专题08 圆（四大题型）（青海专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题08 圆 考情概览 考点1 垂径定理 考点2 圆周角 考点3 点、直线和圆的位置关系 考点4 弧长和扇形面积 考点1 垂径定理 1．（2025·青海西宁·中考真题）如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，则_______． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，垂径定理，勾股定理，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证； （2）先证明四边形为平行四边形，等积法推出，即可得证； （3）垂径定理结合勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； （3）∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 由（2）知：四边形为菱形， ∴设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得； ∴． 2．（2022·青海·中考真题）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦AB的中点，CD经过圆心O交于点D，并且，，则的半径长为 m． 【答案】/ 【分析】连接，先根据垂径定理、线段中点的定义可得，设的半径长为，则，，再在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：如图，连接， 是中的弦的中点，且， ，， 设的半径长为，则， ， ， 在中，，即， 解得， 即的半径长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． 3．（2021·青海西宁·中考真题）如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径 ． 【答案】 【分析】设半径为r，则，得到，由垂径定理得到，再根据勾股定理，即可求出答案． 【详解】解：由题意，设半径为r， 则， ∵， ∴， ∵是的直径，弦于点E， ∴点E是CD的中点， ∵， ∴， 在直角△OCE中，由勾股定理得 ， 即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理进行解题． 4．（2021·青海·中考真题）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于，两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（    ）． A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．12厘米/分 D．1.4厘米/分 【答案】A 【分析】首先过⊙O的圆心O作CD⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，由垂径定理，即可求得OC的长，继而求得CD的长，又由从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟，即可求得“图上”太阳升起的速度． 【详解】解：过⊙O的圆心O作CD⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA， ∴AC=AB=×16=8（厘米）， 在Rt△AOC中，（厘米）， ∴CD=OC+OD=16（厘米）， ∵从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟， ∴16÷16=1（厘米/分）． ∴“图上”太阳升起的速度为1.0厘米/分． 故选：A． 【点睛】此题考查了垂径定理的应用．解题的关键是结合图形构造直角三角形，利用勾股定理求解． 考点2 圆周角 5．（2025·青海·中考真题）如图，是的直径，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．根据是的直径得出，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．（2025·青海西宁·中考真题）综合与实践 【问题提出】 原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】 将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，   ∴， 在中，，   ∴， ∴，即， 同理，在中，_____， 在中，_____， ∴___________， 即， ∴； 【结论应用】 （2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】 （3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． 【答案】（1），，，；（2），；（3）证明见解析；（4）． 【分析】（1）根据三角函数的定义，类比题目求解即可； （2）根据（1）中结论可知，代入相关数值求解即可； （3）连接，延长分别交于D，E，连接，根据直径对直角和圆周角定理可知，，根据三角函数的定义，分别在，，，中，可得，，即可得证； （4）过O作，连接，，根据垂径定理，圆周角定理和三角函数可得，当时，最小，此时也最小，根据三角函数求出最小值，即可得解． 【详解】（1）解：同理，在中， ， 在中  ， ， ∴， 即， ∴； 故答案为：，，，； （2）解：， ， 由（1）知：， ， ，， ，； （3）证明：连接，延长分别交于D，E，连接，则， ， 是直径， ， 在中，， ∴， 在中，，   ∴， ∴ ， 同理，在中，， 在中，可得， ， ∴； （4）解：过O作，连接，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 当时，最小，此时也最小， 过A作于， 在中，， ， ， 长度的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用以上知识解决问题． 7．（2023·青海西宁·中考真题）如图，是⊙O的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，．    (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由垂径定理，得  ，由圆周角定理，得； （2）可证得；中，勾股定理求得，于是. 【详解】（1）证明：∵  是的半径 ∴，  （垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧） ∴（同弧或等弧所对的圆周角相等） （2）解：∵  又∵ ∴（两角分别相等的两个三角形相似）   ∴（相似三角形对应边成比例） ∵   ∴ 在中     ∴（勾股定理）   即   ∴. 【点睛】本题考查垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理；由相似三角形得到线段间的数量关系是解题的关键． 8．（2023·青海·中考真题）如图，是的弦，C是上一点，，垂足为D，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 9．（2022·青海西宁·中考真题）如图，在中，，点D在AB上，以BD为直径的与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M． (1)求证：四边形EMFC是矩形； (2)若，的半径为2，求FM的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角及邻补角互补，可求出，由与AC相切于点E，利用圆的切线垂直于过切点的半径可得出 ，进而可得出 ，结合再利用三个角都是直角的四边形是矩形，即可证出四边形 EMFC 是矩形． （2）在 中，利用勾股定理可求出 OA 的长，进而可得出 AB 的长，由，利用“同位角相等，两直线平行”可得出，进而可得出利用相似三角形的性质可求出 AC 的长，结合 可求出 CE 的长，再利用矩形的对边相等，即可求出 FM 的长． 【详解】（1）∵BD是的直径， ∴， ∴， ∴与AC相切于点E， ∴， ∴， 又∴， ∴， ∴四边形EMFC是矩形． （2）解：在中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形EMFC是矩形， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定，相切，勾股定理，平行线的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：(1）根据各角之间的关系，找出四边形EMFC 的三个角均为直角．（2）利用勾股定理及相似三角形的性质，求出AC的长度． 考点3 点、直线和圆的位置关系 10．（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为 ． 【答案】48 【分析】本题考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键． 根据切线长定理得到，得到，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，令与边的切点分别为E，F，G，H， ∵四边形是的外切四边形， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的周长为 ． 故答案为：48． 11．（2025·青海·中考真题）如图，线段经过圆心，交于点，，为的弦，连接，． (1)求证：直线是的切线； (2)已知，求的长（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，弧长公式，含30度角的直角三角形的性质． （1）先由三角形内角和定理得出，再根据得，进而可得，再根据切线的判定可得出结论； （2）根据含30度角的直角三角形的性质得，设，则，求出，再得，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 且是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：在中，， ∴， 设， ∴， 解得， ∵， ∴的长为：． 12．（2024·青海西宁·中考真题）如图，四边形内接于，为直径延长线上一点，，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了已知圆内接四边形求角度，半圆（直径）所对的圆周角是直角，利用弧、弦、圆心角的关系求解，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 连接，根据圆内接四边形性质求得，结合弧、弦、圆心角的关系推出，进而得到，再利用半圆（直径）所对的圆周角是直角，得到，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：连接， 四边形内接于，， ， ， ， ， 为直径， ， ； 故答案为：． 13．（2024·青海西宁·中考真题）如图，，是的切线，，为切点，连接，，过点作交于点，过点作，垂足为． (1)求证：． (2)若的半径是，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）根据切线的性质得，，再根据，，得，则四边形是矩形，然后根据矩形的性质可得出结论； （2）设，依题意得，，证明和全等得，然后在中，由勾股定理求出，进而可得的长． 【详解】（1）证明：，是的切线，，是的半径， ，， ，， ， ， 四边形是矩形， ； （2）解：设， 四边形是矩形，的半径是，， ，， ， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ． 14．（2024·青海·中考真题）如图，直线经过点C，且点C在上，，． (1)求证：直线是的切线； (2)若圆的半径为4，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质、直角三角形的性质和勾股定理、扇形面积的计算等知识，解题的关键是掌握切线的判定与性质． （1）利用等腰三角形的性质证得，利用切线的判定定理即可得到答案； （2）在中，利用直角三角形的性质和勾股定理求得，，再根据，计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵在中，，， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：由（1）知， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ． 15．（2023·青海·中考真题）如图，是的切线，是切点，连接，．若，则的度数是 ．    【答案】/度 【分析】根据切线的性质可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答． 【详解】解∶∵是的切线，是切点， ∴， ∴ 故答案为∶． 【点睛】本题考查了切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 16．（2022·青海·中考真题）如图，AB是的直径，AC是的弦，AD平分∠CAB交于点D，过点D作的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，，求BE的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）连接，根据平分，可得，从而得到，可得，再由切线的性质，即可求解； （2）由，可得，设为，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴． （2）解：由（1）得：， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设为， ∴， ∴， 解得：， 即的长为2． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 17．（2021·青海西宁·中考真题）如图，内接于，，是的直径，交于点E，过点D作，交的延长线于点F，连接． （1）求证：是的切线； （2）已知，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）由题意根据圆周角定理得出，结合同弧或等弧所对的圆周角相等并利用经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线进行证明即可； （2）根据题意利用相似三角形的判定即两个角分别相等的两个三角形相似得出，继而运用相似比即可求出的长． 【详解】解：（1）证明：∵是的直径 ∴（直径所对的圆周角是直角） 即 ∵ ∴（等边对等角） ∵ ∴（同弧或等弧所对的圆周角相等） ∴ ∵， ∴ ∴即 ∴ 又∵是的直径 ∴是的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． （2）解：∵， ∴ ∵， ∴（两个角分别相等的两个三角形相似） ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 18．（2021·青海西宁·中考真题）如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，连接，，，，，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接OD，由题意，先利用勾股定理求出AB的长度，设半径为r，然后求出内切圆的半径，再利用正方形的面积减去扇形的面积，即可得到答案． 【详解】解：连接OD，如图： 在中，，，， 由勾股定理，则 ， 设半径为r，则， ∴， ∴四边形CEOF是正方形； 由切线长定理，则，， ∵， ∴， 解得：， ∴； ∴阴影部分的面积为：； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，切线长定理，求扇形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题． 19．（2021·青海·中考真题）如图，在中，是边上的中线，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点，过点作于点． （1）求证：； （2）求证：直线是的切线． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据题意，通过，即可证明； （2）连接，通过证明OD是的中位线得到，进而根据题意可知，即可证得直线是的切线． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， 在和中，，， ∴； （2）证明：连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴直线是的切线． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及切线的判定，熟练掌握圆及三角形的相关综合应用方法是解决本题的关键． 20．（2021·青海·中考真题）点是非圆上一点，若点到上的点的最小距离是，最大距离是，则的半径是 ． 【答案】或 【分析】分点在外和内两种情况分析；设的半径为，根据圆的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】设的半径为 当点在外时，根据题意得： ∴ 当点在内时，根据题意得： ∴ 故答案为：或． 【点睛】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解． 21．（2024·青海·中考真题）如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数是 ． 【答案】130° 【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BCD+∠A=180°，又∠A=50°， ∴∠BCD=180°-50°=130°． 故答案为：130°． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角． 考点4 弧长和扇形面积 22．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的内角问题，等边三角形的性质，求扇形的面积，熟练掌握相关公式是解题的关键．先求出正五边形的一个内角的度数，根据等边三角形的性质，结合角的和差关系，求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵为等边三角形，， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积即为扇形的面积：； 故答案为：． 23．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在中，，，D是的中点，分别以B，C为圆心，长为半径作弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】阴影部分的面积等于两个扇形的面积的和，根据扇形的面积公式计算即可． 此题主要考查了扇形面积的计算，正确熟记扇形的面积公式是解此题的关键． 【详解】解：， ∴， ，D是的中点， ， 图中阴影部分的面积是 故答案为： 24．（2023·青海西宁·中考真题）如图，边长为的正方形内接于，分别过点A，D作⊙O的切线，两条切线交于点P，则图中阴影部分的面积是 ．    【答案】 【分析】连接，，证明四边形是正方形，由勾股定理求得，根据阴影部分面积 求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，，    ∵、是的切线， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分面积 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质，正方形的判定与性质，扇形的面积，勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质、正方形的判定得出圆的半径是解题的关键． 25．（2023·青海·中考真题）如图，正方形ABCD的边长是4，分别以点A，B，C，D为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留）.    【答案】/ 【分析】分析出阴影面积正方形面积圆的面积，再利用相应的面积公式计算即可． 【详解】解：由图得，阴影面积正方形面积个扇形面积， 即阴影面积正方形面积圆的面积， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积的求法，正方形面积及圆的面积的求法是解题关键． 26．（2022·青海西宁·中考真题）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BC=2，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】/ 【分析】根据等边三角形的性质可得S△COB=S△AOC，∠AOC=120°，将阴影部分的面积转化为扇形AOC的面积，利用扇形面积的公式计算可求解． 【详解】解：过点O作OD⊥AC于点D， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠AOC=120°，AD=CD=， ∴∠OAC=30°， ∴OA=AD÷cos30°=2， ∵△ABC为等边三角形， ∴S△COB=S△AOC，∠AOC=120°， ∴S阴影=S扇形AOC==， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，等边三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键． 27．（2022·青海·中考真题）如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形的弧长为 cm. 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长． 【详解】解：过O作OE⊥AB于E， ∵OA=OB=60cm，∠AOB=120°， ∴∠A=∠B=30°， ∴OE=OA=30cm， ∴弧CD的长=(cm)， 故答案为：． 【点睛】本题考查弧长公式的应用，要注意公式中的圆心角一定要用弧度来表示，不能用度数． 28．（2025·青海玉树·模拟预测）如图，已知的半径为，四边形内接于，连接、，，． (1)求的长； (2)若经过圆心，延长交延长线于点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得到直角，再根据勾股定理即可解决问题； （2）根据等边对等角得到角相等，根据同弧所对的圆周角相等得到角相等，根据对角互补和邻补角得到角相等，进而得到角平分线，判断三角形全等，根据三角形全等的性质得到边相等，再根据中位线的性质得到的长，进而可得到答案； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴的长为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分的外角． ∵经过圆心， ∴，即， ∴ ∴， 作，垂足为， ， ∵为的中位线， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，中位线定理，圆周角定理等知识点，解决此题的关键是合理的作出辅助线． 29．（2025·青海西宁·三模）综合与实践 【实际情境】 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】 （1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”，，，求证：． 【模型应用】 （2）如图2，中，的平分线交于点D，已知，求证：． 【拓展提升】 （3）如图3，为的直径，，的平分线交于点E，交于点D，连接，直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）证明 即可； （2）在上截取，证明 ，从而有，，，由，即，故，再利用等腰三角形性质和三角形外角的性质可知； （3）连接、作交于点F，如图3所示，因为为的直径，，可得，，由平分，可得，，，又，可得，进而，导角证明，即得，故． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ． （2）证明：在上截取，如图2所示， 平分， ∴， 在和中， ， ， ，，， ， 又， ， ， ， ， 即； （3）解：，理由如下： 连接、作交于点F，如图3所示， 为的直径，， ，， ， 平分， ，，， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 故； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理及圆周角定理的推论，等腰直角三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题关键． 30．（2025·青海西宁·三模）已知：如图1，是的内接三角形，是的直径，的外角平分线交于D，与相切，交的延长线于E． (1)证明与平行； (2)若，，求长． (3)在（2）的条件下求图2阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，证明，，即可证明结论成立； （2）连接，求出，，利用正切定义即可求出长； （3）连接，作于点H，根据阴影部分的面积即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵与相切， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线，即， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴, ∴． （3）连接，作于点H， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积 【点睛】此题考查了切线的性质、解直角三角形、圆周角定理、扇形面积公式、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键． 31．（2025·青海西宁·三模）如图，，是的两条切线，切点分别为点A，B，连接与相交于点C，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查切线性质、切线长定理、勾股定理、锐角三角函数，熟练掌握余弦定义是解答的关键．利用余弦定义可求得，在中，再利用余弦定义求解即可． 【详解】解：连接，， ∵，是的两条切线，切点分别为点A，B， ∴，，又， ∴垂直平分， ∴，， 在中，， 设，， ∴，则， ∴，， 在中，， ∴， 故答案为：． 32．（2025·青海西宁·三模）如图，若的半径为2，若用的内接正六边形的周长来估计的周长，则的周长与其内接正六边形的周长的差为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查的是正多边形和圆，正确求出正六边形的中心角是解题的关键． 连接，根据等边三角形的性质求出，再根据的周长公式、正六边形的周长公式计算． 【详解】解：如图，连接， 则， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴内接正六边形的周长为：， ∴的周长与其内接正六边形的周长的差为：， 故答案为：． 33．（2025·青海·三模）如图，四边形内接于圆O，为圆O直径，点D为弧中点，的延长线上有一点E，与圆O相切于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】本题主要考查了弧，弦，圆周角之间的关系，垂径定理，切线的性质，相似三角形的性质与判定等等，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得，则，由为圆O直径，与圆O相切于点D，可得，则由直角三角形两锐角互余可得，据此可证明结论； （2）可证明，得到，则可证明，得到； （3）可证明，得到；可证明，设，则，，进而可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵点D为弧中点， ∴， ∴， ∵为圆O直径，与圆O相切于点D， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵为圆O直径， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵点D为弧中点， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴． 34．（2025·青海海东·二模）某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在以五边形各顶点为圆心，4m长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是 m2．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角和，扇形面积公式，理解5个扇形的面积和为圆心角是540°，半径是的扇形的面积是解题关键．先求出五边形的内角和，再利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：该五边形的内角和为， ∴扇形区域总面积是， 故答案为： 35．（2025·青海·二模）如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点作直线，交的延长线于点，连结，． (1)求证：直线与相切； (2)若，． ①求证：四边形是菱形； ②阴影部分面积的大小是___________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）先利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可得，利用平行线的判定与性质可证明，进而利用切线的判定可得结论； （2）①先证是等边三角形，再证，进而即可容易得证； ②将阴影部分面积转化为扇形的面积即可得解． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又为半径， 是的切线； （2）①证明：连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形； ②∵， ∴， ∴， ∴， 由①知四边形是菱形， ∴垂直平分，， 记与交于点F， 则， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、切线的判定和性质、菱形的判定和性质、扇形面积等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 36．（2025·青海·二模）如图，是的外接圆，，，，垂足分为，，，连接，，．若，的周长为20，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、垂径定理等知识点，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 由垂径定理可得，根据三角形的中位线定理得到，进而完成解答． 【详解】解：∵，是的外接圆， ， ∴是的中位线， ， ， ， 故答案为：4． 37．（2025·青海西宁·二模）如图，直线经过上一点，若，则的半径为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查切线的性质和勾股定理，连接可得，由得，由勾股定理得． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴ ∵直线经过上一点， ∴是的切线， ∴ ∵， ∴， 在中，, ∴的半径为1, 故答案为：1． 38．（2025·青海西宁·二模）圆锥体的底面直径，母线长，则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图以及扇形的弧长公式，圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面直径为， ∴底面周长为：， ∴ 解得：， 故答案为： 39．（2025·青海西宁·二模）如图，是直径，是上一点，连接，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理：同弧所对圆周角是圆心角的一半，根据，所对的弧都是弧，即可解答． 【详解】解：∵，所对的弧都是弧，， ∴， 故选：B． 40．（2025·青海海东·一模）如图，四边形内接于，延长交于点，连接，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的性质得到，由计算即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 41．（2025·青海海东·一模）如图，是的弦，经过圆心交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆的基本性质，切线定理，勾股定理的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，切线定理，勾股定理的应用，即可． （1）连接，根据，求出，根据，则，即可； （2）根据，求出，在中，，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵是的切线，， ∴， ∴在中，， 即，得， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 42．（2025·青海西宁·一模）如图，是的直径，弦与相交于点．过点作，交的延长线于点，，． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径 【答案】(1)为的切线，理由见解析； (2) 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，相似三角形的性质与判定等知识，正确作出辅助线是解题关键． （1）连接，根据三角形内角和定理角定理和等腰三角形的性质求得，由圆周角定理求出，由平行线的性质求得，根据切线的判定定理即可证得结论； （2）先证明，求出，则． 【详解】（1）解：为的切线，理由如下：连接， ，, ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； （2） 解： ， ， ， ， 又 ， ， ， 即， ， ， 即的半径为． 43．（2025·青海西宁·一模）九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品，这种圆锥型工艺品的母线长为，底面圆的半径为，则该圆锥的侧面积为 cm2． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积计算公式是解题的关键．根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：， ∴该圆锥的侧面积为． 故答案为：． 44．（2025·青海西宁·一模）如图，等边的边长为2，以点为圆心，一定的长为半径画弧，恰好与相切，分别交，于点，，求： (1)的长； (2)阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，弧长公式，扇形面积公式，勾股定理． （1）根据A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与边相切，则，由勾股定理求出，根据弧长公式计算即可； （2）由（1）知的长，根据得出答案． 【详解】（1）解：由题可得，以A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与边相切， 设切点为，连接，则， ∵是等边三角形，， ∴，， 在中，， ∴； （2）解：由（1）知， ∴． 45．（2025·青海西宁·一模）如图，是的外接圆，经过圆心O，且，垂足为点D，与相切，切点为点A，过点D作交于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，，则的半径长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是矩形，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用垂直的定义，圆的切线的性质定理和平行线的判定定理得到，再利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形的判定定理解答即可； （2）利用垂径定理的推论得到，利用等腰三角形的 性质得到，利用平行四边形的性质得到，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，再利用矩形的判定定理解答即可得出结论； （3）连接并延长，交于点G，连接，利用圆周角定理得到，利用直角三角形的边角关系定理得到，设，则，求得x值后利用勾股定理解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵与相切于点A， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：四边形是矩形，理由如下： ∵，过圆心O， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形； （3）解：连接并延长，交于点G，连接，如图， 则为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径长为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，平行线四边形的判定与性质，矩形的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，圆的切线的性质定理，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线． 46．（2025·青海西宁·一模）在圆中，四点在圆上，，，，则圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由垂径定理得，设圆的半径为，则，，利用勾股定理解答即可求解，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 设圆的半径为，则，， ∵， ∴， 解得， ∴圆的半径为， 故答案为：． 47．（2025·青海西宁·一模）圆O的弦的长等于半径，那么弦所对的圆周角等于（　　）度． A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．如图，连接、，先证明为等边三角形得到，利用圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数． 【详解】解：如图，连接、，和为弦所对的圆周角， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 弦所对的圆周角的度数为或． 故选：C． 2/20 1/20 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 圆 考情概览 考点1 垂径定理 考点2 圆周角 考点3 点、直线和圆的位置关系 考点4 弧长和扇形面积 考点1 垂径定理 1．（2025·青海西宁·中考真题）如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，则_______． 2．（2022·青海·中考真题）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦AB的中点，CD经过圆心O交于点D，并且，，则的半径长为 m． 3．（2021·青海西宁·中考真题）如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径 ． 4．（2021·青海·中考真题）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于，两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（    ）． A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．12厘米/分 D．1.4厘米/分 考点2 圆周角 5．（2025·青海·中考真题）如图，是的直径，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·青海西宁·中考真题）综合与实践 【问题提出】 原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】 将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，   ∴， 在中，，   ∴， ∴，即， 同理，在中，_____， 在中，_____， ∴___________， 即， ∴； 【结论应用】 （2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】 （3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． 7．（2023·青海西宁·中考真题）如图，是⊙O的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，．    (1)求证：； (2)若，，，求的长． 8．（2023·青海·中考真题）如图，是的弦，C是上一点，，垂足为D，若，则（    ）    A． B． C． D． 9．（2022·青海西宁·中考真题）如图，在中，，点D在AB上，以BD为直径的与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M． (1)求证：四边形EMFC是矩形； (2)若，的半径为2，求FM的长． 考点3 点、直线和圆的位置关系 10．（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为 ． 11．（2025·青海·中考真题）如图，线段经过圆心，交于点，，为的弦，连接，． (1)求证：直线是的切线； (2)已知，求的长（结果保留）． 12．（2024·青海西宁·中考真题）如图，四边形内接于，为直径延长线上一点，，，则 ． 13．（2024·青海西宁·中考真题）如图，，是的切线，，为切点，连接，，过点作交于点，过点作，垂足为． (1)求证：． (2)若的半径是，，求的长． 14．（2024·青海·中考真题）如图，直线经过点C，且点C在上，，． (1)求证：直线是的切线； (2)若圆的半径为4，，求阴影部分的面积． 15．（2023·青海·中考真题）如图，是的切线，是切点，连接，．若，则的度数是 ．    16．（2022·青海·中考真题）如图，AB是的直径，AC是的弦，AD平分∠CAB交于点D，过点D作的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，，求BE的长． 17．（2021·青海西宁·中考真题）如图，内接于，，是的直径，交于点E，过点D作，交的延长线于点F，连接． （1）求证：是的切线； （2）已知，，求的长． 18．（2021·青海西宁·中考真题）如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，连接，，，，，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 19．（2021·青海·中考真题）如图，在中，是边上的中线，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点，过点作于点． （1）求证：； （2）求证：直线是的切线． 20．（2021·青海·中考真题）点是非圆上一点，若点到上的点的最小距离是，最大距离是，则的半径是 ． 21．（2024·青海·中考真题）如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数是 ． 考点4 弧长和扇形面积 22．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是 ． 23．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在中，，，D是的中点，分别以B，C为圆心，长为半径作弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积是 ． 24．（2023·青海西宁·中考真题）如图，边长为的正方形内接于，分别过点A，D作⊙O的切线，两条切线交于点P，则图中阴影部分的面积是 ．    25．（2023·青海·中考真题）如图，正方形ABCD的边长是4，分别以点A，B，C，D为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留）.    26．（2022·青海西宁·中考真题）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BC=2，则图中阴影部分的面积是 ． 27．（2022·青海·中考真题）如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形的弧长为 cm. 28．（2025·青海玉树·模拟预测）如图，已知的半径为，四边形内接于，连接、，，． (1)求的长； (2)若经过圆心，延长交延长线于点，求的长． 29．（2025·青海西宁·三模）综合与实践 【实际情境】 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】 （1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”，，，求证：． 【模型应用】 （2）如图2，中，的平分线交于点D，已知，求证：． 【拓展提升】 （3）如图3，为的直径，，的平分线交于点E，交于点D，连接，直接写出与的数量关系． 30．（2025·青海西宁·三模）已知：如图1，是的内接三角形，是的直径，的外角平分线交于D，与相切，交的延长线于E． (1)证明与平行； (2)若，，求长． (3)在（2）的条件下求图2阴影部分的面积． 31．（2025·青海西宁·三模）如图，，是的两条切线，切点分别为点A，B，连接与相交于点C，若，，则的长为 ． 32．（2025·青海西宁·三模）如图，若的半径为2，若用的内接正六边形的周长来估计的周长，则的周长与其内接正六边形的周长的差为 ．（结果保留） 33．（2025·青海·三模）如图，四边形内接于圆O，为圆O直径，点D为弧中点，的延长线上有一点E，与圆O相切于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，则 ． 34．（2025·青海海东·二模）某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在以五边形各顶点为圆心，4m长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是 m2．（结果保留） 35．（2025·青海·二模）如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点作直线，交的延长线于点，连结，． (1)求证：直线与相切； (2)若，． ①求证：四边形是菱形； ②阴影部分面积的大小是___________． 36．（2025·青海·二模）如图，是的外接圆，，，，垂足分为，，，连接，，．若，的周长为20，则的长为 ． 37．（2025·青海西宁·二模）如图，直线经过上一点，若，则的半径为 ． 38．（2025·青海西宁·二模）圆锥体的底面直径，母线长，则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为 ． 39．（2025·青海西宁·二模）如图，是直径，是上一点，连接，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 40．（2025·青海海东·一模）如图，四边形内接于，延长交于点，连接，若，，则的度数为 ． 41．（2025·青海海东·一模）如图，是的弦，经过圆心交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 42．（2025·青海西宁·一模）如图，是的直径，弦与相交于点．过点作，交的延长线于点，，． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径 43．（2025·青海西宁·一模）九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品，这种圆锥型工艺品的母线长为，底面圆的半径为，则该圆锥的侧面积为 cm2． 44．（2025·青海西宁·一模）如图，等边的边长为2，以点为圆心，一定的长为半径画弧，恰好与相切，分别交，于点，，求： (1)的长； (2)阴影部分的面积． ∵是等边三角形，， 45．（2025·青海西宁·一模）如图，是的外接圆，经过圆心O，且，垂足为点D，与相切，切点为点A，过点D作交于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，，则的半径长为 ． 46．（2025·青海西宁·一模）在圆中，四点在圆上，，，，则圆的半径为 ． 47．（2025·青海西宁·一模）圆O的弦的长等于半径，那么弦所对的圆周角等于（　　）度． A． B． C．或 D．无法确定 2/20 1/20 学科网（北京）股份有限公司 $