专题02 代数式 12个题型（期中专项训练）七年级数学上学期新教材湘教版

专题02 代数式 题型1 代数式的概念 题型9 整式的化简求值（重点） 题型2 列代数式 题型10 整式加减中的无关型问题 题型3 求代数式的值（常考点） 题型11 整式加减的应用 题型4 数字类规律探索 （重点） 题型12 代数式的新定义问题（难点） 题型5 图形类规律探索（重点） 题型6 整式的概念 题型7 已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型8 整式的加减运算（常考点） 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 代数式的概念（共4小题） 1．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）下列式子中，不是代数式的是（    ） A． B． C． D．0 2．（24-25七年级上·青海西宁·期中）下列各式中，不是代数式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·河南商丘·期中）在，，，，，0，中，代数式有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 4．（24-25七年级上·重庆江津·期中）下列不是代数式的是（   ） A． B． C． D．0 题型二 列代数式（共3小题） 5．（25-26七年级上·全国·期中）某商品原价为x元，现打八折销售，则现价为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 6．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）用代数式表示“a与b两数的倒数和”，下列选项中正确的是（    ）． A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·吉林长春·期中）用代数式表示“比x的平方的2倍大1的数” ． 题型三 求代数式的值（共6小题） 8．（25-26七年级上·江苏·期中）若与互为相反数，且的倒数是2，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 9．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）按照下面三幅图的规律继续画下去，第⑩幅图的长是（   ）． A．30 B．33 C．60 D．63 10．（23-24七年级上·甘肃武威·期中）若a，b互为相反数，x，y互为倒数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 11．（25-26七年级上·江苏·期中）若，则___． 12．（25-26七年级上·吉林长春·期中）若，则的值为 ． 13．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知，则代数式的值为 ． 题型四 数字类规律探索（共4小题） 14．（24-25七年级上·福建漳州·期中）现有一列数，其中，并且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则的值为（　　） A．1 B． C．0 D．2 15．（25-26七年级上·江苏·期中）观察数列：1， 3， 6， 10， 15，…，第6个数是___． 16．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）有规律的一组数列：，8，，，， ， ． 17．（25-26七年级上·浙江·期中）南京航空航天大学的网红食堂，火的不仅仅是美味菜品，还有来自后勤人员跟学生们开的一个善意玩笑——他们把密码做成了高数题和音乐题．受此影响，某校园“回味餐厅”也把密码做成了数学题，如图，小姚在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了“回味餐厅”的网络，那么他输入的密码是 ． 题型五 图形类规律探索（共5小题） 18．（25-26七年级上·全国·期末）将形状、大小完全相同的小圆点“●”按如图所示的规律拼成图案，其中第①个图案中有6个小圆点，第②个图案中有个小圆点，第③个图案中有 个小圆点，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中小圆点的个数为（   ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）如图，将一些长度完全相同的木棒拼成正多边形，在正多边形的每个边外侧拼出等边三角形．按照一定规律摆成下列图形，其中第1个图案中有9根木棒，第2个图案中有12根木棒，第3个图案中有15根木棒，……，则第2024个图案中木棒的根数为（   ） A．2024根 B．6072根 C．6075根 D．6078根 20．（2025·甘肃·模拟预测）我国宋朝时期的数学家杨辉曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”．顶层记为第1层，有1颗弹珠；前2层共有3颗弹珠；前3层共有6颗弹珠．往下依次是第4层、第5层……下图中画出了最上面的四层，若用表示前n层的弹珠数，其中，2，3，…，则 ． 21．（25-26七年级上·江苏·期中）观察下列图形规律， 示例： 第1个： 第2个： 第3个： (1)画出第4个图形； (2)写出第n个图形的小正方形个数． 22．（24-25七年级上·河南信阳·期中）如图，用5个实心圆圈、5个空心圆圈相间组成一个圆环，然后把这样的圆环从左到右按下列规律组成圆环串：相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以空心圆圈和实心圆圈相间排列． (1)把表格补充完整． 圆环串中圆环的个数 1 2 3 4 5 6 … 实心圆圈和空心圆圈的总个数 10 19 28 … (2)设圆环串由x个圆环组成，则组成这个圆环串所需实心圆圈和空心圆圈的总个数为______（用含x的代数式表示）． (3)如果圆环串由18个这样的圆环组成，那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个？有多少个空心圆圈？ 题型六 整式的概念（共5小题） 23．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）整式，5，，，，，中单项式的个数有（        ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 24．（23-24七年级上·青海西宁·期中）下列说法正确的是（　　） A．单项式的系数与次数都是0 B．是三次三项式 C．的常数项是1 D．是多项式 25．（24-25七年级下·山东德州·开学考试）下列说法中正确的是（    ） A．多项式是二次三项式 B．是6次单项式，它的系数是 C．，都是单项式，也都是整式 D．，，5是多项式中的项 26．（25-26七年级上·全国·期中）在代数式：中，整式有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 27．（25-26七年级上·天津河东·期中）下列结论中正确的是（　　） A．单项式的系数是，次数是 B．单项式的次数是，没有系数 C．多项式是三次多项式 D．在，，，，中，整式有个 题型七 已知同类项求指数中字母或代数式的值（共5小题） 28．（24-25七年级上·全国·期中）若单项式与的和仍是单项式，则的值是（   ） A．3 B．6 C．8 D．9 29．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知单项式与可以合并同类项，则m，n分别为（   ） A．2 ，2 B．3 ，2 C．2 ，0 D．3 ，0 30．（25-26七年级上·全国·期中）若单项式与是同类项，则的值为 ． 31．（25-26七年级上·江苏·期中）已知与是同类项，则_____． 32．（23-24七年级上·吉林·期中）已知和是同类项，则 ． 题型八 整式的加减运算（共5小题） 33．（25-26七年级上·全国·期中）已知a、b、c在数轴上的位置（），则的值为（   ） A．0 B． C． D． 34．（25-26七年级上·江苏·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 35．（25-26七年级上·天津河东·期中）有理数，，在数轴上对应点的位置如图所示，化简：． 36．（24-25七年级上·四川德阳·期中）化简： (1)； (2)． 37．（24-25七年级上·甘肃武威·期中） ， ，求的值． 题型九 整式的化简求值（共5小题） 38．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）已知两个整式A和B，，． (1)请化简； (2)若，时，求的值． 39．（25-26七年级上·江苏·期中）代数式化简 先化简，再求值：，其中． 40．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）先化简，再求值 (1)  其中 ． (2)   其中 ． (3) 其中． 41．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）已知，，，，求的值 42．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）化简求值： (1)，其中． (2)，其中． 题型十 整式加减中的无关型问题（共5小题） 43．（25-26七年级上·广东广州·期中）要使多项式化简后不含有x的二次项，则m等于（　　） A．0 B．3 C． D． 44．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知多项式不含项和项，则的值为（　 ） A． B． C． D． 45．（24-25七年级上·福建漳州·期中）当k＝ 时，代数式中不含项． 46．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知多项式，． (1)求； (2)若的值与无关，求的值． 47．（24-25七年级上·全国·期中）七一班同学学完合并同类项这节课后，数学老师给大家布置了一道题，如果多项式是关于x的多项式，且这个式子的值与x的取值无关，请你求出的值． 题型十一 整式加减的应用（共4小题） 48．（25-26七年级上·吉林长春·期中）把如图的两张大小相同的长方形卡片放置在图与图中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长，若记图中阴影部分的周长为，图中阴影部分的周长为，那么（    ） A． B． C． D． 49．（24-25七年级上·福建漳州·期中）长方形的一边长为，另一边比第一边大，则长方形的周长为 ． 50．（24-25七年级上·福建漳州·期中）某学校准备在网上订购一批某品牌羽毛球拍和羽毛球，在查阅网店后发现该品牌羽毛球拍每副定价200元，羽毛球每个定价5元，现有甲，乙两家网店均提供包邮服务，并提出各自的优惠方案： 甲网店：买1副羽毛球拍送5个羽毛球； 乙网店：羽毛球拍与羽毛球都按定价的90%付款． 已知学校要购买羽毛球拍20副，羽毛球x个()． (1)若在甲网店购买，需付款_______元；若在乙网店购买，需付款_________ 元；(用含x的式子表示) (2)若时，请你通过计算，说明此时在哪家网店购买较为合算？ (3)若时，你能给出一种最省钱的购买方案吗？请说明理由． 51．（24-25七年级上·福建福州·期中）每年“双11”天猫商城都会推出各种优惠活动进行促销，今年，张阿姨在“双11”到来之前准备在三家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条．已知三家店铺在非活动期间，均在原价基础上优惠20%销售，活动期间在此基础上再分别给予以下优惠： A店铺：“双11”当天购买可以再享受8折优惠； B店铺：商品每满800元可使用店铺优惠券50元，同时每满400元可使用商城“双11”购物津贴券50元，同时“双11”当天下单每单还可立减60元（例如：购买2条被子需支付元）； C店铺：“双11”当天下单可享立减活动：①每条立减100元（购买10条以内，不包括10条）； ②每条立减160元（10条及10条以上）．享受“立减”优惠后，店铺还可实行分期付款，先付总购物款的一半，一年后再一次性付清余下的货款（注：银行一年定期的年利率为）． (1)若在A店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在B店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在C店铺5条被子作一单购买，至一年后全部付清共用去______元． (2)若张阿姨在“双11”当天下单，且购买了a条同款被子，请分别用含a的代数式表示在这三家店铺的购买费用．（说明：张阿姨要买的a条被子作一单购买） 题型十二 代数式的新定义问题（共7小题） 52．（25-26七年级上·全国·期中）a是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”，如3的“哈利数”是，的“哈利数”是．已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则 (   ) A．3 B． C． D． 53．（24-25九年级下·重庆忠县·期中）已知关于的多项式：，其中为正整数，各项系数各不相同且均不为0．当时，，交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“兄弟多项式”，给出下列说法： ①多项式共有6个不同的“兄弟多项式”； ②若多项式，则的所有系数之和为； ③若多项式，则． 其中正确的个数为（　） A．0 B．1 C．2 D．3 54．（24-25七年级上·广东深圳·期中）对于多项式：，我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再与剩余两个多项式的差作减法运算，并算出结果，称之为“双减操作”例如：，，， 给出下列说法： ①为任意整数时，所有“双减操作”的结果都能被2整除； ②至少存在一种“双减操作”，使其结果为； ③所有的“双减操作”共有5种不同的结果． 以上说法中正确的有 个． 55．（24-25九年级上·重庆涪陵·期中）如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称M为“会意数”．把四位数M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，，，是“会意数”．则．如果“会意数”，则 ；已知四位自然数是“会意数”，若恰好能被8整除，则满足条件的数S的最大值是 ． 56．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）观察下列两个等式：，给出定义：我们称使等式成立的一对有理数，为“方和有理数对”，记为，如，都是“方和有理数对”． (1)数对，中是“方和有理数对”的是______． (2)请你再写出一对符合条件的“方和有理数对”：______注意：不能与题目中已有的“方和有理数对”重复． (3)若是“方和有理数对”，求的值． 57．（24-25七年级上·福建泉州·期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一柴具有某种特性的数充满好奇，例如：定义：对于一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数m，若m的十位数字等于其个位数字的2倍，则称这个自然数m为“好数”，当三位自然数m为“好数”时，交换m的百位数字和十位数字后会得到一个新的三位自然数n，规定，例如：当时，因为，所以是“好数”，此时，则． (1)写出最大的好数和最小的好数，并分别求出它们的值； (2)已知一个三位自然数t是“好数”，t的各个数位上的数字和记为k，若能被8整除，求所有满足条件的三位自然数t． 58．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）请仔细阅读并完成相应任务 关于“对称式”的研究报告 善思小组研究对象：对称式 研究思路：按“概念……性质……判定”的路径，由一般到特殊进行研究 研究方法：观察（测量、实验）……猜想……推理证明 【一般概念】一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值都不变，这样的式子叫做对称式． 【特例研究】①式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，，，因为，所以是对称式． ②式子中字母a，b交换位置，得到式子，因为，所以___△___对称式． 问题： (1)直接写出研究报告中“”处短缺的内容 ； (2)已知，，求，并直接判断所得结果是否是对称式． $专题02 代数式 题型1 代数式的概念 题型9 整式的化简求值（重点） 题型2 列代数式 题型10 整式加减中的无关型问题 题型3 求代数式的值（常考点） 题型11 整式加减的应用 题型4 数字类规律探索 （重点） 题型12 代数式的新定义问题（难点） 题型5 图形类规律探索（重点） 题型6 整式的概念 题型7 已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型8 整式的加减运算（常考点） 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 代数式的概念（共4小题） 1．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）下列式子中，不是代数式的是（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查代数式的识别，掌握其定义是关键，代数式是由数、字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）组成的式子，不含等号或不等号，方程因含有等号，属于等式而非代数式，由此即可求解． 【详解】解：选项A： 由变量和常数通过加减运算组成，是代数式； 选项B： 是数与变量的除法运算，符合代数式定义； 选项C： 含有等号，表示方程，属于等式而非代数式； 选项D： 是单独的数，属于代数式； 综上，只有选项C不是代数式， 故选：C． 2．（24-25七年级上·青海西宁·期中）下列各式中，不是代数式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式的概念，准确理解代数式的概念是解题的关键．根据代数式的概念：用运算符号（、乘方）将数与表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．单独一个数或者一个字母也称代数式．据此逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：由代数式的定义可得，只有A选项中的式子不是代数式， 故选：A． 3．（24-25七年级上·河南商丘·期中）在，，，，，0，中，代数式有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了代数式，熟练掌握代数式的定义是解题的关键； 根据代数式的定义，逐个判断即可； 【详解】解：是单独的一个数，是代数式； 是由数、字母通过运算得到的式子，是代数式； 是等式，不是代数式； 是由字母通过乘法运算得到的式子，是代数式； 是不等式，不是代数式； 0是单独的一个数，是代数式； 是由数与字母通过除法运算得到的式子，是代数式 ． ∴代数式共5个， 故选：B． 4．（24-25七年级上·重庆江津·期中）下列不是代数式的是（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的定义．代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方等）把数或表示数的字母连结而成的式子，单独的一个数或字母也是代数式，根据代数式的定义逐项分析即可得解． 【详解】解：、、都是代数式；不是代数式； 故选：C． 题型二 列代数式（共3小题） 5．（25-26七年级上·全国·期中）某商品原价为x元，现打八折销售，则现价为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，根据在商品销售中，打几折就是按原价的百分之几十出售可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：某商品原价为x元，现打八折销售，则现价为元， 故选：A． 6．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）用代数式表示“a与b两数的倒数和”，下列选项中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题主要考查了列代数式，熟知先读的先写这一原则是解题的关键．根据先读的先写这一原则，写出代数式即可． 解：由题知， “a与b两数的倒数和”用代数式可表示为：． 故选：D． 7．（25-26七年级上·吉林长春·期中）用代数式表示“比x的平方的2倍大1的数” ． 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式，根据题意正确列式是解题关键；根据列代数式的方法求解即可． 【详解】解：用代数式表示“比x的平方的2倍大1的数”是， 故答案为：． 题型三 求代数式的值（共6小题） 8．（25-26七年级上·江苏·期中）若与互为相反数，且的倒数是2，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题考查相反数、倒数的概念以及有理数的运算．解决本题的关键是理解相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 根据相反数、倒数的概念求出相关的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵的倒数是2， ∴， ∴， ， ， 故选：A． 9．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）按照下面三幅图的规律继续画下去，第⑩幅图的长是（   ）． A．30 B．33 C．60 D．63 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形变化规律，根据题意确定图形变化规律，可知第n幅图的长为厘米，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，第①幅图的长为：（厘米）， 第②幅图的长为：（厘米）， 第③幅图的长为：（厘米）， …… 则第n幅图的长为：（厘米）， ∴第⑩幅图的长为：（厘米）． 故选：B． 10．（23-24七年级上·甘肃武威·期中）若a，b互为相反数，x，y互为倒数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查相反数，倒数，代数式求值． 根据相反数和倒数的定义，可得和的值，整体代入计算即可． 【详解】解：∵a，b互为相反数， ∴， ∵x，y互为倒数， ∴， ∴． 故选：C． 11．（25-26七年级上·江苏·期中）若，则___． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方运算，准确的计算是解决本题的关键． 先将a和b的值代入，再算乘方，最后进行有理数减法运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， 故答案为：． 12．（25-26七年级上·吉林长春·期中）若，则的值为 ． 【答案】2020 【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：2020． 13．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，掌握相关知识是解决问题的关键．因为，则，代入求解即可． 【详解】解析：∵ ∴， ∴． 故答案为：． 题型四 数字类规律探索（共4小题） 14．（24-25七年级上·福建漳州·期中）现有一列数，其中，并且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则的值为（　　） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探索． 根据题意可知，则，再求解即可． 【详解】解：∵任意相邻三个数的和为同一个常数， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 15．（25-26七年级上·江苏·期中）观察数列：1， 3， 6， 10， 15，…，第6个数是___． 【答案】21 【分析】本题考查数的规律探究，准确地找出规律是解决本题的关键． 观察数列可知为从1开始的连续的整数相邻两数差依次增加，进行求解即可． 【详解】解：观察可知，从1开始的连续的整数相邻两数差依次增加， 则第6个数是， 故答案为：21． 16．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）有规律的一组数列：，8，，，， ， ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：数字变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．观察数字的变化发现规律即可得解． 【详解】解：观察一组数：，8，，，，…… 发现规律：第n个数是， ∴第6个数是， ∴第7个数是． 17．（25-26七年级上·浙江·期中）南京航空航天大学的网红食堂，火的不仅仅是美味菜品，还有来自后勤人员跟学生们开的一个善意玩笑——他们把密码做成了高数题和音乐题．受此影响，某校园“回味餐厅”也把密码做成了数学题，如图，小姚在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了“回味餐厅”的网络，那么他输入的密码是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，仔细观察题目所给式子，总结出一般规律，即可解答，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： 第一个式子：， 即，，， 第二个式子：， 即，，， 第三个式子：， 即，，， ∴密码的前两位是三个数之和，中间两位是第一个数与后两个数和的积，最后两位是底数为第二个数，指数为第三个数的幂， ∴第四个式子：，，， ， 故答案为：． 题型五 图形类规律探索（共5小题） 18．（25-26七年级上·全国·期末）将形状、大小完全相同的小圆点“●”按如图所示的规律拼成图案，其中第①个图案中有6个小圆点，第②个图案中有个小圆点，第③个图案中有 个小圆点，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中小圆点的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形规律探索，熟练掌握从特殊到一般的归纳方法是解题的关键．观察前三个图案中小圆点数量的变化，发现每个图案比前一个增加5个点，因此可得出第n个图案的点的数量为，代入即可求解． 【详解】通过观察图案，第①个图案中“●”的个数为， 第②个图案中“●”的个数为， 第③个图案中“●”的个数为， …， 所以第n（n为正整数）个图案中“●”的个数为， 因此第⑦个图案中“●”的个数为． 19．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）如图，将一些长度完全相同的木棒拼成正多边形，在正多边形的每个边外侧拼出等边三角形．按照一定规律摆成下列图形，其中第1个图案中有9根木棒，第2个图案中有12根木棒，第3个图案中有15根木棒，……，则第2024个图案中木棒的根数为（   ） A．2024根 B．6072根 C．6075根 D．6078根 【答案】D 【分析】本题考查了图形类规律探究．根据题意可以推导出一般性规律为：第n个图案，用根小棒，问题随之得解． 【详解】解：由题意知，第1个图案，用9根小棒，而； 第2个图案，用12根小棒，而； 第3个图案，用15根小棒，而； 第n个图案，用根小棒； ∴第个图案中木棒的根数为：， 故选：D． 20．（2025·甘肃·模拟预测）我国宋朝时期的数学家杨辉曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”．顶层记为第1层，有1颗弹珠；前2层共有3颗弹珠；前3层共有6颗弹珠．往下依次是第4层、第5层……下图中画出了最上面的四层，若用表示前n层的弹珠数，其中，2，3，…，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索，观察图形可得前n层的弹珠数为：，即，求出，再由此规律计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：观察图形的变化可得： 顶层记为第1层，有1颗弹珠，即； 前2层共有3颗弹珠，即； 前3层共有6颗弹珠，即． …， 故前n层的弹珠数为：， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 21．（25-26七年级上·江苏·期中）观察下列图形规律， 示例： 第1个： 第2个： 第3个： (1)画出第4个图形； (2)写出第n个图形的小正方形个数． 【答案】(1)见详解 (2)第n个图形有个小正方形 【分析】本题是一道探究规律类型的题目，先从前几个图形入手总结出规律是解题的关键； （1）观察图形可知，第4个图形正方体的个数是，据此画出图形即可； （2）根据（1）的分析，探究规律可得，第n个图形正方形的个数是． 【详解】（1）解：观察图形可知： 第1个图形正方体的个数是， 第2个图形正方体的个数是， 第3个图形正方体的个数是， 第4个图形正方体的个数是， 画图如下： （2）解：观察图形可知： 第1个图形正方体的个数是， 第2个图形正方体的个数是， 第3个图形正方体的个数是， 第4个图形正方体的个数是， 第n个图形正方体的个数是． 22．（24-25七年级上·河南信阳·期中）如图，用5个实心圆圈、5个空心圆圈相间组成一个圆环，然后把这样的圆环从左到右按下列规律组成圆环串：相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以空心圆圈和实心圆圈相间排列． (1)把表格补充完整． 圆环串中圆环的个数 1 2 3 4 5 6 … 实心圆圈和空心圆圈的总个数 10 19 28 … (2)设圆环串由x个圆环组成，则组成这个圆环串所需实心圆圈和空心圆圈的总个数为______（用含x的代数式表示）． (3)如果圆环串由18个这样的圆环组成，那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个？有多少个空心圆圈？ 【答案】(1)37,46，55 (2)； (3)实心圆圈和空心圆圈的总数有163个，空心圆圈有81个． 【分析】本题考查了规律探究问题以及代数式的列写与求值，涉及根据圆环个数与总圆圈数的变化关系补全表格、推导含字母的代数式，以及代入具体数值计算总数和特定圆圈数量． 解题的关键是先找出圆环个数与总圆圈数的变化规律（每增加1个圆环，实心与空心圆圈总个数增加9个），再依据规律列写总个数的代数式，最后结合“偶数个圆环时实心圆圈比空心圆圈多1个”的特殊关系，求解具体数量． （1）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出9个，由此规律得出答案即可； （2）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出9个，由此规律得出答案即可； （3）因为围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多1个，由（2）得出的规律，直接算出总数，进而即可求出空心圆圈数． 【详解】（1）解：表格补充完整如下： 圆环串中圆环的个数 1 2 3 4 5 6 … 实心圆圈和空心圆圈的总个数 10 19 28 37 46 55 … （2）∵每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出9个， ∴当圆环串由x个圆环组成，组成圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数为个， 故答案为：； （3）当时，实心圆圈和空心圆圈的总数有个， ∵围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多1个， ∴空心圆圈有个个． 题型六 整式的概念（共5小题） 23．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）整式，5，，，，，中单项式的个数有（        ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的定义，根据单项式的定义判断即可，掌握单项式的定义是解题的关键． 【详解】解：， ∴整式，5，，，，，中单项式有，5，，，，共个， 故选：C． 24．（23-24七年级上·青海西宁·期中）下列说法正确的是（　　） A．单项式的系数与次数都是0 B．是三次三项式 C．的常数项是1 D．是多项式 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式的系数与次数的判断，多项式的定义及命名，根据单项式的数字因式是系数，所有字母指数和是次数，几个单项式的和叫多项式，有几个单项式就有几项，单项式最高的次数是多项式的次数逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A．单项式的系数与次数都是1，故A选项错误，不符合题意， B．是四次三项式，故B选项错误，不符合题意， C．的常数项是，故C选项错误，不符合题意， D．是多项式，故D正确，符合题意， 故选：D． 25．（24-25七年级下·山东德州·开学考试）下列说法中正确的是（    ） A．多项式是二次三项式 B．是6次单项式，它的系数是 C．，都是单项式，也都是整式 D．，，5是多项式中的项 【答案】C 【分析】此题主要考查了多项式以及单项式有关定义，正确掌握相关定义是解题的关键． 直接利用单项式的次数与系数以及多项式的定义、次数与系数分别分析得出答案． 【详解】解：A、多项式是三次三项式，故此选项说法错误，不合题意； B、是6次单项式，它的系数是，故此选项说法错误，不合题意； C、，都是单项式，也都是整式，故此选项说法正确，符合题意； D、，，是多项式中的项，故此选项说法错误，不合题意． 故选：C． 26．（25-26七年级上·全国·期中）在代数式：中，整式有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】D 【分析】本题考查整式的判断．整式包括单项式和多项式，用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．几个单项式的和叫做多项式．根据定义判断即可． 【详解】解：所给代数式中： 是单项式，属于整式； 是多项式，属于整式； 分母中含未知数，不是整式； 综上可知，整式有7个， 故选D． 27．（25-26七年级上·天津河东·期中）下列结论中正确的是（　　） A．单项式的系数是，次数是 B．单项式的次数是，没有系数 C．多项式是三次多项式 D．在，，，，中，整式有个 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式和单项式，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式的有关概念．A、选项均根据单项式的次数和系数的定义，进行判断即可；C．根据多项式的有关概念进行判断即可；D．根据整式、多项式和单项式的有关定义进行判断即可． 【详解】解：单项式的系数是，次数是， 此选项的结论错误，故此选项不符合题意； B．单项式的次数是，系数是， 此选项的结论错误，故此选项不符合题意； C．多项式是三次三项式， 此选项的结论正确，故此选项符合题意； D．在中，整式有，，，，共个， 此选项的结论错误，故此选项不符合题意； 故选：． 题型七 已知同类项求指数中字母或代数式的值（共5小题） 28．（24-25七年级上·全国·期中）若单项式与的和仍是单项式，则的值是（   ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类项，代数式求值， 先确定这两个单项式是同类项，即可求出m，n的值，再求出代数式的值. 【详解】解：∵单项式与单项式的和是单项式， ∴与是同类项， ∴， 解得， ∴. 故选：C. 29．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知单项式与可以合并同类项，则m，n分别为（   ） A．2 ，2 B．3 ，2 C．2 ，0 D．3 ，0 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项及同类项的定义，如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项．根据同类项的定义得出关于m，n的方程，计算求出m，n即可． 【详解】解：∵单项式与可以合并同类项， ∴． ∴． 故选：A． 30．（25-26七年级上·全国·期中）若单项式与是同类项，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查同类项的定义，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 根据单项式与是同类项，得到，求出，再代入，进行计算即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 解得， ∴． 故答案为：5． 31．（25-26七年级上·江苏·期中）已知与是同类项，则_____． 【答案】5 【分析】本题考查了同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项，解决本题的关键是理解同类项的定义． 根据同类项的定义求出m与n的值即可作答． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， ∴， 故答案为：5． 32．（23-24七年级上·吉林·期中）已知和是同类项，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了同类项，根据同类项的定义求出的值是关键．根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项，求出的值，代入计算即可． 【详解】解：∵和是同类项， ∴，， ∴． 故答案为：1． 题型八 整式的加减运算（共5小题） 33．（25-26七年级上·全国·期中）已知a、b、c在数轴上的位置（），则的值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴和绝对值，整式的加减运算，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义．根据a、b、c在数轴上的位置判断出绝对值内部式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴ ， 故选：C． 34．（25-26七年级上·江苏·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的加减运算，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则．按照去括号，合并同类项的顺序化简即可． 【详解】解：． 故选：A． 35．（25-26七年级上·天津河东·期中）有理数，，在数轴上对应点的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了数轴和绝对值，整式的加减运算，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义． 利用数轴知识和绝对值的定义去绝对值符号，再合并同类项化简即可解答． 【详解】解：由数轴图可知，，， ，，， ． 36．（24-25七年级上·四川德阳·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据合并同类项法则合并同类项即可； （）去括号，再合并同类项即可； 本题考查了整式的加减，掌握去括号和合并同类项法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 37．（24-25七年级上·甘肃武威·期中） ， ，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 先化简，再将、代入计算即可． 【详解】解： ． 题型九 整式的化简求值（共5小题） 38．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）已知两个整式A和B，，． (1)请化简； (2)若，时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算中的化简求值，熟记去括号、合并同类项的法则是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可解答； （2）把，代入（1）化简后的代数式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ . （2）解：∵，， ∴． 39．（25-26七年级上·江苏·期中）代数式化简 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算：化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先去括号，再合并同类项得到最简结果，最后将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】解：， ， ， 将代入得，， ， ， ． 40．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）先化简，再求值 (1)  其中 ． (2)   其中 ． (3) 其中． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查整式的加减求值，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法． （1）先去括号，然后合并同类项即可化简题目中的式子，再将的值代入化简后的式子即可解答本题； （2）合并同类项即可化简题目中的式子，再将、的值代入化简后的式子即可解答本题； （3）先去括号，然后合并同类项即可化简题目中的式子，再将、的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】（1）解： ． 当时，原式． （2）解： 当时，原式． （3）解： 当时， 原式 41．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）已知，，，，求的值 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，先根据整式的加减运算法则计算得出，再代入，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 当，时，原式． 42．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）化简求值： (1)，其中． (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可化简，最后代入计算即可得解； （2）先去括号，再合并同类项即可化简，最后代入计算即可得解． 【详解】（1）解：； 当时，原式； （2）解：； 当时，原式． 题型十 整式加减中的无关型问题（共5小题） 43．（25-26七年级上·广东广州·期中）要使多项式化简后不含有x的二次项，则m等于（　　） A．0 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减，先将多项式展开并合并同类项，根据不含二次项的条件，令二次项系数为0，解方程即可． 【详解】解： ， 多项式化简后不含有的二次项， ∴令二次项系数为0，即， 解得， 故选：D． 44．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知多项式不含项和项，则的值为（　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．根据多项式的相关概念解答即可． 【详解】解：项系数为，项合并同类项后系数为， ∵多项式不含项和项， ∴， ∴，， 则． 故选：D． 45．（24-25七年级上·福建漳州·期中）当k＝ 时，代数式中不含项． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题． 先合并同类项，再根据“不含项”得到，进而计算即可． 【详解】解：∵多项式不含项， ∴， 解得k． 故答案为：． 46．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知多项式，． (1)求； (2)若的值与无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，代数式的值与某个字母无关，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将的代数式代入，去括号合并同类项即可； （2）将化简后的的代数式变形为，代数式的值与y无关，即，即可解得题目所求． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ∵代数式的值与无关， ∴， ． 47．（24-25七年级上·全国·期中）七一班同学学完合并同类项这节课后，数学老师给大家布置了一道题，如果多项式是关于x的多项式，且这个式子的值与x的取值无关，请你求出的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的无关问题， 先整理，再根据题意得，，求出答案，然后求出代数式的值即可. 【详解】解：原式， 由题意可知，, 解得, ∴. 题型十一 整式加减的应用（共4小题） 48．（25-26七年级上·吉林长春·期中）把如图的两张大小相同的长方形卡片放置在图与图中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长，若记图中阴影部分的周长为，图中阴影部分的周长为，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，根据实际意义列出相对应的代数式并化简是解题的关键．设小长方形的长为，宽为，大长方形的长为，宽为， 分别求出两阴影部分的周长，再作差，根据整式的加减化简即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，大长方形的长为，宽为， 由图可得，， 这两个大长方形的长比宽长 ， ， 由图可知：阴影部分的周长， 由图可知：阴影部分的周长， ， 故选：． 49．（24-25七年级上·福建漳州·期中）长方形的一边长为，另一边比第一边大，则长方形的周长为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了整式加减的实际应用，根据题意先求出长方形的另一边长，然后根据长方形的周长（长宽）计算即可． 【详解】解：根据题意知：矩形的另一边为， 所以这个长方形的周长为， 故答案为：． 50．（24-25七年级上·福建漳州·期中）某学校准备在网上订购一批某品牌羽毛球拍和羽毛球，在查阅网店后发现该品牌羽毛球拍每副定价200元，羽毛球每个定价5元，现有甲，乙两家网店均提供包邮服务，并提出各自的优惠方案： 甲网店：买1副羽毛球拍送5个羽毛球； 乙网店：羽毛球拍与羽毛球都按定价的90%付款． 已知学校要购买羽毛球拍20副，羽毛球x个()． (1)若在甲网店购买，需付款_______元；若在乙网店购买，需付款_________ 元；(用含x的式子表示) (2)若时，请你通过计算，说明此时在哪家网店购买较为合算？ (3)若时，你能给出一种最省钱的购买方案吗？请说明理由． 【答案】(1)，； (2)两家网店一样合算； (3)在甲网店买20副球拍赠送100个羽毛球，在乙网店买150个羽毛球，理由见解析． 【分析】本题考查了列代数式，有理数的混合运算． (1)根据题目中优惠方案：可得答案； (2)结合(1)，求出当时，两个网店所需付款，再比较即可得出答案； (3)首先求得当时，两个网店所需付款，再计算在甲网店买20副球拍100个羽毛球，在乙网店买150个羽毛球所需费用，比较即可获得答案． 【详解】（1）解：∵甲网店：买1副羽毛球拍送5个羽毛球， ∴若在甲网店购买，需付款元， ∵乙网店：羽毛球拍与羽毛球都按定价的付款， ∴若在乙网店购买，需付款元， 故答案为：，； （2）解：将分别代入甲、乙网店的购买方案所需付款的代数式， 在甲网店购买，需付款： (元)， 在乙网店购买，需付款： (元)， ∵， ∴此时两家网店一样合算； （3）解：将分别代入甲、乙网店的购买方案所需付款的代数式， 甲： (元)， 乙： (元)， 若在甲网店买20副球拍赠送100个羽毛球，在乙网店买150个羽毛球， 此时需付款：元， ∵， 最省钱的购买方案为：在甲网店买20副球拍赠送100个羽毛球，在乙网店买150个羽毛球． 51．（24-25七年级上·福建福州·期中）每年“双11”天猫商城都会推出各种优惠活动进行促销，今年，张阿姨在“双11”到来之前准备在三家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条．已知三家店铺在非活动期间，均在原价基础上优惠20%销售，活动期间在此基础上再分别给予以下优惠： A店铺：“双11”当天购买可以再享受8折优惠； B店铺：商品每满800元可使用店铺优惠券50元，同时每满400元可使用商城“双11”购物津贴券50元，同时“双11”当天下单每单还可立减60元（例如：购买2条被子需支付元）； C店铺：“双11”当天下单可享立减活动：①每条立减100元（购买10条以内，不包括10条）； ②每条立减160元（10条及10条以上）．享受“立减”优惠后，店铺还可实行分期付款，先付总购物款的一半，一年后再一次性付清余下的货款（注：银行一年定期的年利率为）． (1)若在A店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在B店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在C店铺5条被子作一单购买，至一年后全部付清共用去______元． (2)若张阿姨在“双11”当天下单，且购买了a条同款被子，请分别用含a的代数式表示在这三家店铺的购买费用．（说明：张阿姨要买的a条被子作一单购买） 【答案】(1)3200，3190，3500 (2)，，当时, ；当时, 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． （1）根据题意可以分别得到三家店铺需要支付的费用； （2）根据题意可以用代数式表示出在三家店铺的购买费用． 【详解】（1）解：在A店铺5条被子作一单购买，需支付：（元）， 在B店铺5条被子作一单购买,需支付： （元）， 在C店铺5条被子作一单购买,至一年后全部付清共用去： （元）， 故答案为：3200，3190，3500； （2）解：在A店铺a条被子作一单购买,需支付：（元）， 在B店铺a条被子作一单购买,需支付： 元， 当时，在C店铺a条被子作一单购买，至一年后全部付清共用去： （元）， 当时,在C店铺a条被子作一单购买,至一年后全部付清共用去： （元）． 题型十二 代数式的新定义问题（共7小题） 52．（25-26七年级上·全国·期中）a是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”，如3的“哈利数”是，的“哈利数”是．已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则 (   ) A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．根据定义计算出前5个数据，然后发现该数列每个数为一周期循环，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ， ， 该数列每个数为一周期循环， ， ， 故选：A． 53．（24-25九年级下·重庆忠县·期中）已知关于的多项式：，其中为正整数，各项系数各不相同且均不为0．当时，，交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“兄弟多项式”，给出下列说法： ①多项式共有6个不同的“兄弟多项式”； ②若多项式，则的所有系数之和为； ③若多项式，则． 其中正确的个数为（　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查已知字母的值求代数式的值，解题关键在于对进行赋值，即对其取，得到不同的多项式进行加减运算进而求得结果．①根据组合数计算交换次数；②代入求系数和；③利用和的值联立求解奇次项系数和即可. 【详解】解：①多项式有三项系数，互相交换共有种不同结果， 所以共有6个不同的“兄弟多项式”，故①正确，符合题意； ②若多项式，且，则取时，， 即的所有系数之和为， 当为偶数时，系数之和为1，当为奇数时，系数之和为，故②正确，符合题意； ③若多项式，， 取时，， 取时，， 两式相减得， 解得，故③错误，不符合题意； 综上，正确的个数为2， 故选：C 54．（24-25七年级上·广东深圳·期中）对于多项式：，我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再与剩余两个多项式的差作减法运算，并算出结果，称之为“双减操作”例如：，，， 给出下列说法： ①为任意整数时，所有“双减操作”的结果都能被2整除； ②至少存在一种“双减操作”，使其结果为； ③所有的“双减操作”共有5种不同的结果． 以上说法中正确的有 个． 【答案】2 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，整式的加减运算等知识点，清晰的分类讨论是解本题的关键；令，，，，所有“双减操作”的结果就是在A、B、C、D四个整式前面增添两个“”号和两个“+”号，再分类计算，再根据结果进行判断即可. 【详解】解：令，，， 第1种：， 第2种：， 第3种：， 第4种：， 第5种：， 第6种：， 由上可知，所有的“双减操作”，x为整数时，其结果均能被2整除；故①说法正确； 不存在哪种“双减操作”，其结果为；故②说法错误； 所有的“双减操作”共有5种不同的结果；故③说法正确． 故答案为：2． 55．（24-25九年级上·重庆涪陵·期中）如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称M为“会意数”．把四位数M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，，，是“会意数”．则．如果“会意数”，则 ；已知四位自然数是“会意数”，若恰好能被8整除，则满足条件的数S的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，列代数式等知识点，读懂题意，根据题中的定义计算出是解题的关键． 求得，代入，即可求得的值；由题意可得，，则，再结合“恰好能被8整除”可知是的倍数，要该“会意数”最大，a、b、c、d均不为0，且，，综合这些条件即可得出满足要求的最大的“会意数”． 【详解】解：“会意数”， ； 数是“会意数”， 千位上的数字为，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为， ， ， ， ，， ，， ， 恰好能被8整除， 是一个整数， 是的倍数， ，， ，， 取最大值，且各个数位上的数字均不为， 千位上的数字应取最大值， 百位上的数字应取最小值， ， ，， 满足条件的数S的最大值， 故答案为：，． 56．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）观察下列两个等式：，给出定义：我们称使等式成立的一对有理数，为“方和有理数对”，记为，如，都是“方和有理数对”． (1)数对，中是“方和有理数对”的是______． (2)请你再写出一对符合条件的“方和有理数对”：______注意：不能与题目中已有的“方和有理数对”重复． (3)若是“方和有理数对”，求的值． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） (3) 【分析】本题主要考查了新定义问题、有理数的混合运算、整式加减中的化简求值，解题时要熟练掌握并能读懂新定义是关键． 依据题意，“方和有理数对”的定义逐个判断可以得解； 依据题意，由“方和有理数对”满足，则当时，，则此时，进而可以得解； 依据题意，由是“方和有理数对”，则，又，从而代入计算可以得解． 【详解】（1）由题意，， 数对不是“方和有理数对”． ， 数对是“方和有理数对”． 故答案为：． （2）由题意， “方和有理数对”满足， 当时，，则此时． 故答案为：（答案不唯一）． （3）由题意，是“方和有理数对”， ． ． 又 ， ． 57．（24-25七年级上·福建泉州·期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一柴具有某种特性的数充满好奇，例如：定义：对于一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数m，若m的十位数字等于其个位数字的2倍，则称这个自然数m为“好数”，当三位自然数m为“好数”时，交换m的百位数字和十位数字后会得到一个新的三位自然数n，规定，例如：当时，因为，所以是“好数”，此时，则． (1)写出最大的好数和最小的好数，并分别求出它们的值； (2)已知一个三位自然数t是“好数”，t的各个数位上的数字和记为k，若能被8整除，求所有满足条件的三位自然数t． 【答案】(1)984，1；121， (2)342，284，684，742 【分析】本题考查新定义下的运算和整式加减的应用，解题的关键是掌握“好数”的特征． （1）根据“好数”的定义确定各个数位上的数字，然后根据的定义计算其值； （2）先设出三位自然数t的百位、十位、个位数字，根据“好数”定义和F的定义表示出和，再根据能被8整除来确定满足条件的数． 【详解】（1）解：∵是三位自然数且各个数位上的数字均不为零，要使“好数”最大，百位数字应尽量大， ∴百位最大是9． 根据“好数”定义，十位数字等于个位数字的2倍，个位数字最大只能是4，此时十位数字是8， ∴最大的好数， 交换m的百位数字和十位数字后得到， ∵， ∴； 要使“好数”最小，百位数字应尽量小， ∴百位最小是1，个位数字最小是1， ∴十位数字是2， ∴最小的好数， 交换m的百位数字和十位数字后得到， ∵， ∴； （2）设三位自然数t的百位数字为a，个位数字为b，则十位数字为， ∴， 交换t的百位数字和十位数字后得到， ∵， ∴， ∵t的各个数位上的数字和， ∴， ∵k能被8整除，即能被8整除， 当时： 若，则，解得，此时； 若，则，解得，此时； 当时： 若，则，解得，此时； 若，则，解得，此时． 综上所述，所有满足条件的三位自然数t为342，284，684，742． 58．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）请仔细阅读并完成相应任务 关于“对称式”的研究报告 善思小组研究对象：对称式 研究思路：按“概念……性质……判定”的路径，由一般到特殊进行研究 研究方法：观察（测量、实验）……猜想……推理证明 【一般概念】一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值都不变，这样的式子叫做对称式． 【特例研究】①式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，，，因为，所以是对称式． ②式子中字母a，b交换位置，得到式子，因为，所以___△___对称式． 问题： (1)直接写出研究报告中“”处短缺的内容 ； (2)已知，，求，并直接判断所得结果是否是对称式． 【答案】(1)不是 (2)，不是 【分析】本题考查了整式的加减，正确理解新定义和熟练进行整式运算是关键． （1）根据对称式的定义判断，即可求解； （2）将整式化简后，按照对称式定义进行验证即可． 【详解】（1）解：根据对称式的定义：因为，所以不是对称式． 故答案为：不是； （2）解： ； 根据对称式的定义，，结果不是对称式． $