专题02 有理数的运算 25个题型（期中专项训练）七年级数学上学期新教材北京版

专题02 有理数的运算 题型1 有理数的加法运算 题型14 有理数的除法运算 题型2 有理数加法与数轴（常考点） 题型15 有理数除法与绝对值（难点） 题型3 有理数加法的实际应用 题型16 有理数除法的应用 题型4 有理数的减法 题型17 有理数四则混合运算 题型5 有理数减法的实际应用 题型18 有理数四则混合运算及应用（常考点） 题型6 有理数加减混合运算 题型19 有理数的乘方 题型7 有理数加减混合运算的应用 题型20 有理数乘方与绝对值非负性（常考点） 题型8 有理数加减运算选填压轴（难点） 题型21 有理数乘方与选填压轴（难点） 题型9 有理数乘法运算 题型22 含乘方的混合运算（易错点） 题型10 有理数乘法与绝对值（易错点） 题型23 程序流程图与有理数计算 题型11 有理数的乘法选填压轴（难点） 题型24 求近似数 题型12 倒数 题型25 科学记数法 题型13 相反数、绝对值、倒数概念区分（易错点） 题型一 有理数的加法运算（共3小题） 1．计算： 2．计算： 3．计算 (1) (2) 题型二 有理数的加法与数轴（共3小题） 4．如果，，，那么下列各式中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5．有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ）． A． B． C． D． 6．有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三 有理数的加法的实际应用（共3小题） 7．史料证明：我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．古籍中记载了利用算筹实施“正负术”的方法，若图表示的是计算的过程，则图表示的过程是（   ） A． B． C． D． 8．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数，如图1表示的是的计算过程（白色为正，灰色为负），则图2表示的计算过程是（   ） A． B． C． D． 9．在古代数学名著《九章算术》中记载了利用算筹实施“正负术”的方法．图1表示的是计算的过程．按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（   ） A． B． C． D． 题型四 有理数的减法（共3小题） 10．计算：． 11．如图是小明和小乐在学习有理数运算后的一段对话． 解： （　　）（依据：___________） （ ___________） ___________．       题型五 有理数减法的实际应用（共3小题） 12．中国最北城市——漠河在某周中的日最高最低气温（单位：）如下图所示： 根据图中信息回答下列问题： (1)在这周内，日最低气温达到最小值的日期是___________，当天的日最低气温为___________； (2)在这周内，日温差最大的日期是___________，当天日温差为___________． 13．某天实验学校测量七年级（1）班室内温室是，室外温度是，那么室外的温度比室内温度低 ℃． 14．如图，某勘探小组测得E点的海拔高度为，F点的海拔高度为 (以海平面为基准)，则点E比点F高（　　） A． B． C． D． 题型六 有理数加减混合运算（共3小题） 15．把写成省略括号的和的形式是（  ） A． B． C． D． 16．计算：． 17．计算，根据提示完成计算，并补全相应步骤的运算依据．         运算依据：①加法___________律；     运算依据：②加法___________律； =③___________        ④运算依据：绝对值不相等的异号两数相加，取___________的符号，并用___________． 题型七 有理数加减混合运算的应用（共3小题） 18．为了保证社区及周边安全稳定，某志愿者在不同的点位巡逻值守．志愿者从社区服务中心出发，沿着一条东西向的笔直公路巡逻，他先向东行驶到达点位，继续向东行驶到达点位，然后向西行驶到达点位，最后回到社区服务中心． (1)点位与点位的距离是多少千米？ (2)志愿者一共行驶了多少千米？ 19．2020年10月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》．某校积极开展中小学健康促进行动，某班10名学生自主测试了自己1分钟跳绳的个数如下（以180个为标准，用正数表示超出的个数，用负数表示不足的个数）： ，，，，，，，，，． (1)记这10个学生1分钟跳绳的个数的平均数为，求的值； (2)若第11个学生1分钟跳绳的个数为，求这11个学生1分钟跳绳的个数的平均数与的差（用含的代数式表示，结果化成最简形式）． 20．某校模型社团制作建筑模型，为确保稳定性，模型高度的精度要求如下： 设计高度 （单位：） 允许偏差（单位：） 社团成员对编号为甲，乙，丙，丁的四个模型进行测量，获得了以下数据： 模型编号 甲 乙 丙 丁 设计高度（单位：） 30.0 32.0 74.0 95.0 实际高度（单位：） 29.6 32.0 72.8 97.1 其中不符合精度要求的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型八 有理数加减运算选填压轴（共3小题） 21．小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中的值为（　　）    A．或 B．或 C．或 D．或 22．为有理数，定义运算符号：当时，；当时，；当时，；根据这种运算，则 的值为（    ） A． B． C． D． 23．对有理数，进行如下操作：第一次，将，中的一个数加或者减，另一个数加或者减，得到数和；第二次，将和中的一个数加或者减，另一个数加或者减，得到数和；；第次，将和中的一个数加或者减，另一个数加或者减，得到数和． (1)，． ①若，则的值可以是______； ②所有可能的取值为______； (2)若，，则的值是否可以是？请说明理由． 题型九 有理数的乘法运算（共4小题） 24．计算:． 25．计算： ． 26．计算：. 27．在，，3，5这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大为 ． 题型十 有理数的乘法与绝对值（共4小题） 28．已知，，若，则 ． 29．已知，，且，则 ． 30．已知，，且，，则 ， ． 31．若，，且，则的值为 ． 题型十一 有理数的乘法选填压轴（共4小题） 32．车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 修复时间(分钟) 已知每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序：①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号）； （2）若由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元． 33．联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排 34．已知有理数a满足，在数轴上，表示数a和的点之间只有两个整数m，n（不包括a与），下面有四个结论：①a的值可以是；②；③；④a的取值范围是，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 35．定义：将n个互不相等的有理数两两相乘．得到的乘积是m个互不相等的数（相同的乘积看作是一个数），称这m个数为这n个有理数的二维组． 例如：有三个有理数0，1，3，因为，则0和3组成这三个数的二维组． (1)求1，2，4，8这四个数的二维组中的所有数． (2)若某几个有理数的二维组中的数是0，，，，12，18，24，尝试求解这几个有理数． (3)当时，即给定任意五个有理数，m的最小值是________，写出一组满足条件的五个有理数为________． 题型十二 倒数（共3小题） 36．的倒数是（    ） A．2024 B． C． D． 37．已知的倒数是它本身，则是（ ） A． B． C． D． 38．的倒数是 ；比较大小： ．（用“、或”连接） 题型十三 相反数、绝对值、倒数概念区分（共3小题） 39．现有以下四个结论：①绝对值等于其本身的有理数只有零；②相反数等于其本身的有理数只有零；③倒数等于其本身的有理数只有1，正确的说法有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．大于2个 40．下列语句： ①一个数的绝对值一定是正数； ②是负分数； ③相反数等于本身的数只有0； ④倒数等于本身的数只有1； ⑤几个数相乘，当负因数的个数为奇数时，积为负数 其中正确的是 ．（填序号） 41．下列说法：0是绝对值最小的有理数，相反数大于本身的数是负数，倒数等于本身的数只有1，两个数比较，绝对值大的数反而小．其中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十四 有理数除法运算（共3小题） 42．计算：的结果是 ． 43．化简：= ． 44．计算： ． 题型十五 有理数除法与绝对值（共4小题） 45．若，且，，，……，，这个数中有个正数，则的值为（   ） A． B． C． D． 46．如果有理数x、y满足，那么的值为（   ）． A． B．2 C．2或 D．或2 47．若，则 的值为（    ） A． B．4 C．0或4 D．0或 48．已知，，且，则的值等于（    ） A．8 B． C．2 D． 题型十六 有理数除法的应用（共3小题） 49．小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了到达小彬家，继续向东跑了到达小红家，然后又向西跑了到达学校，最后又向东跑回到自己家 ． (1)以小明家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示，在图中的数轴上，分别用点A表示出小彬家，用点表示出小红家，用点表示出学校的位置； (2)求小彬家与学校之间的距离； (3)如果小明跑步的速度是，那么小明跑步一共用了多长时间？ 50．十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为六进制数可用除六取余法．例如下表是将十进制数13和500转化为二进制数和六进制数的方法．将十进制数1000转化为八进制数为 51．某登山队5名队员以大本营为基底，向距离大本营500米的顶峰发起登顶冲击，假设向上走为正，向下走为负．行程记录如下（单位：米），，，，，，，，，． (1)它们有没有登上顶峰？如果没有登上顶峰，他们距离顶峰多少米？ (2)登山时，5名队员在行进中全程均使用了氧气，每人每100米消耗氧气升．求共使用了多少升氧气？ 题型十七 有理数四则混合运算（共2小题） 52．计算： 53．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十八 有理数四则混合运算及应用（共4小题） 54．一只小虫从某点P出发，在一条直线上来回爬行，假定把向右爬行记为正数，向左爬行记为负数，则爬行的记录（单位：厘米）依次为，，，，，，． (1)通过计算说明小虫最后是否回到起点P处； (2)如果小虫爬行的速度为0.5厘米/秒，那么小虫共爬行了多长时间? 55．如图，小明家在点，学校在点，中间有道路相连，线段上的点，代表十字路口（十字路口处道路的长度忽略不计）．已知：，，；，两个路口都有红绿灯，对于方向的车辆和行人，每天早上、、、的时间段内，两个路口都是绿灯，其它时间段都是红灯；小明每天早上准时从家出发，不晚于到达学校；为确保安全，他的骑行速度不超过，并且只在绿灯时通过路口（如果到达路口时恰好遇到红灯变绿灯或绿灯变红灯，也可以立即通过路口）． (1)若小明的骑行速度保持为，他将在_____（填时刻）到达学校； (2)若小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变，那么他的骑行速度最大可以是_____，最小可以是_____． 56．小明计划在某外卖网站点如下表所示的菜品．已知每份订单的配送费为6元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满70元减30元，满100元减40元．如果小丽在购买下表中的所有菜品时，采取适当的下订单方式，那么他点餐的总费用最低可为 元． 菜品 单价（含包装费） 数量 水煮牛肉（小） 40元 1 醋溜土豆丝（小） 12元 1 豉汁排骨（小） 30元 1 手撕包菜（小） 12元 1 米饭 3元 2 57．在体温检查中，医护人员将体温高出的部分记为正数，将低于的部分记作负数，体温正好是时记作“0”，一名人员体温测量的结果记为，则实际体温为 ；若这位同学的一周内的体温测量结果分别为：，0，，，，0，，那么该人员一周（7天）中测量体温的平均值为 ． 题型十九 有理数的乘方（共3小题） 58．下列各组数中，相等的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 59．下列运算中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 60．下列各式中计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二十 有理数乘方与绝对值非负性（共3小题） 61．若，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 62．若m，n满足，则 ． 63．已知都是实数，若，则 ， ． 题型二十一 有理数乘方选填压轴（共3小题） 64．定义新运算：用“”连接个相同非零有理数a所构成的运算叫做除方，记作．比如读作“2的圈3次方”，，读作“的圈4次方”．下面说法不正确的是（    ） A．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正整数）． C．互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数． D．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数． 65．如图，用边长为2的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 66．代数式最小值为 ，取最小值时，a与b的关系是 ． 题型二十二 含乘方的混合运算（共3小题） 67．计算：． 68．计算 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 69．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 题型二十三 程序流程图与有理数计算（共3小题） 70．如图是一个数字传输器，箭头代表传输路径，方框代表传输方式，菱形代表判断，理解这个数字传输器的工作原理，回答下列问题： (1)当时， ；当时， ； (2)若输出的值为，则输入的为 ； (3)若是自然数，请写出的所有可能值 ． 71．有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是，可以得出第次输出的结果是，第次输出的结果是，依次继续下去，第次输出的结果是 ． 72．按如图所示的程序计算，当输入x的值为时，输出的值为 ． 题型二十四 求近似数（共3小题） 73．将5.649精确到百分位所得的近似数是 ． 74．根据要求，用四舍五入法取近似数： （精确到百分位）． 75．数用四舍五入精确到0.1得到 ，近似数精确到 位． 题型二十五 科学记数法（共3小题） 76．去年某市国庆期间接待旅游人数达到602000人次．将602000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 77．地球上的海洋面积约为，这个数用科学记数法表示为（　　）． A． B． C． D． 78．是第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上．用科学记数法表示1300000是（　　） A． B． C． D． 2 / 6zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02有理数运算 题型1 有理数的加法运算 题型14 有理数的除法运算 题型2 有理数加法与数轴（常考点） 题型15 有理数除法与绝对值（难点） 题型3 有理数加法的实际应用 题型16 有理数除法的应用 题型4 有理数的减法 题型17 有理数四则混合运算 题型5 有理数减法的实际应用 题型18 有理数四则混合运算及应用（常考点） 题型6 有理数加减混合运算 题型19 有理数的乘方 题型7 有理数加减混合运算的应用 题型20 有理数乘方与绝对值非负性（常考点） 题型8 有理数加减运算选填压轴（难点） 题型21 有理数乘方与选填压轴（难点） 题型9 有理数乘法运算 题型22 含乘方的混合运算（易错点） 题型10 有理数乘法与绝对值（易错点） 题型23 程序流程图与有理数计算 题型11 有理数的乘法选填压轴（难点） 题型24 求近似数 题型12 倒数 题型25 科学记数法 题型13 相反数、绝对值、倒数概念区分（易错点） 题型一 有理数的加法运算（共3小题） 1．计算： 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法法则是解题的关键； 根据有理数加法法则即可解答． 【详解】解： ． 2．计算： 【答案】8 【分析】根据有理数加减法混合运算，将减法转化为加法，整理后直接计算即可． 【详解】原式 【点睛】本题主要考查有理数的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握加减运算法则． 3．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了有理数的加法，加法结合律的运用． （1）运用加法的结合律，将同符号的两数相加，再进一步进行计算即可； （2）运用加法的结合律，将再分母的两数相加，再进一步进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二 有理数的加法与数轴（共3小题） 4．如果，，，那么下列各式中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数与数轴，有理数的加法，有理数的大小比较，先根据a，b的正负，结合判断出b比a的绝对值大，进而在数轴上表示出各数，利用数轴比较大小即可． 【详解】解：，， a为正数，b为负数， ， b比a的绝对值大， a，b，，在数轴上的位置如图所示： 由数轴可知，， 故选B． 5．有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴，有理数的加减运算，根据a，b在数轴上的位置得出，且是解题关键．由题意得出，且，从而得出，即可选择． 【详解】解：由数轴可知，且， 所以，故A和D错误，不符合题意； ，故B错误，不符合题意； C正确，符合题意． 故选C． 6．有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴判断式子正负，绝对值和相反数，有理数的加法运算，正确理解数轴是解题关键．由数轴可知，，，进而得到，，即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，，， ，， 只有D选项正确， 故选：D 题型三 有理数的加法的实际应用（共3小题） 7．史料证明：我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．古籍中记载了利用算筹实施“正负术”的方法，若图表示的是计算的过程，则图表示的过程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法、正负数的定义，解题的关键是理解图表示的计算． 由图可以看出白色表示正数，黑色表示负数，观察图即可列式． 【详解】解：由图知：白色表示正数，黑色表示负数， 所以图表示的过程是：， 故选：A． 8．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数，如图1表示的是的计算过程（白色为正，灰色为负），则图2表示的计算过程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正数和负数，有理数的加法运算，理解图中的含义是解题的关键．根据图中的含义写出算式即可． 【详解】解：根据题意，图2表示的计算过程是：， 故选：A． 9．在古代数学名著《九章算术》中记载了利用算筹实施“正负术”的方法．图1表示的是计算的过程．按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，由图1可以看出白色表示负数，黑色表示正数是解题的关键．先由图1可得白色表示负数，黑色表示正数，然后观察图2列式即可． 【详解】解：由图1知：白色表示负数，黑色表示正数， ∴图2表示的过程是在计算． 故选A． 题型四 有理数的减法（共3小题） 10．计算：． 【答案】26 【分析】有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了有理数的减法法则，熟练掌握知识点是解题的关键． 11．如图是小明和小乐在学习有理数运算后的一段对话． 解： （　　）（依据：___________） （ ___________） ___________．       【答案】，有理数的减法法则，5，2 【分析】根据有理数的加法法则和加法法则计算即可． 【详解】解： （依据：有理数的减法法则） ， 故答案为：，有理数的减法法则，5，2． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 题型五 有理数减法的实际应用（共3小题） 12．中国最北城市——漠河在某周中的日最高最低气温（单位：）如下图所示： 根据图中信息回答下列问题： (1)在这周内，日最低气温达到最小值的日期是___________，当天的日最低气温为___________； (2)在这周内，日温差最大的日期是___________，当天日温差为___________． 【答案】(1)9月19日， (2)9月22日， 【分析】（1）根据图中信息直接即可求解． （2）根据最高温度减去最低温度求得日温差，然后比较大小即可求解． 【详解】（1）解：观察图表可得，最低气温达到最小值的日期是，9月19日，当天的日最低气温为， 故答案为：9月19日， ； （2）解：9月18日的日温差为：， 9月19日的日温差为：， 9月20日的日温差为：， 9月21日的日温差为：， 9月22日的日温差为：， 9月23日的日温差为：， 9月24日的日温差为：， ∴在这周内，日温差最大的日期是9月22日，当天日温差为， 故答案为：9月22日，． 【点睛】本题考查了有理数的减法的实际应用，根据图中数据进行计算是解题的关键． 13．某天实验学校测量七年级（1）班室内温室是，室外温度是，那么室外的温度比室内温度低 ℃． 【答案】 【分析】根据温差的定义高温度与低温度的差解答即可． 本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 14．如图，某勘探小组测得E点的海拔高度为，F点的海拔高度为 (以海平面为基准)，则点E比点F高（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的减法以及正数和负数，掌握有理数的减法法则是解答本题的关键．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．用减去可得答案． 【详解】解：由题意得，， 即点比点高． 故选：A 题型六 有理数加减混合运算（共3小题） 15．把写成省略括号的和的形式是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，根据有理数加法法则、减法法则将括号前的符号与括号内的数结合，改写为省略括号的和的形式即可； 【详解】解： ， ， 故选D． 16．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数加减法混合运算，熟练掌握有理数加减法混合运算法则是解题的关键； 根据有理数加减法混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 17．计算，根据提示完成计算，并补全相应步骤的运算依据．         运算依据：①加法___________律；     运算依据：②加法___________律； =③___________        ④运算依据：绝对值不相等的异号两数相加，取___________的符号，并用___________． 【答案】交换，结合，，绝对值较大的加数，较大的绝对值减去较小的绝对值 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则及运算律是解题关键． 根据有理数加法的运算法则以及加法运算律求解即可． 【详解】解：计算， 运算依据：加法交换律； 运算依据：加法结合律； ， 运算依据：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值， 故答案为：交换，结合，，绝对值较大的加数，较大的绝对值减去较小的绝对值． 题型七 有理数加减混合运算的应用（共3小题） 18．为了保证社区及周边安全稳定，某志愿者在不同的点位巡逻值守．志愿者从社区服务中心出发，沿着一条东西向的笔直公路巡逻，他先向东行驶到达点位，继续向东行驶到达点位，然后向西行驶到达点位，最后回到社区服务中心． (1)点位与点位的距离是多少千米？ (2)志愿者一共行驶了多少千米？ 【答案】(1)点位与点位的距离是 (2)志愿者一共行驶了 【分析】本题考查了有理数的加减运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）利用的距离减去的距离即可求解； （2）把路程加起来即可． 【详解】（1）解：， 答：点位与点位的距离是 （2）解：到达点C时距离社区服务中心的距离为 ， 答：志愿者一共行驶了． 19．2020年10月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》．某校积极开展中小学健康促进行动，某班10名学生自主测试了自己1分钟跳绳的个数如下（以180个为标准，用正数表示超出的个数，用负数表示不足的个数）： ，，，，，，，，，． (1)记这10个学生1分钟跳绳的个数的平均数为，求的值； (2)若第11个学生1分钟跳绳的个数为，求这11个学生1分钟跳绳的个数的平均数与的差（用含的代数式表示，结果化成最简形式）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数加减混合运算的运用，平均数，代数式表示式，解题的关键在于正确理解正负数的意义． （1）先求出超出与不足的平均数，再加上标准数，即可得到； （2）根据平均数定义表示出，即可解题． 【详解】（1）解：因为， 所以（个）； （2）解： ． 20．某校模型社团制作建筑模型，为确保稳定性，模型高度的精度要求如下： 设计高度 （单位：） 允许偏差（单位：） 社团成员对编号为甲，乙，丙，丁的四个模型进行测量，获得了以下数据： 模型编号 甲 乙 丙 丁 设计高度（单位：） 30.0 32.0 74.0 95.0 实际高度（单位：） 29.6 32.0 72.8 97.1 其中不符合精度要求的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的实际意义，有理数的加减混合运算的运用，理解正负数的意义，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 根据表中设计高度与允许偏差得到符合要求的高度范围，再进行比较即可求解． 【详解】解：当时，符合要求的高度范围为：到（）， ∵， ∴ 甲符合要求，A选项不符合题意； 当时，符合要求的高度范围为：到（）， ∵， ∴ 乙符合要求，B选项不符合题意； 当时，符合要求的高度范围为：到（）， ∵， ∴丙符合要求，C选项不符合题意； 当时，符合要求的高度范围为：到（）， ∵， ∴ 丁不符合要求，D选项符合题意； 故选：D ． 题型八 有理数加减运算选填压轴（共3小题） 21．小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中的值为（　　）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减法的应用，由于八个数的和是，所以需满足两个圈的和是，横、竖的和也是，列等式可得结论，解题的关键是读懂题意，列出算式． 【详解】解：设小圈上的数为，大圈上的数为， ， ∵横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等， ∴两个圈的和是，横、竖的和也是，    则，得， ，得， ，， ∵当时，，则， 当时，，则， 故选：． 22．为有理数，定义运算符号：当时，；当时，；当时，；根据这种运算，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，根据新定义运算计算即可求解，理解有理数的新定义运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴， 故选：． 23．对有理数，进行如下操作：第一次，将，中的一个数加或者减，另一个数加或者减，得到数和；第二次，将和中的一个数加或者减，另一个数加或者减，得到数和；；第次，将和中的一个数加或者减，另一个数加或者减，得到数和． (1)，． ①若，则的值可以是______； ②所有可能的取值为______； (2)若，，则的值是否可以是？请说明理由． 【答案】(1)①或；②，，，，，， (2)不可以，理由见解析， 【分析】本题考查有理的加减混和运算的运用，绝对值意义，解题的关键在于读懂题意，分情况讨论数的变化情况． （1）①根据题意求出的值即可； ②根据题意的操作得到的情况，进而根据得到的情况，即可解题； （2）根据题意得到要满足，，则中间操作的结果正好和为0，再结合当时，操作的绝对值的和不能为奇数，进行分析，即可解题． 【详解】（1）解：①，，， ， 或， 故答案为：或； ②，，将，中的一个数加或者减，另一个数加或者减，得到数和； ， ， ， ， 将和中的一个数加或者减，另一个数加或者减，得到数和； ，， ，， 当时，可能的取值有，，，， 当时，可能的取值有，，，， 当时，可能的取值有，，，， 当时，可能的取值有，，，， 综上所述，所有可能的取值为，，，，，，， 故答案为：，，，，，，． （2）解：不可以，理由如下： ，， 中间操作的结果正好和为0， 又中间操作为其中的一个数加或者减，另一个数加或者减， 当时，操作的绝对值的和不能为奇数， ①其中的一个数的操作绝对值可以为：1，1，1，1，2， 另一个数的操作绝对值为：2，2，2，2，1，和为奇数，中间操作的结果的和不为0，不能回到原数； ②其中的一个数的操作绝对值可以为：1，1，1，2，2，和为奇数，中间操作的结果的和不为0，不能回到原数； ③其中的一个数的操作绝对值可以为：1，1，2，2，2， 另一个数的操作绝对值为：2，2，1，1，1，和为奇数，中间操作的结果的和不为0，不能回到原数； ④其中的一个数的操作绝对值可以为：1，2，2，2，2，和为奇数，中间操作的结果的和不为0，不能回到原数； ⑤其中的一个数的操作绝对值可以为：2，2，2，2，2， 另一个数的操作绝对值为：1，1，1，1，1，和为奇数，中间操作的结果的和不为0，不能回到原数； 故的值是不可以是． 题型九 有理数的乘法运算（共4小题） 24．计算:． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘法运算、有理数乘法分配律、有理数加减运算等知识，先由有理数乘法分配律展开，再计算有理数乘法运算，最后由有理数加减运算计算即可得到答案．熟记有理数乘法运算律及有理数加减乘等运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ． 25．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据乘法分配律计算即可． 【详解】解：原式， ， ， 故答案为： 26．计算：. 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】解： ． 27．在，，3，5这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，有理数乘法计算，根据乘法计算法则得到所取的两个数必须同号，且这两个数的绝对值要是最大的两个数，则需要取，，据此根据乘法计算法则求解即可． 【详解】解：∵两数相乘（非0），同号为正，异号为负， ∴要使在，，3，5这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大，那么所取的两个数必须同号，且这两个数的绝对值要是最大的两个数， ∴应该取，，即在，，3，5这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大为， 故答案为：． 题型十 有理数的乘法与绝对值（共4小题） 28．已知，，若，则 ． 【答案】8或 【分析】本题考查的是绝对值的含义，有理数的运算，代数式的值，根据绝对值的含义求解的值，再分类计算是解本题的关键．先求解，，结合，可得，或，，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， ∴当，时，； 当，时，； 故答案为：8或． 29．已知，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，有理数的减法，绝对值，会判断出x，y得对应情况是解题的关键； 根据绝对值的性质及乘积异号为负，判断出x，y得对应情况，然后根据有理数减法法则计算即可； 【详解】解：因为，，且， 所以，， 所以， 故答案为：． 30．已知，，且，，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数乘法和加法，掌握相关运算法则是解题关键．由绝对值可得，，再根据有理数加法和减法求解即可． 【详解】解：，， ，， ，， ，， 故答案为：，． 31．若，，且，则的值为 ． 【答案】或20 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，绝对值，以及有理数的加法，根据题意，利用绝对值的意义得出，，再根据有理数的加法法则可得出，，最后分情况根据有理数的乘法代入计算即可． 【详解】解：，， ∴，， ∵， ∴，， 当，，则， 当，，则， 故答案为：或20． 题型十一 有理数的乘法选填压轴（共4小题） 32．车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 修复时间(分钟) 已知每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序：①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号）； （2）若由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元． 【答案】 ① 【分析】本题考查了推理与论证，有理数的混合运算，找出方案是解题的关键． （1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的即可； （2）因为要先修理时间短的，时间长放在最后，所以两名修理工最后修理的是分钟和分钟的，最先修理的是分钟和分钟的． 【详解】解：（1）要使经济损失最少，就要使总停产的 时间最短即可，显然先修复时间短，让机器尽快恢复运转，所以按照、、、、分钟顺序修复，即按照的顺序， 故答案为：①； （2）一名修理工修理分钟、分钟和分钟共需分钟，另一名修理工修理分钟和分钟共需分钟，五台机器总停产时间为： （分钟）， （元）． 故答案为：． 33．联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排 【答案】 60 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． ①节目D的演员的候场时间为；②先确定C在A的前面，B在D前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可． 【详解】解：①节目D的演员的候场时间为， 故答案为：60； ②由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面， ∴①按照顺序，则候场时间为：分钟； ②按照顺序，则候场时间为：分钟； ③按照顺序，则候场时间为：分钟； ④按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑤按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑥按照顺序，则候场时间为：分钟． ∴按照顺序彩排，候场时间之和最小， 故答案为：． 34．已知有理数a满足，在数轴上，表示数a和的点之间只有两个整数m，n（不包括a与），下面有四个结论：①a的值可以是；②；③；④a的取值范围是，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、有理数的乘法及有理数的加法运算，熟练掌握数轴上有理数的表示及运算是解题的关键；由题意可知当时，则，所以要在表示数a和的点之间只有两个整数m，n，则，然后问题可求解． 【详解】解：∵，且表示数a和的点之间只有两个整数m，n（不包括a与）， ∴这两个整数必有一个为0， ∴，故②正确； 由当时，则，可知要在表示数a和的点之间只有两个整数m，n（不包括a与），则，所以a的值可以是，故①正确，④错误； ∴在表示数a和的点之间只有两个整数m，n（不包括a与）的整数为0和1， ∴，故③正确； 故选A． 35．定义：将n个互不相等的有理数两两相乘．得到的乘积是m个互不相等的数（相同的乘积看作是一个数），称这m个数为这n个有理数的二维组． 例如：有三个有理数0，1，3，因为，则0和3组成这三个数的二维组． (1)求1，2，4，8这四个数的二维组中的所有数． (2)若某几个有理数的二维组中的数是0，，，，12，18，24，尝试求解这几个有理数． (3)当时，即给定任意五个有理数，m的最小值是________，写出一组满足条件的五个有理数为________． 【答案】(1)2，4，8，16，32 (2)或 (3)5； 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算： （1）根据有理数乘法计算法则求出这4个数两两相乘的结果即可得到答案； （2）二维数组中有0，则这几个有理数中必定有一个数为0，假设这几个有理数中，有一个数不为整数，设这个数为a，则有一个数b满足，则可推出一定是二维数组中的每个数，再由，，，12，18，24这几个数中除以后的结果都不能是某个有理数的平方，可得这几个有理数都是整数；若有一个有理数为1，那么其它的有理数都是偶数，则此时必有一个有理数为，再由二维数组中有24和18，此时必有有理数为和，这与假设矛盾，当有有理数时，那么其它的有理数都是偶数，此时必有一个有理数为，再由二维数组中有24和18，得到此时必有有理数为和，这与假设矛盾；当有一个有理数为3时，那么其它的有理数都是偶数，可得此时必有一个有理数为，进而推出此时必有有理数4和6，则有理数满足题意，同理有理数也满足题意； （3）要使m的值最小，那么一定要保证这5个数里面有1个数为0，根据4个数两两相乘一共有6种结果，则当剩下的4个数两两相乘的结果要最少，由1乘以任何数等于任何数，负1乘以任何数等于任何数的相反数，故当有时，且剩下两个数互为相反数，那么这4个数相乘的结果就会重复2个数，即相乘的结果最少，据此求解即可． 【详解】（1）解：，，，，，， ∴1，2，4，8这四个数的二维组中的所有数为2，4，8，16，32； （2）解：∵二维数组中有0， ∴这几个有理数中必定有一个数为0， 假设这几个有理数中，有一个数不为整数，设这个数为a，则有一个数b满足， ∴一定有一个数满足，一定有一个数满足， ∴一定是二维数组中的每个数， ∵，，，12，18，24这几个数中除以后的结果都不能是某个有理数的平方， ∴这几个有理数都是整数； 若有一个有理数为1，那么其它的有理数都是偶数， ∵， 此时必有一个有理数为， ∵二维数组中有24和18， ∴此时必有有理数为和，这与假设矛盾， ∴没有有理数1， 当有有理数时，那么其它的有理数都是偶数， ∵， ∴此时必有一个有理数为， ∵二维数组中有24和18， ∴ 此时必有有理数为和，这与假设矛盾； 当有一个有理数为3时，那么其它的有理数都是偶数， ∵， ∴此时必有一个有理数为， ∵二维数组中有24，且， ∴此时必有有理数4和6， ∵， ∴这时有理数满足题意， 同理有理数也满足题意； （3）解：∵0乘以任何数为0， ∴要使m的值最小，那么一定要保证这5个数里面有1个数为0， ∵4个数两两相乘一共有6种结果， ∴当剩下的4个数两两相乘的结果要最少， ∵1乘以任何数等于任何数，负1乘以任何数等于任何数的相反数， ∴当有时，且剩下两个数互为相反数，那么这4个数相乘的结果就会重复2个数，即相乘的结果最少， 综上所述，5个不同的数相乘时不同的结果最少为5个，即，此时满足题意的有理数可以为， 故答案为：5；． 题型十二 倒数（共3小题） 36．的倒数是（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查倒数，根据互为倒数的两数之积为1，进行判断即可． 【详解】解：的倒数是； 故选：D． 37．已知的倒数是它本身，则是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数的定义，根据乘积是1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】∵1的倒数是1，的倒数是，0没有倒数， ∴正确答案为C． 故选C． 38．的倒数是 ；比较大小： ．（用“、或”连接） 【答案】 【分析】此题主要考查了倒数以及有理数大小比较的方法，倒数：乘积是1的两数互为倒数；有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：的倒数是； ，，而， ． 故答案为：；． 题型十三 相反数、绝对值、倒数概念区分（共3小题） 39．现有以下四个结论：①绝对值等于其本身的有理数只有零；②相反数等于其本身的有理数只有零；③倒数等于其本身的有理数只有1，正确的说法有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．大于2个 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的性质，相反数的定义，倒数的定义，是基础概念题，熟记概念是解题的关键． 根据绝对值的性质，相反数的定义，倒数的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：①绝对值等于其本身的有理数是零和正数，故①错误； ②相反数等于其本身的有理数只有零，故②正确； ③倒数等于其本身的有理数是1和，故③错误； 综上所述，正确的说法有②共1个． 故选：B． 40．下列语句： ①一个数的绝对值一定是正数； ②是负分数； ③相反数等于本身的数只有0； ④倒数等于本身的数只有1； ⑤几个数相乘，当负因数的个数为奇数时，积为负数 其中正确的是 ．（填序号） 【答案】②③/③② 【分析】根据绝对值，倒数，正负数,相反数，有理数乘法这些定义以及乘法法则一一判断即可． 【详解】解：一个数的绝对值一定是正数或0，①错误； 是负分数，②正确； 相反数等于本身的数只有0，③正确； 倒数等于本身的数只有或，故④错误； 几个数相乘，当负因数的个数为奇数时，积为负或0，故⑤错误， ∴正确的有②③， 故答案为：②③． 【点睛】本题主要考查了绝对值，倒数，正负数，相反数，有理数乘法等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 41．下列说法：0是绝对值最小的有理数，相反数大于本身的数是负数，倒数等于本身的数只有1，两个数比较，绝对值大的数反而小．其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相反数的定义，绝对值的性质，倒数，有理数的大小比较，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：①0是绝对值最小的有理数，故正确； ②相反数大于自身的数是负数，故正确； ③倒数等于本身的数有，故原说法错误； ④两个负数相互比较绝对值大的反而小，故原说法错误． 正确的是①② 故选：A 【点睛】本题考查了相反数的定义，绝对值的性质，倒数，有理数的大小比较，熟记概念与性质是解题的关键． 题型十四 有理数除法运算（共3小题） 42．计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】根据有理数除法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了有理数除法计算法则，熟记法则是解题的关键． 43．化简：= ． 【答案】 【分析】原式约分即可得到结果． 【详解】解：原式＝． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的除法法则以及将分数与除法相结合． 44．计算： ． 【答案】 【分析】原式利用除法法则变形，计算即可求出值． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】此题考查了有理数的除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的除法运算法则． 题型十五 有理数除法与绝对值（共4小题） 45．若，且，，，……，，这个数中有个正数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的除法运算，绝对值的意义，根据个数中有个正数，则有个负数，进而推出中，有个1，个，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：个数中有个负数， ∴中，有个1，个， ∴； 故选：D． 46．如果有理数x、y满足，那么的值为（   ）． A． B．2 C．2或 D．或2 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘除法，化简绝对值，掌握有理数的乘法法则是解题关键．根据有理数的乘法法则和，即得出，或，．分类讨论化简绝对值求解即可． 【详解】解：因为， 所以，或，． 当，时，； 当，时，． 故选C． 47．若，则 的值为（    ） A． B．4 C．0或4 D．0或 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的四则运算，根据乘法计算法则得到中负数的个数为奇数个，则可分两种情况：当三个数都为奇数时，当中有一个负数，两个正数时，不妨设是负数，两种情况分别化简绝对值后计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴中负数的个数为奇数个， 当三个数都为奇数时， 则； 当中有一个负数，两个正数时，不妨设是负数， 则， 综上所述，的值为0或， 故选：D． 48．已知，，且，则的值等于（    ） A．8 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用绝对值的意义，以及，求出与的值，即可求出所求式子的值；此题主要考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：， 或 则 故选：B． 题型十六 有理数除法的应用（共3小题） 49．小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了到达小彬家，继续向东跑了到达小红家，然后又向西跑了到达学校，最后又向东跑回到自己家 ． (1)以小明家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示，在图中的数轴上，分别用点A表示出小彬家，用点表示出小红家，用点表示出学校的位置； (2)求小彬家与学校之间的距离； (3)如果小明跑步的速度是，那么小明跑步一共用了多长时间？ 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查数轴上两点距离及有理数除法的应用；解题的关键是理解题意； （1）根据题中信息可直接画出数轴即可； （2）由（1）及题意可直接进行求解； （3）根据题意可直接列式进行求解． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：小彬家与学校的距离是． 故小彬家与学校之间的距离是． （3）解：小明一共跑了， 小明跑步一共用的时间是 ． 答：小明跑步一共用了． 50．十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为六进制数可用除六取余法．例如下表是将十进制数13和500转化为二进制数和六进制数的方法．将十进制数1000转化为八进制数为 【答案】1750 【分析】本题考查有理数除法的应用，理解题意，由十进制整数转化为二进制整数和十进制数转化为六进制数的方法，推出十进制数化为八进制数的方法是解题关键．结合十进制数化为八进制数的方法求解即可． 【详解】解：计算如下， 所以． 故答案为：1750． 51．某登山队5名队员以大本营为基底，向距离大本营500米的顶峰发起登顶冲击，假设向上走为正，向下走为负．行程记录如下（单位：米），，，，，，，，，． (1)它们有没有登上顶峰？如果没有登上顶峰，他们距离顶峰多少米？ (2)登山时，5名队员在行进中全程均使用了氧气，每人每100米消耗氧气升．求共使用了多少升氧气？ 【答案】(1)没有登上顶峰，他们距离顶峰40米. (2)升氧气 【分析】（1）先求解记录数据的代数和，根据和的结果作出判断即可； （2）先求解5名队员行进的路程和，再乘以百米耗氧量即可得到答案． 【详解】（1）解：（米）． （米）， 答：没有登上顶峰，他们距离顶峰40米． （2）（米）， 每人每100米消耗氧气0.5升， （升） 答：他们共消耗升氧气． 【点睛】本题考查的是加减运算的实际应用，有理数的乘法的实际应用，绝对值的含义，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键． 题型十七 有理数四则混合运算（共2小题） 52．计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，解题的关键是将带分数化为假分数，再根据有理数乘除法运算法则，从左到右依次进行计算． 将带分数化为假分数，按照从左到右的顺序进行乘除运算． 【详解】解：原式 ． 53．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)22 (2) (3) (4)1 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则，包括去括号法则，乘除运算法则，乘法分配律以及运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内）． （1）按照有理数加减法法则计算； （2）依据有理数乘除法法则计算； （3）运用乘法分配律计算； （4）根据先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型十八 有理数四则混合运算及应用（共4小题） 54．一只小虫从某点P出发，在一条直线上来回爬行，假定把向右爬行记为正数，向左爬行记为负数，则爬行的记录（单位：厘米）依次为，，，，，，． (1)通过计算说明小虫最后是否回到起点P处； (2)如果小虫爬行的速度为0.5厘米/秒，那么小虫共爬行了多长时间? 【答案】(1)小虫回到了起点P； (2)108秒 【分析】本题考查了正数和负数的知识，掌握正数和负数的含义是关键． （1）把记录到得所有的数字相加，看结果是否为0即可， （2）记录到得所有的数字的绝对值的和，除以0.5即可． 【详解】（1）解∶． 小虫能回到起点P； （2）解∶ (秒) 答∶小虫共爬行了108秒. 55．如图，小明家在点，学校在点，中间有道路相连，线段上的点，代表十字路口（十字路口处道路的长度忽略不计）．已知：，，；，两个路口都有红绿灯，对于方向的车辆和行人，每天早上、、、的时间段内，两个路口都是绿灯，其它时间段都是红灯；小明每天早上准时从家出发，不晚于到达学校；为确保安全，他的骑行速度不超过，并且只在绿灯时通过路口（如果到达路口时恰好遇到红灯变绿灯或绿灯变红灯，也可以立即通过路口）． (1)若小明的骑行速度保持为，他将在_____（填时刻）到达学校； (2)若小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变，那么他的骑行速度最大可以是_____，最小可以是_____． 【答案】(1) (2)225，150 【分析】本题主要考查有理数运算的应用，正确理解题意是解答本题的关键． （1）分别求出在段用时，段用时以及段用时，再加上等红灯的时间即可得出从出发到学校的总用时； （2）分别求出骑行完所用最长时间和最短时间，根据速度=路程÷时间即可得解． 【详解】（1）解：（分）， （分）， （分） （分）， 所以，从到所用总时间为（分）， （分）， 即小明的骑行速度保持为，他将在到达学校， 故答案为：； （2）解：因为小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变， 所以，他最少用时为（分）； 最多用时为（分）； 所以，他的骑行速度最大为； 骑行速度最小为； 故答案为：150；225． 56．小明计划在某外卖网站点如下表所示的菜品．已知每份订单的配送费为6元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满70元减30元，满100元减40元．如果小丽在购买下表中的所有菜品时，采取适当的下订单方式，那么他点餐的总费用最低可为 元． 菜品 单价（含包装费） 数量 水煮牛肉（小） 40元 1 醋溜土豆丝（小） 12元 1 豉汁排骨（小） 30元 1 手撕包菜（小） 12元 1 米饭 3元 2 【答案】66 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，正确的理解题意是解题的关键．根据满30元减12元，满70元减30元，满100元减40元，即可得到结论． 【详解】解：依题意，购买所有菜品花费元， 若订单方式采用3份满30元减12元，则减36元，加上3份配送费18元，实际减18元， 若订单方式采用70一份，30一份，优惠，加上2分配送费12元，实际减30元， 若订单方式采用满100一份，则优惠40元，加上1分配送费6元，实际减34元 ∴应采取的订单方式是100一份， 所以点餐总费用最低可为（元）， 即他点餐总费用最低可为66元． 故答案为：66． 57．在体温检查中，医护人员将体温高出的部分记为正数，将低于的部分记作负数，体温正好是时记作“0”，一名人员体温测量的结果记为，则实际体温为 ；若这位同学的一周内的体温测量结果分别为：，0，，，，0，，那么该人员一周（7天）中测量体温的平均值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正负数的实际应用，对于第一空，直接用37加上测量的结果即可得到答案；对于第二空，先求出这七天测量的结果的和，再除以7之后加上37即可得到答案． 【详解】解：， ∴一名人员体温测量的结果记为，则实际体温为； ， ∴该人员一周（7天）中测量体温的平均值为； 故答案为：；． 题型十九 有理数的乘方（共3小题） 58．下列各组数中，相等的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算，涉及相反数、绝对值、乘方等基本运算，需注意运算顺序及符号处理，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，，两者不相等，故不符合题意； B、，，结果不同，故不符合题意； C、，，结果相等，故符合题意； D、，，数值不同，故不符合题意； 故选：C． 59．下列运算中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方的定义是解题的关键． 根据有理数的乘方的定义和运算法则计算，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A．，此选项错误； B．，此选项错误； C．，此选项错误； D．，此选项正确； 故选：D． 60．下列各式中计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据有理数的乘方计算法则计算出对应式子的值即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 题型二十 有理数乘方与绝对值非负性（共3小题） 61．若，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 62．若m，n满足，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质可求出m，n的值，再将它们代入中求解即可． 【详解】解：∵m，n满足， ∴，， ∴，， 则． 故答案为：9． 63．已知都是实数，若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质的性质可得，，据此即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 题型二十一 有理数乘方选填压轴（共3小题） 64．定义新运算：用“”连接个相同非零有理数a所构成的运算叫做除方，记作．比如读作“2的圈3次方”，，读作“的圈4次方”．下面说法不正确的是（    ） A．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正整数）． C．互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数． D．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数． 【答案】B 【分析】本题是新定义运算，出现在乘方一节，能够类比乘方的运算，理解并运用除方的运算规则，准确的计算和推理是本题的关键． 根据新运算‘除方’的定义，即为个相除，进行计算．运算时注意指数运算、相反数的性质、倒数的概念的应用即可． 【详解】A.，即任意非零数的圈3次方都等于它的倒数，故选项不符合题意． B.当为偶数时，，，即圈n次方等于它本身的数是1（n为任意正偶数）； 当为奇数时，，，即圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正奇数）． 故选项符合题意． C.设这两个互为相反数的数为与． 当为偶数时，，，此时结果相等； 当为奇数时，，，此时结果互为相反数，即互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数，故选项不符合题意． D.设互为倒数的两个数为与． 则，，即互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数，故选项不符合题意． 故选：B． 65．如图，用边长为2的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据大正方形面积等于两个小正方形面积和即可得到答案． 【详解】解：设大正方形边长为a，由题意可得， ， ∵， ∴大正方形的边长最接近的整数是3， 故选B． 【点睛】本题考查幂的运算，解题的关键是根据题意找到有大正方形的边长的等式． 66．代数式最小值为 ，取最小值时，a与b的关系是 ． 【答案】 4 互为相反数 【分析】本题考查偶次方的非负性，根据偶次方的非负性进行计算即可． 【详解】∵， ∴， 即的最小值是4， 当时，， ∴， 即a与b互为相反数， 故答案为：4，互为相反数． 题型二十二 含乘方的混合运算（共3小题） 67．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先算乘方和括号，再算乘法，后算加减． 【详解】解： 68．计算 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2)79 (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）根据有理数的乘除法和加法可以解答本题； （3）根据有理数的乘除法和乘法分配律可以解答本题； （4）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 69．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，准确计算． （1）根据有理数加减运算法则进行计算即可； （2）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可； （3）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （4）先将原式变形为，再利用乘法分配律进行计算即可； （5）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （6）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 题型二十三 程序流程图与有理数计算（共3小题） 70．如图是一个数字传输器，箭头代表传输路径，方框代表传输方式，菱形代表判断，理解这个数字传输器的工作原理，回答下列问题： (1)当时， ；当时， ； (2)若输出的值为，则输入的为 ； (3)若是自然数，请写出的所有可能值 ． 【答案】(1)， (2)（） (3)，，， 【分析】（1）根据这个数字传输器的工作原理和操作步骤正向推导即可得出答案； （2）根据这个数字传输器的工作原理和操作步骤反向推导即可得出答案； （3）将自然数逐个输入求得输出，通过观察、分析，即可总结出规律． 【详解】（1）解：根据这个数字传输器的工作原理，可知： 当时， 不大于， 取相反数，得：， 不大于， 取绝对值，得：， 当时，； 当时， 大于， 加，得：， 大于， 加，得：， 大于， 加，得：， 大于， 加，得：， 大于， 加，得：， 不大于， 取相反数，得：， 大于， 取倒数，得：， 当时，； 故答案为：，； （2）解：根据这个数字传输器的工作原理，可知： 若输出的值为， 没有倒数， 是取绝对值而来， 取绝对值之前的值是：， 又是取相反数而来， 取相反数之前的值是：， 是输入的经过若干次加而来， 即：（）， （）， 故输入的为：（）， 故答案为：（）； （3）解：根据这个数字传输器的工作原理，通过验证、分析、总结，可以发现： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当（）时，， 当（）时，， 当（）时，， 当（）时，， 当（）时，， 若是自然数，则的所有可能值为：，，，， 故答案为：，，，． 【点睛】本题主要考查了程序流程图与有理数计算，有理数大小比较，有理数的加法运算，求一个数的相反数，求一个数的绝对值，求倒数等知识点，弄懂题意并熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 71．有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是，可以得出第次输出的结果是，第次输出的结果是，依次继续下去，第次输出的结果是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了数字类规律探究，有理数的运算，根据计算程序求出次的计算结果，发现除了第1次外，每次为一个循环，据此即可求解，根据计算程序找出变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， ， ∴除了第1次外，每次为一个循环， ∵， ∴第次输出的结果是6， 故答案为：6． 72．按如图所示的程序计算，当输入x的值为时，输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，读懂图表运算方法，准确列出算式是解题的关键．根据运算程序，把代入进行计算即可得解． 【详解】解：时，， 时， 时，； 则输出的值为63， 故答案为：63． 题型二十四 求近似数（共3小题） 73．将5.649精确到百分位所得的近似数是 ． 【答案】5.65 【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入． 【详解】将5.649精确到百分位所得的近似数是5.65． 故答案为：5.65． 74．根据要求，用四舍五入法取近似数： （精确到百分位）． 【答案】 【分析】此题考查了近似数，掌握近似数精确到哪一位，应当看末尾数字实际在哪一位是解题的关键． 根据近似数的精确度把千分位上的数字4进行四舍五入即可． 【详解】用四舍五入法取近似数：． 故答案为：． 75．数用四舍五入精确到0.1得到 ，近似数精确到 位． 【答案】 十 【分析】此题考查了科学记数法与近似数，不是用科学记数法表示的数需要确定精确到哪一位，主要看最后一位是什么位，就是精确到哪一位，如果是用科学记数法表示的数先把原数还原，再看它所在位的位置即可． 根据四舍五入法即可得出答案． 【详解】解：数用四舍五入精确到得到，近似数精确到十位． 故答案为：，十． 题型二十五 科学记数法（共3小题） 76．去年某市国庆期间接待旅游人数达到602000人次．将602000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 故选：B． 77．地球上的海洋面积约为，这个数用科学记数法表示为（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：用科学记数法表示为， 故选：C． 78．是第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上．用科学记数法表示1300000是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解：1300000用科学记数法表示为． 故选：C． 6 / 7zxxk.com 6 / 7zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $