专题03 期中真题百练通关 78题8大压轴题型（期中专项训练）七年级数学上学期新教材湘教版

专题03 期中真题百练通关（78题8大压轴题型） 说明：真题集训性质，选用期中真题/中高考真题，加题源。 选填小压轴 解答压轴 题型1 有理数综合运算 题型5 数轴的动点问题 题型2 代数式规律探究 题型6 数轴与绝对值的综合应用 题型3 绝对值与分类讨论 题型7 有理数的混合运算和实际应用 题型4 新定义问题 题型8 新定义问题 题型一 有理数综合运算（共3小题） 1．（2023·四川内江·中考真题）对于正数x，规定，例如：，，，，计算： （　　） A．199 B．200 C．201 D．202 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知，，，表示4个不同的正整数，满足，则的最大值是 ，的最小值是 ． 3．（24-25九年级上·上海·期中）记，则被除所得的余数为 ． 题型二 代数式规律探究（共8小题） 1．（2024·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，…，则第2024次输出的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·福建泉州·期中）对于任意一个正整数可以按规则生成无穷数串：，，，…，，，…（其中为正整数），规则为：．则下列说法错误的是（   ） A．若，则生成的这数串中必有（为正整数） B．若，生成的前2025个数之和为4759 C．若生成的数中有一个，则它的前一个数应为32或5 D．若，则的值是56 4．（24-25七年级下·河北保定·期中）观察下列等式： ； ； ； …… 根据以上规律计算的值是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）下图是由同样大小的按一定规律排列而成，其中第①个图形中有4个，第②个图形中有9个，第③个图形中有14个，…，则第⑧个图形中的个数为（    ） A．34 B．39 C．40 D．44 6．（23-24七年级上·河南郑州·期中）如图，将一枚跳棋放在七边形的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋10次．移动规则是（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处）．按这样的规则，在这10次移动中，跳棋不肯停留的顶点是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·河南南阳·期中）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，…，依此规律，第20个图形中小圆的个数是 ． ． 8．（24-25七年级上·四川广安·期中）观察图形，探索规律． 图1是三条长度都为a的线段构成的小三角形；图2是4个边长都为a的小角形拼成的大三角形：图3是9个边长都为a的小三角形拼成的大三角形；图4是16个边长都为a的小三角形拼成的大三角形。按此规律排列，图n中共有长度为a的线段 条．    题型三 绝对值与分类讨论（共3小题） 1．（23-24七年级上·陕西安康·期中）若，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（23-24七年级上·福建福州·期中）的最小值是 ． 3．（22-23七年级上·福建泉州·期中）已知，则的最大值是 ．最小值是 ． 题型四 新定义问题（共8小题） 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）为了求的值， 可令，则， 因此，所以． 这种方法称为“错位相减法”． 请参考以上推理计算： （   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆合川·期中）对于多项式：，我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再与剩余两个多项式的差作差，并算出结果，称之为“全差操作”．例如：，，给出下列说法： （1）不存在任何“全差操作”，使其结果为0； （2）至少存在一种“全差操作”，使其结果为常数； （3）所有的“全差操作”共有6种不同的结果． 以上说法中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25八年级下·重庆·期中）有一列数，将这列数的每个数求其相反数得到，再分别求与的和的倒数，得到，称为一次操作，记为；第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到以此类推，得出下列说法中： ①；②；③，正确的有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 4．（24-25七年级上·福建泉州·期中）关于的多项式：，其中为正整数，各项系数各不相同且均不为．当时，，交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“兄弟多项式”，给出下列说法： ①多项式共有个不同的“兄弟多项式”； ②若多项式，则的所有系数之和为； ③若多项式，则； ④若多项式，则． 则以上说法正确的个数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·重庆·期中）对于各位数字都不为0的两位数和三位数，将中的任意一个数字作为一个新的两位数的十位数字，将中的任意一个数字作为该新两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为．例如：．下面请计算 ．若一个两位数，一个三位数（其中，，且均为整数），交换三位数的百位数字和个位数字得到新数，当与的个位数字的2倍的和被12除余1时，称这样的两个数和为“赋能数对”，则所有“赋能数对”中的最小值为 ． 6．（24-25九年级下·四川成都·期中）各数位都不为0的四位正整数m，若它的千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数m是“间和数”．将m的首位数字放在末尾得到一个新数记为，再将的首位数字放在末尾得到，以此类推得到，记F（m）＝，则的值为 ．已知t为“间和数”，其中，a，b，c均为整数，，，，若能被13整除，且（s为正整数），则t的值为 7．（24-25七年级上·福建泉州·期中）设一种运算程序是（a为常数），如果，，已知，那么 ． 8．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）我们定义一种新运算：，则的值为 ． 题型五 数轴的动点问题 （共8小题） 1．（23-24七年级上·全国·期中）如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足． (1)求C点对应的数； (2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒． ①当时，求t的值； ②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是______； (2)怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示相同的数？ 3．（24-25七年级上·福建泉州·期中）【知识准备】 若数轴上点对应的数为x，点对应的数为y，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． (1)在一条数轴上，O为原点，点对应的数为5，点对应的数为，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 (2)在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 (3)若数轴上点对应的数为x，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，是否存在使为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 4．（24-25七年级上·北京·期中）先阅读，再探究相关的问题：表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)点A的位置如图所示，点B与点A分别位于原点两侧且与原点距离相等，把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则C点表示的数是______；B，C两点间的距离是______； (2)点D和E分别在数轴上表示数x和．如果D，E两点之间的距离为3，那么x为______； (3)借助数轴思考，当x为______时，与的值相等． 5．（23-24七年级上·江苏南通·期中）综合与与实践 数学活动课上，老师拿出两个单位长度不同的数轴甲和数轴乙模型，如图，当两个数轴的原点对齐时，数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点恰好对齐．    思考解答下列问题: (1)如图中，数轴乙上表示的点与数轴甲上表示 的点对齐； (2)将图中的数轴乙向左移动，使得数轴乙的原点与数轴甲表示的点对齐，如图，    此时数轴甲上表示的点与数轴乙上表示 的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点与数轴甲上表示 的点对齐； (3)若数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点记作点，数轴甲上与点对齐的点记作点，求点表示的数． 6．（23-24七年级上·福建福州·期中）定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题． 两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0． (1)求数轴上点H、A所表示的数？ (2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒． ①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）． ②求（用含x的式子表示，结果需化简）． (3)若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值． 7．（23-24七年级上·广东广州·期中）若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，我们把、两点之间的距离表示为，记，且，满足． (1) ； ；线段的长 ； (2)点在数轴上对应的数是，且与互为相反数，在数轴上是否存在点，使得?若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由； (3)在（）、（）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，秒钟后，若点和点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着时间的变化而变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 8．（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图，数轴上点Q表示的数为，线段AB的端点A与表示数2的点重合，端点B与表示数4的点重合．点P从点Q出发，沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度．同时，线段以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点A与点P相遇时，线段立即折返，沿数轴向右运动，速度不变，设运动时间为t秒．    (1)线段的长为______． (2)当点P运动t秒时，则点P表示的数为______（用含t的式子表示）． (3)当点P与点A相遇时t的值为______；当点P与点B相遇时，t的值为______． (4)当点P到点A的距离等于点P到点B的距离的2倍时，t的值为______． 题型六 数轴与绝对值的综合应用 （共6小题） 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值； (4)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 2．（24-25七年级下·河南信阳·期中）数轴上有两个点、，分别代表的整数是和，、满足． (1) ______， ______，点与点之间的距离是______． (2)点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向左运动，点、同时运动，设运动时间为秒，回答下列问题： ①秒时，点对应的数为______；用含的式子表示 ②当时，求点与点之间的距离用含的式子表示 3．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）阅读材料：点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离可表示为．例如：与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题． 如图，已知数轴上两点、对应的数分别为和，数轴上另有一个点对应的数为有理数， (1)请根据阅读材料填空：点、之间的距离________（用含的式子表示）；若该距离为，则________． (2)根据几何意义，解决下列问题： 若点在线段上，则________； 若，求点表示的有理数； 求的最小值以及此时的值（直接写出答案即可）． 4．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，若规定， (1)当时，则___ ， ___ ． (2)当时，则___ ． (3)当，且，求c的值． 5．（23-24七年级上·浙江台州·期中）已知点，在数轴上分别表示有理数，，、两点之间的距离可以表示为，比如式子表示有理数的点与表示数3的点之间的距离． 请回答以下问题： (1)若表示一个有理数，，则______． (2)若表示一个有理数，的最小值_____． (3)在一工厂流水线上依次排列了个工作台（工作台在同一直线上），第1个工作台安排了2名工人，其他每个工作台安排了1名工人，现在要在流水线上设置一个工具台，以方便这名工人从工作台到工具台拿取工具，为了让工人们拿取工具所走路程之和最短，请直接说出工具台设置在什么位置． 6．（23-24七年级上·重庆南岸·期中）阅读：已知点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为．理解与实践： （1）数轴上点代表的数是，数轴上表示9的点到点之间的距离是______（用含的式子表示）； （2）可表示为点到表示数______的距离；若，则______； （3）代数式的最小值是______； （4）若，则的最大值是______． 拓展与延伸： 数轴上三个不重合的点，若三个点中，其中一点到另外两点的距离恰好满足2倍的数量关系时，我们称这个点是其他两个点的“倍分点”．已知点代表的数是，点代表的数是13，若点是其他两个点的“倍分点”，求此时点表示的数． 题型七 有理数的混合运算和实际应用（共12小题） 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）概念学习 规定：求个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方， 比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的次商”；写作，读作“的次商”，一般地，把（）这样个相除，写作，读作“的次商”． 初步探究 （1）请直接写出计算结果：________，________； （2）下列关于除方说法中，错误的是（   ）（单选） A．当时， B．当时， C．正数的次商结果是正数，负数的次商结果是负数 D．次商等于它本身的数是 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方 乘方（幂）的形式． （3）归纳：请把有理数的次商（，），写成乘方（幂）的形式为：________； （4）比较：________（填“”“”或“”）； （5）计算：． 2．（24-25七年级上·福建龙岩·期中）综合与实践：进位制的认识与探究 题目背景 在学习数学的过程中，我们常常会接触到不同的进位制．最常用的是十进制，而计算机内部使用的则是二进制．进位制的不同，既影响数的表示方式，也影响数的计算方法．通过对进位制的探讨，我们可以更深入地理解数的构成及其运算特点． 阅读材料 进位制是人们为了方便记数和运算而约定的记数系统．十进制使用0~9十个数字，逢十进一；二进制使用0和1两个数字，逢二进一．一个数可以表示为其各数位上的数字与基数的幂的乘积之和．约定：．例如： 十进制数可以表示为， 即； 二进制数可以表示为， 即． 解决问题 (1)理解应用：将二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，并转换为十进制数． (2)拓展延伸：将十进制数89转换为二进制数和八进制数，要求体现转换的过程与结果． (3)创新应用：运用进制数的加法运算法则，计算（结果用十进制数表示），并说明计算的思想方法． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）在生活中，密码的应用随处可见，如电子支付、电子门票等．人类使用密码的历史相当久远，约成书于战国时期的中国古代兵书《六韬》中就有关于君主如何在战争中与在外的将领进行保密通信的叙述．如今，密码学已成为网络信息安全的核心，密码学的研究使用了越来越多的数学工具． 如下表，小明制定了一种密码规则，将26个英文字母，，依次对应数字1，2，3，……，26．当接收的密文中的英文字母在表格中对应的数字是偶数时，明文为代数式所得数值在表格中对应的英文字母；当数字是奇数时，明文为代数式所得数值在表格中对应的英文字母．例如：接收的密文内容为“”，英文字母“”对应的数字16是偶数，则明文数字为对应的英文字母“s”；英文字母“t”对应的数字20是偶数，则明文数字为对应的英文字母“u”；英文字母“y”对应的数字25是奇数，则明文数字为对应的英文字母“n”，所以密文破译后的明文为“”． 字母 a b c d e f g h i j k l m 对应数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 n o p q r s t u v w x y z 对应数字 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 根据以上材料，回答下列问题： (1)密文“”破译成明文为_________； (2)若破译后的明文为“”，请用英文字母写出应该传输的密文，并说明理由； (3)是否存在这样的英文字母，在密文中的英文字母经过破译后的英文字母是同一个，若存在，请找出这样的字母；若不存在，请说明理由． 4．（24-25七年级上·河南南阳·期中）综合与实践： 【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”， 记作，读作“的下4次方”． 一般地，把记作，读作“a的下n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：________，________． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： （2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： ________（a为有理数且），________． 【归纳结论】 （3）一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：________． 【结论应用】 （4）计算：． 5．（24-25七年级上·福建南平·期中）阅读材料：如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中，校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以此图为例，其算法为： 步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和a，即； 步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和b，即； 步骤3：计算与b的和c，即； 步骤4：取大于或等于c且为的整数倍的最小数d，即； 步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即． 请解答下列问题： (1)《数学故事》的图书码为，请分别计算步骤3中c的值和校验码Y的值； (2)如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为m，求m； (3)如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的和是8，这两个数字从左到右分别是多少？ 6．（24-25七年级上·山东济南·期中）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； （2）我们知道：，那么： 用含有n的式子表示你发现的规律_________ 【方法属示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： 【问题解决】 （4）容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，……，第n次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？说明理由； 7．（24-25七年级上·四川眉山·期中）某市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）： 户月用水量 单价 不超过的部分 2元∕m3 超过但不超过的部分 3元∕m3 超过的部分 4元∕m3 (1)某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费 ．（直接写出答案） (2)设某户月用水量为n立方米，当时，则该用户应缴纳的水费 元（用含n的整式表示）． (3)甲、乙两用户一个月共用水，已知甲用户缴纳的水费超过了元，设甲用户这个月用水，试求甲、乙两用户一个月共缴纳的水费（用含x的整式表示）． 8． （24-25七年级上·四川眉山·期中）已知与互为相反数．求的值． 9．（24-25七年级上·北京·期中）在黑板上先依次写下两个正有理数，接下来对进行操作： 如果且，则将和依次写在黑板上，作为新的，并将原擦掉；如果且，则将和依次写在黑板上，作为新的，并将原擦掉；以上过程称为一次操作．只要黑板上新的满足，就再进行下一次操作；如果新的满足，则操作停止． (1)如果在黑板上先写下的数是，接下来进行几次操作后停止？说明理由： (2)如果在黑板上先写下的数是，则第次操作后，黑板上的两个数依次是_________，__________； (3)如果在黑板上先写下的是两个真分数，，且进行有限次操作后，操作停止，则的所有可能值为__________． 10．（24-25七年级上·吉林·期中）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统． 约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说∶“ 逢几进一” 就是几进制，几进制的基数为几． 在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，十进制是用这十个数来表示数，满十进一， 例∶， 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进． 例∶二进制转换为十进制数， 古代人在研究历法时，也曾经采用七进制、十二进制计数法，至今，我们仍然使用一星期7天，一年个月的方法． 例∶七进制是用 两个数来表示数，满七进一，七进制转换为十进制数． 其他进制也有类似的算法…，根据以上信息，解答下列问题． (1)求二进制转换为十进制数． (2)八进制转换为十进制数是 ． (3)若，则 ． (4)远古美索不达米亚人创造了一套进制为主的楔形文记数系统，对于大于的数，美索不达米亚人采用六十进制的位置记法，位置的区分是靠在不同楔形记号组之间留空，例如∶“ ”左边的Y表示；中间的YY表示；右边的表示3个单位，用十进制写出来是，则楔形文记数“ ”表示十进制的数为多少？（直接写出答案） 11．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）概念学习 规定：求n个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的3次商”，写作，读作“的4次商”，一般地，把写作，读作“a的n次商”． 初步探究 （1）直接写出计算结果：__________，__________； （2）下列关于除方说法中，错误的是（    ）（只有一个正确答案） A．当时， B．当时， C．正数的n次商结果是正数，负数的n次商结果是负数 D．n次商等于它本身的数是1 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方（幂）的形式 （3）归纳：请把有理数a的n次商，写成乘方（幂）的形式为：__________； （4）比较：__________；（填“＞”“＜”或“＝”） （5）计算：． 12．（24-25七年级上·重庆万州·期中）随着出行方式的多样化，某市三类打车方式的收费标准如下： 出租车 滴滴快车 出行 3千米以内：10元 路程：1.2元/千米 路程：1.6元/千米 超过3千米的部分：2.4元/千米 时间：0.6元/分钟 时间：0.4元/分钟 已知三种打车的平均车速均为40千米/小时．如：乘坐8千米，耗时分钟．出租车的收费为：（元）；滴滴快车的收费为：元）；出行的收费为：（元）． (1)如果乘车路程20千米，某乘客选择了出行和出租车这两种打车方式，哪种方式更省钱？ (2)出行和滴滴快车为了竞争客户，分别推出了优惠方式：滴滴快车对于乘车路程在6千米以上（含6千米）的客户每次收费减免11元；出行车费半价优惠．若乘车路程千米，请分别列出滴滴快车和出行的费用，并求出当时，哪种出行方式更省钱？ 题型八 新定义问题（共14小题） 1．（24-25七年级上·北京大兴·期中）对于有理数，我们给出如下定义：若满足，则称为“和谐有理数对”，记为．例如：，数对是“和谐有理数对”． (1)数对，其中是“和谐有理数对”的是_________； (2)若是“和谐有理数对”，求的值； (3)若是“和谐有理数对”，则________(填“是”或“不是”)“和谐有理数对”，说明你的理由． 2．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）定义：对于任意的有理数，． (1)探究性质： ①例：_____；_____ ②你还可试几个看看，请用含，的式子表示出的一般规律： 当时，_____当时，_____． (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值： ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，则这个值的和的最小值是_____． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）【初步感知】已知有理数（不为和），我们把称为的倒数差，如：的倒数差是，的倒数差是． 【理解运用】若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）分别求出的值； （2）的值为______（直接写出计算结果）． 【拓展提升】 （3）设有理数（都不为和），将一个数组（）中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得到数组，…，第次变换后得到数组．若数组确定为，求的值． 4．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）问题的提出：“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．图（1）表示，运算结果为． （1）用示例的方法，计算，要求在图（2）中对应位置标数． 问题的拓展： （2）如图（3）一个百位为1的三位数，十位和个位数字未知，与23相乘，请直接写出与？的值； （3）在图（4）中按图（1）示例完成（2）的计算． 延伸与运用： （4）图（5）表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图（5）中现有数据进行推断，运算结果可以用含a的式子表示为____________．（直接写出结果） 5．（24-25七年级上·重庆·期中）用“”和“”定义一种新运算：对于任意有理数，规定：，如：． (1)计算：____________． (2)若，则____________． (3)若，，，，，当时，求的值（用含的式子表示）． 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）规定新运算：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方， 例如：等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作：“的圈次方”．一般地，把个相除记作，读作“的圈次方” (1)直接写出计算结果：_______，________． (2)关于除方，下列说法正确的是________． ①任何非零数的圈次方都等于； ②对于任何正整数，的圈次方都等于； ③； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． (3)算一算：． 7．（24-25七年级上·北京·期中）定义：将n个互不相等的有理数两两相乘．得到的乘积是m个互不相等的数（相同的乘积看作是一个数），称这m个数为这n个有理数的二维组． 例如：有三个有理数0，1，3，因为，则0和3组成这三个数的二维组． (1)求1，2，4，8这四个数的二维组中的所有数． (2)若某几个有理数的二维组中的数是0，，，，12，18，24，尝试求解这几个有理数． (3)当时，即给定任意五个有理数，m的最小值是________，写出一组满足条件的五个有理数为________． 8．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）将n个0或1排列在一起组成了一个数组，记为，其中，都取0或1，称A是一个n元完美数组（且n为整数）． 例如：都是2元完美数组，都是4元完美数组，但不是任何完美数组．定义以下两个新运算： 新运算1：对于x和y，， 新运算2：对于任意两个n元完美数组和， ，例如对于3元完美数组和， 有． (1)在中是3元完美数组的为：___________； (2)设，则________； (3)已知完美数组求出所有4元完美数组N，使得; (4)对于m个不同的2024元完美数组中任意两个完美数组P、Q，都有，则m的最大值为___________． 9．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）对于一个各个数位上的数字均不为零的三位正整数，如果它的百位数字、十位数字、个位数字是由依次减少相同的非零数字组成，则称这个三位数为“递减数”，记为，把这个“递减数”的百位数字与个位数字交换位置后，得到一个新的三位数，记为，例如交换后为123，即，规定，如． (1)求，的值． (2)若一个三位“递减数”的百位数字、十位数字、个位数字分别为、、，其中且为整数，求证：． (3)若是百位数字为9的数，是个位数字为1的数，且满足，记，求的最大值． 10．（24-25七年级上·广东广州·期中）阅读理解：对于一个正的三位数，规定： 应用：有一个正的四位数，且， ， (1)若交换千位和个位上的数字，再交换百位和十位上的数字，所构成新的四位数是 ； (2)用减去(1)中构成的四位数，得到新的四位数记为，试判断百位和十位的数字之和是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)交换的百位和十位上的数字，又构成一个新四位数，记为；把和相加求和后得到的值为，求 ． 11．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）一个各数位数字均不为零的四位自然数，它的后两位数为，前两位数为，若为整数，则这个数为“仁智数”． 例如：，，，，是“仁智数”． (1)判断1254，1339是否是“仁智数”，如果是，请求出的值； (2)四位数是“仁智数”，它的千位数字为，百位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的； (3)若四位数、均为“仁智数”，且满足，则称为“仁智组合”，请问满足条件的“仁智组合”有_____个． 12．（24-25七年级上·重庆·期中）如果两个多项式的和为单项式，则称它们互为“孪生多项式”，这个单项式称为它们的“孪生式”．如多项式与多项式，，3是单项式，则与互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”为3；又如多项式与多项式，，不是单项式，则与不是“孪生多项式”． (1)分别判断下列两组多项式是否互为“孪生多项式”；如果是，写出它们的“孪生式”；如果不是，请说明理由： ①与；        ②与． (2)若与互为“孪生多项式”，和为常数，求的值； (3)在（2）问的条件下，若多项式（，，为常数且）与多项式互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”的取值与无关，直接写出满足条件的多项式． 13．（24-25七年级上·广东·期中）同学们刚学完有理数相关运算后，老师又定义了一种新的“※（加乘）”运算，以下算式就是按照“※（加乘）”运算法则进行的运算： ；；；；；；． (1)①综合以上情形，有如下有理数“※（加乘）”运算法则：两数进行“※（加乘）”运算，同号______，异号______，并把绝对值______特别地，一个数与0进行“※（加乘）”运算，都得______； ②计算：______； ③若，则______，______； (2)化简：． 14．（24-25七年级上·北京·期中）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1的项是“准同类项”．例如：与是“准同类项”． (1)给出下列三个单项式：①，②，③．其中与是“准同类项”的是______（填写序号）． (2)已知均为关于的多项式，，，．若的任意两项都是“准同类项”，求的值． (3)已知均为关于的单项式，，，其中，，和都是有理数，且．若与是“准同类项”，则的最大值是______，最小值是______． 1．把数字1，2，3，… ，9分别填入右图的9个圈内，要求和的每条边上三个圈内数之和等于18，共有种不同填法，则(     ) A．4 B．5 C．6 D．7 2．对于任意一个正整数可以按规则生成无穷数串：（其中为正整数），规则为：．下列说法中，①若，则生成的这个数串中必有（为正整数）；②若，生成的前2022个数之和为55；③若生成的数中有一个，则它的前一个数应为32；④若，则的值是9或56．其中正确的个数是 个． 3．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离_______，线段的中点C表示的数为_______； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为_______；点Q表示的数为_______； (2)求当t为何值时，； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 4．计算：． 5．已知任意一个大于1的正整数m的三次幂均可以分裂成m个连续奇数的和，如，按照此规律，若分裂后，有一个奇数是2023，求m的值． 6．对于有理数，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如：，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)和5关于2的“美好关联数”为______； (2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为和关于2的“美好关联数”为知关于3的“美好关联数”为和关于41的“美好关联数”为． ①求的最小值； ②求的最小值． 7．如图，数轴上有三个点、、，表示的数分别是、、，请回答： (1)若使两点的距离与两点的距离相等，则需将点向左移动　　　个单位； (2)若移动、、三点中的两个点，使三个点表示的数相同，移动方法有　　　种，其中移动所走的距离和最小的是　　　个单位； (3)若在原点处有一只小青蛙，一步跳1个单位长．小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步，…，按此规律继续跳下去，那么跳第次时，应跳　　　步，落脚点表示的数是　　　； (4)数轴上有个动点表示的数是，则的最小值是　　　． 8．综合与实践 素材1：如右图是一款单肩包的背带，背带由双层部分、单层部分、调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）． 素材2：对该单肩包背带的单层部分长度和双层部分的长度进行测量，得到下表中数据： 单层部分的长度 0 2 4 6 8 … 150 双层部分的长度 75 74 73 72 a … 0 素材3：根据小明同学的身高，背带的总长度为时，背起来最舒适，此时单层部分的长度为，周末小明妈妈已经帮小明调到最舒适的长度，可小明出门时还是习惯性把调节扣调整了五次，下表是五次调节的情况（调节扣向单层方向移动记为正，向双层方向移动记为负，单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 请根据上述素材，解答以下问题： (1)素材2的表格中________． (2)在小明的五次调节中哪一次最接近舒适长度？此时背带总长度是多少？ (3)小明每次滑动调节扣之后都要一次性把双层部分拉直，求这五次调节过程中经过悬挂点的背带共多长？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 14 / 33 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 期中真题百练通关（78题8大压轴题型） 说明：真题集训性质，选用期中真题/中高考真题，加题源。 选填小压轴 解答压轴 题型1 有理数综合运算 题型5 数轴的动点问题 题型2 代数式规律探究 题型6 数轴与绝对值的综合应用 题型3 绝对值与分类讨论 题型7 有理数的混合运算和实际应用 题型4 新定义问题 题型8 新定义问题 题型一 有理数综合运算（共3小题） 1．（2023·四川内江·中考真题）对于正数x，规定，例如：，，，，计算： （　　） A．199 B．200 C．201 D．202 【答案】C 【分析】通过计算，可以推出结果． 【详解】解： … ，，， 故选：C． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知，，，表示4个不同的正整数，满足，则的最大值是 ，的最小值是 ． 【答案】 207 40 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据已知依次推出，，，的值．根据题意推出，，，的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵，，，表示个不同的正整数，， ∴，则或2或3， ，则， ，则， ，则， 要使取得最大值，则取最大值，c尽量取大值，d、b取值尽量小一些， ∴，，，时，有最大值，且最大值为： ． 要使取得最小值，则取值和c取值要尽量小一些，d取值尽量大些，b取值尽量大些， 当取最大值时，，，时，， 当取最大值时，，，时，， ∴的最小值为40． 故答案为：207；40． 3．（24-25九年级上·上海·期中）记，则被除所得的余数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数的整除，余数有理数的混合运算的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，故被除所得的余数即为的余数，然后进行计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴被除所得的余数即为的余数， ∵， ∴被除所得的余数即为： 故答案为： 题型二 代数式规律探究（共8小题） 1．（2024·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得，再分类讨论得到答案即可． 【详解】解：∵为自然数，为正整数，且， ∴， 当时，则， ∴，， 满足条件的整式有， 当时，则， ∴，，，， 满足条件的整式有：，，，， 当时，则， ∴，，，，，， 满足条件的整式有：，，，，，； 当时，则， ∴，，，， 满足条件的整式有：，，，； 当时，， 满足条件的整式有：； ∴满足条件的单项式有：，，，，，故①符合题意； 不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；故②符合题意； 满足条件的整式共有个．故③符合题意； 故选D 2．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，…，则第2024次输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了程序图与有理数计算的规律性问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 先根据数据运算程序计算出前8次的输出结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：第1次：； 第2次：； 第3次：； 第4次：； 第5次：； 第6次：； 第7次：； 第8次：； …… ∴从第2次开始，每6次一个循环周期， ∴， ∴第2024次输出的结果是， 故选：B． 3．（24-25七年级下·福建泉州·期中）对于任意一个正整数可以按规则生成无穷数串：，，，…，，，…（其中为正整数），规则为：．则下列说法错误的是（   ） A．若，则生成的这数串中必有（为正整数） B．若，生成的前2025个数之和为4759 C．若生成的数中有一个，则它的前一个数应为32或5 D．若，则的值是56 【答案】D 【点睛】本题考查了新定义问题，能够理解定义，分别计算出每一组数串是解题的关键．根据定义，逐项计算判定即可． 【详解】解：A、当时，按规则生成数串：4，2，1，4，2，1，……，每3项循环，则有，故该选项正确，不符合题意； B、时，前6项为6，3，10，5，16，8，和为48；后续每3项4，2，1循环，和为7，前2025项包含前6项和个周期，所以总和为，故该选项正确，不符合题意； C、若，则可能为偶数，此时，解得；可能为奇数，此时，解得，故该选项正确，不符合题意； D、当，则，，或即，遗漏9，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级下·河北保定·期中）观察下列等式： ； ； ； …… 根据以上规律计算的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化规律，题目中的等式表明，，即多项式求和可转化为除以．将题目中的求和式 与上述规律关联，通过添加并减去常数项1，构造符合规律的形式．直接应用公式验证结果，确保答案正确性． 解题的关键是根据题意找出规律． 【详解】解：当时，有， 左边可化简为：． 因此，． 题目要求的和为，即缺少常数项1． 因此：． 将1通分后合并：． 故选：C． 5．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）下图是由同样大小的按一定规律排列而成，其中第①个图形中有4个，第②个图形中有9个，第③个图形中有14个，…，则第⑧个图形中的个数为（    ） A．34 B．39 C．40 D．44 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化类．解决本题的关键是观察图形，探究变化规律． 根据图形的变化寻找规律，写出一般式，即可求解． 【详解】解：观察图形，可知： 第①个图形有4个，即， 第②个图形有9个，即， 第③个图形有14个，即， 第④个图形有19个，即， … 第n个图形有个， 当时，． 第⑧个图形中的个数为39． 故选：B． 6．（23-24七年级上·河南郑州·期中）如图，将一枚跳棋放在七边形的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋10次．移动规则是（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处）．按这样的规则，在这10次移动中，跳棋不肯停留的顶点是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的规律变化问题， 设顶点分别是第0，1，2，3，4，5，6格，那么第一次跳一步到2号位置上，第二次跳两步跳到4号位置上，第三次跳三步跳到了5号位置上，依此类推可知：棋子移动了k次后走过的总格数是，讨论k的取值，找出不可能停棋的格子即可，根据棋子跳的总路程得到落脚处是解决本题的难点． 【详解】设顶点分别是第0，1，2，3，4，5，6格， ∵棋子移动了k次后走过的总格数是， ∴这时S是整数，且使，分别取时，，是按照：循环的， 故第2，4，5格没有停棋， 即顶点C，E和F棋子不可能停到． 故选：C． 7．（24-25七年级上·河南南阳·期中）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，…，依此规律，第20个图形中小圆的个数是 ． ． 【答案】424 【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中小圆个数的变化规律，利用数形结合的思想解答． 根据题目中的图形，可以写出前几个图形中小圆的个数，发现小圆个数的变化规律，从而可以求得第20个图形圆的个数． 【详解】解：第1个图形小圆个数：， 第2个图形小圆个数：， 第3个图形小圆个数：， 第4个图形小圆个数：， …， 第n个图形小圆个数：， 当时，小圆个数：． 故答案为：424． 8．（24-25七年级上·四川广安·期中）观察图形，探索规律． 图1是三条长度都为a的线段构成的小三角形；图2是4个边长都为a的小角形拼成的大三角形：图3是9个边长都为a的小三角形拼成的大三角形；图4是16个边长都为a的小三角形拼成的大三角形。按此规律排列，图n中共有长度为a的线段 条．    【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化类，熟练掌握图形变化的规律，是解题的关键， 观察图形变化规律，每个图形三角形的数目都可以写成一边上三角形个数的平方，而图中小三角形边的数目可以写成行数和的3倍，据此计算边数． 【详解】第①个图形有个三角形，共有长度为a的线段3条， 第②个图形有个三角形，共有长度为a的线段（条）， 第③个图形有个三角形，共有长度为a的线段（条），第③个图形有个三角形，共有长度为a的线段（条）， 第⑤个图形有个三角形，拼成大正方形边长为，共有长度为a的线段（条）， ……， 按此规律， 则第n个图形中三角形的个数：个三角形，图中共有长度为a的线段（条）． 故答案为：． 题型三 绝对值与分类讨论（共3小题） 1．（23-24七年级上·陕西安康·期中）若，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的化简，有理数的混合运算，分四种情况：①三个都为正数；②三个都为负数；③一个正数，两个负数；④一个负数，两个正数，进行解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴有四种情况： ①三个都为正数，则原式； ②三个都为负数，则原式； ③一个正数，两个负数，假设为正数，为负数， 则原式； ④一个负数，两个正数，假设为负数，为正数， 则原式； 综上，的值为或， 故选：． 2．（23-24七年级上·福建福州·期中）的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了求绝对值运算中的最小值问题，要根据算式先对的取值范围进行划分，再根据去绝对值符号法则进行化简，解题的关键是熟练掌握去绝对值符号法则． 【详解】当时， ， ； 当时， ， ； 当时， ； ∴的最小值是， 故答案为：． 3．（22-23七年级上·福建泉州·期中）已知，则的最大值是 ．最小值是 ． 【答案】 【分析】先讨论∶ 、、的最小值，根据它们的积是36，分别得到、、的值， 再讨论x、y、z的最大最小值，代入计算出代数式的最大值和最小值． 【详解】解：∵，，， ∴，，， 当时，x最小取，最大取2， 当时，y最小取，最大取2， 当时，z最小取，最大取3 ∴的最大值为∶ ， 的最小值为∶ ， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，主要运用了分类讨论的思想．根据积得到各个绝对值的和分别是多少是解决本题的关键． 题型四 新定义问题（共8小题） 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）为了求的值， 可令，则， 因此，所以． 这种方法称为“错位相减法”． 请参考以上推理计算： （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则 ，仿照题目中的“错位相减法”，可得 ，再设，再用错位相减法可得，将其代入中，可得 本题考查了有理数的混合运算，乘方的含义，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键． 【详解】解：设， 则， ∴， 即， 再令， 则， ∴， 即， ∴， ， ， ． 故选：B． 2．（24-25九年级上·重庆合川·期中）对于多项式：，我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再与剩余两个多项式的差作差，并算出结果，称之为“全差操作”．例如：，，给出下列说法： （1）不存在任何“全差操作”，使其结果为0； （2）至少存在一种“全差操作”，使其结果为常数； （3）所有的“全差操作”共有6种不同的结果． 以上说法中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的加减，设四个多项式为：，，，，所有“全差操作”的结果就是在A、B、C、D四个整式前面增添两个“”号和两个“”号，据此列出所有计算结果，再逐一判断即可． 【详解】解：设四个多项式为：，，，，所有“全差操作”的结果就是在A、B、C、D四个整式前面增添两个“”号和两个“”号，共有6种不同的系数组合，计算结果如下： 1. ， 2. ， 3. ， 4. ， 5. ， 6. ， （1）所有结果均不含，故（1）正确； （2）和均为常数，故（2）正确； （3）上述6种结果均不重复，故（3）正确． 故选：D． 3．（24-25八年级下·重庆·期中）有一列数，将这列数的每个数求其相反数得到，再分别求与的和的倒数，得到，称为一次操作，记为；第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到以此类推，得出下列说法中： ①；②；③，正确的有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是求出前面的几个数，发现其存在的规律．根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析存在的规律，从而可求解． 【详解】解：由题意得：，，，， ，，，，故①正确； ，，，， ，，，， ∵， ∴与相同， ∴，故②错误； 由上可知：每3次操作，相应的数会重复出现， ， ， ．故③正确； ∴正确的有2个， 故选：C． 4．（24-25七年级上·福建泉州·期中）关于的多项式：，其中为正整数，各项系数各不相同且均不为．当时，，交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“兄弟多项式”，给出下列说法： ①多项式共有个不同的“兄弟多项式”； ②若多项式，则的所有系数之和为； ③若多项式，则； ④若多项式，则． 则以上说法正确的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查已知字母的值求代数式的值，解题关键在于对进行赋值，即对其取，得到不同的多项式进行加减运算进而求得结果．①理解兄弟多项式的含义，对多项式的三项系数进行互换共有种情况，②③④取和，代入各式中即可得出代数式的值． 【详解】解：①多项式，互相交换任意两个系数共有种不同结果，所以共有个不同的“兄弟多项式”，故①正确，符合题意； ②若多项式，且，则取时，，即的所有系数之和为，当为偶数时，系数之和为，当为奇数时，系数之和为，故②正确，符合题意； ③若多项式，，取时，，取时，，两式相加得，解得：，故③正确，符合题意； ④若多项式，，取时，，取时，，两式相减得，解得：，故④正确，符合题意； 故选：D． 5．（24-25八年级下·重庆·期中）对于各位数字都不为0的两位数和三位数，将中的任意一个数字作为一个新的两位数的十位数字，将中的任意一个数字作为该新两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为．例如：．下面请计算 ．若一个两位数，一个三位数（其中，，且均为整数），交换三位数的百位数字和个位数字得到新数，当与的个位数字的2倍的和被12除余1时，称这样的两个数和为“赋能数对”，则所有“赋能数对”中的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义计算，整数的数位表示法，余数与整除的关系，数的不同表示法，熟练掌握数的整除，表示，理解新定义是解题的关键． （1）根据题意列式解答即可； （2）根据题意，得，，于是得到，表示与的个位数字的2倍的和为，结合与的个位数字的2倍的和被12除余1，能被12整除，分类讨论计算即可． 【详解】（1）解：根据定义，得， 故答案为：． （2）根据题意，得， ， ∴百位数字为，个位数字为， ∴， ∴与的个位数字的2倍的和为： ， ∵与的个位数字的2倍的和被12除余1， ∴能被12整除， ∴ ， ∴，都是整数， ∵，，且，均为整数， ∴， ∵是整数， ∴或或， ∴或或， 当时，或， 当时，； 当时，； 当时，或， 当时，； 当时，； 当时，（舍去）或， 当时，； 综上所述，的最小值为164． 故答案为：164． 6．（24-25九年级下·四川成都·期中）各数位都不为0的四位正整数m，若它的千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数m是“间和数”．将m的首位数字放在末尾得到一个新数记为，再将的首位数字放在末尾得到，以此类推得到，记F（m）＝，则的值为 ．已知t为“间和数”，其中，a，b，c均为整数，，，，若能被13整除，且（s为正整数），则t的值为 【答案】 55 4576 【分析】本题考查了实数的新定义运算，利用“间和数”的定义求出，代入公式求即可；由，均为整数，，，，可得，由为“间和数”，得，即得，进而得，根据能被整除可得的值，表示出，根据所给等式判断出的值，即可求得的值，理解新定义的意义并灵活应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴； ∵， ∴的千位上的数字是，百位上的数字是，十位上的数字是，个位上的数字是， ∵为“间和数”， ∴， ∴， ∴， ∵能被整除， ∴， ∴为整数， ∵，，均为整数， ∴为， ∴， ∴， ， ， ∴ ， ∵， ∴， 整理得，， ∵，为整数，为正整数， ∴， ∴， 故答案为：，． 7．（24-25七年级上·福建泉州·期中）设一种运算程序是（a为常数），如果，，已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字的规律变化及有理数的混合运算，熟练掌握运算程序和已知条件的综合应用，有理数的混合运算顺序和法则，是解题的关键． 根据运算程序，，得，，…，，根据，得，，…，． 【详解】解：∵，， ∴， ， …， ， ∵， ∴，， …， ， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）我们定义一种新运算：，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算．解题的关键是熟练掌握新定义运算，有理数乘法和加减法，从而完成求解． 根据新定义运算列出算式，然后利用有理数的乘法和加减运算法则求解即可． 【详解】∵， ∴． 故答案为：． 题型五 数轴的动点问题 （共8小题） 1．（23-24七年级上·全国·期中）如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足． (1)求C点对应的数； (2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒． ①当时，求t的值； ②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值． 【答案】(1)4 (2)①或；②t的值为或或5.5 【分析】（1）根据A点，B点对应的数，得到，根据与的比值，得到，，得到C点对应的数是； （2）①当M、N未相遇， M表示的数是， N表示的数是，得到，解得；当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是， N表示的数是，得到，解得；②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是，得到，解得，此种情况不存在；当P与M第一次相遇后，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是，得到，解得；当P与N相遇后，未与M第二次相遇时，P表示的数是，，解得；当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是， M表示的数是4，得到，解得，根据，得到这种情况不存在；当P运动到A后，若N为的中点，此时，，解得． 本题主要考查了数轴上动点问题，熟练掌握数轴上动点表示的数，两点间的距离公式，相遇与追及问题，列代数式，列方程，分类考虑动点的位置，是解题关键． 【详解】（1）∵A点对应的数是，B点对应的数是8， ∴， ∵， ∴，， ∴C点对应的数是， 答：C点对应的数是4； （2）①∵运动t秒时， 当M、N未相遇，则M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ∴， 解得， 当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或； ②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是， ∵ ∴， 解得（舍去），此种情况不存在， 由已知得，P与M在时第一次相遇，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是， ∴， 解得， 由已知可知，当P与M在表示1的点处相遇，此时N运动到表示7的点处，再经过秒，即时，P与N相遇，此时M正好运动到C，P与N相遇后又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动，未与M第二次相遇，此时P表示的数是， ∴， 解得， 当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是，M在C点处，M表示的数是4， 次情况， ∴， 解得，不合， ∴这种情况不存在， 当P运动到A后，若N为的中点，此时， ∴， 解得， 综上所述，t的值为，或，或5.5． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是______； (2)怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示相同的数？ 【答案】(1) (2)当点B，C移动到点A的位置时，点B向右移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，C移动到点B的位置时，点A向左移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，B移动到点C的位置时，点A向左移动个单位长度，点B向左移动个单位长度． 【分析】本题主要考查用数轴表示有理数、数轴上的动点问题等知识点，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）根据数轴上的点的移动规则“左移减，右移加”列式计算即可； （2）根据点在数轴上的位置，写出一种移动方法即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4， ∴将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是． 故答案为：． （2）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是0，点C表示的数是， ∴当点B，C移动到点A的位置时，点B向右移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，C移动到点B的位置时，点A向左移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，B移动到点C的位置时，点A向左移动个单位长度，点B向左移动个单位长度． 3．（24-25七年级上·福建泉州·期中）【知识准备】 若数轴上点对应的数为x，点对应的数为y，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． (1)在一条数轴上，O为原点，点对应的数为5，点对应的数为，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 (2)在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 (3)若数轴上点对应的数为x，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，是否存在使为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)17 (3)当时，，理由见解析 【分析】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键． （1）根据中点公式进行求解即可； （2）首先依题意求出点P和点Q所表示的数，然后根据的中点公式得，由此解出t即可； （3）根据题意得出点表示的数为，点表示的数为，然后表示出，再根据绝对值的意义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点对应的数为5，点对应的数为， ∴的中点所对应的数为， 故答案为：． （2）解：由题意得，点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， 解得， ∴为17时，的中点所对应的数为10． （3）解：存在，当时，，理由如下： 根据题意，五等分点公式为：，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴， ∴表示数到数10和之间的距离之和， ∴当时，． 4．（24-25七年级上·北京·期中）先阅读，再探究相关的问题：表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)点A的位置如图所示，点B与点A分别位于原点两侧且与原点距离相等，把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则C点表示的数是______；B，C两点间的距离是______； (2)点D和E分别在数轴上表示数x和．如果D，E两点之间的距离为3，那么x为______； (3)借助数轴思考，当x为______时，与的值相等． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）由图可知点和点表示的数，根据数轴上点的平移即可求出点表示的数，进而可求出、两点间的距离； （2）根据数轴上两点之间的距离建立绝对值方程，解方程即可求出的值； （3）根据和的含义，画出数轴，利用数形结合思想即可解决问题． 【详解】（1）解：由图可知，点表示的数为， 把点A向左移动1.5个单位，得到点C， 点表示的数为：， 由图可知，点表示的数为， 、两点间的距离是：， 故答案为：，； （2）解：由题意可知： ， 解得：或， 故答案为：或； （3）解：和可看成数轴上表示数的点与表示的点和表示的点的距离， 又与的值相等， 如图所示： 当表示数的点为线段的中点时，与的值相等，此时， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了数轴上点的平移，数轴上两点之间的距离，绝对值方程，用数轴上的点表示有理数等知识点，熟知数轴上两点之间距离的计算方法并运用数形结合思想是解题的关键． 5．（23-24七年级上·江苏南通·期中）综合与与实践 数学活动课上，老师拿出两个单位长度不同的数轴甲和数轴乙模型，如图，当两个数轴的原点对齐时，数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点恰好对齐．    思考解答下列问题: (1)如图中，数轴乙上表示的点与数轴甲上表示 的点对齐； (2)将图中的数轴乙向左移动，使得数轴乙的原点与数轴甲表示的点对齐，如图，    此时数轴甲上表示的点与数轴乙上表示 的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点与数轴甲上表示 的点对齐； (3)若数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点记作点，数轴甲上与点对齐的点记作点，求点表示的数． 【答案】(1)； (2)，或； (3)或． 【分析】（）根据题意可知数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度，据此求解即可； （）先求出数轴甲上表示的数与的距离，再根据数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度进行求解即可；求出数轴乙上距离原点个单位长度的点在数轴甲上距离的距离即可得到答案； （）要求乙轴对应甲轴的数，即要先求出乙轴上到对齐点的距离在甲轴上表示的是多少，同理，要求甲轴对应乙的数，即要先求出甲轴上到对齐点的距离在乙轴上表示多少，据此求解即可； 此题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，整式的加减计算，正确理解题意熟知数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度是解题的关键． 【详解】（1）∵数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点恰好对齐， ∴数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度， ∴数轴乙上表示的点与数轴甲上表示的点对齐， 故答案为： ； （2）∵数轴乙的原点与数轴甲表示的点对齐， ∴数轴甲上表示的点与相距个单位长度，则在数轴乙上表示的点对齐； ∴数轴乙上距离原点个单位长度的点在数轴甲表示： 的点对齐， 的点对齐， 故答案为；；或； （3）由题意得： 当在数轴乙原点左侧时，即表示的数为， ∴与表示的点的距离为， 则点表示的数； 当在数轴乙原点右侧时，即表示的数为， ∴与表示的点的距离为， 则点表示的数， 综上可知：点表示的数为或． 6．（23-24七年级上·福建福州·期中）定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题． 两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0． (1)求数轴上点H、A所表示的数？ (2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒． ①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）． ②求（用含x的式子表示，结果需化简）． (3)若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值． 【答案】(1)点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是 (2)①，；②当M点在N点的左侧时，；当点M在N点的右侧时， (3)9秒或13秒 【分析】（1）根据，，，，推出， ，得到，得到在数轴上点H表示的数是15，点A表示的数是； （2）①根据长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动， ， ，得到x秒后，M点表示的数：， N点表示的数：；②当M点在N点的左侧时，，当点M在N点的右侧时，； （3）根据两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12，得到重叠部分的长为4个单位长度，当点D运动到E点右边4个单位时，长方形运动的时间为9秒；当点A运动到H点左边4个单位时，长方形运动的时间为13秒． 【详解】（1）由题意得：，，，， ∴，∴， ∴， ∴点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是； （2）①∵，， ∴， ， ∵，， ∴，， ∵长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动， ∴M点表示的数为：， N点表示的数为：； 故答案为：，； ②当M点在N点的左侧时，， 当点M在N点的右侧时，； （3）∵两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12， ∴重叠部分的长为4个单位长度， 当点D运动到E点右边4个单位时， ； 当点A运动到H点左边4个单位时， ， 综上，长方形运动的时间为9秒或13秒时，两个长方形重叠部分的面积为12． 【点睛】本题主要考查了数轴动点问题，熟练掌握数轴上的点表示的数，数轴上两点间的距离，路程、速度和时间的关系，长方形面积公式等知识点，求数轴上两点间的距离用右边点对应的数减左边对应的数；路程等于速度乘时间；熟记长方形的面积是长乘宽是解题的关键． 7．（23-24七年级上·广东广州·期中）若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，我们把、两点之间的距离表示为，记，且，满足． (1) ； ；线段的长 ； (2)点在数轴上对应的数是，且与互为相反数，在数轴上是否存在点，使得?若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由； (3)在（）、（）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，秒钟后，若点和点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着时间的变化而变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【答案】(1)，，； (2)或； (3)的值不随着时间的变化而变化，值为． 【分析】（）根据绝对值及平方的非负性，求出，的值，从而求出线段的长； （）设P对应的数为y，再由，可得出点对应的数； （）根据，，的运动情况即可确定，的变化情况，即可确定的值． 【详解】（1）∵， ∴， ， 解得：，， ∴线段的长为：， 故答案为：，，； （2）由（）得：， ∴， 设对应的数为， 由图知： 在右侧时，不可能存在点； 在左侧时，， 解得: ， 当在、中间时，， 解得: ， 故点对应的数是或； （3）的值不随着时间的变化而变化，理由如下： 秒钟后，点位置为：， ∴点的位置为: ，点的位置为: ， ∴ ， ∴， ∴的值不随着时间的变化而变化，值为． 【点睛】此题考查了非负数的应用，数轴的应用，数轴上的距离，理解数轴上点的距离是解题的关键． 8．（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图，数轴上点Q表示的数为，线段AB的端点A与表示数2的点重合，端点B与表示数4的点重合．点P从点Q出发，沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度．同时，线段以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点A与点P相遇时，线段立即折返，沿数轴向右运动，速度不变，设运动时间为t秒．    (1)线段的长为______． (2)当点P运动t秒时，则点P表示的数为______（用含t的式子表示）． (3)当点P与点A相遇时t的值为______；当点P与点B相遇时，t的值为______． (4)当点P到点A的距离等于点P到点B的距离的2倍时，t的值为______． 【答案】(1) (2) (3)2；3 (4)或 【分析】（1）用点表示的数减去点表示的数即可； （2）用加上点向右运动的距离即可； （3）根据相遇时两个点所表示的数相等，列式计算即可； （4）当点P在点B的两侧时，分类讨论，分别计算即可． 【详解】（1）解：如图，    有图可得：， 故答案为：； （2）因为点P从点Q出发，沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度， 所以点P表示的数为， 故答案为：； （3）①因为线段以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动， 所以点表示的数为， 由（2）可知：点P表示的数为， 当点P与点A相遇时，， 解得，； 故答案为：2； ②因为当点P与点A相遇时，，即点表示的数为0， 当点P与点B相遇时，线段从原点折返，此时点B表示的数为：， 因为点P表示的数为， 故当点P与点B相遇时，，解得，， 故答案为：3； （4）线段从原点折返，此时点A表示的数为：，此时点B表示的数为：，    ①如图，当点P在点B的左侧时，，即， ， 解得，；    ②如图，当点P在点B的右侧时，， ， 解得，； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了数轴上点的变化以及两点之间的距离，准确的用整式表示出数轴上的点是解题的关键． 题型六 数轴与绝对值的综合应用 （共6小题） 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值； (4)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 【答案】(1) (2) (3)点表示的数为或，或 (4)当在之间时，点表示的数为，；当在点左边时，点P表示的数为， 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数是，，，，，； （3）由题意可求出点表示的数是或，进而即可求出的值； （4）分两种情况讨论：当在之间时，，点表示的数为，此时；当在点左边时，，点P表示的数为，此时． 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴点到点的距离与点到点的距离之和为， ∴点为点、的“格距点”， ∴， 故答案为：； （2）解：∵整点为点、的“格距点”， ∴，即在线段上， ∴整点所表示的数是，，，，，，共个， 故答案为：； （3）解：∵点到点的距离为， ∴点表示的数为或， ①当点表示的数为时，点到点的距离与点到点的距离之和为， 此时； ②当点表示的数为时，点到点的距离与点到点的距离之和为， 此时； （4）解：①当在之间时，， 点表示的数为：， 此时； ②当在点左边时，， 点P表示的数为：， 此时． 2．（24-25七年级下·河南信阳·期中）数轴上有两个点、，分别代表的整数是和，、满足． (1) ______， ______，点与点之间的距离是______． (2)点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向左运动，点、同时运动，设运动时间为秒，回答下列问题： ①秒时，点对应的数为______；用含的式子表示 ②当时，求点与点之间的距离用含的式子表示 【答案】(1)，，； (2)①；②． 【分析】本题考查了数轴、绝对值的非负性及乘方，解题的关键是： （1）根据绝对值的非负性及乘方可得，，，求出a，b的值即可求解； （2）①根据数轴上点移动的规律即可求解； ②根据数轴上点移动的规律得点B对应的数为，当点B与点A相遇时，根据可求得，进而可求解． 【详解】（1）解：， ，， ，， 点与点之间的距离是 ， 故答案为：，，； （2）解：①秒时，点对应的数为， 故答案为：； 点以每秒个单位长度的速度向左运动， 秒时，点对应的数为， 当点与点相遇时，则， 解得， 当时，点在点的右侧， ， 答：点与点之间的距离． 3．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）阅读材料：点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离可表示为．例如：与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题． 如图，已知数轴上两点、对应的数分别为和，数轴上另有一个点对应的数为有理数， (1)请根据阅读材料填空：点、之间的距离________（用含的式子表示）；若该距离为，则________． (2)根据几何意义，解决下列问题： 若点在线段上，则________； 若，求点表示的有理数； 求的最小值以及此时的值（直接写出答案即可）． 【答案】(1) 或； (2) ； 或； 有最小值，最小值为，此时 【分析】（1）根据两点之间的距离公式可得，再建立绝对值方程可得的值； （2）由点在线段上，根据绝对值的意义即可求解； 分点在点左侧，点在点和点之间，点在点右侧时三种情况分析即可； 分位于点左侧，位于点与点之间，位于点与点之间，位于点右侧时四种情况分析即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 解得：或， 故答案为： 或； （2）∵点在线段上， ∴， 故答案为：； 由题意得：当点在点左侧时，即时， ，解得：； 当点在点和点之间时，即时， ，无解； 当点在点右侧时，即时， ，解得：； ∴点表示的有理数或； 当位于点左侧时，即时， ， 当位于点与点之间时，即时， ， ∴， 当位于点与点之间时，即时， ， ∴， 当位于点右侧时，即时， ， ∴， 综上可知：有最小值，最小值为，此时． 【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程，化简绝对值等知识．熟练掌握在数轴上表示有理数是，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程，化简绝对值是解题的关键． 4．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，若规定， (1)当时，则___ ， ___ ． (2)当时，则___ ． (3)当，且，求c的值． 【答案】(1)3，7 (2)2或 (3)c的值为或或或 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，化简绝对值，绝对值方程．熟练掌握化简绝对值，并分类讨论是解题的关键． （1）将值代入，计算求解即可； （2）由题意知，分当时，当时，当时，三种情况化简绝对值，计算求解即可； （3）由题意知，当时，，，然后分当时；当时；当时；三种情况化简绝对值，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， 故答案为：3，7； （2）解：由题意知，当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，， ∴， 当时，解得，； 当时，解得，； 故答案为：2或； （3）解：当时，，， 当时，，则， 解得，； 当时，，则， 解得，； 当时，，， ∴， 当时，解得，； 当时，解得，； 综上所述，c的值为或或或 ． 5．（23-24七年级上·浙江台州·期中）已知点，在数轴上分别表示有理数，，、两点之间的距离可以表示为，比如式子表示有理数的点与表示数3的点之间的距离． 请回答以下问题： (1)若表示一个有理数，，则______． (2)若表示一个有理数，的最小值_____． (3)在一工厂流水线上依次排列了个工作台（工作台在同一直线上），第1个工作台安排了2名工人，其他每个工作台安排了1名工人，现在要在流水线上设置一个工具台，以方便这名工人从工作台到工具台拿取工具，为了让工人们拿取工具所走路程之和最短，请直接说出工具台设置在什么位置． 【答案】(1)或4 (2)3 (3)当为偶数时，工作台可设置在第个工作台处；当为奇数时，工作台可设置在第个和第个工作台之间任何位置（包括第个和第个工作台的位置） 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数以及数轴上两点之间的距离等知识，解题关键是理解题意，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）根据题意，由数轴上与表示有理数1的点之间的距离为3的点的位置，即可获得答案； （2）根据题意，可知表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，表示有理数的点与表示有理数2的点之间的距离，作出图形，分情况讨论，即可获得答案； （3）分别分析计算当有2个、3个、4个、5个、6个工作台时，工具台应放置的位置，找出规律，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离， 如下图， 若， ∵数轴上与表示有理数1的点的距离为3的点有两个，分别为表示有理数的点和表示有理数4的点， ∴或4； 故答案为：或4； （2）∵， ∴表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离， 又∵表示有理数的点与表示有理数2的点之间的距离， ∴当表示有理数的点在表示有理数的点左侧时，如下图， 此时， 当表示有理数的点与表示有理数的点重合时，如下图， 此时， 当表示有理数的点在表示有理数的点与表示有理数2的点中间时，如下图， 此时， 当表示有理数的点与表示有理数2的点重合时，如下图， 此时， 当表示有理数的点在表示有理数2的点右侧时，如下图， 此时． 综上所述，的最小值． 故答案为：3； （3）①如下图，当流水线上排列了2个工作台时， 工具台可设置在第1个工作台处，此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为1； ②如下图，当流水线上排列了3个工作台时， 工具台可设置在第1个工作台与第2个工作台之间任何位置（包括第1个和第2个工作台的位置），此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为3； ③如下图，当流水线上排列了4个工作台时， 工具台可设置在第2个工作台处，此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为5； ④如下图，当流水线上排列了5个工作台时， 工具台可设置在第2个工作台与第3个工作台之间任何位置（包括第2个和第3个工作台的位置），此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为8； ⑤如下图，当流水线上排列了6个工作台时， 工具台可设置在第3个工作台处，此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为11； ……； 综上所述，当为偶数时，工作台可设置在第个工作台处；当为奇数时，工作台可设置在第个和第个工作台之间任何位置（包括第个和第个工作台的位置）． 6．（23-24七年级上·重庆南岸·期中）阅读：已知点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为．理解与实践： （1）数轴上点代表的数是，数轴上表示9的点到点之间的距离是______（用含的式子表示）； （2）可表示为点到表示数______的距离；若，则______； （3）代数式的最小值是______； （4）若，则的最大值是______． 拓展与延伸： 数轴上三个不重合的点，若三个点中，其中一点到另外两点的距离恰好满足2倍的数量关系时，我们称这个点是其他两个点的“倍分点”．已知点代表的数是，点代表的数是13，若点是其他两个点的“倍分点”，求此时点表示的数． 【答案】（1）；（2）；或；（3）8；（4）4；拓展与延伸：点表示的数为或1或7或31 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离进行解答即可； （2）根据绝对值的意义进行解答即可； （3）根据数轴上两点之间的距离公式和绝对值的意义进行解答即可； （4）先求出表示到和的距离之和，其最小值为，表示到和的距离之和，其最小值为，即可进一步求解； 拓展与延伸：需要分四种情况进行讨论，然后列出式子求解． 【详解】解：（1）数轴上点P代表的数是x，数轴上表示9的点到点P之间的距离是； 故答案为：； （2）可表示为点到表示数的距离； ， ， 解得：， 故答案为：；或； （3）表示的是到和的距离之和， ∴当在和之间及之上时，取最小值，且最小值为； 故答案为：； （4）若， 表示到和的距离之和，其最小值为， 表示到和的距离之和，其最小值为， ， ，， 当时，的值最大为：； 故答案为：； （4）若， 表示到和1的距离之和，其最小值为3， 表示到3和的距离之和，其最小值为5，， ， 当时，的值最大为：4，故答案为：4； 拓展与延伸：设点表示的数为， ①当点在点左边时，有，即， 解得：或（舍去）， ②当点在点之间靠近点时，有，即， 解得：或（舍去）， 当点在点之间靠近点时，有，即， 解得：或（舍去）， ③当点在点的右边时，有，即， 解得：或（舍去）， 点表示的数为或1或7或31． 【点睛】本题考查的是数轴、绝对值的定义、两点间的距离公式，解答此类问题时要用分类讨论的思想以及数形结合思想． 题型七 有理数的混合运算和实际应用（共12小题） 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）概念学习 规定：求个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方， 比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的次商”；写作，读作“的次商”，一般地，把（）这样个相除，写作，读作“的次商”． 初步探究 （1）请直接写出计算结果：________，________； （2）下列关于除方说法中，错误的是（   ）（单选） A．当时， B．当时， C．正数的次商结果是正数，负数的次商结果是负数 D．次商等于它本身的数是 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方 乘方（幂）的形式． （3）归纳：请把有理数的次商（，），写成乘方（幂）的形式为：________； （4）比较：________（填“”“”或“”）； （5）计算：． 【答案】（1）， （2） （3） （4） （5） 【分析】本题主要考查了有理数的除法运算，有理数的乘方运算，含乘方的有理数混合运算等知识点，读懂题意，深刻理解题中所给除方的定义是解题的关键． （1）根据除方的定义进行计算即可； （2）根据除方的定义逐项分析判断即可； （3）根据题中所给示例进行计算即可得出答案； （4）分别求出和，然后比较即可； （5）根据除方的定义进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知：， ， 故答案为：，； （2）由题知： A．当时，， 该说法正确，故选项不符合题意； B．当时，， 该说法正确，故选项不符合题意； C．当为正数时，的次商表示个相除，结果是正数， 当为负数时，奇数个负数相除结果为负，偶数个负数相除结果为正， 该说法错误，故选项符合题意； D．由除方的定义可知，次商等于它本身的数是， 该说法正确，故选项不符合题意； 故选：； （3）由题知： ， 故答案为：； （4），， ， 故答案为：； （5） ． 2．（24-25七年级上·福建龙岩·期中）综合与实践：进位制的认识与探究 题目背景 在学习数学的过程中，我们常常会接触到不同的进位制．最常用的是十进制，而计算机内部使用的则是二进制．进位制的不同，既影响数的表示方式，也影响数的计算方法．通过对进位制的探讨，我们可以更深入地理解数的构成及其运算特点． 阅读材料 进位制是人们为了方便记数和运算而约定的记数系统．十进制使用0~9十个数字，逢十进一；二进制使用0和1两个数字，逢二进一．一个数可以表示为其各数位上的数字与基数的幂的乘积之和．约定：．例如： 十进制数可以表示为， 即； 二进制数可以表示为， 即． 解决问题 (1)理解应用：将二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，并转换为十进制数． (2)拓展延伸：将十进制数89转换为二进制数和八进制数，要求体现转换的过程与结果． (3)创新应用：运用进制数的加法运算法则，计算（结果用十进制数表示），并说明计算的思想方法． 【答案】(1)， (2)见解析，， (3)84，见解析 【分析】本题主要考查了单位进制的转化运算，根据单位制转换，含乘方的有理数混合运算即可得解，熟练掌握单位制换算是解题的关键． （1）根据题干二进制数转换为十进制数的方法计算即可； （2）①根据题干十进制数转换为二进制数的方法计算即可；②仿照题干的转化方法把十进制数转换为八进制数即可； （3）二进制数转化成十进制数，八进制数转化成十进制数后相加． 【详解】（1）解： ． （2）①二进制如下： ∵……1； ……0； ……0； ……1； ……1； ……0； ……1； ∴从下往上读取余数，得到； ②八进制如下： ∵……1； ……3； ……1； ∴从下往上读取余数，得到． （3）解：解法1（分步计算）： ∵， ， ∴， 方法：运用转化与化归的思想方法，将不同进位制数统一成十进制数之后，按十进制数的方式方法解决问题．     解法2（整体计算）： 原式 （或）（或84）， 方法：运用转化与化归的思想方法，将不同进位制数统一成十进制数之后，按十进制数的方式方法解决问题． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）在生活中，密码的应用随处可见，如电子支付、电子门票等．人类使用密码的历史相当久远，约成书于战国时期的中国古代兵书《六韬》中就有关于君主如何在战争中与在外的将领进行保密通信的叙述．如今，密码学已成为网络信息安全的核心，密码学的研究使用了越来越多的数学工具． 如下表，小明制定了一种密码规则，将26个英文字母，，依次对应数字1，2，3，……，26．当接收的密文中的英文字母在表格中对应的数字是偶数时，明文为代数式所得数值在表格中对应的英文字母；当数字是奇数时，明文为代数式所得数值在表格中对应的英文字母．例如：接收的密文内容为“”，英文字母“”对应的数字16是偶数，则明文数字为对应的英文字母“s”；英文字母“t”对应的数字20是偶数，则明文数字为对应的英文字母“u”；英文字母“y”对应的数字25是奇数，则明文数字为对应的英文字母“n”，所以密文破译后的明文为“”． 字母 a b c d e f g h i j k l m 对应数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 n o p q r s t u v w x y z 对应数字 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 根据以上材料，回答下列问题： (1)密文“”破译成明文为_________； (2)若破译后的明文为“”，请用英文字母写出应该传输的密文，并说明理由； (3)是否存在这样的英文字母，在密文中的英文字母经过破译后的英文字母是同一个，若存在，请找出这样的字母；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)“” (2)“”或“”，理由见解析 (3)存在，“”或“” 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，代数式求值，有理数四则混合运算的实际应用等知识点，理解题意，根据题意正确列出方程并运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据题干信息进行计算得出答案即可； （2）根据英文字母“m”对应的数字是13，英文字母“c”对应的数字是3，分两种情况求出对应的密文字母，即可得出答案； （3）分两种情况讨论：当是偶数时，根据题意得；当是奇数时，根据题意得；分别解方程即可． 【详解】（1）解：接收的密文内容为“”， 英文字母“j”对应的数字10是偶数，则明文字母为对应的英文字母“p”； 英文字母“g”对应的数字7是奇数，则明文字母为对应的英文字母“e”； 英文字母“f”对应的数字6是偶数，则明文字母为对应的英文字母“n”； 密文破译后的明文为“”， 故答案为：“”； （2）解：应该传输的密文为“”或“”，理由如下： 英文字母“m”对应的数字是， 当密文中英文字母对应的数字是偶数时， 得：， 解得：（符合题意）， 4对应的英文字母是“d”； 当密文中英文字母对应的数字是奇数时， 得：， 解得：（符合题意）， 23对应的英文字母是“w”； 英文字母“c”对应的数字是， 当密文中英文字母对应的数字是偶数时， 得：， 解得：（不合题意，故舍去）； 当密文中英文字母对应的数字是奇数时， 得：， 解得：（符合题意）， 3对应的英文字母是“c”； ∴应该传输的密文为“”或“”； （3）解：分两种情况讨论： 当是偶数时， 根据题意，得：， 解得：（22是偶数，符合题意）， 22对应的英文字母是“v”； 当是奇数时， 根据题意，得：， 解得：（3是奇数，符合题意）， 3对应的英文字母是“c”； ∴存在密文中的英文字母经过破译后的英文字母是同一个，它们是字母“v”或字母“c”． 4．（24-25七年级上·河南南阳·期中）综合与实践： 【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”， 记作，读作“的下4次方”． 一般地，把记作，读作“a的下n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：________，________． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： （2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： ________（a为有理数且），________． 【归纳结论】 （3）一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：________． 【结论应用】 （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）分别按公式计算即可； （2）根据发现的规律解答即可； （3）根据发现的规律解答即可； （4）根据发现的规律解答即可． 本题考查了有理数的乘除混合运算，含有乘方的混合运算，解题的关键是根据新定义的计算公式逐步计算． 【详解】解：（1），， 故答案为：； （2）； ， 故答案为：； （3） ， 故答案为：． （4）解：原式 ． 5．（24-25七年级上·福建南平·期中）阅读材料：如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中，校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以此图为例，其算法为： 步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和a，即； 步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和b，即； 步骤3：计算与b的和c，即； 步骤4：取大于或等于c且为的整数倍的最小数d，即； 步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即． 请解答下列问题： (1)《数学故事》的图书码为，请分别计算步骤3中c的值和校验码Y的值； (2)如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为m，求m； (3)如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的和是8，这两个数字从左到右分别是多少？ 【答案】(1)， (2)3 (3)，或， 【分析】（1）根据特定的算法代入计算即可求解； （2）根据特定的算法依次求出a，b，c，d，再根据d为的整数倍即可求解； （3）根据检验码为8，并结合两个数字的差为8，即可求解． 【详解】（1）解：∵《数学故事》的图书码为， ∴，， ∴“步骤”中的的值为，校验码的值为， ∴，； （2）根据题意得：，， ∴， ∴， ∵为的整数倍， ∴的个位数字必须是， ∴， ∴； （3）解：设两个数字从左到右分别是， 由题意得：，， ∴， ∵检验码为， ∴， ∵为的整数倍， ∴的个位数字为， ∵， ∴或或或， 解得：（舍去）或或或（舍去） ∴这两个数字从左到右分别是，或，． 【点睛】本题考查了列代数式以及整式的加减，正确理解题意并列式是解题的关键． 6．（24-25七年级上·山东济南·期中）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； （2）我们知道：，那么： 用含有n的式子表示你发现的规律_________ 【方法属示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： 【问题解决】 （4）容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，……，第n次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？说明理由； 【答案】（1），11； （2）； （3）； （4）永远不可能倒完，见解析 【分析】本题考查了数字类问题的探索，理解题意掌握对分数的处理方法是解题的关键． （1）观察式子左右两边的数字，即可求解； （2）观察式子左右两边的数字，即可求解； （3）根据（1）中的规律， 依次化简每个式子，然后求解即可． （4根据题意第次后剩余的水量为，根据（1）化简式子即可求解； 【详解】（1）第6等式：； 故答案为：，11； （2）观察所给式子的等号左右两边的数字，可得到如下规律： ． （3）原式= = ． （4） ．永远不可能倒完． 7．（24-25七年级上·四川眉山·期中）某市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）： 户月用水量 单价 不超过的部分 2元∕m3 超过但不超过的部分 3元∕m3 超过的部分 4元∕m3 (1)某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费 ．（直接写出答案） (2)设某户月用水量为n立方米，当时，则该用户应缴纳的水费 元（用含n的整式表示）． (3)甲、乙两用户一个月共用水，已知甲用户缴纳的水费超过了元，设甲用户这个月用水，试求甲、乙两用户一个月共缴纳的水费（用含x的整式表示）． 【答案】(1)元 (2) (3)当时，共缴费元；当时，共缴费元；当时，共缴费元； 【分析】本题考查了阶梯收费问题，涉及了列代数式、有理数的混合运算的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据收费规则即可求解； （2）根据收费规则即可求解； （3）根据甲用户缴纳的水费超过了元，可得；分类讨论当时，则乙用户该月用水超过了；当时，则乙用户该月用水超过但不超过；当时，则乙用户该月用水不超过；三种情况即可求解； 【详解】（1）解：由表格可知：该用户这个月应缴纳的水费为：元， 故答案为：元 （2）解：当时，则该用户应缴纳的水费为：元， 故答案为： （3）解：∵甲用户缴纳的水费超过了元， ∴； ∵甲、乙两用户一个月共用水，设甲用户这个月用水， ∴乙用户这个月用水， 当时，则乙用户该月用水超过了， 由（2）得：共缴费元； 当时，则乙用户该月用水超过但不超过， 共缴费元； 当时，则乙用户该月用水不超过， 共缴费元； 8．（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知与互为相反数．求的值． 【答案】 【分析】根据题意得，得到，转化为，结合，裂项求和计算即可． 本题考查了绝对值的非负性，有理数的乘法，加减混合运算，熟练掌握运算规律是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数． ∴， ∴， ∴转化为， ∵， ∴ ． 9．（24-25七年级上·北京·期中）在黑板上先依次写下两个正有理数，接下来对进行操作： 如果且，则将和依次写在黑板上，作为新的，并将原擦掉；如果且，则将和依次写在黑板上，作为新的，并将原擦掉；以上过程称为一次操作．只要黑板上新的满足，就再进行下一次操作；如果新的满足，则操作停止． (1)如果在黑板上先写下的数是，接下来进行几次操作后停止？说明理由： (2)如果在黑板上先写下的数是，则第次操作后，黑板上的两个数依次是_________，__________； (3)如果在黑板上先写下的是两个真分数，，且进行有限次操作后，操作停止，则的所有可能值为__________． 【答案】(1)2次操作，理由见详解． (2) (3)3 【分析】本题考查了代数式求值和有理数的混合运算． （1）给定．根据操作规则∶若且，则新，新；若且，则新，新．不断重复操作，直到新，统计操作次数； （2）给定．按照操作规则进行操作，观察操作过程是否存在循环．若存在循环，找出循环节长度，用除以循环节长度得到余数，根据余数确定第次操作后的和． （3） 给定，是两个真分数，则为整数．尝试多种情况，解不等式组求值． 【详解】（1）解：初始． 第一次操作：因为且，新的，新的． 第二次操作：因为且，新的，新的． 满足，故操作停止．所以经过次操作后停止； （2）解：初始初始，． 第一次操作∶因为且，新的，新的． 第二次操作∶因为且，新的，新的． 第三次操作∶因为且，新的，新的． 第四次操作∶因为且，新的，新的． 第五次操作∶因为且，新的，新的． 第六次操作∶因为且，新的，新的． 观察发现操作会循环，循环节长度为． ，循环节内第二次操作后． 所以第次操作后； 故答案为：． （3）解： 初始，是两个真分数．则为整数． 当且时，即大于等于，且小于等于时， 解得（不合题意，舍去） 当且时， 小于时， ，． 假设当，时，则，则终止操作． 即小于等于，且大于等于，解得（不合题意，舍去） 同理：，， 即小于等于，且大于等于，解得（不合题意，舍去） 同理，， 即小于等于，且大于等于，解得 同理，， 即小于等于，且大于等于，解得（不合题意，舍去） 故答案为：3． 10．（24-25七年级上·吉林·期中）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统． 约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说∶“ 逢几进一” 就是几进制，几进制的基数为几． 在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，十进制是用这十个数来表示数，满十进一， 例∶， 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进． 例∶二进制转换为十进制数， 古代人在研究历法时，也曾经采用七进制、十二进制计数法，至今，我们仍然使用一星期7天，一年个月的方法． 例∶七进制是用 两个数来表示数，满七进一，七进制转换为十进制数． 其他进制也有类似的算法…，根据以上信息，解答下列问题． (1)求二进制转换为十进制数． (2)八进制转换为十进制数是 ． (3)若，则 ． (4)远古美索不达米亚人创造了一套进制为主的楔形文记数系统，对于大于的数，美索不达米亚人采用六十进制的位置记法，位置的区分是靠在不同楔形记号组之间留空，例如∶“ ”左边的Y表示；中间的YY表示；右边的表示3个单位，用十进制写出来是，则楔形文记数“ ”表示十进制的数为多少？（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3) (4)； 【分析】本题考查新运算及有理数的混合运算， （1）根据二进制新定义直接列式计算即可得到答案； （2）根据八进制新定义直接列式计算即可得到答案； （3）根据二进制新定义满2进1计算即可得到答案； （4）根据新定义直接列式计算即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ， 故答案为：； （2）解：由题意可得， ， 故答案为：； （3）解：由题意可得， ， ∵， ∴， 故答案为：； （4）解：由题意可得， ． 11．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）概念学习 规定：求n个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的3次商”，写作，读作“的4次商”，一般地，把写作，读作“a的n次商”． 初步探究 （1）直接写出计算结果：__________，__________； （2）下列关于除方说法中，错误的是（    ）（只有一个正确答案） A．当时， B．当时， C．正数的n次商结果是正数，负数的n次商结果是负数 D．n次商等于它本身的数是1 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方（幂）的形式 （3）归纳：请把有理数a的n次商，写成乘方（幂）的形式为：__________； （4）比较：__________；（填“＞”“＜”或“＝”） （5）计算：． 【答案】（1）1，；（2）C；（3）；（4）；（5） 【分析】本题考查的是新定义运算，有理数的乘方运算，含乘方的有理数的混合运算； （1）根据新定义的运算法则列式计算即可； （2）根据新定义的运算法则逐一分析每个选项即可； （3）按照新定义可得； （4）分别计算，，根据运算结果可得答案； （5）根据新定义的运算法则先转化为乘方运算，再按照有理数的运算法则与运算顺序计算即可. 【详解】解：（1）， ； （2）A.当时，，不符合题意， B.当时，，不符合题意； C.正数的n次商结果是正数是正确的，负数的偶次商结果一定是正数， ∴负数的n次商结果不一定是负数，符合题意； D.n次商等于它本身的数是1，正确，不符合题意； 故选：C （3）归纳：把有理数a的n次商，写成乘方（幂）的形式为： ， （4） ， ∴； （5） ． 12．（24-25七年级上·重庆万州·期中）随着出行方式的多样化，某市三类打车方式的收费标准如下： 出租车 滴滴快车 出行 3千米以内：10元 路程：1.2元/千米 路程：1.6元/千米 超过3千米的部分：2.4元/千米 时间：0.6元/分钟 时间：0.4元/分钟 已知三种打车的平均车速均为40千米/小时．如：乘坐8千米，耗时分钟．出租车的收费为：（元）；滴滴快车的收费为：元）；出行的收费为：（元）． (1)如果乘车路程20千米，某乘客选择了出行和出租车这两种打车方式，哪种方式更省钱？ (2)出行和滴滴快车为了竞争客户，分别推出了优惠方式：滴滴快车对于乘车路程在6千米以上（含6千米）的客户每次收费减免11元；出行车费半价优惠．若乘车路程千米，请分别列出滴滴快车和出行的费用，并求出当时，哪种出行方式更省钱？ 【答案】(1)出行更省钱 (2)，，滴滴快车更省钱 【分析】本题考查了分段计费，熟练掌握总价与单价和数量的关系，列代数式，列一元一次方程，是解题关键． （1）先求出运行时间，出行的打车费包括里程费和分钟费，出租车出行的打车费包括3千米前后两段费用，直接列式计算比较即得； （2）根据滴滴快车对于乘车路程在6千米以上（含6千米）的客户每次收费减免11元；出行车费半价优惠，列出各自的费用表达式，再把分别代入计算比较即得． 【详解】（1）由题意得：（分钟）， 则出行的打车费为：（元）； 则出租车出行的打车费为：（元）； ， 出行更省钱． （2）设打车的路程为千米， 依题意得： 出行的收费为：元， 滴滴快车的收费为：元， 当时， （元）， （元）， ， 滴滴快车更省钱． 题型八 新定义问题（共14小题） 1．（24-25七年级上·北京大兴·期中）对于有理数，我们给出如下定义：若满足，则称为“和谐有理数对”，记为．例如：，数对是“和谐有理数对”． (1)数对，其中是“和谐有理数对”的是_________； (2)若是“和谐有理数对”，求的值； (3)若是“和谐有理数对”，则________(填“是”或“不是”)“和谐有理数对”，说明你的理由． 【答案】(1) (2)7 (3)是，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算和新定义，代数式求值； （1）先分别求出各组数据中的和的值，然后根据已知条件中的新定义解析判断即可； （2）先根据新定义，列出关于的等式，求出的值，再利用整体代入求出答案即可； （3）先根据已知条件和新定义，求出关于，的等式，然后再求出当，时，和，进行判断即可． 【详解】（1）解：当，时， ，， ， 是“和谐有理数对”； 当，时， ， 不是“和谐有理数对”； 当，时， ， 是“和谐有理数对”； 故答案为：． （2） 是“和谐有理数对”， ， ， ， ， ； （3）是“和谐有理数对”，理由如下： ，是和谐有理数对， ， 当，时， ，， 是“和谐有理数对”， 故答案为：是． 2．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）定义：对于任意的有理数，． (1)探究性质： ①例：_____；_____ ②你还可试几个看看，请用含，的式子表示出的一般规律： 当时，_____当时，_____． (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值： ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，则这个值的和的最小值是_____． 【答案】(1)①；；②； (2)①；② 【分析】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义，把所给代数式化简，找到新定义的运算规律，利用规律进行求解． （1）①根据定义即可求解； ②举例，，通过与以上几个比较，可以发现该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值； （2）①直接利用规律进行求解； ②由已知可知：要使这个的值的和最小，则个负数要保留最多且它们的和最小，个非负数要保留最少且它们的和最小，而两个有理数进行已知新定义的运算，结果总是两个数中较大的，从而得到：这个负数保留的个的值且使它们的和最小应该为：、、、、，个非负数保留个的值且使它们的和最小应该是：、、、、，从而得出结论． 【详解】（1）解：① ， ， ， 故答案为：；． ②例如：， ， 通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值， 用a，b的式子表示出一般规律为． 故答案为：；． （2）解：①； ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，要使这个的值的和最小，则个负数要保留最多且它们的和最小，个非负数要保留最少且它们的和最小，而两个有理数进行已知新定义的运算，结果总是两个数中较大的， 这个负数保留的个的值且使它们的和最小应该为：、、、、，个非负数保留个的值且使它们的和最小应该是：、、、、， 这个值的和的最小值是， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）【初步感知】已知有理数（不为和），我们把称为的倒数差，如：的倒数差是，的倒数差是． 【理解运用】若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）分别求出的值； （2）的值为______（直接写出计算结果）． 【拓展提升】 （3）设有理数（都不为和），将一个数组（）中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得到数组，…，第次变换后得到数组．若数组确定为，求的值． 【答案】（1），， （2） （3） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、数字规律等知识点，正确运用有理数的混合运算法则计算并发现规律成为解题的关键． （1）根据“倒数差”的定义列式计算即可求出的值． （2）先根据题意可得和，的数均相同，代入数值到中，然后求和即可． （3）先根据“倒数差”的定义列式计算发现规律，然后运规律解答即可． 【详解】解：（1）∵，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差 ∴结合题意可得，，． （2）由的值，可得三个值为一组循环数，后面每三个数一组进行重复， ∴和，得数均相同，即，，． ∴， 故答案为：． （3）解：∵确定为， ∴第次变换后，， ∴第次变换后，，， ∴第次变换后，，， ∴同理可得，，， ，，， ，，， ∴， ， ， ∴ 4．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）问题的提出：“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．图（1）表示，运算结果为． （1）用示例的方法，计算，要求在图（2）中对应位置标数． 问题的拓展： （2）如图（3）一个百位为1的三位数，十位和个位数字未知，与23相乘，请直接写出与？的值； （3）在图（4）中按图（1）示例完成（2）的计算． 延伸与运用： （4）图（5）表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图（5）中现有数据进行推断，运算结果可以用含a的式子表示为____________．（直接写出结果） 【答案】（1）18450，填图见详解 （2） （3）2852 （4） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，代数式表示数，理解题目中表格方法计算有理数的乘法，掌握有理数的混合运算法则，用代数式表示数的方法是解题的关键． （1）根据材料提示的方法计算即可； （2）根据有理数的乘法可得，，由此即可求解； （3）根据表格计算有理数乘法运算方法计算即可； （4）根据题意，，令，可得，，根据表格计算有理数乘法运算即可求解． 【详解】解：（1）根据材料提示，填图如下， ∴； （2）根据图示， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）根据（2）可得，如图所示， ∴计算结果为； （4）根据题意，， ∴令， ∴，， 如图所示， ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·重庆·期中）用“”和“”定义一种新运算：对于任意有理数，规定：，如：． (1)计算：____________． (2)若，则____________． (3)若，，，，，当时，求的值（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（）根据新定义运算计算即可求解； （）根据新定义运算列出方程即可求解； （）根据新定义运算列出方程，求出与的关系，再代入代数式计算即可求解； 本题考查了有理数的新定义运算，绝对值的意义，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或； （3）解：由题意得，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ， ， ∴ ， ． 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）规定新运算：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方， 例如：等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作：“的圈次方”．一般地，把个相除记作，读作“的圈次方” (1)直接写出计算结果：_______，________． (2)关于除方，下列说法正确的是________． ①任何非零数的圈次方都等于； ②对于任何正整数，的圈次方都等于； ③； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． (3)算一算：． 【答案】(1)， (2)①②④ (3) 【分析】本题考查的是乘方、有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义的计算公式逐步计算． （1）利用定义及有理数的除法法则计算即可； （2）利用定义及有理数的除法法则计算逐项分析即可； （3）利用定义及有理数的除法法则计算逐项分析即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， 故答案为：，． （2）解：①任何非零数的圈次方表示的是两个相同非零数的商，结果都等于，正确； ②对于任何正整数，的圈次方表示的是个相除，都等于；正确； ③，，故，错误； ④负数的圈奇数次方表示奇数个负数相除，结果是负数，负数的圈偶数次方表示偶数个负数相除，结果是正数，正确； 故答案为：①②④ （3）解：∵ ∴， ， ， ， ， ． 7．（24-25七年级上·北京·期中）定义：将n个互不相等的有理数两两相乘．得到的乘积是m个互不相等的数（相同的乘积看作是一个数），称这m个数为这n个有理数的二维组． 例如：有三个有理数0，1，3，因为，则0和3组成这三个数的二维组． (1)求1，2，4，8这四个数的二维组中的所有数． (2)若某几个有理数的二维组中的数是0，，，，12，18，24，尝试求解这几个有理数． (3)当时，即给定任意五个有理数，m的最小值是________，写出一组满足条件的五个有理数为________． 【答案】(1)2，4，8，16，32 (2)或 (3)5； 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算： （1）根据有理数乘法计算法则求出这4个数两两相乘的结果即可得到答案； （2）二维数组中有0，则这几个有理数中必定有一个数为0，假设这几个有理数中，有一个数不为整数，设这个数为a，则有一个数b满足，则可推出一定是二维数组中的每个数，再由，，，12，18，24这几个数中除以后的结果都不能是某个有理数的平方，可得这几个有理数都是整数；若有一个有理数为1，那么其它的有理数都是偶数，则此时必有一个有理数为，再由二维数组中有24和18，此时必有有理数为和，这与假设矛盾，当有有理数时，那么其它的有理数都是偶数，此时必有一个有理数为，再由二维数组中有24和18，得到此时必有有理数为和，这与假设矛盾；当有一个有理数为3时，那么其它的有理数都是偶数，可得此时必有一个有理数为，进而推出此时必有有理数4和6，则有理数满足题意，同理有理数也满足题意； （3）要使m的值最小，那么一定要保证这5个数里面有1个数为0，根据4个数两两相乘一共有6种结果，则当剩下的4个数两两相乘的结果要最少，由1乘以任何数等于任何数，负1乘以任何数等于任何数的相反数，故当有时，且剩下两个数互为相反数，那么这4个数相乘的结果就会重复2个数，即相乘的结果最少，据此求解即可． 【详解】（1）解：，，，，，， ∴1，2，4，8这四个数的二维组中的所有数为2，4，8，16，32； （2）解：∵二维数组中有0， ∴这几个有理数中必定有一个数为0， 假设这几个有理数中，有一个数不为整数，设这个数为a，则有一个数b满足， ∴一定有一个数满足，一定有一个数满足， ∴一定是二维数组中的每个数， ∵，，，12，18，24这几个数中除以后的结果都不能是某个有理数的平方， ∴这几个有理数都是整数； 若有一个有理数为1，那么其它的有理数都是偶数， ∵， 此时必有一个有理数为， ∵二维数组中有24和18， ∴此时必有有理数为和，这与假设矛盾， ∴没有有理数1， 当有有理数时，那么其它的有理数都是偶数， ∵， ∴此时必有一个有理数为， ∵二维数组中有24和18， ∴ 此时必有有理数为和，这与假设矛盾； 当有一个有理数为3时，那么其它的有理数都是偶数， ∵， ∴此时必有一个有理数为， ∵二维数组中有24，且， ∴此时必有有理数4和6， ∵， ∴这时有理数满足题意， 同理有理数也满足题意； （3）解：∵0乘以任何数为0， ∴要使m的值最小，那么一定要保证这5个数里面有1个数为0， ∵4个数两两相乘一共有6种结果， ∴当剩下的4个数两两相乘的结果要最少， ∵1乘以任何数等于任何数，负1乘以任何数等于任何数的相反数， ∴当有时，且剩下两个数互为相反数，那么这4个数相乘的结果就会重复2个数，即相乘的结果最少， 综上所述，5个不同的数相乘时不同的结果最少为5个，即，此时满足题意的有理数可以为， 故答案为：5；． 8．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）将n个0或1排列在一起组成了一个数组，记为，其中，都取0或1，称A是一个n元完美数组（且n为整数）． 例如：都是2元完美数组，都是4元完美数组，但不是任何完美数组．定义以下两个新运算： 新运算1：对于x和y，， 新运算2：对于任意两个n元完美数组和， ，例如对于3元完美数组和， 有． (1)在中是3元完美数组的为：___________； (2)设，则________； (3)已知完美数组求出所有4元完美数组N，使得; (4)对于m个不同的2024元完美数组中任意两个完美数组P、Q，都有，则m的最大值为___________． 【答案】(1) (2)2 (3) (4)2025 【分析】本题结合新定义运算考查了有理数的运算，关键在于阅读理解新运算的含义，灵活运用有理数的运算技能技巧，逐步提高符合意识素养． （1）根据元完美数组的定义判断即可； （2）依据新运算定义进行计算即可； （3）依据新运算定义，尝试使得的计算结果即可； （4）根据新运算定义，则可知数组，中对应位置不能同时为1，由数组，的任意性可知：完美数组中元素最多只能有一个1，即可推出的最大可能值是． 【详解】（1）解：在中不是完美数组，是4元完美数组， 所以3元完美数组的有：， 故答案为：； （2）解：∵，， ； 故答案为：2； （3）解：， 当时，，当时，，当时，， 综上即或0， ， ， ∵， 或 或 或 ； （4）解：∵， 、中对应位置的元不能同时为1， 每个数组有个元，1可以出现在个位置，或者全部为0， 的最大值为 故答案为：2025． 9．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）对于一个各个数位上的数字均不为零的三位正整数，如果它的百位数字、十位数字、个位数字是由依次减少相同的非零数字组成，则称这个三位数为“递减数”，记为，把这个“递减数”的百位数字与个位数字交换位置后，得到一个新的三位数，记为，例如交换后为123，即，规定，如． (1)求，的值． (2)若一个三位“递减数”的百位数字、十位数字、个位数字分别为、、，其中且为整数，求证：． (3)若是百位数字为9的数，是个位数字为1的数，且满足，记，求的最大值． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)最大值为325 【分析】本题考查了列代数式和整式加减的应用，解答关键要理解每个递减数的各数位数字递减的规律． （1）根据题意列出算式，进行计算，即可求解； （2）根据题意得出，，然后代入进行计算即可； （3）由于、为递减数，需要设出每个数的递减的数值为、，根据题意，列出、的关系，再用、表示即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， ∴ ； （3）解：设、的每个数位上的数字递减数值分别为、， 、为各个数位上的递减数值，递减后的数值不能使各数位上的数字小于1， 、分别取的整数， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ∴， ， ∵， ， ，且为整数， 当时，最大值为325． 10．（24-25七年级上·广东广州·期中）阅读理解：对于一个正的三位数，规定： 应用：有一个正的四位数，且， ， (1)若交换千位和个位上的数字，再交换百位和十位上的数字，所构成新的四位数是 ； (2)用减去(1)中构成的四位数，得到新的四位数记为，试判断百位和十位的数字之和是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)交换的百位和十位上的数字，又构成一个新四位数，记为；把和相加求和后得到的值为，求 ． 【答案】(1) (2)百位和十位的数字之和是定值，该定值为，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查整式的加减以及求代数式的值； （1）根据题意正确交换数位上的数字即可． （2）要根据，，，的大小关系，正确确定每个数位上的数字，计算百位和十位的数字之和，即可求解． （3）运用整体思想求的值． 【详解】（1）解：将正的四位数交换千位和个位上的数字，再交换百位和十位上的数字，所构成新的四位数是 故答案为：． （2）是定值． ， ，且，， ， 百位和十位的数字之和是， 百位和十位的数字之和是定值，该定值为． （3）， ， ， 解得． 故答案为：． 11．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）一个各数位数字均不为零的四位自然数，它的后两位数为，前两位数为，若为整数，则这个数为“仁智数”． 例如：，，，，是“仁智数”． (1)判断1254，1339是否是“仁智数”，如果是，请求出的值； (2)四位数是“仁智数”，它的千位数字为，百位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的； (3)若四位数、均为“仁智数”，且满足，则称为“仁智组合”，请问满足条件的“仁智组合”有_____个． 【答案】(1)1254不是“仁智数”， 1339是“仁智数”，且 (2)4545，1144，1199，1872 (3)1938 【分析】（1）根据新定义，仿照样例进行解答便可； （2）先由为整数得或9或16，进而得11，18，27，36，45，54，63，72，81，79，88，97．再由M是“仁智数”，得 为整数或为整数，进而分类求解即可； （3）先根据，得出，求出，或，或，，然后分三种情况求出所有P、Q的个数，得出答案即可． 【详解】（1）解：1254中， ∵，，， ∴1254不是“仁智数”． 1339中， ∵，，， ∴1339是“仁智数”，且． （2）解：∵， ，且a，b为整数， ∴． ∵为整数， ∴或7或14， ∴或9或16． ∴11，18，27，36，45，54，63，72，81，79，88，97． ∵M是“仁智数”， ∴为整数，设（k为整数），则， ∴， ∵为整数， ∴为整数或为整数． ①当为整数时， ∵11，18，27，36，45，54，63，72，81，79，88，97， ∴． ∵， ∴， ∴或， ∴或（舍去）， ∴． ②当为整数时， ∵根据题意 且k为整数， ∴， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或， 又∵11，18，27，36，45，54，63，72，81，79，88，97， ∴或， ∴或或． ∴满足条件的M为4545，1144，1199，1872． （3）解：∵，， ∴， ∵四位数、均为“仁智数”， ∴，， ∵，为整数， ∴，2，3，4，5，6，7，8，9，，2，3，4，5，6，7，8，9， ∵， ∴， ∴，或，或，， 当，时， 符合条件的四位数P满足，即， ∵，， ∴，， ∴， ∵四位数P中每个数字都不为0， ∴此时满足条件的数P有个， 符合条件的四位数Q满足，即， ∵，， 又∵四位数Q中每个数字都不为0， ∴此时满足条件的数Q有个， ∴此时满足条件的“仁智组合”有个； 当，时， 符合条件的四位数P满足，即， ∵，， ∴，， ∴， ∴此时满足条件的数P有个， 符合条件的四位数Q满足，即， ∵，， ∴，， ∴， 又∵四位数Q中每个数字都不为0， ∴此时满足条件的数Q有个， ∴此时满足条件的“仁智组合”有个； 当，时， 符合条件的四位数P满足，即， ∵，， ∴，， ∴， ∴此时满足条件的数P有个， 符合条件的四位数Q满足，即， ∵，， ∴， ∵四位数Q中每个数字都不为0， ∴此时满足条件的数Q有个， ∴此时满足条件的“仁智组合”有个； ∴满足条件的“仁智组合”有个． 【点睛】此题为新定义题型，根据题干中所给的新定义及运算规则来完成相关计算．该类题型主要考查学生对新知识的接受和应用能力．善于把新知识转化为常规知识是解题的关键． 12．（24-25七年级上·重庆·期中）如果两个多项式的和为单项式，则称它们互为“孪生多项式”，这个单项式称为它们的“孪生式”．如多项式与多项式，，3是单项式，则与互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”为3；又如多项式与多项式，，不是单项式，则与不是“孪生多项式”． (1)分别判断下列两组多项式是否互为“孪生多项式”；如果是，写出它们的“孪生式”；如果不是，请说明理由： ①与；        ②与． (2)若与互为“孪生多项式”，和为常数，求的值； (3)在（2）问的条件下，若多项式（，，为常数且）与多项式互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”的取值与无关，直接写出满足条件的多项式． 【答案】(1)①不是；理由见解析  ②是； (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式四则混合运算、求代数式值，准确理解新定义是解题的关键． （1）运用题目中的定义进行逐一计算、辨别； （2）先运用题目中的定义求得m，n的值，再代入求解； （3）根据先求得，，再根据C与互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”的取值与无关，求出a，b的值，结合求出c的值，即得C表达式 【详解】（1）① 不是，理由： ∵，不是单项式， ∴①组多项式不是互为“孪生多项式”；， ②是， ∵ ，是单项式， ∴②组多项式是互为“孪生多项式”， 它们的“孪生式”为 （2）∵与互为“孪生多项式”， ∴，且 ， ∴， 故； （3）∵， ∴， ∴， ∵与多项式互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”的取值与无关， ∴，且， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（24-25七年级上·广东·期中）同学们刚学完有理数相关运算后，老师又定义了一种新的“※（加乘）”运算，以下算式就是按照“※（加乘）”运算法则进行的运算： ；；；；；；． (1)①综合以上情形，有如下有理数“※（加乘）”运算法则：两数进行“※（加乘）”运算，同号______，异号______，并把绝对值______特别地，一个数与0进行“※（加乘）”运算，都得______； ②计算：______； ③若，则______，______； (2)化简：． 【答案】(1)①取正，取负，相加，绝对值；②；③， (2)当或时，原式 ；当时，原式 ；当或时，原式 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，整式的加减； （1）①根据已知算式得出法则：两数进行（加乘）运算，同号得正、异号得负，并把绝对值相加； ②依据所得法则计算可得； ③根据求出，，再代入计算即可求解． （2）分情况讨论的符号，再根据新定义进行计算即可求解． 【详解】（1）①综合以上情形，有如下有理数“※（加乘）”运算法则：两数进行“※（加乘）”运算，同号取正，异号取负，并把绝对值相加；特别地，一个数与0进行“※（加乘）”运算，都得绝对值． 故答案为：取正，取负，相加，绝对值； ②． 故答案为：； ③∵， ∴， 解得， 故答案为：，． （2）当时，，当时， 当时， 当时，， 当时，， ∴当或时， 当时， 当时，； 当时， 综上所述，当或时，原式 ；当时，原式 ；当或时，原式 14．（24-25七年级上·北京·期中）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1的项是“准同类项”．例如：与是“准同类项”． (1)给出下列三个单项式：①，②，③．其中与是“准同类项”的是______（填写序号）． (2)已知均为关于的多项式，，，．若的任意两项都是“准同类项”，求的值． (3)已知均为关于的单项式，，，其中，，和都是有理数，且．若与是“准同类项”，则的最大值是______，最小值是______． 【答案】(1)①③ (2)或 (3)； 【分析】（1）根据新定义，进行判断即可求解； （2）根据多项式的加减计算，根据C的任意两项都是“准同类项”，即可求解； （3）根据新定义得出的值，进而根据，，分三种情况讨论，化简绝对值，分别求得的最大值与最小值，即可求解． 【详解】（1）解：单项式，，中，与是“准同类项”的是， 故答案为：①③． （2）解：∵， ∴ ∵C的任意两项都是“准同类项”， ∴，且为正整数， ∴或； （3）解：∵，，与是“准同类项”， ∴，， ∴，， ∴ ∴，； ∵， ①若，   ∴，， 当取得最大值时，也取的最大值，即， ∴， ∴当取得最小值时，取得最大值，此时， ∴ 解得：，即的最大值为； ②若，   ∴，， ∵． ∴此情形不存在； ③若时   ∴，， ∴取得最大值为 ， ∵， ∴当取得最小值时，也取得最小值为， ∴， 解得：， 综上所述，最小值为，最大值为， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了新定义，整式的加减，绝对值的意义，解一元一次方程，熟练掌握新定义是解题的关键． 1．把数字1，2，3，… ，9分别填入右图的9个圈内，要求和的每条边上三个圈内数之和等于18，共有种不同填法，则(     ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查数的总和计算、方程思想及排列组合，解题的关键是通过边的总和与数字总和，确定关键位置 顶点、 顶点及中点）的数字组合，再统计排列数． 先算 总和为；设顶点和为、顶点和为、中点和为，由“每条边和为”得：条边总和 条边总和，结合，联立解得、、；由此确定（4、5、6）、（7、8、9）、（1、2、3），再统计的排列数即为总填法． 【详解】解：∵总和，设顶点和、顶点和、中点和， ∴， 联立解得：，，． ∵ 中仅1、2、3和为6，故中点为1、2、3； ∵ 中仅7、8、9和为，故顶点为7、8、9； ∵，剩余4、5、6和为，故顶点为4、5、6． 顶点（4、5、6）可全排列，共种； 顶点及中点由顶点唯一确定（如、时,，无需额外排列． 综上，总填法6种，对应选项C． 故选：C． 2．对于任意一个正整数可以按规则生成无穷数串：（其中为正整数），规则为：．下列说法中，①若，则生成的这个数串中必有（为正整数）；②若，生成的前2022个数之和为55；③若生成的数中有一个，则它的前一个数应为32；④若，则的值是9或56．其中正确的个数是 个． 【答案】2 【分析】本题考查了规律型-数字的变化类，新定义，能够理解定义，分别计算出每一组数串是解题的关键． 根据定义，是偶数，按计算，可得，是偶数，同理可得， 是奇数，按代入可得4，依次可得生成的数串为4，2，1，4，2，1，，发现每3个数一循环，有（为正整数），可作判断； 同理可得若，生成的数串为6，3，10，5，16，8，4，2，1，4，2，1，，由此可计算生成的前2022个数之和可作判断； 计算16的前一个数，可能是32或5两种情况，从而作判断； 计算第4个数是7时，前3个数，分情况讨论可作判断． 【详解】解：①若，即是偶数，， ， ， ， ， 每个数一循环，有，，， ∴若，则生成的数串中必有：（为正整数），故①符合题意； ②若，即是偶数， ， ， ， ， ， ， ， ， 从开始，每个数一循环，， ∴生成的前个数之和，故②不符合题意； ③若生成的数中有一个，则有两种情况： 当是偶数时， ， 当是奇数时， ， 若生成的数中有一个，则它的前一个数应为32或5，故③不符合题意； ④当时，有两种情况： 当是偶数时，，，，或， 当是奇数时，，（不符合题意，舍去），故④符合题意； 综上，其中正确的结论是①④，共个． 故答案为：． 3．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离_______，线段的中点C表示的数为_______； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为_______；点Q表示的数为_______； (2)求当t为何值时，； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)①10，3；②，； (2)1或3； (3)不变，5． 【分析】（1）①根据题目所给的两点距离公式以及两点中点公式进行求解即可；②根据数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动进行求解即可得到结果； （2）由（1）②得t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，则，再由，可得，由此求解即可； （3）根据两点中点公式，分别求出点M表示的数，点N表示的数，即可得出线段的长度． 【详解】（1）解：①由题意得：，线段AB的中点C为， 故答案为：10，3； ②数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动． t秒后，点P表示的数为：，点Q表示的数为：； 故答案为：，； （2）解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴， 又∵， ∴， 解得：或3， ∴当或3时，； （3）解：不发生变化，理由如下： ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴． 【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的中点表示方法，解题的关键在于理解题意，能够熟练掌握数轴上两点的距离计算公式． 4．计算：． 【答案】 【分析】本题考查乘法的简便运算，对原式中各项的乘法部分进行变形是解题的关键．先将每一项的第一个因数都写成2的幂次方形式，即将原式写成，①式两边同时乘以2，则，得，，两边同时乘以2，则，得，，据此即可求解． 【详解】设 , 两边同时乘以2，则， 得，， ， 两边同时乘以2，则 ， 得，， ． 5．已知任意一个大于1的正整数m的三次幂均可以分裂成m个连续奇数的和，如，按照此规律，若分裂后，有一个奇数是2023，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查探索数的规律的问题，主要从特殊出发得出一般规律，观察规律，分裂成的数都是奇数，且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的积再加上1，奇数的个数等于底数，然后找出所在的奇数的范围，即可得解． 【详解】 解：∵底数是2的分裂成2个奇数，且分裂后的第一个数可以表示为；底数为3的分裂成3个奇数，且分裂后的第一个数可以表示为；底数为4的分裂成4个奇数，且分裂后的第一个数可以表示为， ∴， ∵， 个连续奇数的平均数为， ∵2023是m个奇数的其中一个， ∴的值应与2023接近， ∵与2023非常接近， 故检验， 当时分裂出来的首项为，末项为， ∵， ∴符合题意． 6．对于有理数，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如：，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)和5关于2的“美好关联数”为______； (2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为和关于2的“美好关联数”为知关于3的“美好关联数”为和关于41的“美好关联数”为． ①求的最小值； ②求的最小值． 【答案】(1)8 (2)或 (3)①1；② 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离． （1）认真读懂题意，利用新定义计算即可 （2）利用新定义计算求未知数x； （3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算； ②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，一一分析到2、4、6、8、……、n的距离和为1的时候两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值． 【详解】（1）解： ， 和5关于2的“美好关联数”为8， 故答案为：8； （2）解∶和2关于3的“美好关联数”为4， ， ， 解得或； （3）解∶ ①和关于1的“美好关联数”为1， ， 在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， 有最小值1， 故答案为：1； ②由题意可知：， ， 的最小值； ， ， 的最小值； 同理，的最小值； 的最小值； …… 的最小值； 的最小值： ． 7．如图，数轴上有三个点、、，表示的数分别是、、，请回答： (1)若使两点的距离与两点的距离相等，则需将点向左移动　　　个单位； (2)若移动、、三点中的两个点，使三个点表示的数相同，移动方法有　　　种，其中移动所走的距离和最小的是　　　个单位； (3)若在原点处有一只小青蛙，一步跳1个单位长．小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步，…，按此规律继续跳下去，那么跳第次时，应跳　　　步，落脚点表示的数是　　　； (4)数轴上有个动点表示的数是，则的最小值是　　　． 【答案】(1)3或7 (2) (3) (4)5 【分析】（1）由等于2，结合数轴即可知道向左移动的距离； （2）分为三种：移动，移动，移动，然后计算每种情况移动所走的距离和即可； （3）根据规律发现，所跳步数都是奇数，写出表达式，然后把代入进行计算即可求解，根据向左跳是负数，向右跳是正数，列出算式，然后两个数一组，计算后再求和即可，当跳了n次时，分n是偶数与n是奇数两种情况讨论求解； （4）根据绝对值的意义，可知是数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离，是数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离，现在要求的最小值，由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当时，有最小值． 【详解】（1） 由数轴可知：，两点的距离为2， B点，C点表示的数分别为：，此时的距离为5， 所以当两点的距离与，两点的距离相等时， C点表示的数应为或， 需将点C向左移动3个单位或7个单位． （2） 有3种方法：①移动，把点B向左移动2个单位长度， 把C向左移动7个单位长度，移动距离之和为：， ②移动，把点A向右移动2个单位长度，把C向左移动5个单位长度， 移动距离之和为：， ③移动，把点A向右移动7个单位长度，把B向左右移动5个单位长度， 移动距离之和为：． 所以移动所走的距离和最小的是7个单位． （3） ∵第1次跳1步，第2次跳3步， 第3次跳5步，第4次跳7步，， 第n次跳步， 当时，， 由向左跳是负数，向右跳是正数， 此时，所表示的数是：， ， ， ． 应跳步，落脚点表示的数是． （4） 当时，有最小值， 此时，， ． 则的最小值是5． 【点睛】本题主要考查数轴上两点之间的距离的求解问题，以及数字变化规律的探讨问题，仔细分析，从中理清问题变化的思路是解决问题的关键． 8．综合与实践 素材1：如右图是一款单肩包的背带，背带由双层部分、单层部分、调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）． 素材2：对该单肩包背带的单层部分长度和双层部分的长度进行测量，得到下表中数据： 单层部分的长度 0 2 4 6 8 … 150 双层部分的长度 75 74 73 72 a … 0 素材3：根据小明同学的身高，背带的总长度为时，背起来最舒适，此时单层部分的长度为，周末小明妈妈已经帮小明调到最舒适的长度，可小明出门时还是习惯性把调节扣调整了五次，下表是五次调节的情况（调节扣向单层方向移动记为正，向双层方向移动记为负，单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 请根据上述素材，解答以下问题： (1)素材2的表格中________． (2)在小明的五次调节中哪一次最接近舒适长度？此时背带总长度是多少？ (3)小明每次滑动调节扣之后都要一次性把双层部分拉直，求这五次调节过程中经过悬挂点的背带共多长？ 【答案】(1)71 (2)第三次调节最舒服，此时总长为 (3) 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，数字类规律探究： （1）根据表格得到单层长度每增加2米，双层长度减少1米，进行求解即可； （2）求出每一次调整后的长度，进行判断即可； （3）根据拉直时，经过悬挂点的背带的长度为调整长度的，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：由表格可知，单层长度每增加2，双层长度减少1， ∴； 故答案为：； （2）背带的总长度为时，双层长度为：， 第一次调整，单层的长度变为，双层长度变为，总长为； 第二次调整，单层的长度变为，双层长度变为，总长为； 第三次调整，单层的长度变为，双层长度变为，总长为； 第四次调整，单层的长度变为，双层长度变为，总长为； 第五次调整，单层的长度变为，双层长度变为，总长为； 故第三次调节最舒服，此时总长为； （3）． 答：这五次调节过程中经过悬挂点的背带共． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 42 / 96 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $