专题01 有理数 12个题型（期中专项训练）七年级数学上学期新教材湘教版

专题01 有理数 题型1 有理数的分类 题型9 有理数的混合运算（重点） 题型2 数轴的综合问题（难点） 题型10 程序流程图与有理数的计算 题型3 相反数的应用 题型11 有理数四则混合运算的实际应用 题型4化简多重符号 题型12 有理数的新定义问题（难点） 题型5 绝对值的非负性（常考点） 题型6 绝对值的几何意义（重点） 题型7 有理数的大小比较 题型8 科学记数法（常考点） 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 有理数的分类（共3小题） 1.（25-26七年级上·全国·期中）在，5，，，，中，负分数有（  ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（24-25七年级上·福建泉州·期中）下面的大括号表示一些数的集合，把下列各数填入相应的大括号里： ，0.13，，，0，π， ，． 正有理数集：{ … }； 整数集：{ … }； 负分数集：{ … }； 非负数集：{ … }． 3．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）把下列各数分别填入相应的集合里．（填序号即可） ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 正有理数集合：{                        …}； 负有理数集合：{                       …}； 整数集合：{                       …}； 负整数集合：{                       …}； 有理数集合：{                       …}． 题型二 数轴的综合问题（共5小题） 4．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）在数轴上，点A表示的数为，点表示的数为，点从A出发，以每秒个单位长度的速度向运动，到达后立即返回，当 秒时，点到点A的距离是个单位长度． 5．（24-25七年级上·四川德阳·期中）点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，点A，D表示的数互为相反数，若点B所表示的数为n，点A与点B之间的距离为2，则点D所表示的数为 ．（请用含有n的式子表示）． 6．（25-26六年级上·全国·期中）如图所示的数轴中，点A表示1，点B表示，试回答下列问题． (1)A，B两点之间的距离是_________． (2)观察数轴，与点A的距离为5的点表示的数是_________． (3)若将数轴折叠，使点A与表示的点重合，则点B与表示数_________的点重合． (4)若数轴上M，N两点之间的距离为2024（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是_________和_________． 7．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）如图，数轴上，两点对应的有理数分别为和，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)当时，数轴上的点、表示的数分别是______和______； (2)当时，求、两点间的距离； (3)在运动过程中是否存在时间使、两点间的距离与、两点间的距离相等，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由． 8．（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题： (1)将A点向左移动5个单位长度，这是的点表示的数是___________； (2)怎样移动A、B、C的其中个点，才能使点C恰好是线段的中点？请写出三种移动的方法． 方法一（移动A点）：___________， 方法二（移动B点）：___________， 方法三（移动C点）：___________． 题型三 相反数的应用（共4小题） 9．（24-25七年级上·福建莆田·期中）如果两个有理数的和为0，则这两个有理数的关系是（    ） A．互为倒数 B．互为相反数 C．相等 D．都为0 10．（23-24七年级上·山东滨州·期末）若与互为相反数，则等于（    ） A．0 B． C． D． 11．（23-24七年级上·河南平顶山·期中）点A、C、O、B在数轴上的位置如图所示，O为原点，，点C对应的有理数是a，若，则点B对应的有理数是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）绝对值大于3且小于5的所有整数的和是 ． 题型四 化简多重符号（共4小题） 13．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）在数，，中，非负整数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 14．（24-25七年级上·全国·期中）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．与1 B．与 C．与1 D．与 15．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）下列各组数中，结果互为相反数的是（） A．与 B．与 C．与 D．与 16．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列各数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．0.6和 题型五 绝对值的非负性（共4小题） 17．（24-25七年级上·湖北襄阳·期中）若，则 ， ． 18．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）已知，则 ． 19．（24-25七年级下·北京·期中）已知实数a，b满足则 ． 20．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）． 题型六 绝对值的几何意义（共5小题） 21．（2025七年级上·全国·专题练习）我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数有（    ）个 A． B． C． D． 22．（25-26七年级上·浙江·期中）如图，数轴上的，，三点所表示的数分别是，，，其中是的中点．如果，那么该数轴的原点的位置应该在（　　） A．点的左边 B．点与点之间 C．点与点之间 D．点与点之间（靠近点）或点的右边 23．（24-25六年级上·山东烟台·期中）若，则数轴上到有理数对应的点与到对应的点的距离相等的点是（　　） A．3 B． C．3或6 D．3或 24．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 25．（24-25七年级上·广东广州·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律，如果数轴上点、在数轴上分别表示有理数、，那么、两点之间的距离表示为．例如数轴上表示和的两点之间的距离可表示为． (1)已知数轴上点表示的数为，点表示数为，则线段的长度是______． (2)表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题： 若，求的值； 的最小值是多少，这时候的取值范围． 题型七 有理数的大小比较（共5小题） 26．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）有理数在数轴上对应的点如图所示，则，，的大小关系是（ 　） A． B． C． D． 27．（25-26七年级上·天津河东·期中）如图，根据有理数，，在数轴上的位置，下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 28．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）四个有理数 ，0，从小到大的顺序用“”连接 ． 29．（25-26七年级上·天津河东·期中）比较大小： ．（填“”或“”） 30．（25-26七年级上·江苏·期中）比较大小： （填“>”或“<”）． 题型八 科学记数法（共4小题） 31．（23-24七年级上·甘肃武威·期中）某电视台报道，截止到年月日，慈善总会已接受支援玉树地震灾区的捐款元．将用科学记数法表示为 （     ） A． B． C． D． 32．（2025·山东淄博·中考真题）党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时．将8160亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 33．（24-25七年级上·广东广州·期中）某景区小长假期间共接待游客236000人次，用科学记数法可将236000表示为（ ） A． B． C． D． 34．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）浙江卫视《中国好声音》总决赛，全国有7100万人通过电视收看，这个数据用科学记数法表示为： ． 题型九 有理数的混合运算（共6小题） 35．（25-26七年级上·全国·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 36．（25-26七年级上·浙江·期中）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是 (　　) 甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 37．（24-25七年级上·湖北襄阳·期中）计算： (1)． (2)． 38．（25-26七年级上·全国·期中）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 39．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）小红与小亮两位同学计算的过程如下： 小红： ① ② ③ ④ 小亮： ① ② ．③ (1)请指出小红与小亮开始出错的步骤； (2)写出你的解答过程． 40．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）计算 (1) (2) 题型十 程序流程图与有理数的计算（共4小题） 41．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）如图是一个数值转换机，若输入的为，则输出的结果是（     ） A．18 B． C．39 D．21 42．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）[新视角 程序计算题]如图是一个简单的数值运算程序图，当输入x的值为时，输出的数值为（    ） A．1 B． C．2 D． 43．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是（   ） A．1 B． C． D．13 44．（24-25七年级下·四川巴中·期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，第三次“F运算”的结果是11．则若，则第449次“F运算”的结果是 ． 题型十一 有理数四则混合运算的实际应用（共4小题） 45．（24-25七年级上·福建泉州·期中）如下是李叔叔月日至月日的微信零钱明细（不完整），其中正数表示收款，负数表示付款,月日：扫二维码付款给便利店后余额为（　　） 零钱明细 扫二维码付款给超市 月号：     余额 扫二维码付款给便利店 月号：     余额 微信红包 月号：     余额 微信红包 月号：     余额 扫二维码付款给肉食店 月号：     余额 A．元 B．元 C．元 D．元 46．（24-25七年级上·福建福州·期中）张老师带了200元钱，准备为书法兴趣小组的同学购买上课的用具，在文具商店看到商店有A，B两种组合和C，D，E，F商品及它们的售价，组合及单件商品质量一样．若该小组共有12人，其中，笔和本每人各需要一份，砚台2人一方即可，墨汁n瓶（）． 商品 价格 组合A（1支笔个本方砚台瓶墨汁） 25元 组合B（1支笔个本瓶墨汁） 18元 C：1支笔 5元 D：1个本 4元 E：一方砚台 10元 F：一瓶墨汁 12元 (1)请给出一个满足条件的购买方案（购买数量写前面，商品代码写后面即可，例如：）； (2)求n的最大值． 47．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）2024年7月下旬辽中区连降暴雨，28日（周日）冷子堡镇团结水库水位已达到警戒水位，区教育局紧急抽调90名教师到冷子堡镇支援，协助当地到团结水库巡堤，下表记录了水库接下来一周水库水位的变化情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 （单位：） 注：正数表示水位比前一天上升，负数表示水位比前一天下降 (1)这一周哪一天的水位最高？位于警戒水位之上还是之下？ (2)与上周周末相比，这一周周末的水位是上升了还是下降了？ 48．（25-26七年级上·江苏·期中）某快递公司对寄送包裹的收费标准如下： 首重（不超过1千克）：10元 续重（超过1千克的部分）：每0.5千克加收3元（不足0.5千克按0.5千克计算） 小明寄出一个包裹，称重显示为3.2千克，快递员收费时误按3.0千克计算．请问： (1)正确的收费应该是多少元？ (2)快递员少收了多少钱？ 49．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）张叔叔到加油站加95#汽油．加油前，油表显示和当日油价如图所示．汽车油箱容积60升，张叔叔的加油卡里还有360元，能将油箱加满吗？ 50．（24-25七年级上·海南海口·期中）学校附近某奶茶店计划一周卖出3500杯奶茶，每天卖出500杯作为标准，由于各种原因实际每天销售量与计划销售量相比有出入，如下表是某周的销售量情况（超产为正减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共卖出___________杯； (2)销售量最多的一天比销售量最少的一天多卖出___________杯； (3)该奶茶店实行计件工资制，每天卖出一杯奶茶得1元，每天超额卖出一杯奖元，少卖出一杯扣2元，那么该奶茶店工人这一周的工资总额是多少？ 题型十二 有理数的新定义问题（共4小题） 51．（24-25七年级上·福建泉州·期中）设一种运算程序是（a为常数），如果，，已知，那么 ． 52．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）对于有理数x，y，a，m，若，则称x和y关于a的“和谐关联数”为m，例如，，则5和3关于2的“和谐关联数”为4． （1）和4关于3的“和谐关联数”为 ； （2）若和关于2的“和谐关联数”为和关于3的“和谐关联数”为和关于10的“和谐关联数”为．则的最小值为 ． 53．（24-25七年级上·陕西·期中）（1）数学中有很多可逆的推理，例如：如果那么利用可逆推理，已知可求的运算，记为，如，则，则．根据定义，填空：_____：_______． （2）若有如下运算性质：，，根据运算性质填空，填空：若，则_____；_____． （3）在数轴上有三点，，分别表示数，，，其中是第1问中所表示的数，是的系数，是直四棱柱的面数．点，，同时开始在数轴上运动，若点和点分别以每秒3个单位长度和4个单位长度的速度向左运动．点以每秒2个单位长度的速度向右运动．若点与点的距离表示为，点与点的距离表示为，点与点的距离表示为，运动时间为秒．是否存在，使得的值与无关？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由． 54．（2024七年级上·全国·专题练习）［核心素养］阅读材料： 钟表中蕴含着有趣的数学运算，例如：现在是时，小时以后是几时？虽然，但在表盘上看到的是时，若用“”表示钟表上的加法，则．若问时之前小时是几时？则需要用到钟表上的减法概念，用符号“”国表示钟表上的减法．（注：我们用时代替时） 由上述材料解答下列问题： (1)______，＝______，______，______； (2)在有理数运算中，相加得零的两个数互为相反数，如果在钟表运算中沿用这个概念，则的相反数是______；举例说明有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，在钟表运算中是否仍然成立； (3)规定在钟表运算中，也有，对于钟表上的任意数字，若，判断是否一定成立．若一定成立，请说明理由；若不一定成立，请写出一个反例，并结合反例加以说明． $专题01 有理数 题型1 有理数的分类 题型9 有理数的混合运算（重点） 题型2 数轴的综合问题（难点） 题型10 程序流程图与有理数的计算 题型3 相反数的应用 题型11 有理数四则混合运算的实际应用 题型4化简多重符号 题型12 有理数的新定义问题（难点） 题型5 绝对值的非负性（常考点） 题型6 绝对值的几何意义（重点） 题型7 有理数的大小比较 题型8 科学记数法（常考点） 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 有理数的分类（共3小题） 1.（25-26七年级上·全国·期中）在，5，，，，中，负分数有（  ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．根据有理数的分类解答即可，有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数． 【详解】解：在，5，，，，中，负分数有，，，共3个， 故选：C． 2．（24-25七年级上·福建泉州·期中）下面的大括号表示一些数的集合，把下列各数填入相应的大括号里： ，0.13，，，0，π， ，． 正有理数集：{ … }； 整数集：{ … }； 负分数集：{ … }； 非负数集：{ … }． 【答案】0.13，20%，，；，0，；；0.13，20%，，0，π， 【分析】根据正有理数、整数、负分数和非负数的定义进行解答即可． 【详解】解：正有理数集：{0.13，，，}， 整数集：{，0，…}， 负分数集：{}， 非负数集：{ 0.13，，，0，π，}， 故答案为：0.13，，，；，0，；；0.13，，，0，π，． 3．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）把下列各数分别填入相应的集合里．（填序号即可） ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 正有理数集合：{                        …}； 负有理数集合：{                       …}； 整数集合：{                       …}； 负整数集合：{                       …}； 有理数集合：{                       …}． 【答案】①③④⑧；②⑤⑦；①④⑤⑥；⑤；①②③④⑤⑥⑦⑧ 【分析】本题考查了有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数． 根据有理数的定义作答即可． 【详解】正有理数集合：{①③④⑧…}； 负有理数集合：{ ②⑤⑦…}； 整数集合：{ ①④⑤⑥…}； 负整数集合：{⑤…}； 有理数集合：{①②③④⑤⑥⑦⑧…} 题型二 数轴的综合问题（共5小题） 4．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）在数轴上，点A表示的数为，点表示的数为，点从A出发，以每秒个单位长度的速度向运动，到达后立即返回，当 秒时，点到点A的距离是个单位长度． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上动点问题，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解决问题的关键．先求出距离，分从A到B点和从B点返回两种情况解答，利用距离除以速度等于时间求解即可． 【详解】解：∵点A表示的数为，点表示的数为， ∴， 点从A出发到达恰好距离A点个单位长度运动，用时秒， ∴， 到达后立即返回，再走个单位长度距离A点个单位长度，用时秒， 此时． 故答案为：或． 5．（24-25七年级上·四川德阳·期中）点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，点A，D表示的数互为相反数，若点B所表示的数为n，点A与点B之间的距离为2，则点D所表示的数为 ．（请用含有n的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查数轴上点之间的距离，根据给定点B和点与点之间距离求得点A，利用点、表示的数互为相反数即可求得点D． 【详解】解：∵点所表示的数为，点与点之间的距离为2， ∴点A所表示的数为， ∵点、表示的数互为相反数， ∴点所表示的数为． 故答案为：． 6．（25-26六年级上·全国·期中）如图所示的数轴中，点A表示1，点B表示，试回答下列问题． (1)A，B两点之间的距离是_________． (2)观察数轴，与点A的距离为5的点表示的数是_________． (3)若将数轴折叠，使点A与表示的点重合，则点B与表示数_________的点重合． (4)若数轴上M，N两点之间的距离为2024（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是_________和_________． 【答案】(1)3 (2)6或 (3)0 (4)；1011 【分析】本题考查了数轴的相关知识，解答此题的关键是利用了数轴上两点间的距离，注意分类讨论思想与数形结合思想的应用． （1） 根据两点间的距离公式即可得到结论； （2）分所求在点A的左边和右边两种情况解答； （3）设点B对应的数是x，然后根据中心对称列式计算即可得解； （4）根据中点的定义求出的一半，然后分别列式计算即可得解． 【详解】（1）解：A、B之间的距离是； 故答案为：3； （2）解：观察数轴可知：点A表示的数为1， ∴与点A的距离为5的点表示的数是或6； 故答案为：或6； （3）解：∵点A表示的数1与表示的点重合， ∴对称点是表示的点， 设与点B重合的点对应的数是x， 则， 解得， ∴点B与表示数0的点重合； 故答案为：0； （4）解：∵M、N两点之间的距离为2024且互相重合， ∴=， ∵由(3)知对称点为， ∴点M表示的数为，点N表示的数为； 故答案为，． 7．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）如图，数轴上，两点对应的有理数分别为和，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)当时，数轴上的点、表示的数分别是______和______； (2)当时，求、两点间的距离； (3)在运动过程中是否存在时间使、两点间的距离与、两点间的距离相等，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题考查了数轴上的点的移动，距离，熟悉掌握数轴上点的特征是解题的关键． （1）列出点的表达式，代入运算即可； （2）根据表达式代入运算即可； （3）分类讨论点的位置，列出方程运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴当时，， 故答案为：；； （2）解：把代入，可得： ，， ∴； （3）解：∵点到点的时间为：；点到点的时间为：； ∴当时，大致如图所示： ∵，，，， ∴， ∴ 解得：； 当时，大致如图所示： ∴， ∴ 解得：； 当时，大致如图所示： ∴， ∴ 解得：（舍去）； 综上所述：或． 8．（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题： (1)将A点向左移动5个单位长度，这是的点表示的数是___________； (2)怎样移动A、B、C的其中个点，才能使点C恰好是线段的中点？请写出三种移动的方法． 方法一（移动A点）：___________， 方法二（移动B点）：___________， 方法三（移动C点）：___________． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数、数轴上两点之间、数轴上点的平移是距离等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据平移特点列式计算即可； （2）根据三种方法，分别运用平移法则解答即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为4， ∴将点A向左移动5个单位长度，这时的点表示的数是． 故答案为：． （2）解：当点A移动时，此时只需将A向左移动8个单位即可． 当点B移动时，此时只需将B向左移动8个单位即可． 当点C移动时，此时只需要将C向右移动4个单位即可． 题型三 相反数的应用（共4小题） 9．（24-25七年级上·福建莆田·期中）如果两个有理数的和为0，则这两个有理数的关系是（    ） A．互为倒数 B．互为相反数 C．相等 D．都为0 【答案】B 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0，解答即可． 本题考查了相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解题的关键． 【详解】解：互为相反数的两个数的和为0， 故两个有理数的和为0，这两个数一定是互为相反数． 故选：B． 10．（23-24七年级上·山东滨州·期末）若与互为相反数，则等于（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是相反数和有理数的加法，解题关键是熟记相反数的性质． 依据相反数的定义可得到，然后代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴． ∴． 故选A． 11．（23-24七年级上·河南平顶山·期中）点A、C、O、B在数轴上的位置如图所示，O为原点，，点C对应的有理数是a，若，则点B对应的有理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，以及相反数的意义．由点C对应的有理数是a，，根据两点之间的距离求出点A，然后利用相反数的意义即可求解． 【详解】解：∵点C对应的有理数是a，， ∴点A对应的有理数为：， ∵， ∴A，B是一对相反数． ∴点B为， 故选：C． 12．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）绝对值大于3且小于5的所有整数的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的意义、相反数的性质等知识，首先根据题意得到绝对值大于3且小于5的所有整数有：和，再由互为相反数的两个数和为即可得到答案．熟记绝对值的意义及相反数的性质是解决问题的关键． 【详解】解：绝对值大于3且小于5的所有整数有：和， ， 故答案为：． 题型四 化简多重符号（共4小题） 13．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）在数，，中，非负整数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟知非负整数的定义是解题的关键．根据非负整数的定义求解即可． 【详解】解：，，，，， 在数，，中，非负整数有共2个， 故选：A． 14．（24-25七年级上·全国·期中）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．与1 B．与 C．与1 D．与 【答案】B 【分析】本题考查相反数，化简多重符号，求一个数的绝对值，先化简多重符号，化简绝对值，再根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：A、，两数相等，不符合题意； B、，，两数互为相反数，符合题意； C、，两数相等，不符合题意； D、，，两数相等，不符合题意； 故选B． 15．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）下列各组数中，结果互为相反数的是（） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了化简多重符号，绝对值，相反数等知识，先化简各数，然后根据相反数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．与，两数不互为相反数，不符合题意； B．与，两数互为相反数，符合题意； C．与，两数相等，不符合题意； D．与，两数相等，不符合题意， 故选：B． 16．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列各数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．0.6和 【答案】B 【分析】本题考查了化简多重符号，化简绝对值，相反数的定义．先化简各数，然后根据相反数的定义，即可求解．相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 【详解】解：A、和，则和不是互为相反数，故该选项不符合题意；     B、和，则和互为相反数，故该选项符合题意；     C、和，则和不是互为相反数，故该选项不符合题意；        D、和，则0.6和不是互为相反数，故该选项不符合题意；         故选：B． 题型五 绝对值的非负性（共4小题） 17．（24-25七年级上·湖北襄阳·期中）若，则 ， ． 【答案】 0 1 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的意义，是解题的关键．根据绝对值的非负性得出，，即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，． 故答案为：0；1． 18．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解题的关键是掌握绝对值和平方数的非负性，即绝对值一定大于等于0，一个数的平方也一定大于等于0． 因为两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0，据此列出方程求解的值． 【详解】解：已知 根据非负数的性质：绝对值，一个数的平方， 当两个非负数的和为0时，只能是且， 对于，解方程可得：，移项得， ∴， 故答案为：． 19．（24-25七年级下·北京·期中）已知实数a，b满足则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据得，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为：1 20．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）． 【答案】② 【分析】此题主要考查了有理数的运算，非负数的性质和绝对值的意义，理解绝对值的意义，非负数的性质，熟练掌握有理数的运算是解决问题的关键． 根据为有理数得，由此可对该结论进行判断； 根据非负数的性质得，，则，由此可对该结论进行判断； 根据得，当时，，当时，没有意义，由此可对该结论进行判断； 根据得：（Ⅰ）当、、中有两正一负时，不妨假设、为正，为负，则，(Ⅱ)当、、都是负数时，则，由此可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵为有理数， ∴， 故结论①不正确； ②∵，，， ∴，， ∴， 故结论②正确； ③∵， ∴， ∴当时，，当时，没有意义， 故结论③不正确； ④∵， ∴有以下两种情况， （Ⅰ）当、、中有两正一负时，不妨假设、为正，为负， ∴，，， ∴； (Ⅱ)当、、都是负数时，则，，， ∴， 故结论④不正确； 故答案为：②； 题型六 绝对值的几何意义（共5小题） 21．（2025七年级上·全国·专题练习）我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题关键．先根据绝对值的意义可得当取最小值时，由观察数轴可知表示的点在和之间（包括和），从而可得整数的值，再计算有理数的加法即可得． 【详解】解：指的是在数轴上，表示数的点到表示数和的点的距离之和， 由数轴可知，当取最小值时，表示的点在和之间（包括和）， 所以表示整数的点有，，，，，，， 则所有满足条件的整数有个， 故选：C． 22．（25-26七年级上·浙江·期中）如图，数轴上的，，三点所表示的数分别是，，，其中是的中点．如果，那么该数轴的原点的位置应该在（　　） A．点的左边 B．点与点之间 C．点与点之间 D．点与点之间（靠近点）或点的右边 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义，熟悉掌握绝对值的意义是解题的关键． 根据绝对值的意义是点到原点的距离，分析即可． 【详解】解：∵， ∴点C到原点的距离最近， ∴原点的位置应该在点与点之间（靠近点）或点的右边， 故选：D． 23．（24-25六年级上·山东烟台·期中）若，则数轴上到有理数对应的点与到对应的点的距离相等的点是（　　） A．3 B． C．3或6 D．3或 【答案】D 【分析】本题考查了化简绝对值，在数轴上表示有理数，由绝对值的意义确定m的值，再根据数轴上两点间距离相等的条件建立方程进行求解，即可作答． 【详解】解：∵， ∴得或， 根据题意，这个点表示的数为x， x到m的距离等于x到的距离， 即， 当时，则， 即或， ∴无解或， 当时，则， 即或， ∴无解或， 故选：D 24．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 【答案】（1）D （2）（3）1（4）1，0 （5） 【分析】（1）按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想，解答即可． （2）根据题意，分类解答即可． （3）根据，解答即可． （4）根据，得到最小值为0，此时解答即可． （5）根据，得到，得到时，取得最小值，解答即可． 本题考查了分类思想，绝对值的非负性，应用非负性求最小值，一元一次方程的应用，熟练掌握非负性是解题的关键． 【详解】（1）解：按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想， 故选：D． （2）解：∵， ∴时，； 时，，解得； 故x的值为． （3）解：根据，得，， 解得， 故y的值为1． （4）解：根据，得到时，取得最小值，且最小值为0， 故， 解得； 故当x的值为1,取得最小值，且最小值为0． （5）解：根据题意，得， 故， 故时，取得最小值， 此时， 解得， 故． 25．（24-25七年级上·广东广州·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律，如果数轴上点、在数轴上分别表示有理数、，那么、两点之间的距离表示为．例如数轴上表示和的两点之间的距离可表示为． (1)已知数轴上点表示的数为，点表示数为，则线段的长度是______． (2)表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题： 若，求的值； 的最小值是多少，这时候的取值范围． 【答案】(1) (2) 或； ， 【分析】此题考查了绝对值的几何意义，画出数轴数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离进行计算即可； （2）①由题意知，，表示数轴上和两点间的距离，表示数轴上和2两点间的距离，然后结合数轴即可得出答案；②同①结合数轴即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，； 故答案为：5； （2）解：①由题意知，，表示数轴上和两点间的距离；表示数轴上和2两点间的距离，如图所示： 不妨设点E表示为，点F表示为2，点表示的数为， 数轴上到点E的距离和到点F的距离之和为7的点表示的数是或3， ∴当时，或3； ②由题意知，，表示数轴上和两点间的距离；表示数轴上和2两点间的距离，如图所示： 不妨设点E表示为，点F表示为2，点表示的数为，那么， 当在左边时，； 当在右边时，； 当时，，此时取最小值5． 的最小值是5，这时候的取值范围是． 题型七 有理数的大小比较（共5小题） 26．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）有理数在数轴上对应的点如图所示，则，，的大小关系是（ 　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用数轴比较大小，相反数，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相反数的意义在数轴上确定，，的位置，然后比较大小即可． 【详解】解析：与互为相反数，1与互为相反数，则，，的位置如图所示， ∴， 故选：C． 27．（25-26七年级上·天津河东·期中）如图，根据有理数，，在数轴上的位置，下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用数轴比较有理数的大小，解题的关键是掌握：数轴上的数，右边的数总比左边的数大，利用这个特点可比较四个数的大小． 【详解】解：∵数轴上的数，右边的数总比左边的数大， ∴． 故选：B． 28．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）四个有理数 ，0，从小到大的顺序用“”连接 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小进行求解即可． 【详解】解：四个有理数 ，0，从小到大的顺序用“”连接为， 故答案为：． 29．（25-26七年级上·天津河东·期中）比较大小： ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数大小比较，有理数大小比较的法则：正数大于，大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．掌握有理数大小比较的法则是解题的关键． 根据绝对值的意义可得，再根据“两个负数，绝对值大的反而小”进行比较即可． 【详解】解：先化简：，，， ∵， ， 即． 故答案为：． 30．（25-26七年级上·江苏·期中）比较大小： （填“>”或“<”）． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的大小比较，解题关键是将分数化为小数，再根据两个负数比较大小的法则（绝对值大的反而小）进行比较．将化为，比较与的绝对值大小，再根据“绝对值大的反而小”即可得到答案． 【详解】解：化为小数：，， 负数的比较遵循“绝对值大的反而小”， ， 即． 故答案为：． 题型八 科学记数法（共4小题） 31．（23-24七年级上·甘肃武威·期中）某电视台报道，截止到年月日，慈善总会已接受支援玉树地震灾区的捐款元．将用科学记数法表示为 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法． 按照科学记数法表示数的方法，把写成的形式即可． 【详解】解：． 故选：B． 32．（2025·山东淄博·中考真题）党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时．将8160亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：8160亿用科学记数法表示为， 故选：A． 33．（24-25七年级上·广东广州·期中）某景区小长假期间共接待游客236000人次，用科学记数法可将236000表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时，n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：用科学记数法可将236000表示为， 故选：B． 34．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）浙江卫视《中国好声音》总决赛，全国有7100万人通过电视收看，这个数据用科学记数法表示为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：万． 故答案为：． 题型九 有理数的混合运算（共6小题） 35．（25-26七年级上·全国·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算法则．先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减，有括号的先计算括号内的． 【详解】解： ． 故选：D． 36．（25-26七年级上·浙江·期中）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是 (　　) 甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，按照有理数的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：甲：，故甲不正确； 乙：，故乙不正确； 丙：，故丙不正确； 丁：，故丁正确； 所以，我认为做对的同学是丁， 故选：D． 37．（24-25七年级上·湖北襄阳·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 38．（25-26七年级上·全国·期中）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，按运算顺序依次计算是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算括号里面的，接着计算乘除，最后计算加减； （2）先计算乘方，再计算括号里面的，接着计算乘，最后计算减； （3）利用乘法分配律即可计算； （4）先计算乘方和绝对值，再计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 39．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）小红与小亮两位同学计算的过程如下： 小红： ① ② ③ ④ 小亮： ① ② ．③ (1)请指出小红与小亮开始出错的步骤； (2)写出你的解答过程． 【答案】(1)小红开始出错的步骤在第②步，小亮开始出错的步骤在第①步 (2)见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， 对于（1），对于乘除法按照顺序计算解答，再根据乘方的定义解答； 对于（2），先算乘方，再按照顺序计算有理数的乘除法即可. 【详解】（1）解：小红出现错误在第②步，小亮出现错误在第①步； （2）解：原式 . 40．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键； （1）利用有理数加减法法则计算即可； （2）按照混合运算顺序计算，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型十 程序流程图与有理数的计算（共4小题） 41．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）如图是一个数值转换机，若输入的为，则输出的结果是（     ） A．18 B． C．39 D．21 【答案】C 【分析】本题考查程序流程图与有理数计算，根据程序流程图列式计算即可． 【详解】解：输出的结果是：， 故选：C． 42．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）[新视角 程序计算题]如图是一个简单的数值运算程序图，当输入x的值为时，输出的数值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，观察数值运算程序图，且结合输入x的值为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵输入x的值为， ∴观察数值运算程序图，得， 故选：D 43．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是（   ） A．1 B． C． D．13 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的混合运算．把代入程序中计算，判断结果与的大小，即可． 【详解】解：若输入1，则 ， 即输出的结果是． 故选：B 44．（24-25七年级下·四川巴中·期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，第三次“F运算”的结果是11．则若，则第449次“F运算”的结果是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了有理数的运算能力，既渗透了转化思想、分类思想，又蕴含了次数、结果规律探索问题，解决此类问题的关键在于将新运算转化为学过的数的有关运算法则进行计算，从而求出答案． 【详解】解：当，为奇数，第1次进行F①运算，即（偶数）， 第2次进行F②运算，即（奇数）， 第3次进行F①运算，即（偶数）， 第4次进行F②运算，即（奇数）， 第5次进行F①运算，即（偶数）， 第6次进行F②运算，即（奇数）， 第7次进行F①运算，即（偶数）， 即从第4次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次为1， 第449次“F运算”，得到的结果是8， 故答案为：8． 题型十一 有理数四则混合运算的实际应用（共4小题） 45．（24-25七年级上·福建泉州·期中）如下是李叔叔月日至月日的微信零钱明细（不完整），其中正数表示收款，负数表示付款,月日：扫二维码付款给便利店后余额为（　　） 零钱明细 扫二维码付款给超市 月号：     余额 扫二维码付款给便利店 月号：     余额 微信红包 月号：     余额 微信红包 月号：     余额 扫二维码付款给肉食店 月号：     余额 A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题考查有理数加减法的实际应用，需通过后续交易余额逆向推导特定交易后的余额（正数收款、负数付款）．解题关键是理清交易时间顺序与余额逻辑． 根据题意列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得：（元）， ∴月日：扫二维码付款给便利店后余额为元， 故选：C． 46．（24-25七年级上·福建福州·期中）张老师带了200元钱，准备为书法兴趣小组的同学购买上课的用具，在文具商店看到商店有A，B两种组合和C，D，E，F商品及它们的售价，组合及单件商品质量一样．若该小组共有12人，其中，笔和本每人各需要一份，砚台2人一方即可，墨汁n瓶（）． 商品 价格 组合A（1支笔个本方砚台瓶墨汁） 25元 组合B（1支笔个本瓶墨汁） 18元 C：1支笔 5元 D：1个本 4元 E：一方砚台 10元 F：一瓶墨汁 12元 (1)请给出一个满足条件的购买方案（购买数量写前面，商品代码写后面即可，例如：）； (2)求n的最大值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题意进行求解即可； （2）先根据题意判断出最便宜的组合A的数量，再判断其他即可． 【详解】（1）解：由该小组共有12人，笔和本每人各需要一份，砚台2人一方即可，墨汁n瓶（），可得； （2）解：∵A是最便宜的， ∴尽量多的买组合A， ∵砚台2人一方， ∴组合A最多买件， 但是如果组合A买6件，则剩余的钱元， ∵买6个人的笔和本需元， ∴组合A最多买5件， 这样砚台差1个，所以加买一个砚台10元， 剩余的钱为元， ∵组合A是5件， ∴还需要买7个人的笔和本共元， ∴还满足条件的购买方案为，墨汁最多有5瓶， ∴n的最大值为5． 47．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）2024年7月下旬辽中区连降暴雨，28日（周日）冷子堡镇团结水库水位已达到警戒水位，区教育局紧急抽调90名教师到冷子堡镇支援，协助当地到团结水库巡堤，下表记录了水库接下来一周水库水位的变化情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 （单位：） 注：正数表示水位比前一天上升，负数表示水位比前一天下降 (1)这一周哪一天的水位最高？位于警戒水位之上还是之下？ (2)与上周周末相比，这一周周末的水位是上升了还是下降了？ 【答案】(1)周二水位最高，在警戒水位之上； (2)与上周周末相比，这一周周末的水位下降了． 【分析】本题主要考查了正数和负数，有理数加法的实际应用，解决这类题目的关键是理解正负数的意义． （1）分别计算出本周七天的水位，即可求解； （2）根据本周周日的水位大于上周周末的水位，即可求解． 【详解】（1）解：设警戒水位为0米， 周一水位：米， 周二水位：米， 周三水位：米， 周四水位：米， 周五水位：米， 周六水位：米， 周日水位：米， ∵， ∴这一周周二水位最高，且在警戒水位之上； （2）解： ∵， 答：与上周周末相比，这一周周末的水位下降了． 48．（25-26七年级上·江苏·期中）某快递公司对寄送包裹的收费标准如下： 首重（不超过1千克）：10元 续重（超过1千克的部分）：每0.5千克加收3元（不足0.5千克按0.5千克计算） 小明寄出一个包裹，称重显示为3.2千克，快递员收费时误按3.0千克计算．请问： (1)正确的收费应该是多少元？ (2)快递员少收了多少钱？ 【答案】(1)25元 (2)少收3元 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）利用首重的费用加上续重的费用求解即可； （2）利用首重的费用加上续重的费用求解总费用，再求解快递员少收的费用． 【详解】（1）解：（千克）， 因为不足0.5千克按0.5千克计算， 所以千克按千克计算， 所以（元）， 答：正确的收费应该是元； （2）解：续重重量：（千克）， 续重费用：（元）， 则总费用为：（元）， 则少收：（元）， 答：快递员少收了3元． 49．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）张叔叔到加油站加95#汽油．加油前，油表显示和当日油价如图所示．汽车油箱容积60升，张叔叔的加油卡里还有360元，能将油箱加满吗？ 【答案】能将油箱加满，理由见解析 【分析】本题考查了利用分数混合运算及比较数的大小解决问题，需准确理解题意． 先用60升乘，求出加满油箱需要的升数，再乘每升95号汽油的钱数，求出加满油箱需要的钱数，然后与360元比较大小即可． 【详解】解： （元 360元元 答：能将油箱加满． 50．（24-25七年级上·海南海口·期中）学校附近某奶茶店计划一周卖出3500杯奶茶，每天卖出500杯作为标准，由于各种原因实际每天销售量与计划销售量相比有出入，如下表是某周的销售量情况（超产为正减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共卖出___________杯； (2)销售量最多的一天比销售量最少的一天多卖出___________杯； (3)该奶茶店实行计件工资制，每天卖出一杯奶茶得1元，每天超额卖出一杯奖元，少卖出一杯扣2元，那么该奶茶店工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)1455； (2)111； (3)这一周的工资总额是3425元． 【分析】此题考查正数和负数的应用问题，以及有理数的混合运算，解此题的关键是读懂题意，找出关系，然后列式计算． （1）根据前三天销售量相加计算即可； （2）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可； （3）根据题意列出算式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：（杯）， 故答案为：1455； （2）解：销售量最多的一天为星期五，最少的一天为星期三， 故销售量最多的一天比销售量最少的一天多卖出（杯）， 故答案为：111； （3）解：（元）． 答：该奶茶店工人这一周的工资总额是3425元． 题型十二 有理数的新定义问题（共4小题） 51．（24-25七年级上·福建泉州·期中）设一种运算程序是（a为常数），如果，，已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字的规律变化及有理数的混合运算，熟练掌握运算程序和已知条件的综合应用，有理数的混合运算顺序和法则，是解题的关键． 根据运算程序，，得，，…，，根据，得，，…，． 【详解】解：∵，， ∴， ， …， ， ∵， ∴，， …， ， 故答案为：． 52．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）对于有理数x，y，a，m，若，则称x和y关于a的“和谐关联数”为m，例如，，则5和3关于2的“和谐关联数”为4． （1）和4关于3的“和谐关联数”为 ； （2）若和关于2的“和谐关联数”为和关于3的“和谐关联数”为和关于10的“和谐关联数”为．则的最小值为 ． 【答案】 5 55 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了绝对值的计算和绝对值的几何意义，数字类的规律探索，掌握相关结论是解题关键． （1）根据定义计算即可求解； （2）根据绝对值的几何意义得出的最小值，依此类推即可求解． 【详解】（1）解：根据定义可得：和4关于3的“和谐关联数”为：； 故答案为：5； （2）解：∵和关于2的“和谐关联数”为1， ∴， 当时，则，即， 当时，则，即， ， ， 当时，则，即， ， ； 当时，则，即， ∴的最小值为3； 同理的最小值为， 以此类推，可得的最小值为， ∴的最小值； 的最小值； 的最小值； 的最小值是， ∴的最小值为． 故答案为：55． 53．（24-25七年级上·陕西·期中）（1）数学中有很多可逆的推理，例如：如果那么利用可逆推理，已知可求的运算，记为，如，则，则．根据定义，填空：_____：_______． （2）若有如下运算性质：，，根据运算性质填空，填空：若，则_____；_____． （3）在数轴上有三点，，分别表示数，，，其中是第1问中所表示的数，是的系数，是直四棱柱的面数．点，，同时开始在数轴上运动，若点和点分别以每秒3个单位长度和4个单位长度的速度向左运动．点以每秒2个单位长度的速度向右运动．若点与点的距离表示为，点与点的距离表示为，点与点的距离表示为，运动时间为秒．是否存在，使得的值与无关？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2），；（3）当，时，当，时，的值与无关； 【分析】（1）根据定义可得：，即可求得结论； （2）根据运算性质：，进行计算即可； （3）先分别求解，，；可得对应的数分别为，，，可得运动中对应的数分别为：，，，求解，，再分情况讨论即可． 【详解】解：（1）根据定义知：， ∴，． （2）根据运算性质，得：， ． （3）∵是第1问中所表示的数，是的系数，是直四棱柱的面数． ∴，，； ∴对应的数分别为，，， ∵点和点分别以每秒3个单位长度和4个单位长度的速度向左运动．点以每秒2个单位长度的速度向右运动． ∴运动中对应的数分别为：，，， ∴， ， 当时， ∴ ， 当，即时， 此时，此时的值与无关； 当时， ∴ ， 当，即时， 此时 ，此时的值与无关； 综上：当，时，当，时，的值与无关； 【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，乘方运算的逆运算，整式的加减运算，单项式的系数，棱柱的认识，掌握基础知识是解本题的关键． 54．（2024七年级上·全国·专题练习）［核心素养］阅读材料： 钟表中蕴含着有趣的数学运算，例如：现在是时，小时以后是几时？虽然，但在表盘上看到的是时，若用“”表示钟表上的加法，则．若问时之前小时是几时？则需要用到钟表上的减法概念，用符号“”国表示钟表上的减法．（注：我们用时代替时） 由上述材料解答下列问题： (1)______，＝______，______，______； (2)在有理数运算中，相加得零的两个数互为相反数，如果在钟表运算中沿用这个概念，则的相反数是______；举例说明有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，在钟表运算中是否仍然成立； (3)规定在钟表运算中，也有，对于钟表上的任意数字，若，判断是否一定成立．若一定成立，请说明理由；若不一定成立，请写出一个反例，并结合反例加以说明． 【答案】(1)； ；； (2) (3)不一定成立，见解析 【分析】本题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是根据题意找到运算法则进行求解． 根据题干中规定的运算法则进行计算即可； 根据钟表运算中相反数的定义可知：在钟表运算中，两数相加为也就是两数相加为，根据定义计算可得的相反数是；在钟表运算中和互为相反数，举例即可； 根据钟表运算的定义举反例即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，，，，，， 故答案为：，，，； （2）解：用时代表时，设的相反数为， 即， 解得：； 减去一个数等于加上这个数的相反数在钟表运算中仍然成立， 例如：，，其中与在钟表运算中互为相反数， ，所以有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，在钟表运算中仍然成立； （3） 解：对于钟表上的任意数字，若，则不一定成立． 例如：，，，则3，6，， 即37＞67， 所以对于钟表上的任意数字，若，则不一定成立． $