专题05 锐角三角函数 4个题型（期中专项训练）九年级数学上学期北京版

专题04 锐角三角函数 题型1 锐角三角函数 题型3锐角三角函数综合（难点） 题型2 特殊角度的三角函数值 题型4 解直角三角形（难点） 题型一 锐角三角函数（共4小题） 1．如图，在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦的定义对边比斜边即可求解，正确理解在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：． 2．在中，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，能熟记锐角的正切的定义是解此题的关键．根据代入即可得出答案． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的边角关系，勾股定理，利用网格构造直角三角形是解题的关键．利用网格构造直角三角形，根据格点线段的长度求出斜边的长，再根据三角函数的意义求出答案． 【详解】解：如图，设小正方形边长为1，， 则， ∵， ∴ 故选：C． 4．如图，在网格（小正方形的边长均为1）中，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，取格点D，连接，利用勾股定理求出的长，在中，根据余弦的定义求出的值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，取格点D，连接， 由网格的特点可知三点共线，且， ∵， ∴， 在中，，即， 故选D．    【点睛】本题主要考查了求一个角的余弦值，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 题型二 特殊角度的三角函数值（共4小题） 5．计算：． 【答案】1 【分析】此题主要考查了特殊角三角函数的混合运算，正确化简各数是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案． 【详解】解：， ， 6．计算： 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式化简、幂运算，熟练掌握、的三角函数值、一个数的负一次方等于这个数的倒数是解答本题的关键．化简整理得实数的运算，根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】解：             故答案为 7．在直角三角形中，各边的长度都扩大10倍，则锐角A的三角函数值（    ） A．也扩大10倍 B．缩小为原来的 C．都不变 D．有的扩大，有的缩小 【答案】C 【分析】根据锐角三角函数的概念：锐角三角函数值即为直角三角形中边的比值即可求解． 【详解】解：根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大10倍，锐角A的三角函数值不变． 故选C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟记三角函数值与边的长度无关是解题的关键． 8．计算或解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)，． 【分析】本题考查了实数的混合运算和用公式法求解一元二次方程． （1）先代入特殊角的三角函数值，计算零次幂，算术平方根，化简绝对值，再计算加减法即可解题； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵，，， ， ， ∴，． 题型三 锐角三角函数综合（共3小题） 9．如图，在中，是边的中点，，垂足为点．已知． (1)求线段的长； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角函数求出的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长即可； （2）先运用勾股定理求出，再由于D为上的中点可得，推出，利用正弦函数求出，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵为直角三角形，D是边的中点， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵为直角三角形，D是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．如图，矩形中，，为上一点，，于．求的长．    【答案】 【分析】由矩形的性质可得，由平行线的性质可得，证明，得到，设，由勾股定理可得，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在中，， ∴， ∴设， ， ， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、勾股定理、正切的定义、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，证明出是解此题的关键． 11．如图，在中，，点P为外一点，点P与点C位于直线异侧，且，过点C作，垂足为D． （1）当时，在图1中补全图形，并直接写出线段与之间的数量关系； （2）如图2，当时， ①用等式表示线段与之间的数量关系，并证明； ②在线段上取一点K，使得，画出图形并直接写出此时的值． 【答案】（1）见解析，；（2）①，见解析，②见解析， 【分析】（1）根据题意画出图形，再利用等腰直角三角形的性质可得答案； （2）①如图，作于点E，作交的延长线于点F， 证明四边形为正方形，可得，从而可得答案；②画图如下：延长交于点记交于点 证明 可得 再利用锐角三角函数可得答案． 【详解】（1）解：补全图形如图所示． 由题意得：， 重合， ． （2）①． 证明：如图，作于点E，作交的延长线于点F，则． ∵于点D， ∴， ∴四边形为矩形． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， 可得， ∴ ∴． ②画图如下：延长交于点记交于点 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，三角形全等的判定与性质，矩形，正方形的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键． 题型四 解直角三角形（共6小题） 12．如图，在正方形中，点在上，于点于点．若，求的面积． 【答案】 【分析】根据正方形的性质，得，，得到，结合，得到，，，求得，，的长，解答即可． 本题考查了正方形的性质，解直角三角形的相关计算，勾股定理，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键． 【详解】解：根据正方形的性质，得，， ∴， ∵， ∴， ∵，即 ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∴的面积为． 13．阅读思考，解决问题： 小华遇到这样一个问题：如图1，在中，点在边上，，，求的长． 小华发现，过点作，交的延长线于点，通过构造，经过推理和计算，能够使问题得到解决（如图2）． (1)①直接写出的度数；②求线段的长； (2)参考小华思考问题的方法，解决问题： 如图3，在四边形中，，对角线与交于点，求的长． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据三角形内角和定理计算即可；根据平行线分线段成比例定理计算线段的长； （2）过点作于点，证明，根据相似三角形的性质求出、，根据正切的概念求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：①， ， ； ②， ， ， ，， ， ， ， ； ， ， ； （2）解：如图，过点作于点． ， ， ， ， ，， ， ， 在中，，， ，， ，． ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键． 14．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，延长到点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的性质，勾股定理，掌握判定方法及性质是解题的关键． （1）根据菱形得性质得出，，再由平行四边形的判定即可得证； （2）根据菱形得性质得出，，，再由平行四边形的性质确定，，得出，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）∵菱形，四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，． 15．《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义． 如图，为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高2米的标杆和，两杆间距相距6米，D、B、H三点共线．从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A、C、F三点共线，且仰角为；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A、E、G三点共线，且仰角为．（点F、G都在直线上）    (1)求的长（结果保留根号）； (2)山峰高度的长（结果精确到米）． （参考数据：，） 【答案】(1)米 (2)山峰高度的长约为米 【分析】（1）根据题意可得：，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：，， 在中，，， （米）， 在中，，， （米）， 米， 米， 的长为米； （2）解：设米， 在中，， （米）， ∵米， 米， 在中，， ， ， 解得：， 米， ∴山峰高度的长约为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及A字模型相似三角形是解题的关键． 16．在平面直角坐标系中，已知线段和图形，如果对于给定的角，存在线段上一点，使得将线段绕点顺时针旋转角之后，所得到的线段与图形有公共点，则称图形是线段的联络图形． 例如，如图中的正方形即为线段的联络图形．已知点， (1)若点的坐标为，直线是线段的联络图形，则可能是下列选项中的 　 　（填序号） ①，②，③ (2)若点的坐标为，直线是线段的联络图形，求的取值范围； (3)若第一象限内的点满足，点，，若存在某个点，以及某个，使得线段是线段的联络图形，直接写出的取值范围． 【答案】(1)②③ (2)或 (3) 【分析】（1）当绕点旋转时有最小值，求出此时，当绕中点旋转时，有最大值为，根据的取值判断即可； （2）求出直线与轴和轴的交点和，连接，由勾股定理得出，且，要使直线是线段的联络图形，则，即可求出的取值范围； （3）当点在轴和轴上时分别求出的临界值，即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：如图，将线段绕点逆时针旋转，使点落到直线上的点，过点作于， ，， ，， ， 在中，， 即若直线是线段的联络图形，最小取值为， 如图，将线段绕中点顺时针旋转， 此时点刚好落到直线上的点， 即若直线是线段的联络图形，最大取值为， ， 故答案为：②③； （2）设直线与轴和轴的交点分别为点和点， 在直线中，当时，，当时，， ，， ，， 在中，， ， ①若点在点左侧，连接，如图， ， ， 在中，， ，， ， 故， 直线是线段的联络图形， ， 即， ； ②若点在点右侧，在上取一点，使，如图， 由①知， ， ， 直线是线段的联络图形， ， 即， ， 综上，的取值范围为或； （3）由题知，点在以为圆心半径为2的圆上，且在第一象限， 当点在轴上时，绕点旋转顺时针旋转得到，交于点， ，， ， ； 当点在轴上时，如图， 绕点旋转顺时针旋转得到，交于点，延长交轴于， 在中，， ， ， ，， ， ， ， 即此时， 点在第一象限， 的取值范围为． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，特殊角三角函数等知识，熟练掌握一次函数的性质，特殊角三角函数及正确理解线段的联络图形这一新定义是解题的关键． 17．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如图，在中，AB=AC，顶角的正对记作，这时，容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解答下列问题： (1)___________，___________； (2)如图，已知，其中为锐角，试求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）根据正对的含义分别求解即可； （2）延长到点，使得，连接，由题意可得：，求解即可． 【详解】（1）解：为等边三角形，如下图： 则， ， 为等腰直角三角形，如下图： 则，， 由勾股定理可得：， ； 故答案为：，； （2）解：延长到点，使得，连接，如图： ，设， 由勾股定理可得：， 则， 由勾股定理可得：， 由题意可得：， 【点睛】此题考查了解直角三角形，以及新定义三角函数，解题的关键是理解题意，掌握三角函数的定义． 3 / 38zxxk.com 3 / 38zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 锐角三角函数 题型1 锐角三角函数 题型3锐角三角函数综合（难点） 题型2 特殊角度的三角函数值 题型4 解直角三角形（难点） 题型一 锐角三角函数（共4小题） 1．如图，在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．在中，，则 ． 3．如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在网格（小正方形的边长均为1）中，则的值是（    ）    A． B． C． D． 题型二 特殊角度的三角函数值（共4小题） 5．计算：． 6．计算： 7．在直角三角形中，各边的长度都扩大10倍，则锐角A的三角函数值（    ） A．也扩大10倍 B．缩小为原来的 C．都不变 D．有的扩大，有的缩小 8．计算或解方程： (1)； (2)． 题型三 锐角三角函数综合（共3小题） 9．如图，在中，是边的中点，，垂足为点．已知． (1)求线段的长； (2)求的值． 10．如图，矩形中，，为上一点，，于．求的长．    11．如图，在中，，点P为外一点，点P与点C位于直线异侧，且，过点C作，垂足为D． （1）当时，在图1中补全图形，并直接写出线段与之间的数量关系； （2）如图2，当时， ①用等式表示线段与之间的数量关系，并证明； ②在线段上取一点K，使得，画出图形并直接写出此时的值． 题型四 解直角三角形（共6小题） 12．如图，在正方形中，点在上，于点于点．若，求的面积． 13．阅读思考，解决问题： 小华遇到这样一个问题：如图1，在中，点在边上，，，求的长． 小华发现，过点作，交的延长线于点，通过构造，经过推理和计算，能够使问题得到解决（如图2）． (1)①直接写出的度数；②求线段的长； (2)参考小华思考问题的方法，解决问题： 如图3，在四边形中，，对角线与交于点，求的长． 14．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，延长到点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，求的长． 15．《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义． 如图，为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高2米的标杆和，两杆间距相距6米，D、B、H三点共线．从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A、C、F三点共线，且仰角为；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A、E、G三点共线，且仰角为．（点F、G都在直线上）    (1)求的长（结果保留根号）； (2)山峰高度的长（结果精确到米）． （参考数据：，） 16．在平面直角坐标系中，已知线段和图形，如果对于给定的角，存在线段上一点，使得将线段绕点顺时针旋转角之后，所得到的线段与图形有公共点，则称图形是线段的联络图形． 例如，如图中的正方形即为线段的联络图形．已知点， (1)若点的坐标为，直线是线段的联络图形，则可能是下列选项中的 　 　（填序号） ①，②，③ (2)若点的坐标为，直线是线段的联络图形，求的取值范围； (3)若第一象限内的点满足，点，，若存在某个点，以及某个，使得线段是线段的联络图形，直接写出的取值范围． 17．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如图，在中，AB=AC，顶角的正对记作，这时，容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解答下列问题： (1)___________，___________； (2)如图，已知，其中为锐角，试求的值． 3 / 38zxxk.com 3 / 38zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $