江西省上犹中学南校区2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试题（物理方向）

2025年上犹中学高三上学期数学（物理方向）综合检测一 一、单选题 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．已知，条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．我们定义一种新运算“”：对于两个集合A和B，规定，其中和分别表示集合A和B在全集下的补集，已知全集，集合，集合，则等于（ ） A． B． C． D． 4．已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为 C．函数是奇函数 D．函数在区间上单调递增 5．已知定义在上的可导函数满足，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则（    ） A．4 B．6 C． D． 7．已知函数，对于任意的，，都恒成立，且函数在上单调递增，则的值为（    ） A．3 B．9 C．3或9 D． 8．已知函数在上恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题中，正确的有（   ） A．函数与函数是同一函数 B．已知函数满足，则（） C．已知，为正实数，，则的最小值为 D．是定义域在R上的偶函数，且，若时，，则的值为 10．已知函数的定义域均为，且,，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（    ） A．为奇函数 B． C．， D．若的值域为，则 11．已知函数，则（   ） A．函数仅有一个零点 B．若函数在点处与x轴相切，则 C． D．若为增函数，则 三、填空题 12．已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间为 . 13．设a＞0，b＞0，a≤2b≤2a＋b，则的取值范围为 ． 14．已知点，点，则的最小值为 ． 四、解答题 15．已知函数. （1）求的最小正周期； （2）先将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位得到函数，若在区间上单调递增，求的取值范围. 16．设函数． （1）证明：在单调递减，在单调递增； （2）若对于任意，都有，求m的取值范围． 17．在中，分别是角所对的边，且满足. (1)求的大小； (2)点是边上一点，且满足，求的值. 18．已知函数. (1)若，求的极值； (2)若，判断的零点个数并证明； (3)若对任意，求实数的取值范围. 19．对于给定函数，，，分别是，的导函数，当，时，根据洛必达法则知．已知函数，． (1)当时，求的值； (2)设函数，若不等式在上恒成立． （i）求的取值范围； （ii）证明：，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2025年上犹中学高三上学期数学（物理方向）综合检测一参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A D C D A D BCD BCD 题号 11 答案 BCD 1．D 【分析】列出使函数有意义的不等式组求解即可. 【详解】有意义满足，即，， 解得， 故选：D 2．D 【分析】根据不等式性质，由的取值范围，可得的取值范围，结合充分不必要条件的定义，可得答案. 【详解】由，则，由是的充分不必要条件，则， 所以. 故选：D. 3．A 【分析】先求出和，再求相关集合的交集和并集，利用定义新运算求解即可. 【详解】由已知可得， 所以， 则. 故选：A. 4．D 【分析】应用二倍角余弦公式、辅助角公式化简函数式，结合正弦型函数的性质判断A、B；再由图象平移写出，结合奇函数性质及整体法求区间单调性判断C、D. 【详解】由题意得， 则的最小正周期，最大值为2，故A，B错误； 将函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象， 所以，定义域为R，但，故C错误； 令，得， 因为，所以函数在区间上单调递增，故D正确， 故选：D 5．C 【分析】由已知条件构造函数，对函数求导，可判断出函数的单调性，然后由函数的单调性比较大小即可 【详解】令，则， 因为，， 所以， 所以在上为减函数， 所以， 所以，所以， 故选：C 6．D 【分析】由正弦和正切的和差角公式即可代入求值. 【详解】由得，进而可得，所以， 故选：D 7．A 【分析】根据正弦型函数的单调性先确定周期的取值范围，从而缩小的取值范围，结合正弦型三角函数的对称性可得符合的的取值为或9，分类讨论验证单调性即可得结论. 【详解】设函数的最小正周期为，因为函数在上单调递增，所以，得，因此． 由知的图象关于直线对称，则①． 由知的图象关于点对称，则②． ②①得，令，则， 结合可得或9． 当时，代入①得，又，所以， 此时，因为，故在上单调递增，符合题意； 当时，代入①得，，又，所以， 此时，因为， 故在上不是单调递增的，所以不符合题意，应舍去． 综上，的值为3． 故选：A. 8．D 【分析】函数在上恰有两个极值点，在上有两个变号零点，分离常数得，转化为两函数图象有两个不同的交点，利用数形结合思想进行求解；或直接求函数的单调性，求图象在上与轴有两个交点的条件. 【详解】解法一：  由题意可得，因为函数在上恰有两个极值点，所以在上有两个变号零点． 令，可得，令， 则直线与函数，的图象有两个不同的交点， ， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 又，当x趋近于0时，趋近于+∞，当x趋近于π时，趋近于+∞， 所以可作出的图象如图所示，数形结合可知， 即实数a的取值范围是， 故选：D． 解法二  由题意可得．因为函数在上恰有两个极值点，所以在上有两个变号零点． 当时，在上恒成立，不符合题意． 当时，令，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因为，，所以，则，即实数a的取值范围是， 故选：D． 【点睛】方法点睛： 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧. 9．BCD 【分析】对于选项A，根据同一函数的定义进行判断；对于选项B，将等式进行变换，然后组成方程组求出；对于选项C，根据等式用关于的表达式表示出，然后化简，最后根据基本不等式求出最小值即可；对于选项D，根据偶函数和周期性即可求出结果. 【详解】对于选项A：函数的定义域为， 而函数的定义域为， 所以这两个函数不是同一函数，所以A错误； 对于选项B：因为①， 所以②， 将②中代入①中，得， 解得，所以B正确； 对于选项C：因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 取得最小值10，所以C正确； 对于选项D：因为为偶函数，所以， 因为，所以函数周期为4， 所以，所以D正确. 故选：BCD. 10．BCD 【分析】由得，与联立得，再结合的图象关于直线对称，可得的周期、奇偶性、对称中心，可依次验证各选项正误. 【详解】，， ，， 关于对称，， ，，， ，故C正确； 关于对称，，，为偶函数， ，，，，，为偶函数，故A错误； ，图象关于点中心对称， 存在一对最小值点与最大值点也关于对称 ， ，故D正确； 由得，又，所以， 由得，所以，故B正确； 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：对含有混合关系的抽象函数，要探求性质首先要消去一个函数只剩下另一下函数，消去其中一个函数的方法就是对进行合理的赋值，组成方程组消去一个函数，再考查剩余函数的性质. 对抽象函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性的综合应用，解决该问题应该注意的事项： （1）赋值法使用，注意和题目条件作联系； （2）转化过程要以相关定义为目的，不断转变. 11．BCD 【分析】对函数求导，结合求参数判断B；令并研究的单调性比较大小判断C；问题化为在上恒成立，求参数判断D；应用导数研究函数的零点判断A. 【详解】由题意得的定义域为，． 函数在点处与x轴相切，则，得，故B正确； 当时，，， 函数在上单调递增，则， 则，即，故C正确； 若为增函数，则在上恒成立， 则在上恒成立，在上恒成立， 即（当且仅当时取等），解得，故D正确； 令，则，解得或， 若，，，易知均大于0，则在上有两个零点， 不妨设，则，易知在和上单调递增，在上单调递减， 又时，时，，此时函数有三个零点，故A错误． 故选：BCD 12． 【分析】由导数与函数单调性的关系，求得的解集后即可得解. 【详解】由题意， 令，则其在区间上的解集为， 所以f(x)的单调递增区间为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，考查了运算求解能力，属于基础题. 13．； 【分析】首先根据不等式的性质，得到，之后将所求的式子化为关于的关系式，之后借助于对勾函数以及不等式的性质，求得目标式的取值范围. 【详解】根据a＞0，b＞0，由求得， ， 令，则， 所以，故答案是. 【点睛】该题考查的是有关代数式的取值范围的问题，涉及到的知识点有不等式的性质，对勾函数的性质，在求解的过程中，注意对式子的正确转化. 14．/ 【分析】根据函数关系，找出得轨迹,根据轨迹分析最小值的情况,列出表达式,通过函数导数判断表达式单调性,求出最小值. 【详解】易知点在函数上, 设,化简得,即 则点在以为圆心,半径为1的圆周上, 如图所示,可知两点间的最小值,即为点到圆心得最小值减去半径即可. 设圆心为,可知, 设函数,求导得 易知为单调增函数,且, 所以当时，,在单调递减, 当时，,在单调递增, 在上有最小值,最小值, 所以的最小值为. 故答案为: . 15．（1）；（2）. 【分析】（1）利用诱导公式，两角差的余弦公式，二倍角公式，两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后可求周期； （2）由三角函数图象变换得，由正弦函数性质求得增区间，确定的取值范围，再利用正弦函数性质可得的取值范围． 【详解】（1） ， 所以函数的最小正周期. （2）由（1）知. 将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到. 再将得到的图象向左平移个单位得到， 即. 又，， ，， 故在区间是单调递增的， 当时，在区间是单调递增函数， 则， ∴， 由于，而. ，故得取值范围为. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数图象变换及正弦函数的性质，解决三角函数问题首先应用三角函数的恒等变换公式化函数为一个角的一个三角函数形式，大多数是形式，然后利用正弦函数性质求解． 16．（1）在单调递减，在单调递增；（2）. 【详解】（Ⅰ）． 若，则当时，，；当时，，． 若，则当时，，；当时，，． 所以，在单调递减，在单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值．所以对于任意，的充要条件是：即①，设函数，则．当时，；当时，．故在单调递减，在单调递增．又，，故当时，．当时，，，即①式成立．当时，由的单调性，，即；当时，，即．综上，的取值范围是． 考点：导数的综合应用． 17．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理结合条件：，由于在中，,代入化简即可求解； （2）在和中，由正弦定理可得：，，结合条件化简可得，由于在中，,代入化简可得,结合的范围，求出的值，从而求得角，由正弦定理可得即可求解. 【详解】（1）因为,由正弦定理可得：.所以, 由于在中，, 所以,化简得：, 由于，则不为0，则 由于，所以 （2）由于,则, 在中，由正弦定理可得： 在中，由正弦定理可得： 所以,由于满足， 所以， 由于在中，, 所以,即， 所以，所以, 由于，则， 所以则或,解得或， 当时，，所以， 当时，,不满足. 综上，. 18．(1)的极小值为，无极大值； (2)两个零点，证明见解析； (3). 【分析】（1）将代入函数，确定定义域，求导分析导数的正负，确定单调性和极值； （2）将代入函数，利用零点存在性定理，结合导数分析单调性来判断； （3）根据不等式恒成立，分析函数在区间上的最小值，确保最小值非负. 【详解】（1）当时，函数，其定义域为， 对求导，得， 设，对求导得，所以在上单调递增； 又， 当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增； 所以在处取得极小值，，无极大值； （2）当时，， ，所以是一个零点， 求导得，令， ， 当时，， 当时，， 综上 ，即在上单调递增， 又， 所以存在唯一的零点， 则时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，又， 所以在上还有一个零点， 综上，在上有且仅有两个零点； （3）当时，成立， 当时，因为，所以，， 所以，所以， 当时，，令， 则， 因为，，，， 所以，所以在上单调递增，即在上单调递增， 又， ①当时，，所以， 在上单调递增，则， 所以在上单调递增；又，所以恒成立； ②当时， ， 在上单调递增， 存在，使得当时，在上单调递减， 则，时，不恒成立； 当时，恒成立，则. 19．(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）解法一：根据洛必达法则先化简分式，然后求导可得结果；解法二：根据洛必达法则对分子分母求导可得结果. （2）（i）先化简不等式，构造新函数，对新函数求导，判断单调性，根据洛必达法则获取新函数的最值，即可求得的取值范围；（ii）对函数求导，将其导数构造新函数，对此函数求导判断单调性，可证得，然后对不等式相加求和化简即可证明结论. 【详解】（1）解法一：根据洛必达法则可知 解法二：根据洛必达法则可知 （2）（i）由题意可知不等式0在上恒成立， 当时，不等式可化为恒成立． 令，则， 令，则， 设，则， 设，则． 因为，所以，则在上单调递减，所以，即， 所以在上单调递减，所以，即，所以在上单调递减， 所以，即， 所以在上单调递减，所以． 根据洛必达法则可知 所以， 故的取值范围为． （ii）证明：当时，， 设，则， 设，则，所以在上单调递增， 则，即，所以，即， 当且仅当时取得等号． 令，，则，，， 将上面个式子相加得 故，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $