知，且，函数在上单调递减，则实数a的取值范围为 . 【变式3】已知函数的定义域为，且函数在上单调递减，则与的大小关系为 ． 【变式4】已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 题型06 函数奇偶性 【典例1】已知偶函数的定义域为，且当时，，则 ． 【变式1】已知幂函数的图像过点，若函数为奇函数，则实数 ． 【变式2】函数是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 . 【变式3】已知函数是奇函数，当时，，则当时， . 【变式4】已知函数是奇函数，则实数 ． 题型07 单调性和奇偶性综合 【典例1】已知函数且，为实数. (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)若任意，恒成立，求实数的取值范围. 【变式1】已知函数为奇函数，且 (1)求； (2)求证：在区间上单调递增； (3)若对任意的都有，求实数的取值范围. 【变式2】已知定义域为R的函数是奇函数，且． (1)求实数a，b的值； (2)试判断的单调性，并用定义证明； (3)解关于x的不等式． 【变式3】已知幂函数在区间上单调递减． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 【变式4】已知. (1)当时，根据定义证明函数在区间上单调递增； (2)若，设，判断函数的奇偶性. 题型08 函数与方程（小题） 【典例1】已知函数若有三个零点，则的取值范围是 . 【变式1】函数的零点是 ． 【变式2】函数的零点是 ． 【变式3】已知函数，若在上有解，则m的取值范围是 ． 【变式4】若函数恰有两个不同的零点，则实数的范围是 ． 题型09 函数与方程（大题） 【典例1】已知函数若存在实数使得方程有4个不同实根，且． (1)求的取值范围； (2)求的值． 【变式1】已知函数（且）的图象过点． (1)求实数的值； (2)解关于的不等式； (3)求函数的零点个数． 【变式2】已知函数． (1)用定义证明函数在R上为减函数； (2)若（其中，），求实数的取值范围； (3)若在上存在唯一零点，求实数的取值范围． 【变式3】已知函数是偶函数. (1)求实数的值； (2)若方程有两个不等的实数解，求实数的取值范围. 【变式4】已知，函数. (1)若函数的值域为，求的取值范围； (2)若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求的取值范围. 题型10函数模型及其应用 【典例1】《国家发展改革委等部门关于加强新能源汽车与电网融合互动的实施意见》中提出＂到2030年，我国车网互动技术标准体系基本建成，市场机制更加完善，车网互动实现规模化应用，智能有序充电全面推广＂.为此，某经营充电桩的公司调查了某地区在过去一年内（12个月），每月的充电桩总量（单位：个）与时间（单位：月）的部分数据如下表所示： （单位：月） 1 2 ⋯ 6 7 ⋯ （单位：个） 16 24 ⋯ 110 144 ⋯ (1)给出两个函数模型：与，请根据题干表格中第1，2月的数据，确定这两个函数模型对应的解析式； (2)在（1）的条件下，根据第6，7月数据，选出与监测数据差距较小的函数模型． 【变式1】为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件元，出厂价为每件元，每月的销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：． (1)设袁阳每月获得的利润为（单位：元），写出每月获得的利润与销售单价的函数关系； (2)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？ 【变式2】某工厂进行加工生产所的工料两种供应方式，一种是从市场上直接采购工料，另一种是通过工厂自身生产工料，该工厂去年（2月至12月）每月所需的工料总量均为12000件，由于工厂生产车间处于调试阶段，自身生产的工料有限，于是工厂从市场上采购一部分工料作为补充，两种供应方式同时进行，2月至6月，该工厂从市场上采购的工料量（件）与月份x（，且x为整数）之间满足的函数关系如下表 月份x（月） 2 3 4 5 6 市场采购工料量（件） 6000 4000 3000 2400 2000 7月至12月，该工厂自身生产的工料量（件）与月份x（，且x为取整数）之间满足二次函数关系式为．其图象如图所示.2月至6月，该工厂每件工料的市场采购成本（元）与月份x之间满足函数关系式，该工厂自身生产的每件工料的成本（元）与月份x之间满足函数关系式：；7月至12月的每一个月份，该工厂从市场采购的工料成本均为3元/件，该工厂自身生产的工料成本为1.5元/件． (1)请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别求出与x之间的函数关系式； (2)请你求出该工厂去年（2月至12月）哪个月份所需的工料总费用W（元）最多，并求出这个最多费用． 【变式3】某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且.当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元. (1)求a，b； (2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 【变式4】2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） (2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 题型11反函数 【典例1】若函数 与函数 的图象关于直线 对称，则 的大致图象是（    ） A．   B．     C．   D．   【变式1】已知，则下列不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知实数x，y满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】函数的反函数为， 则（     ） A．2 B．3 C．8 D．9 【变式4】函数，的反函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 题型12恒成立与能成立问题 【典例1】已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)判断的单调性，并用单调性定义给出证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【变式1】已知函数. (1)当时，求的单调递减区间； (2)当在上恒成立，求的取值范围. 【变式2】已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，. (1)求函数与的解析式； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 【变式3】已知函数． (1)若，求的值； (2)根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【变式4】已知定义在上的函数为偶函数且，. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求实数a取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围. 1．已知函数是定义域为R的偶函数，则 ． 2．若函数（k为常数）在定义域上为奇函数，则 ． 3．写出一个同时满足下列3个性质的函数 ． ①是偶函数；②在区间上单调递增；③的最小值为2． 4．已知函数，若，则实数的值为 ． 5．已知函数是奇函数，且当时，，若，则 ． 6．若函数在上有两个零点，则参数的取值范围是 ． 7．若函数在定义域内恒有，则 ． 8．若函数有最大值2，则 . 9．已知的定义域为，且，对于任意正数x，y，都有，若当时，，则不等式的解集为 . 10．若对任意的，不等式恒成立，则m的最大值为 ，n的最小值为 ． 11．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 12．定义在上的函数满足：，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．已知定义在R上的奇函数，当时，. (1)作出的函数图象； (2)求函数在R上的解析式； (3)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 14．定义在上的函数满足．若当时，． (1)当时，求的解析式； (2)，，求实数的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 函数的概念、性质及其应用 单元题型总结 教学目标 （1）理解函数的概念和表示方法，并能应用函数的概念解决一些问题； （2）掌握函数单调性的概念，会用符号语言表达单调性、最值，能用定义证明简单函数的单调性并会简单应用； （3）了解函数奇偶性的概念和几何意义，并能解决具体问题； 教学重难点 教学重点：　 （1）进一步理解函数概念，使用函数的单调性解决问题. （2）巩固函数奇偶性的概念，能运用函数的奇偶性解决具体的问题. （3）巩固函数零点的概念，能运用函数的图象解决函数零点的问题. 3、 教学难点： 理解函数概念，函数性质的应用 知识点01 函数的概念 一般地，给定两个非空实数集与，以及对应关系，如果对于集合中的每一个实数，在集合中都有唯一确定的实数与对应，则称为定义在集合上的一个函数，记作，，其中称为自变量，称为因变量，自变量取值的范围(即数集)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合,称为函数的值域． 【即学即练】下列能表示是的函数的是(　　) ①　 ②　 ③　 ④ A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据函数的定义即得. 【详解】能表示是的函数必须满足对于定义域内任意的通过对应法则的作用下都有唯一确定的与之对应， 所以①②④是， 而③中，存在有两个与之对应，所以③不是. 故选：A 知识点02 求函数解析式 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． 2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 【即学即练】已知函数满足：对任意，都有，求的解析式． 【答案】 【分析】用代换，得，联立条件，求出答案. 【详解】由题意知，用代换，得， ，消去，可得． 知识点03函数单调性 1.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 1.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 【即学即练】若函数对于任意恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】判断函数的单调性，根据二次函数的性质可得关于的不等式，求解即可． 【详解】由题意得，在上单调递增， 所以，解得． 即实数的取值范围是. 故答案为：. 知识点04 函数单调性性质 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 【即学即练】设都是单调函数，有如下四个命题： （1）若单调递增，单调递增，则单调递增； （2）若单调递增，单调递减，则单调递增； （3）若单调递减，单调递增，则单调递减； （4）若单调递减，单调递减，则单调递减． 其中为真命题的是 （填序号）． 【答案】（2）（3） 【详解】由单调函数的性质知（2）（3）正确． 知识点05 函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 【即学即练】已知函数在区间内的最大值为，则 ． 【答案】/ 【分析】分、、三种情况讨论，分析函数在上的单调性，结合可求得实数的值. 【详解】因为二次函数图象的对称轴为直线， 当时，函数在上为减函数，则，解得，合乎题意； 当时，函数在上为增函数，在上为减函数， 所以，，无解； 当时，函数在上为增函数， 所以，，解得（舍）. 综上所述，. 故答案为：. 知识点06函数奇偶性 1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 1.3性质法判断函数奇偶性： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 【即学即练】设函数，且为奇函数，则 . 【答案】2 【分析】根据奇函数性质得到，带入化简得到答案. 【详解】若函数为奇函数， 则， 解得：. 故答案为：. 知识点07 函数零点存在性定理 1、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可. 【即学即练】函数的零点在区间内，则正整数 . 【答案】 【分析】首先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可. 【详解】因为定义域为， 又与均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，， 所以，所以在上存在唯一零点，所以. 故答案为： 题型01 求函数的定义域 【典例1】若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法求出的定义域，和的解集，即可求解. 【详解】由题意得函数的定义域是， 令，所以，即，解得， 由，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【变式1】函数的定义域为 【答案】 【分析】利用函数有意义列出不等式组，求解即得定义域. 【详解】函数有意义，则，解得且， 所以所求定义域为. 故答案为： 【变式2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】依题意，函数的定义域为， 所以函数有意义应满足，解得， 所以的定义域为. 故答案为： 【变式3】若函数的定义域为，则实数取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意知恒成立，再求解即可. 【详解】函数的定义域为，则恒成立， 当时显然不成立； 当时，则恒成立， 当时，，解得. 综上所述：实数取值范围是. 故答案为：. 【变式4】若函数的定义域为一切实数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 根据题意可得对一切实数恒成立，分和两种情况，结合恒成立问题运算求解. 【详解】由题意可得：对一切实数恒成立， 当时，则对一切实数恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：，即实数的取值范围是. 故答案为：. 题型02 求函数的值域 【典例1】函数的值域是 ． 【答案】 【分析】利用判别式法即可求出函数的值域. 【详解】由题知函数的定义域为， 所以，将整理得， 所以，当时，； 当时，，解得， 所以，，即函数的值域是 故答案为： 【变式1】的值域为 【答案】 【分析】通过换元法，求换元后的值域即可. 【详解】设 则， ， 故函数的值域为. 故答案为： 【变式2】函数的值域为 【答案】 【分析】采用分离常数的方式可直接求得结果. 【详解】， ，，， 即的值域为. 故答案为：. 【变式3】已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求解出时的值域，然后根据分类讨论时的值域，由此确定出的取值范围. 【详解】当时，，此时， 当且时，， 此时，且，所以不满足； 当且时，， 由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以，此时， 若要满足的值域为，只需要，解得； 当且时，因为均在上单调递增， 所以在上单调递增，且时，，时，， 所以此时，此时显然能满足的值域为； 综上可知，的取值范围是， 故答案为：. 【变式4】若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依题意可得能够取到大于等于的所有数，然后对分类求解得答案． 【详解】解：因为函数的值域为， 所以能够取到大于等于的所有数， 当时，不合题意； 当时，则，解得； 综上可得. 故答案为：． 题型03求函数解析式 【典例1】（1）已知，则＝ ； （2）已知函数是一次函数，若，则＝ ； （3）已知函数对于任意的都有，则＝ . 【答案】 或 【解析】（1）利用换元法或者配凑法求复合函数的解析式； （2）已知函数的性质和利用待定系数法求函数解析式； （3）利用方程组的方法求函数解析式. 【详解】解：（1）法一(换元法)：令， 则， 代入原式有， 所以. 故答案为：. 法二(配凑法)：， 因为， 所以. 故答案为：. （2）设， 则， 又， 所以， 即， 解得或， 所以或. 故答案为：或. （3）由题意，在中， 以代可得， 联立可得， 消去可得. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用换元法、配凑法、待定系数法和方程组的方法求函数的解析式. 【变式1】写出一个二次函数，使得不等式的解集为，该函数 . 【答案】（答案不唯一，满足，即可） 【分析】根据函数图象的平移可知的解，再根据函数的零点及增减性构造函数即可求解 【详解】将的图象向右平移1个单位可得到的图象， 故的解集为， 故可取二次函数， 故答案为：（答案不唯一，满足，即可） 【变式2】已知函数，则 ． 【答案】（且） 【分析】运用换元法求解即可. 【详解】由于，（且）， 则， 所以,且，所以（且）． 故答案为：（且）． 【变式3】若函数满足方程且，则： （1） ；（2） ． 【答案】 【分析】令可得；用替换，再解方程组可得答案. 【详解】令可得：，所以； 由①得，②， 联立①②可得：. 故答案为：①；②. 【变式4】已知函数f（x）满足：①对，，；②．请写出一个符合上述条件的函数f（x）＝ ． 【答案】（答案不唯一，符合条件即可） 【分析】由条件对，，可推测在上可能为对数函数，再由确定其解析式. 【详解】因为对，，； 所以在上可能为对数函数， 故满足条件①，又， 所以， 故符合上述条件的函数可能为：， 故答案为：（答案不唯一）. 题型04 分段函数 【典例1】已知函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意可先确定时的值域，再利用函数的值域为，得到时，函数的单调性及端点函数值的范围即可求. 【详解】因为时，，所以， 又的值域为，所以时，的值域至少要取到， 则. 故答案为：. 【变式1】已知函数，若恒成立，其中，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的图像特征，然后根据知道的图像是图像左移个单位长度，要使恒成立，通过分析图像找到相切时的情况，从而确定的取值范围. 【详解】易知函数图象如图所示，因为， 所以函数图象即为函数图象左移个单位长度，    当曲线与直线相切时， 令，即， 则，解得：， 故，恒成立时，由图像可知，. 故答案为：. 【变式2】已知函数，其中为正实数，则 ． 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式，将自变量的值代入对应的解析式，由内到外即可求解. 【详解】∵函数， ∴，∴. 故答案为：. 【变式3】已知函数，在上单调递增，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据函数为增函数可知在各段上为增函数，列出不等式组求解，即可得解. 【详解】由函数在上单调递增， 可得，即，解得， 故答案为： 【变式4】已知函数是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的定义结合题意求出当时函数的解析式即可求解. 【详解】当时，，所以，即 则，． 故答案为： 题型05 函数单调性 【典例1】已知函数，若在单调递增，则m的范围为 . 【答案】. 【分析】由题意，结合二次函数性质得单调区间，进一步结合已知即可列不等式求解. 【详解】由题意， 所以在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增， 若在单调递增， 则或，解得或. 故答案为：. 【变式1】已知函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用常数分离法将原函数变形，根据参数分类讨论，利用反比例函数的单调性建立不等式，求解即得参数范围. 【详解】当时，，在上单调递增，不合题意； 当时，由题意得， ①当时，，显然不合题意； ②当且时，，函数在和均为增函数，不合题意； ③当时，，函数在和均为减函数，因在上为减函数，故需使，即，故得. 综上，可得实数的取值范围是. 故答案为： 【变式2】已知，且，函数在上单调递减，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】考虑各段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，由此可求结果. 【详解】因为函数在上单调递减， ∵，解得 ∴实数a的取值范围为 故答案为：. 【变式3】已知函数的定义域为，且函数在上单调递减，则与的大小关系为 ． 【答案】 【详解】因为，函数在区间上单调递减，所以． 【变式4】已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，由复合函数可知，内层函数在上为减函数，且对任意的，恒成立，即可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】令，因为外层函数为减函数，且原函数在上单调递增， 所以内层函数在上为减函数， 且对任意的，恒成立， 所以，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型06 函数奇偶性 【典例1】已知偶函数的定义域为，且当时，，则 ． 【答案】2 【分析】根据偶函数的性质可知，再利用时，的解析式求出即可． 【详解】∵为偶函数， ∴， ∵当时，， ∴， 故． 故答案为：2． 【变式1】已知幂函数的图像过点，若函数为奇函数，则实数 ． 【答案】1 【分析】根据幂函数定义确定参数值，再结合对数型复合函数是奇函数计算求参. 【详解】由幂函数过点， 即，解得，所以为偶函数， 因为为奇函数，所以为奇函数， 所以， ，， 所以，，所以，则实数. 当时，定义域为关于原点对称， ，所以函数为奇函数， 故答案为：1. 【变式2】函数是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 . 【答案】 【分析】利用奇函数的性质，可证明函数关于点成中心对称图形，即可求得. 【详解】由函数， 因为函数是定义在上的奇函数，所以有， 则， 所以可得函数关于点成中心对称图形， 因为函数的最大值为，最小值为， 所以最大值点与最小值点关于点成中心对称图形， 即， 故答案为：. 【变式3】已知函数是奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】当时，，根据奇函数的定义求对称区间上的解析式. 【详解】设，则， 所以， 又函数为奇函数， 所以， 即时，， 故答案为：； 【变式4】已知函数是奇函数，则实数 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到，不妨设，列出方程，即可求解. 【详解】因为函数是奇函数，则满足， 不妨设，则，可得，即，所以. 故答案为：. 题型07 单调性和奇偶性综合 【典例1】已知函数且，为实数. (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)若任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据结合对数的运算即可求解； （2）首先求出的定义域，再根据奇偶性的定义判断即可； （3）利用换元法求出的范围，再利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，解得； （2）， 因为，解得，所以的定义域为， ， 所以为奇函数； （3），， 令，，则， 因为在单调递减，在单调递增， 所以在单调递减. 因为，令， 则， 因为对任意，恒成立， 所以，解得或， 所以实数的取值范围为. 【变式1】已知函数为奇函数，且 (1)求； (2)求证：在区间上单调递增； (3)若对任意的都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）根据求出参数的值，再根据求出参数的值，最后检验即可； （2）根据单调性的定义证明即可； （3）根据函数的单调性求出函数的最小值，依题意可得，解得即可. 【详解】（1）由为奇函数，且定义域为 可得，即，解得， 又，有，所以， 对任意，，满足为奇函数. 综上可得：. （2）对任意，且， 有， 由，可得，， 则，即， 所以在上单调递增； （3）由在上单调递增. 可得对任意，， 因为对任意的都有. 所以，即，即，解得， 即实数的取值范围是. 【变式2】已知定义域为R的函数是奇函数，且． (1)求实数a，b的值； (2)试判断的单调性，并用定义证明； (3)解关于x的不等式． 【答案】(1)，； (2)是R上的减函数，证明见解析； (3)． 【分析】（1）利用可求得； （2）根据单调性定义判断并证明； （3）由奇偶性变形，由单调性化简，从而解出不等式． 【详解】（1）由题意，则， 又，解得，因此； （2）由（1），是R上的减函数，证明如下： 设，则， 由得，即，又， 所以，即， 所以是R上的减函数； （3）不等式化为， 因为是奇函数，所以， 又是减函数，所以，解得．解集为． 【变式3】已知幂函数在区间上单调递减． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)为奇函数． (2) 【分析】（1）由幂函数的定义可得，结合单调性解出的值，然后根据奇偶性定义判断奇偶性. （2）由（1）得,由定义域和单调性可得答案. 【详解】（1）由幂函数的定义得， 解得或，又由幂函数在区间上单调递减得指数，即， 故，则， 又为奇函数． （2）由（1）得，因为函数在区间和上单调递减， 当时，无解，舍去； 当时，解得； 当时，解得． 综上，的取值范围是． 【变式4】已知. (1)当时，根据定义证明函数在区间上单调递增； (2)若，设，判断函数的奇偶性. 【答案】(1)证明见解析； (2)为奇函数. 【分析】（1）根据函数解析式，直接利用定义法证明单调性. （2）由求出，并求得和，再利用函数奇偶性定义判断的奇偶性. 【详解】（1）当时，函数 ，设， 则 ， 由，则，，，所以，即， 所以函数在区间上单调递增. （2）由及，得，解得， 因此，则，函数的定义域为R， ，所以为奇函数. 题型08 函数与方程（小题） 【典例1】已知函数若有三个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】数形结合法：先对解析式分析函数单调性，求得端点值和最小值，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解即可 【详解】当时，在单调递减，在单调递增， 则，； 当时，在单调递增. 如图，作出的大致图象， 只需函数与的图象有三个交点，结合图象得的取值范围为. 故答案为：. 【变式1】函数的零点是 ． 【答案】 【分析】根据函数零点的定义求解即可. 【详解】令，解得，所以函数的零点是． 故答案为：. 【变式2】函数的零点是 ． 【答案】或 【分析】根据题意，令，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】令，即，解得或， 所以函数的零点是或. 故答案为：或 【变式3】已知函数，若在上有解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由可得． 【详解】由题意，解得， 故答案为：． 【变式4】若函数恰有两个不同的零点，则实数的范围是 ． 【答案】或 【分析】在上没有零点，故将问题转化为有两个零点，即可求出的范围． 【详解】时，，故在上没有零点， 故 在上有两个不同零点， 而函数的零点为或， 所以，且， 且 所以，或 综上所述的取值范围是或. 故答案为：或 题型09 函数与方程（大题） 【典例1】已知函数若存在实数使得方程有4个不同实根，且． (1)求的取值范围； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合函数图像，即可求出的取值范围； （2）是方程的两根，则有，即，是方程的两根，根据韦达定理得，进而可求的值． 【详解】（1）由，得，作出的大致图象， 如图所示， 结合图像可知的取值范围是． （2）由知，是方程的两根，所以， 故，即； 又是方程的两个根，即方程的两个根， 所以，所以． 【变式1】已知函数（且）的图象过点． (1)求实数的值； (2)解关于的不等式； (3)求函数的零点个数． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）将代入可计算出的值； （2）先由复合函数的单调性得到在上单调递增，从而由定义域和单调性将转化为解不等式得到结果； （3）将的零点个数转化为函数与的图象交点的个数，画图分析可得结果. 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点． 所以，解得． （2）由复合函数的单调性知在上单调递增， 又，所以即即， 解得，所以不等式的解集为． （3）由（1）得函数，令，得， 则函数的零点个数即为函数与的图象交点的个数， 作出函数与的图象，如图所示，    由图象知，函数的零点个数为1. 【变式2】已知函数． (1)用定义证明函数在R上为减函数； (2)若（其中，），求实数的取值范围； (3)若在上存在唯一零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据函数单调性定义即可证明结论； （2）利用函数的单调性可得，结合对数函数性质分类讨论，即得答案； （3）结合函数单调性，利用零点存在定理即可求得答案. 【详解】（1）任取，，且， 则， 因为，所以，所以，则， 所以函数在R上为减函数； （2）由（1）得在R上为减函数，又， 则， 当时，，解得， 当时，，解得，不成立， 综上所述， （3）由（1）得在R上为减函数，则在R上也为减函数， 又在上存在唯一零点， 即，且 解得. 【变式3】已知函数是偶函数. (1)求实数的值； (2)若方程有两个不等的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由为偶函数得，代入即可求解； （2）由（1）知：，又得，即，令，得，利用二次函数即可求解. 【详解】（1）由已知得， 故， 化简得， 所以. （2）由（1）知：， 由化简得， 即， 故有两个不等的实数解， 令，即有两个不等的实数解， 令， 故在单调递减，在上单调递增， 又， 故实数的取值范围为. 【变式4】已知，函数. (1)若函数的值域为，求的取值范围； (2)若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简得到的值域为，故能够取到一切大于0的实数，由于二次项系数含参，故需要分类讨论，当时，显然不符合题意；故只能，再结合得到答案即可. （2） 化简对数方程得到在的条件下只有一个根，然后分类讨论得到答案即可. 【详解】（1）因为函数的值域为， 所以的值域为， 故能够取到一切大于0的实数， 当时，，不符合题意； 当时, 不符合题意， 当时, 根据二次函数的图象和性质可得， 解得， 综上可得，的取值范围是. （2）由题意得关于的方程的解集中恰好只有一个元素， 所以的解集中恰好只有一个元素， 即且的解集中恰好只有一个元素， 所以,即， ①当时，解得，此时，满足题意， ②当时，，此时也满足题意， ③当且时，两根为,， 当时，由得， 当时，由得， 因为和只能取一个值， 所以只能取，故且，解得. 综上所述，的取值范围是. 题型10函数模型及其应用 【典例1】《国家发展改革委等部门关于加强新能源汽车与电网融合互动的实施意见》中提出＂到2030年，我国车网互动技术标准体系基本建成，市场机制更加完善，车网互动实现规模化应用，智能有序充电全面推广＂.为此，某经营充电桩的公司调查了某地区在过去一年内（12个月），每月的充电桩总量（单位：个）与时间（单位：月）的部分数据如下表所示： （单位：月） 1 2 ⋯ 6 7 ⋯ （单位：个） 16 24 ⋯ 110 144 ⋯ (1)给出两个函数模型：与，请根据题干表格中第1，2月的数据，确定这两个函数模型对应的解析式； (2)在（1）的条件下，根据第6，7月数据，选出与监测数据差距较小的函数模型． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题设数据代值求解即可； （2）分别求出两个函数模型在第6，7月的数据，进而判断即可. 【详解】（1）函数与在内都是增函数， ①对于模型， 由表格可得函数过点，即解得 所以，． ②对于模型，同理可得解得 所以． （2）由（1）得模型， 当时，； 当时，． 模型， 当时，； 当时，． 比较可得，函数模型与监测数据差距较小． 【变式1】为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件元，出厂价为每件元，每月的销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：． (1)设袁阳每月获得的利润为（单位：元），写出每月获得的利润与销售单价的函数关系； (2)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由总利润=销售量-每件纯赚利润，得即可求解； （2）结合（1）列不等式得出，再结合题意计算出厂价列式求参总差价即可. 【详解】（1）依题意可知每件的销售利润为元，每月的销售量为件， 所以每月获得的利润与销售单价的函数关系为； （2）由每月获得的利润不小于元，即， 即，即，解得， 又因为这种节能灯的销售单价不得高于40元，所以， 设政府每个月为他承担的总差价为p元， 则，由， 得，故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为元． 【变式2】某工厂进行加工生产所的工料两种供应方式，一种是从市场上直接采购工料，另一种是通过工厂自身生产工料，该工厂去年（2月至12月）每月所需的工料总量均为12000件，由于工厂生产车间处于调试阶段，自身生产的工料有限，于是工厂从市场上采购一部分工料作为补充，两种供应方式同时进行，2月至6月，该工厂从市场上采购的工料量（件）与月份x（，且x为整数）之间满足的函数关系如下表 月份x（月） 2 3 4 5 6 市场采购工料量（件） 6000 4000 3000 2400 2000 7月至12月，该工厂自身生产的工料量（件）与月份x（，且x为取整数）之间满足二次函数关系式为．其图象如图所示.2月至6月，该工厂每件工料的市场采购成本（元）与月份x之间满足函数关系式，该工厂自身生产的每件工料的成本（元）与月份x之间满足函数关系式：；7月至12月的每一个月份，该工厂从市场采购的工料成本均为3元/件，该工厂自身生产的工料成本为1.5元/件． (1)请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别求出与x之间的函数关系式； (2)请你求出该工厂去年（2月至12月）哪个月份所需的工料总费用W（元）最多，并求出这个最多费用． 【答案】(1)（，且x取整数），（，且x取整数） (2)去年5月用于所需工料的总费用最多，最多费用是22000元 【分析】（1）利用待定系数法即可求解， （2）根据题意列出总费用的函数关系，即可利用二次函数的性质求解. 【详解】（1）根据表格中数据可以得出定值，则与x之间的函数关系为反比例函数关系 设，将代入得：， 故（，且x取整数） 根据图象可以看出：的图象过，两个点， 代入得： 解得： 故（，且x取整数） （2）当，且x取整数时： ,则开口向下，且对称轴为， 当时，（元） 当时，且x取整数时， 为开口向下，对称轴为轴， 当时，W随x的增大而减小， 当时，（元） 去年5月用于所需工料的总费用最多，最多费用是22000元． 【变式3】某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且.当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元. (1)求a，b； (2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2) (3)当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 【分析】（1）根据已知条件列出关于的方程组求解出结果. （2）根据利润的计算公式分别考虑当，时的解析式，由此可求解出结果. （3）利用二次函数性质分析时的最大值，利用基本不等式分析时的最大值，由此可确定出结果. 【详解】（1）依题意，，所以. （2）当时，， 当时，， 所以所求函数解析式为. （3）当时，， 此时由二次函数单调性可知； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 因为， 所以当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 【变式4】2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） (2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】(1)200万元 (2) (3)当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元 【分析】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，是以80元的单价出售，每件30元成本，且需要固定投入300万元，由此根据利润销售收入成本计算即可； （2）依题意，分三段：当时，当时，当时，写出函数解析式，其中，当时，需要设降价元，并用含的式子表示. （3）计算出各段函数的最大值进行比较.当时，根据一次函数的单调性求解最大值；当时，根据二次函数的最值求解最大值；当时，根据基本不等式求解最大值. 【详解】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，利润是万元. （2）当时，； 当时，不妨设降价元，则，得到， 所以； 当时，； 所以. （3）由（2）知，当时，，函数单调递增， 当时，利润最大，此时利润是450万元； 当时，， 当时，利润最大，此时利润是500万元； 当时，， 当且仅当，即时，利润最大，此时利润是910万元. 因为，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元. 题型11反函数 【典例1】若函数 与函数 的图象关于直线 对称，则 的大致图象是（    ） A．   B．     C．   D．   【答案】A 【分析】由题意首先得，根据它的定义域、单调性以及它所过定点即可得解. 【详解】由题意函数 与函数 互为反函数， 所以，解得，它在定义域内单调递增，且过定点， 对比选项可知A符合题意. 故选：A. 【变式1】已知，则下列不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由方程与函数的关系，可得点的对称关系，从而可得等量关系，可得答案. 【详解】因为，所以，， 所以a，b分别是，与图象交点的横坐标， 因为，的图象关于直线对称，也关于直线对称， 所以两交点，关于直线对称， 所以，，所以，故A正确； 因为，，所以，故B正确； 因为，所以，故C正确； 若成立，再结合，可得，与矛盾，故D错误. 故选：D. 【变式2】已知实数x，y满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指对函数互为反函数的性质，将原式子变为结构相似的形式，再利用对称性即可解题. 【详解】将题中式子变形得，， 令，则， 故，分别为和与的交点， 由函数的对称性可知，，关于对称， 故，即， 故选：B． 【变式3】函数的反函数为， 则（     ） A．2 B．3 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先求出函数的反函数，再将代入反函数计算. 【详解】因为原函数为，根据反函数的定义，对数函数与指数函数互为反函数， 所以其反函数为，所以. 故选：D. 【变式4】函数，的反函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反函数的定义域就是原函数的值域求解即可. 【详解】因为函数在单调递增， 所以， 即， 因为反函数的定义域是原函数的值域， 所以反函数的定义域为， 故选：C． 题型12恒成立与能成立问题 【典例1】已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)判断的单调性，并用单调性定义给出证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）利用与求出的值并验证即可. （2）判断函数单调性，再利用定义法证明函数的单调性. （3）求出函数在指定区间上的最大值，再结合已知列出不等式，求出实数k的范围. 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，得， 则，又，于是，解得， ，，即是奇函数， 所以. （2）函数在上的单调递减，理由如下： 任意，且， 则 ， 由，得， 则，即，因此 所以函数在上的单调递减. （3）由对任意的，总存在，使得成立， 得在上的最大值不大于在上的最大值， 由函数在上的单调递减，得， 当时，，恒成立，因此； 当时，在上单调递增，， 则，解得，因此； 当时，在上单调递减，， 则，解得，因此， 所以实数k的取值范围是. 【变式1】已知函数. (1)当时，求的单调递减区间； (2)当在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数定义域，再利用对数函数、二次函数单调性求出递减区间. （2）按分类求出函数在指定区间上的最大值，再建立不等式求解即得. 【详解】（1）函数有意义，则，解得， 此时，令， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而当时，函数在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. （2）由（1）得，当时，函数在上单调递减，， 依题意，，解得； 当时，函数在上单调递增，， 依题意，，解得， 所以的取值范围是. 【变式2】已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，. (1)求函数与的解析式； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据奇偶函数的定义列方程组求解即可； （2）换元令，可得原题意等价于在上恒成立，结合基本不等式运算求解即可. 【详解】（1）因为，是奇函数，是偶函数， 则，可得， 联立方程，解得，. （2）因为，即， 又因为，令，则， 可得，整理可得， 原题意等价于在上恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，即， 所以实数的取值范围为. 【变式3】已知函数． (1)若，求的值； (2)根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，利用对数的运算公式，即可求解； （2）根据题意，利用函数单调性的定义及判定方法，结合指数函数的性质，即可求解； （3）由，不等式转化为，根据在上单调递增，转化为存在，使得成立，令，得到存在，使得，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）由函数， 因为，可得. （2）任取，且， 则 ． 因为，可得，所以，， 所以，即， 所以在上单调递增． （3）因为， 所以可化为， 由（2）可知，在上单调递增， 所以，即， 要存在，使得不等式成立， 只要存在，使得成立， 因为，所以，令， 只要存在，使得成立，即， 令， 设且， ， 当且时，，则， 可得时，函数单调递增， 所以（当时取等号）， 所以，即实数的取值范围为. 【变式4】已知定义在上的函数为偶函数且，. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求实数a取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）应用偶函数的性质求参数，即可得解析式； （2）根据对数函数性质直接判断的单调性，利用单调性及换元法有在上恒成立，即求参数范围； （3）问题化为，上，应用分类讨论求参数范围. 【详解】（1）由题意，则， 所以恒成立，故， 所以； （2）由（1）得， 又在R上单调递增，故在R上单调递增， 由，即恒成立， 所以，令，即在上恒成立， 所以，可得. （3）上，， 又对任意的，存在，使得， 只需， 对于，函数图象开口向上且对称轴， 当时，上，得，则； 当时，上恒成立，则； 当时，上，得，则； 综上. 1．已知函数是定义域为R的偶函数，则 ． 【答案】 【分析】法一：由偶函数性质有恒成立，求参数值，进而求函数值；法二：由偶函数得求参数值，注意验证，进而求函数值. 【详解】法一：由函数是定义域为R的偶函数，得恒成立， 即恒成立，即恒成立， 又不恒为0，所以，则； 法二：，，因为函数是定义域为R的偶函数， 所以，即，解得， 经检验，此时为偶函数，故， 所以． 故答案为： 2．若函数（k为常数）在定义域上为奇函数，则 ． 【答案】 【分析】由奇函数的性质得到恒成立，即可求. 【详解】由题设，即恒成立，所以，经验证满足题设. 故答案为： 3．写出一个同时满足下列3个性质的函数 ． ①是偶函数；②在区间上单调递增；③的最小值为2． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据给定的函数性质，结合二次函数的相关性质写出一个符合要求的函数解析式即可. 【详解】考虑为偶函数的二次函数，设，， 因为在上单调递增，则，故，解得， 所以时满足题意，取，则. 故答案为：（答案不唯一） 4．已知函数，若，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】按照从内到外的顺序求，并根据的取值分类讨论函数的解析式，求解即得. 【详解】①当，即时，，由解得（舍）， ②当，即时，， （Ⅰ）若，即时，有，解得； （Ⅱ）若时，即时，有方程无解. 综上，． 故答案为： 5．已知函数是奇函数，且当时，，若，则 ． 【答案】1 【分析】由对数运算性质及奇函数得，结合已知解析式求参数值. 【详解】因为是奇函数，所以，即， 因为时，，所以，解得. 故答案为：1 6．若函数在上有两个零点，则参数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题进行参数分离得，令，即有两个交点，根据函数图像求解即可. 【详解】因为在上有两个零点， 所以， 令， 则有两个交点， 由图象可得， 即. 故答案为：. 7．若函数在定义域内恒有，则 ． 【答案】3 【分析】由题意得恒成立，从而，由此即可得解. 【详解】由，得， 所以，解得． 故答案为：3. 8．若函数有最大值2，则 . 【答案】1 【分析】利用复合函数的单调性及二次函数的性质计算即可. 【详解】令，则. 因为有最大值，所以应有最小值. 由此可得，解得 故答案为： 9．已知的定义域为，且，对于任意正数x，y，都有，若当时，，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用赋值法先求，进而得，利用定义法证单调性，最后利用单调性即可解不等式，进而求解. 【详解】由题意有：令有：， 令有：， 对任意的且，所以，即， 所以， 即，所以， 所以在上单调递增， 又，所以， 所以， 故答案为：. 10．若对任意的，不等式恒成立，则m的最大值为 ，n的最小值为 ． 【答案】 【分析】讨论、，整理不等式为，研究的区间单调性和值域，求出参数范围即可得. 【详解】当时，恒成立，此时m，， 当时，，， 所以， 令，而在上单调递增，且恒为正， 则在上单调递增，且有，，所以， 综上，，，即（时可取等号），， 故m的最大值为，n的最小值为. 故答案为：；. 11．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性和函数值的分布情况即可判断. 【详解】函数的定义域为， 则函数为偶函数，函数图象关于轴对称，排除BD； 又当时，，而，，则，排除C， 选项A符合要求. 故选：A 12．定义在上的函数满足：，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数的图象，将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，解不等式，即可得答案. 【详解】由题意知定义在上的函数满足：， 则时，，则， 依此类推，可作出函数的大致图象如图：    函数恰有3个零点，等价于函数的图象和直线恰有3个交点， 而直线过定点，当直线过点时，斜率为， 当直线过点时，斜率为， 结合图象可知当，即时，函数的图象和直线恰有3个交点， 即实数的取值范围是， 故选：A 13．已知定义在R上的奇函数，当时，. (1)作出的函数图象； (2)求函数在R上的解析式； (3)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 【答案】(1)作图见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据解析式及奇函数的图象特征可作出函数图象； （2）根据奇函数的性质求解即可； （3）根据函数图象，得出函数的单调递减区间，进而求解即可. 【详解】（1）如下图所示： . （2）因为为R上的奇函数，所以. 当时，则， 又因为为奇函数， 所以， 所以当时，，   所以. （3）由（1）知，的单调递减区间为， 因为在上单调递减， 所以. 所以，解得，故实数的取值范围是. 14．定义在上的函数满足．若当时，． (1)当时，求的解析式； (2)，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，则，由，结合已知可求解； （2）由已知可得对恒成立，可得，构造函数求解即可. 【详解】（1）当时，则， 因为，所以， 又当时，，所以； （2）因为，，所以对恒成立， 即对恒成立，即， 令， 当，则，， 当且仅当时取等号，即时取等号， 所以，所以实数的取值范围为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $