精品解析：天津市南开区美达菲学校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

高二数学 时间：90min 满分：100分 一､单选题（每题3分） 1. 过、两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率，结合倾斜角的取值范围可求得结果. 【详解】设直线的倾斜角为，则，所以，，. 故选：C. 2. 过点且倾斜角为的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据倾斜角求斜率，应用点斜式写出直线方程即可. 【详解】由题设，所求直线的斜率，且过， 所以直线方程为. 故选：B 3. 已知向量，，则（ ） A. （2，3，4） B. （2，3，3） C. （2，5，8） D. （2，4，6） 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量坐标运算法则可得答案. 【详解】因，则，则. 故选：A 4. 在下列条件中，使点与点，，一定共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据共面向量定理，利用三个向量表示向量，其系数和为，则可得四点共面． 【详解】D选项中，，结合共面定理的推论，且ABD三个选项的系数和不为，所以不共面． C选项可化为：即，系数和为． 故选：C． 5. 已知直线与直线平行，则（ ） A. 1 B. 3 C. 1或 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据一般式方程两直线平行的条件得到方程，求出参数的值，再检验即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或， 经检验，当或时，均满足两条直线平行. 故选：C 6. 已知直线过点(2, 1)，且横截距、纵截距满足，则该直线的方程为（ ） A. 2x+y-5=0 B. x+2y-4=0 C. x-2y=0或x+2y-4=0 D. x-2y=0或2x+y-5=0 【答案】C 【解析】 【分析】分截距为0和截距不为0时，根据直线过点（2，1）求解. 【详解】解：当截距为0时，设直线的方程为：， 因为直线过点(2, 1)，所以，即，则直线方程为：； 当截距不为0时，设直线方程为， 因为直线过点（2，1），所以，则， 所以直线方程为，即， 综上：直线的方程为： x-2y=0或x+2y-4=0， 故选：C 7. 在长方体中，，点为棱上的点，且，则异面直线与所成角的正弦值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在上取点，使得，连接，可得，得到异面直线与所成角就是相交直线与所成的角，在中，利用余弦定理和三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】在长方体中，，点为棱上的点，且，如图所示，在上取点，使得，连接，可得， 所以异面直线与所成角就是相交直线与所成的角， 设， 又由在直角中，，所以， 在直角中，，所以， 在中，， 由余弦定理可得, 所以异面直线与所成角的正弦值，故选B. 【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中根据几何体的结构特征，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了空间向量能力，以及推理与计算能力，属于基础题. 8. 已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】转化为空间向量的数量积计算可求出结果. 【详解】 . 故选：B 9. 从点出发的一条光线l，经过直线反射，反射光线恰好经过点，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点关于直线的对称点 ，再结合D在反射光线上，反射光线恰好通过点，即可求解． 【详解】设点关于直线的对称点为， 则 ，解得 ， 由题意可知，D在反射光线上，又反射光线恰好通过点， 则 ，即反射光线所在直线的斜率为， 故选：B﹒ 10. 如图，在三棱锥中，，，，为的中点，为的中点，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据图形，利用向量的线性运算，用基底表示向量，再利用向量数量积的运算律，即可求解. 【详解】由题意得， 所以， ， 所以线段. 故选：C. 二､填空题（每题4分） 11. 两条平行直线＝与＝的距离是________. 【答案】 【解析】 【分析】 将直线＝化为，再根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】可将直线＝化为， 所以两条平行直线间的距离为. 故答案为：. 【点睛】本题考查平行线间距离公式，属于基础题. 12. 若点到直线的距离为3，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】因为点到直线的距离为3， 可得，即，解得或， 又因为，所以. 故答案为：. 13. 直线，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由两直线垂直可得出关于实数的等式，即可解得的值. 【详解】因为，则，解得. 故答案为：. 14. 正方体的棱长为，、、分别是、、的中点，则直线到平面的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线到平面的距离. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， ，，，， ，且、不共线，则， 平面，平面，平面， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 因此，直线到平面的距离为. 故答案为：. 15. 如图，在正四棱柱 中，AB＝AD＝3，AA1＝4，P是侧面 BCC1B1内的动点，且AP⊥BD1，记AP 与平面BCC1B1所成的角为θ，则tanθ 的最大值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，根据AP⊥BD1，求得a,c的关系，再利用线面角的向量公式结合三角函数基本关系式求解. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系： 设，则， 所以， 因为AP⊥BD1， 所以，解得， 此时， 平面BCC1B1一个法向量为， 记AP 与平面BCC1B1所成的角为θ， 则， 当时，取得最大值，此时， 所以的最大值为. 故答案为： 三､解答题 16. 已知三角形的三个顶点，求： （1）AC边所在直线的方程 （2）BC边上中线所在直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线方程的截距式方程列式，化简即得AC边所在直线的方程； （2）由线段的中点坐标公式，算出BC中点D的坐标，从而得到直线AD的斜率k，再由直线方程的点斜式列式，化简即得BC边上中线所在直线的方程． 【小问1详解】 ， ∴直线AC的截距式方程为，化简得 即AC边所在直线的方程为：； 【小问2详解】 ∴BC中点为D（，）， 直线AD的斜率为k 因此，直线AD的方程为y（x+5）， 化简得，即为BC边上中线所在直线的方程． 17. 如图，在正方体中， E为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】 （Ⅰ）[方法一]：几何法 如下图所示： 在正方体中，且，且， 且，所以，四边形为平行四边形，则， 平面，平面，平面； [方法二]:空间向量坐标法 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则、、、，，， 设平面的法向量为，由，得， 令，则，，则. 又∵向量,, 又平面，平面； （Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；也可利用空间向量计算证明； （Ⅱ）可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解 . 【详解】（Ⅰ）略 （Ⅱ）[方法一]：几何法 延长到，使得，连接，交于， 又∵，∴四边形为平行四边形，∴， 又∵,∴,所以平面即平面, 连接，作,垂足为,连接, ∵平面,平面,∴， 又∵,∴直线平面, 又∵直线平面,∴平面平面, ∴在平面中的射影在直线上,∴直线为直线在平面中的射影，∠为直线与平面所成的角， 根据直线直线，可知∠为直线与平面所成的角. 设正方体的棱长为2，则,,∴, ∴, ∴, 即直线与平面所成角的正弦值为. [方法二]：向量法 接续（I)的向量方法，求得平面平面的法向量， 又∵,∴， ∴直线与平面所成角的正弦值为. [方法三]：几何法+体积法 如图，设的中点为F，延长，易证三线交于一点P． 因为， 所以直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角． 设正方体的棱长为2，在中，易得， 可得． 由，得， 整理得． 所以． 所以直线与平面所成角的正弦值为． [方法四]：纯体积法 设正方体的棱长为2，点到平面的距离为h， 在中，， ， 所以，易得． 由，得，解得， 设直线与平面所成的角为，所以． 【整体点评】（Ⅰ）的方法一使用线面平行的判定定理证明，方法二使用空间向量坐标运算进行证明； （II）第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培养学生的集合论证和空间想象能力，第二种方法使用空间向量方法，两小题前后连贯，利用计算论证和求解，定为最优解法；方法三在几何法的基础上综合使用体积方法，计算较为简洁；方法四不作任何辅助线，仅利用正余弦定理和体积公式进行计算，省却了辅助线和几何的论证，不失为一种优美的方法. 18. 已知直线：. （1）若直线垂直于直线：，求的值； （2）求证：直线经过定点； （3）当时，求点关于直线的对称点的坐标. 【答案】（1）1 （2） 因为， 所以， 所以， 解得， 所以直线恒过定点； （3） 【解析】 【分析】(1)根据两直线垂直的条件即可得解； (2)转换为恒等式成立问题，由恒等式成立的条件解方程组即可得解. (3)设对称点坐标，根据中点坐标公式求出的中点坐标，然后根据两直线垂直的性质以及的中点在直线上，列出方程组，解方程组即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以， 解得， 故的值为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为， 所以直线， 设点关于直线的对称点的坐标为， 所以的中点坐标为， 所以， 解得， 所以点关于直线的对称点的坐标为. 19. 如图，在几何体中，四边形为边长为2的正方形，四边形和四边形为矩形，且为棱上一点． （1）求证：； （2）当点为棱的中点时，求点到平面的距离； （3）当时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 由题设可知，，平面， 所以平面． 以为坐标原点，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系， 则． 设，则， 又，有，故， 所以． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由，即可证明； （2）由点到面的距离公式代入计算，即可得到结果； （3）由二面角的公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，，，，， 设为平面的一个法向量， 则由得 令，则，从而． 设点到平面的距离为， 则． 【小问3详解】 当时，， 设为平面的一个法向量， 则由得 令，则，从而． 显然平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 时间：90min 满分：100分 一､单选题（每题3分） 1. 过、两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 过点且倾斜角为的直线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则（ ） A. （2，3，4） B. （2，3，3） C. （2，5，8） D. （2，4，6） 4. 在下列条件中，使点与点，，一定共面的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与直线平行，则（ ） A. 1 B. 3 C. 1或 D. 或3 6. 已知直线过点(2, 1)，且横截距、纵截距满足，则该直线的方程为（ ） A. 2x+y-5=0 B. x+2y-4=0 C. x-2y=0或x+2y-4=0 D. x-2y=0或2x+y-5=0 7. 在长方体中，，点为棱上的点，且，则异面直线与所成角的正弦值为 A. B. C. D. 8. 已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则（ ） A. B. C. 2 D. 9. 从点出发的一条光线l，经过直线反射，反射光线恰好经过点，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在三棱锥中，，，，为的中点，为的中点，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 二､填空题（每题4分） 11. 两条平行直线＝与＝的距离是________. 12. 若点到直线的距离为3，则______. 13. 直线，，若，则________． 14. 正方体的棱长为，、、分别是、、的中点，则直线到平面的距离为______. 15. 如图，在正四棱柱 中，AB＝AD＝3，AA1＝4，P是侧面 BCC1B1内的动点，且AP⊥BD1，记AP 与平面BCC1B1所成的角为θ，则tanθ 的最大值为_______ 三､解答题 16. 已知三角形的三个顶点，求： （1）AC边所在直线的方程 （2）BC边上中线所在直线的方程． 17. 如图，在正方体中， E为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知直线：. （1）若直线垂直于直线：，求的值； （2）求证：直线经过定点； （3）当时，求点关于直线的对称点的坐标. 19. 如图，在几何体中，四边形为边长为2的正方形，四边形和四边形为矩形，且为棱上一点． （1）求证：； （2）当点为棱的中点时，求点到平面的距离； （3）当时，求平面与平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $