专题02 分式 10个题型（期中专项训练）八年级数学上学期新教材湘教版

专题02 分式 题型1 分式的定义及有意义的条件（易错） 题型6 整数指数幂的运算（重点） 题型2 分式的基本性质 题型7 分式方程的解法（常考点） 题型3 分式的混合运算（常考点） 题型8 分式方程无解的情况（难点） 题型4 分式的化简求值（重点） 题型9 分式方程的实际应用（重点） 题型5 用科学记数法表示绝对值小于1的数（常考点） 题型10 分式的新定义问题（难点） 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一分式的定义及有意义的条件（共7小题） 1．（24-25八年级下·四川内江·期中）下列各式:，，，，，．其中分式有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，解题的关键是正确理解分式的定义． 根据分式的定义，分母中含有字母的式子称为分式，逐一判断各式的分母是否含有字母即可． 【详解】解：∵，，的分母中含有字母，符合分式的定义， ∴，，是分式， ∵，，分母中不含字母，不符合分式的定义， ∴，，不是分式， ∴，，，，，中，共有个分式， 故选：． 2．（24-25八年级下·河南郑州·期中）下列代数式中是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的识别，理解分式的定义是解题关键．分母中含有字母的代数式称为分式．根据分式的定义，逐一分析各选项的分母是否含有字母即可． 【详解】解：A.，分母为，含有字母，是分式，符合题意； B.，分母为（圆周率，常数），不含字母，不符合题意； C.，分母为常数8，属于分数，不符合题意； D.，分母为常数2，属于整式，不符合题意． 故选：A． 3．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）要使分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，由分式有意义的条件得，即可求解；理解“分式有意义的条件：．”是解题的关键． 【详解】解：要使分式有意义， ， 解得：； 故选：D． 4．（24-25八年级下·福建泉州·期中）要使式子有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件．根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题意可知， 时，分式有意义， 解得． 故选：C． 5．（24-25八年级下·吉林长春·期中）若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件；根据分式有意义的条件是分母不等于0列式计算即可． 【详解】解：依题意， 解得： 故选：D． 7．（24-25八年级下·四川成都·期中）若分式的值为0，则 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是分子为0且分母不为0是解题的关键．根据分式的值为零的条件即可求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 故答案为：2025． 题型二 分式的基本性质（共6小题） 8．（23-24八年级下·四川眉山·期中）下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质以及分式的减法运算．根据分式的基本性质和分式的加减运算法则逐项进行判断即可． 【详解】解：A、需添加一个条件，故A错误，不符合题意； B、，故B正确，符合题意； C、分母、分子分别加1，分式值发生改变，故C错误，不符合题意； D、，故D错误，不符合题意． 故选：B． 9．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）下列等式从左到右成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键，注意：①分式的基本性质是：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，②分式分子的符号，分式分母的符号，分式本身的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变． 根据分式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、，原等式不成立，选项错误； B、，原等式成立，选项正确； C、，原等式不成立，选项错误； D、，原等式不成立，选项错误. 故选：B． 10．（24-25八年级下·河南周口·期中）下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查约分的性质．熟练掌握，即可解题． 根据分式约分的规则，逐一验证各选项的正确性．约分需分子分母同时除以公因式，且不改变原式的值． 【详解】选项A： 分子分母均为负数，相除结果应为正数．正确结果应为，故A错误． 选项B： 分子与分母相同，当时，分式值为1，而非0，故B错误． 选项C： 分母分解因式得，分子为，约去公因式后结果为（前提且），故C正确． 选项D： 根据分式基本性质，分子分母同时乘以非零数，等式成立，但此操作为分式变形而非约分（约分需约去公因式），故D不符合题意． 综上，正确答案为：C． 11．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列各分式中，最简分式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外，没有其他的公因式，这样的分式叫最简分式）逐项分析即可判断． 【详解】解：A、，故此选项不是最简分式，不符合题意； B、，故此选项不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，故此选项不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 12．（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）方程 的分母、分子都化为整数后的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． 利用分式的基本性质，分子分母同时乘10即可化为整数． 【详解】解： 故选：B． 13．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）把分式中的x和y都扩大为原来的5倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的10倍 C．不变 D．缩小为原来的倍 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，将原分式中的x和y均扩大为原来的5倍，代入化简后与原式比较，判断分式值的变化． 【详解】原分式为，当x和y均扩大为原来的5倍时，代入得： ， ∴式中的x和y都扩大为原来的5倍后的值为原来的5倍． 故选A． 题型三 分式的混合运算（共4小题） 14．（24-25九年级下·江苏连云港·期中）化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键．先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】解： ． 15．（23-24八年级上·山东淄博·期中）化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查分式的混合运算，掌握分式混合运算的法则是解题的关键． （1）将每个分式的分子、分母分解因式后将除法变为乘法后约分即可． （2）先通分计算括号内的运算，然后再计算除法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 16．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了异分母分式加减运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先将异分母分式化为同分母分式，再相加约分即可； （2）先将括号的式子通分，再将除法变为乘法，再约分即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 17．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减乘除混合运算，解题关键是熟练运用分式的运算法则，从而完成求解． 根据异分母分式的减法先化简括号里的，再根据分式的除法化简． 【详解】解： ． 题型四 分式的化简求值（共4小题） 18．（23-24八年级下·吉林长春·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题考查分式的混合运算及化简求值． 先通分计算括号内分式的减法，然后把除法转化为乘法进行约分，化到最简后代入x的值计算即可． 【详解】解：原式 ， 将代入，得： 原式． 19．（23-24八年级上·山东淄博·期中）先化简：，再从中选一个适合的整数代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，再结合分式有意义的条件代入计算即可． 【详解】解： ， ∴， ∴当时，原式． 20．（2024·安徽阜阳·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法转化成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，． 21．（24-25九年级下·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型五 用科学记数法表示绝对值小于1的数（共4小题） 22．（23-24七年级下·江西九江·期中）目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有，将0.00000004用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：． 故选：B． 23．（24-25九年级下·新疆·期中）2024年9月中国的半导体迎来了重大的突破，上海宣布中国实现14纳米（1纳米米）芯片量产，量产的意义和影响深远．14纳米用科学记数法可表示为 米． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：14纳米米米， 故答案为：． 24．（25-26七年级下·全国·期中）古语有云：“水滴石穿．”如果水珠不断滴在一块石头上，经过若干年，石头上形成了一个深为0.0000046cm的小洞，数0.0000046用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此即可得出答案． 这里． 【详解】解：． 故答案为：． 25．（24-25八年级下·重庆·期中）清代袁枚的一首诗苔中的诗句“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 题型六 整数指数幂的运算（共5小题） 26．（24-25八年级上·四川资阳·期中）的平方根是 ；若，，则 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查乘方、平方根和同底数幂的除法，分别根据相关知识计算出结果即可． 【详解】解：， 16的平方根是， 所以，的平方根是； 因为，， 所以． 故答案为：；． 27．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）计算：   ， ， ． 【答案】 【分析】此题主要考查了幂的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． ①根据负整数指数法则计算即可；②计算算术平方根即可；③用0指数与负整数指数法则计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：；；． 28．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整数指数幂、零指数、绝对值和减法的混合运算，解题关键是熟练掌握运算法则计算．根据整数指数幂、零指数、绝对值和减法的混合运算，分步处理各部分后计算． 【详解】解： 29．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)字母m，n，p之间的数量关系为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）逆用幂的乘方，进行计算即可； （2）逆用幂的乘方和同底数幂的乘法和除法法则进行计算即可； （3）利用幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． 30．（25-26七年级上·浙江·期中）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先计算绝对值，乘方运算，再按照先乘除后加减的顺序计算即可； （2）先计算乘方，再按照先乘除后加减的顺序计算即可． （3）先计算乘方，开平方，开立方，再按照从左到右的顺序计算即可． （4）先计算立方和开立方，化简绝对值，再按照从左到右的顺序计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查的是实数的混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型七 分式方程的解法（共4小题） 31．（2025·江苏徐州·中考真题）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是将分式方程化为整式方程求解，最后要检验所得的根是否为增根．通过交叉相乘将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后检验所得的根． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项：， ∴， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 故答案为：． 32．（23-24八年级上·山东淄博·期中）解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程的解为． （2）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程无解． 33．（23-24八年级下·福建漳州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查的是解分式方程； （1）先将分式方程去分母转化为整式方程，求出方程的解，经检验即可得到分式方程的解；（2）先将分式方程去分母转化为整式方程，求出方程的解，经检验即可得到分式方程的解，注意使分母为零的根是方程的增根． 【详解】（1）解： 方程两边同乘以，得 ， 解得． 检验：把代入，得， 所以，是原方程的解． （2）解： 方程两边同乘以，得 ，解得． 检验：把代入，得， 所以原分式方程无解． 34．（24-25八年级下·福建泉州·期中）解方程：． 【答案】分式方程无解． 【分析】本题考查了解分式方程，先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 【详解】解： ， 检验：当时，， ∴分式方程无解． 题型八 分式方程无解的情况（共4小题） 35．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）已知关于x的分式方程，若方程有增根，求k的值． 【答案】k的值为6或 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的根的情况求参数；按解分式方程的步骤把分式方程化为整式方程，整理得，根据分式方程有增根，得出或， 并把，分别代入中，进行计算，即可求得k的值． 【详解】解：， 分式方程两边同时乘上，得， ， 解得， 由题知，该分式方程有增根，即， 解得或， 当时，得，解得， 当时，得，解得， 综上所述，k的值为6或． 36．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）已知关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查分式方程无解问题，去分母，将方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； 方程无解，分两种情况： ①当整式方程无解时，则：，解得：； ②当分式方程有增根时，则：，解得：； 把代入，得：，解得：； 综上：或； 故答案为：或． 37．（24-25八年级下·重庆·期中）已知，关于x的方程：． (1)若方程无解，求m的取值； (2)若方程的解为整数，求整数m的取值． 【答案】(1)或或 (2)或 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程． （）根据分式方程的解法得出，分当时方程有增根，当时原分式方程无解，从而求解； （）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； ∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （2）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 38．（24-25八年级下·福建泉州·期中）已知关于的分式方程 (1)若分式方程无解，求的值； (2)若分式方程的解是负数，求的取值范围． 【答案】(1)的值为或或； (2)且． 【分析】本题主要考查了解分式方程、根据方程的解的情况求参数的取值范围，分式方程无解分为两种情况：分式方程化成的整式方程无解、整式方程的解是分式方程的增根． 首先解分式方程可得：，若整式方程无解，则有，若整式方程的解是分式方程的增根，则有或，可以解得或； 解分式方程可得：，因为分式方程的解是负数，可得：，所以可得：，又因为当时，解出的根是原分式方程的增根，所以的取值范围为且． 【详解】（1）解: 方程两边同时乘以， 可得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 当整式方程无解时，则， 即 ， 当整式方程的解为分式方程的增根时， 则， 或， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：，     综上所述，的值为或或； （2）解：由得： ， ， 解得：， 又 ， ， 且， 的取值范围为且． 题型九 分式方程的实际应用（共9小题） 39．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）如今倡导绿色出行，共享单车和共享电动车成为常见出行工具．假设某社区组织居民去距离社区的环保主题公园参加环保宣传活动．一部分居民骑共享单车先出发，后其余居民骑共享电动车出发，结果同时到达．已知共享电动车的速度是共享单车速度的1.5倍，设共享单车的速度为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是根据路程、速度、时间的关系，结合共享单车和共享电动车行驶时间的差异列出方程． 先分别表示出共享单车和共享电动车行驶所需的时间，再根据共享单车先出发（换算为小时）且同时到达，得出两者时间差的等式． 【详解】解：根据题意可得方程：， 故选：D． 40．（24-25八年级下·四川成都·期中）为落实习近平总书记关于科技创新的重要论述，大力弘扬科学家精神，某中学组织八年级学生乘车前往科技场馆参加研学活动，现有两条路线可供选择：路线A的全程是30千米，但交通比较拥堵，路线B的全程是35千米，但平均车速比走路线A时能提高，若走路线B能比走路线A少用10分钟．求走路线A和路线B的平均速度分别是多少？ 【答案】走路线的平均速度是40千米时，走路线的平均速度是60千米时． 【分析】本题考查分式方程解决实际问题．设走路线的平均速度为千米时，则走路线的平均速度为千米时，走路线需用时小时，走路线需用时小时，根据“走路线能比走路线少用分钟”即可列出方程，求解并检验即可解答． 【详解】解：设走路线的平均速度为千米时， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是该分式方程的解，且符合题意． ． 答：走路线的平均速度是40千米时，走路线的平均速度是60千米/时． 41．（24-25八年级下·上海·期中）A、B两地间的路程为150千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，2小时相遇．相遇后，两车各以原来的速度继续行驶，甲车到达B地后立即原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A地，求甲、乙两车的速度． 【答案】甲车的速度为、乙车的速度 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 先设甲的速度为，乙的速度为，由第一次相遇可知路程和为得到，则，再由“甲、乙两车同时到达A地”可知时间相同，继而建立分式方程求解． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为， 由题意得：， ∴， ∴， 解得：， 经检验：时原方程的解，且符合题意， 则 答：甲车的速度为、乙车的速度． 42．（24-25八年级下·四川成都·期中）为提升成都历史文化街区风貌，市政府计划修建一条连接锦里古街与金沙遗址的文化步道，全长7000米，甲工程队修3000米后，因另有其它任务离开，调来乙工程队接着修路，乙队修完后，甲、乙两队共用50天，乙工程队每天修路的长度是甲工程队每天修路长度的2倍，求甲队每天修路多少米． 【答案】100米 【分析】本题考查分式方程的应用，设甲队每天修路x米，则乙队每天修路米，根据甲、乙两队共用50天，列分式方程，求出解后进行检验即可． 【详解】解：设甲队每天修路x米，则乙队每天修路米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：甲队每天修路100米． 43．（24-25八年级下·吉林长春·期中）某工厂现在平均每天比原计划多生产50件产品，现在生产1200件产品所需时间与原计划生产900件产品所需时间相同，求现在平均每天生产产品的数量． 【答案】现在平均每天生产产品200件 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设现在平均每天生产产品x件，根据生产1200件产品所需时间与原计划生产900件产品所需时间相同，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设现在平均每天生产产品x件，则原计划平均每天生产产品件， 根据题意，得．解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：现在平均每天生产产品200件． 44．（24-25八年级下·四川成都·期中）今年春节，《哪吒之魔童降世》上映后非常火爆，哪吒、敖丙等角色的玩偶深受大家的喜爱，成都某商场准备采购一批这样的玩偶套装进行销售，用16000元采购A套装的件数是用7500元采购B套装的件数的2倍，并且一件A套装的进价比一件B套装的进价多10元． (1)求A、B套装每套的进价分别是多少元？ (2)若该商场购进A、B套装共150件进行试销，已知每件A套装的售价为230元，每件B套装售价为210元，这批货全部售出且获得的利润不多于9800元．求至多购进A套装多少件？ 【答案】(1)160元；150元 (2)80件 【分析】（1）设B套装每套的进价是x元，则A套装每套的进价是元，根据用16000元采购A套装的件数是用7500元采购B套装的件数的2倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进A套装m件，则购进B套装件，根据这批货全部售出且获得的利润不多于9800元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】（1）解：设B套装每套的进价是x元，则A套装每套的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ， 答：A套装每套的进价是160元，B套装每套的进价是150元； （2）解：设购进A套装m件，则购进B套装件， 由题意得：， 解得：， 答：至多购进A套装80件． 45．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）2025年2月7日第九届亚洲冬季运动会开幕式在哈尔滨举行，此次亚冬会的吉祥物是以东北虎为原型的卡通形象“滨滨”和“妮妮”，某商店出售亚冬会吉祥物的挂件，已知每个“滨滨”挂件的进价比每个“妮妮”挂件的进价多10元．用180元购进“滨滨”挂件与用120元购进“妮妮”挂件的个数相同． (1)求每个“滨滨”挂件和每个“妮妮”挂件的进价各是多少元； (2)若商店老板准备购买“滨滨”和“妮妮”两种挂件共100个，且总费用不超过2700元，则最多购买“滨滨”挂件多少个？ 【答案】(1)每个“滨滨”挂件进价元，则每个“妮妮”挂件的进价元； (2)最多购买“滨滨”挂件个． 【分析】本题考查了分式方程以及一元一次不等式的应用． （1）设每个“滨滨”挂件进价元，则每个“妮妮”挂件的进价元，根据“用180元购进“滨滨”挂件与用120元购进“妮妮”挂件的个数相同”，进行方程，解出，注意验根，即可作答； （2）设购买个“滨滨”，则购买个“妮妮”，根据“总费用不超过2700元”，进行列不等式，解出，即可作答． 【详解】（1）解：设每个“滨滨”挂件进价元，则每个“妮妮”挂件的进价元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元）， 答：每个“滨滨”挂件进价元，则每个“妮妮”挂件的进价元； （2）解：设购买个“滨滨”，则购买个“妮妮”， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为， 答：最多购买“滨滨”挂件个． 46．（24-25八年级下·江苏南京·期中）一个长方体容器的容积为，开始用一根细水管向容器内注水，水面高度到达容器高度一半后，改用一根注水速度为细水管注水速度2倍的水管注水，向容器中注满水全过程共用，求两根水管各自的注水速度． 【答案】第一根细水管进水速度为，则第二根水管进水速度为 【分析】本题考查分式方程的应用，设第一根细水管进水速度为，则第二根水管进水速度为，一个长方体容器的容积为，开始用一根细水管向容器内注水，水面高度到达容器高度一半后，改用一根注水速度为细水管注水速度2倍的水管注水，向容器中注满水全过程共用可列方程求解． 【详解】解：设第一根细水管进水速度为，则第二根水管进水速度为，根据题意得 ， 解得：， 经检验是原方程的解． 答：第一根细水管进水速度为，则第二根水管进水速度为． 47．（24-25八年级下·吉林长春·期中）某实验室使用模型进行大型文本处理任务．但在实际处理时．由于优化了算法，每小时处理的文档数量比原计划增加了，结果完成600篇文档的处理任务时，实际用时比原计划少用了2小时．求原计划每小时处理多少篇文档？ 【答案】原计划每小时处理篇文档 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意找到关系式，建立分式方程是解题的关键． 设原计划每小时处理篇文档，则实际每小时处理篇文档，根据“完成600篇文档的处理任务时，实际用时比原计划少用了2小时”建立方程求解即可 【详解】解：设原计划每小时处理篇文档，则实际每小时处理篇文档， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是此方程的根， 答：原计划每小时处理篇文档． 题型十 分式的新定义问题（共4小题） 48．（24-25八年级下·重庆万州·期中）已知有序代数式串：，对其进行如下操作： 第1次操作：用第二个式子除以第一个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：，，；第2次操作：用第三个式子除以第二个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：，，，；依次进行上述操作，下列说法： ①第3次操作后得到的代数式串为：，，，，； ②第次操作后得到的新代数式与第次操作后得到的新代数式相同； ③第次操作后得到的代数式串之积为； 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查规律类探索、分式的除法，准确找出代数式串变化的规律是解题的关键．根据所给操作规则找出所得代数式串的变化规律，利用规律逐项判断即可． 【详解】解：由题意知，第3次操作时，用第四个式子除以第三个式子得到新代数式，，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新代数式串： ，，，，，故①正确； 依次类推，第4次操作后得到新代数式串：，，，，，， 第5次操作后得到新代数式串：，，，，，，， 第6次操作后得到新代数式串：，，，，，，，， 第7次操作后得到新代数式串：，，，，，，，，， …… 观察可知，从第7次操作开始，第次操作与第次操作后得到的新代数式相同，因此第次操作得到的新代数式与第次、第次操作后得到的新代数式相同，与第次操作后得到的新代数式不同，故②错误； 观察可知，从第5次操作开始，新代数串按照，，，，，的顺序循环出现，且每个循环中代数式的乘积为， 第次操作后所得新代数式串中有个代数式，， 前个代数式的积为，第至第个代数式的积为， 第次操作后得到的代数式串之积为，故③正确， 综上所述，说法正确的有个， 故选：B． 49．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求t的值； (3)已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”为4，若此时关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A与B是互为“和整分式”，“和整值” (2)①；② (3)或 【分析】（1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案； ②由，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：A与B是互为“和整分式”，理由如下： ∵，， ∴ ． ∴A与B是互为“和整分式”，“和整值”； （2）解：①∵，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数， ∴或， ∴或（舍去） ∴； （3）解：， ∴， ∴， 整理得：， ∵方程无解， ∴当时 解得：， ∴当，即时，方程有增根， ∴， 解得：， 综上，的值为：或． 【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键． 50．（24-25八年级下·四川眉山·期中）综合与探究 我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，∴，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，∴，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则______，______； (2)若十字分式方程，的两个解分别为，，求的值； (3)若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为，（，），求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题为新定义问题，考查了分式方程的解，分式的加减运算，完全平方公式的变形求解，因式分解的应用等知识，理解新定义，并将方程或式子灵活变形是解题关键． （1）类比题目中“十字分式方程”的答题方法即可求解． （2）结合运用“十字分式方程”得到，，将变形为，整体代入即可求解； （3）将原方程变形为，结合运用“十字分式方程”得到，，代入即可求解． 【详解】（1）解：依题意，可化为， ，． 故答案为：； （2）解：由已知得，， ； （3）解：原方程变为， ， ∵，且， ，， ，， ． 51．（24-25八年级下·福建泉州·期中）对于形如的分式方程，若，，容易检验，是分式方程的解，所以称该分式方程为“易解方程”． 例如：可化为， 容易检验，是方程的解， 是“易解方程”： 又如可化为， 容易检验，是方程的解， 也是“易解方程”．根据上面的学习解答下列问题： (1)若是“易解方程”，则______，______．（） (2)若，是“易解方程”的两个解，求的值； (3)设为自然数，若关于的“易解方程”的两个解分别为，（），求的值． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题属于材料分析题，考查分式方程的解、代数式求值等，理解题中“易解方程”的定义是解题的关键． （1）可化为，根据“易解方程”的定义即可判断； （2）根据“易解方程”的定义可知，，代入即可求解； （3）设，方程可化为，根据“易解方程”的定义求出方程的解，代入即可求解． 【详解】（1）解：是“易解方程”， 理由：可化为，， 该方程的解为，； （2）解：由题意可得，， 故； （3）解：由题意得是“易解方程”， 设，方程可化为， 易知n和是这个方程的解， ∵n为自然数， ∴， ∴必有，， ∴，， ∴． $专题02 分式 题型1 分式的定义及有意义的条件（易错） 题型6 整数指数幂的运算（重点） 题型2 分式的基本性质 题型7 分式方程的解法（常考点） 题型3 分式的混合运算（常考点） 题型8 分式方程无解的情况（难点） 题型4 分式的化简求值（重点） 题型9 分式方程的实际应用（重点） 题型5 用科学记数法表示绝对值小于1的数（常考点） 题型10 分式的新定义问题（难点） 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一分式的定义及有意义的条件（共7小题） 1．（24-25八年级下·四川内江·期中）下列各式:，，，，，．其中分式有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，解题的关键是正确理解分式的定义． 根据分式的定义，分母中含有字母的式子称为分式，逐一判断各式的分母是否含有字母即可． 【详解】解：∵，，的分母中含有字母，符合分式的定义， ∴，，是分式， ∵，，分母中不含字母，不符合分式的定义， ∴，，不是分式， ∴，，，，，中，共有个分式， 故选：． 2．（24-25八年级下·河南郑州·期中）下列代数式中是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的识别，理解分式的定义是解题关键．分母中含有字母的代数式称为分式．根据分式的定义，逐一分析各选项的分母是否含有字母即可． 【详解】解：A.，分母为，含有字母，是分式，符合题意； B.，分母为（圆周率，常数），不含字母，不符合题意； C.，分母为常数8，属于分数，不符合题意； D.，分母为常数2，属于整式，不符合题意． 故选：A． 3．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）要使分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，由分式有意义的条件得，即可求解；理解“分式有意义的条件：．”是解题的关键． 【详解】解：要使分式有意义， ， 解得：； 故选：D． 4．（24-25八年级下·福建泉州·期中）要使式子有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件．根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题意可知， 时，分式有意义， 解得． 故选：C． 5．（24-25八年级下·吉林长春·期中）若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件；根据分式有意义的条件是分母不等于0列式计算即可． 【详解】解：依题意， 解得： 故选：D． 7．（24-25八年级下·四川成都·期中）若分式的值为0，则 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是分子为0且分母不为0是解题的关键．根据分式的值为零的条件即可求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 故答案为：2025． 题型二 分式的基本性质（共6小题） 8．（23-24八年级下·四川眉山·期中）下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质以及分式的减法运算．根据分式的基本性质和分式的加减运算法则逐项进行判断即可． 【详解】解：A、需添加一个条件，故A错误，不符合题意； B、，故B正确，符合题意； C、分母、分子分别加1，分式值发生改变，故C错误，不符合题意； D、，故D错误，不符合题意． 故选：B． 9．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）下列等式从左到右成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键，注意：①分式的基本性质是：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，②分式分子的符号，分式分母的符号，分式本身的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变． 根据分式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、，原等式不成立，选项错误； B、，原等式成立，选项正确； C、，原等式不成立，选项错误； D、，原等式不成立，选项错误. 故选：B． 10．（24-25八年级下·河南周口·期中）下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查约分的性质．熟练掌握，即可解题． 根据分式约分的规则，逐一验证各选项的正确性．约分需分子分母同时除以公因式，且不改变原式的值． 【详解】选项A： 分子分母均为负数，相除结果应为正数．正确结果应为，故A错误． 选项B： 分子与分母相同，当时，分式值为1，而非0，故B错误． 选项C： 分母分解因式得，分子为，约去公因式后结果为（前提且），故C正确． 选项D： 根据分式基本性质，分子分母同时乘以非零数，等式成立，但此操作为分式变形而非约分（约分需约去公因式），故D不符合题意． 综上，正确答案为：C． 11．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列各分式中，最简分式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外，没有其他的公因式，这样的分式叫最简分式）逐项分析即可判断． 【详解】解：A、，故此选项不是最简分式，不符合题意； B、，故此选项不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，故此选项不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 12．（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）方程 的分母、分子都化为整数后的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． 利用分式的基本性质，分子分母同时乘10即可化为整数． 【详解】解： 故选：B． 13．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）把分式中的x和y都扩大为原来的5倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的10倍 C．不变 D．缩小为原来的倍 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，将原分式中的x和y均扩大为原来的5倍，代入化简后与原式比较，判断分式值的变化． 【详解】原分式为，当x和y均扩大为原来的5倍时，代入得： ， ∴式中的x和y都扩大为原来的5倍后的值为原来的5倍． 故选A． 题型三 分式的混合运算（共4小题） 14．（24-25九年级下·江苏连云港·期中）化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键．先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】解： ． 15．（23-24八年级上·山东淄博·期中）化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查分式的混合运算，掌握分式混合运算的法则是解题的关键． （1）将每个分式的分子、分母分解因式后将除法变为乘法后约分即可． （2）先通分计算括号内的运算，然后再计算除法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 16．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了异分母分式加减运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先将异分母分式化为同分母分式，再相加约分即可； （2）先将括号的式子通分，再将除法变为乘法，再约分即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 17．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减乘除混合运算，解题关键是熟练运用分式的运算法则，从而完成求解． 根据异分母分式的减法先化简括号里的，再根据分式的除法化简． 【详解】解： ． 题型四 分式的化简求值（共4小题） 18．（23-24八年级下·吉林长春·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题考查分式的混合运算及化简求值． 先通分计算括号内分式的减法，然后把除法转化为乘法进行约分，化到最简后代入x的值计算即可． 【详解】解：原式 ， 将代入，得： 原式． 19．（23-24八年级上·山东淄博·期中）先化简：，再从中选一个适合的整数代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，再结合分式有意义的条件代入计算即可． 【详解】解： ， ∴， ∴当时，原式． 20．（2024·安徽阜阳·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法转化成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，． 21．（24-25九年级下·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型五 用科学记数法表示绝对值小于1的数（共4小题） 22．（23-24七年级下·江西九江·期中）目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有，将0.00000004用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：． 故选：B． 23．（24-25九年级下·新疆·期中）2024年9月中国的半导体迎来了重大的突破，上海宣布中国实现14纳米（1纳米米）芯片量产，量产的意义和影响深远．14纳米用科学记数法可表示为 米． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：14纳米米米， 故答案为：． 24．（25-26七年级下·全国·期中）古语有云：“水滴石穿．”如果水珠不断滴在一块石头上，经过若干年，石头上形成了一个深为0.0000046cm的小洞，数0.0000046用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此即可得出答案． 这里． 【详解】解：． 故答案为：． 25．（24-25八年级下·重庆·期中）清代袁枚的一首诗苔中的诗句“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 题型六 整数指数幂的运算（共5小题） 26．（24-25八年级上·四川资阳·期中）的平方根是 ；若，，则 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查乘方、平方根和同底数幂的除法，分别根据相关知识计算出结果即可． 【详解】解：， 16的平方根是， 所以，的平方根是； 因为，， 所以． 故答案为：；． 27．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）计算：   ， ， ． 【答案】 【分析】此题主要考查了幂的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． ①根据负整数指数法则计算即可；②计算算术平方根即可；③用0指数与负整数指数法则计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：；；． 28．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整数指数幂、零指数、绝对值和减法的混合运算，解题关键是熟练掌握运算法则计算．根据整数指数幂、零指数、绝对值和减法的混合运算，分步处理各部分后计算． 【详解】解： 29．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)字母m，n，p之间的数量关系为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）逆用幂的乘方，进行计算即可； （2）逆用幂的乘方和同底数幂的乘法和除法法则进行计算即可； （3）利用幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． 30．（25-26七年级上·浙江·期中）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先计算绝对值，乘方运算，再按照先乘除后加减的顺序计算即可； （2）先计算乘方，再按照先乘除后加减的顺序计算即可． （3）先计算乘方，开平方，开立方，再按照从左到右的顺序计算即可． （4）先计算立方和开立方，化简绝对值，再按照从左到右的顺序计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查的是实数的混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型七 分式方程的解法（共4小题） 31．（2025·江苏徐州·中考真题）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是将分式方程化为整式方程求解，最后要检验所得的根是否为增根．通过交叉相乘将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后检验所得的根． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项：， ∴， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 故答案为：． 32．（23-24八年级上·山东淄博·期中）解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程的解为． （2）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程无解． 33．（23-24八年级下·福建漳州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查的是解分式方程； （1）先将分式方程去分母转化为整式方程，求出方程的解，经检验即可得到分式方程的解；（2）先将分式方程去分母转化为整式方程，求出方程的解，经检验即可得到分式方程的解，注意使分母为零的根是方程的增根． 【详解】（1）解： 方程两边同乘以，得 ， 解得． 检验：把代入，得， 所以，是原方程的解． （2）解： 方程两边同乘以，得 ，解得． 检验：把代入，得， 所以原分式方程无解． 34．（24-25八年级下·福建泉州·期中）解方程：． 【答案】分式方程无解． 【分析】本题考查了解分式方程，先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 【详解】解： ， 检验：当时，， ∴分式方程无解． 题型八 分式方程无解的情况（共4小题） 35．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）已知关于x的分式方程，若方程有增根，求k的值． 【答案】k的值为6或 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的根的情况求参数；按解分式方程的步骤把分式方程化为整式方程，整理得，根据分式方程有增根，得出或， 并把，分别代入中，进行计算，即可求得k的值． 【详解】解：， 分式方程两边同时乘上，得， ， 解得， 由题知，该分式方程有增根，即， 解得或， 当时，得，解得， 当时，得，解得， 综上所述，k的值为6或． 36．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）已知关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查分式方程无解问题，去分母，将方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； 方程无解，分两种情况： ①当整式方程无解时，则：，解得：； ②当分式方程有增根时，则：，解得：； 把代入，得：，解得：； 综上：或； 故答案为：或． 37．（24-25八年级下·重庆·期中）已知，关于x的方程：． (1)若方程无解，求m的取值； (2)若方程的解为整数，求整数m的取值． 【答案】(1)或或 (2)或 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程． （）根据分式方程的解法得出，分当时方程有增根，当时原分式方程无解，从而求解； （）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； ∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （2）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 38．（24-25八年级下·福建泉州·期中）已知关于的分式方程 (1)若分式方程无解，求的值； (2)若分式方程的解是负数，求的取值范围． 【答案】(1)的值为或或； (2)且． 【分析】本题主要考查了解分式方程、根据方程的解的情况求参数的取值范围，分式方程无解分为两种情况：分式方程化成的整式方程无解、整式方程的解是分式方程的增根． 首先解分式方程可得：，若整式方程无解，则有，若整式方程的解是分式方程的增根，则有或，可以解得或； 解分式方程可得：，因为分式方程的解是负数，可得：，所以可得：，又因为当时，解出的根是原分式方程的增根，所以的取值范围为且． 【详解】（1）解: 方程两边同时乘以， 可得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 当整式方程无解时，则， 即 ， 当整式方程的解为分式方程的增根时， 则， 或， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：，     综上所述，的值为或或； （2）解：由得： ， ， 解得：， 又 ， ， 且， 的取值范围为且． 题型九 分式方程的实际应用（共9小题） 39．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）如今倡导绿色出行，共享单车和共享电动车成为常见出行工具．假设某社区组织居民去距离社区的环保主题公园参加环保宣传活动．一部分居民骑共享单车先出发，后其余居民骑共享电动车出发，结果同时到达．已知共享电动车的速度是共享单车速度的1.5倍，设共享单车的速度为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是根据路程、速度、时间的关系，结合共享单车和共享电动车行驶时间的差异列出方程． 先分别表示出共享单车和共享电动车行驶所需的时间，再根据共享单车先出发（换算为小时）且同时到达，得出两者时间差的等式． 【详解】解：根据题意可得方程：， 故选：D． 40．（24-25八年级下·四川成都·期中）为落实习近平总书记关于科技创新的重要论述，大力弘扬科学家精神，某中学组织八年级学生乘车前往科技场馆参加研学活动，现有两条路线可供选择：路线A的全程是30千米，但交通比较拥堵，路线B的全程是35千米，但平均车速比走路线A时能提高，若走路线B能比走路线A少用10分钟．求走路线A和路线B的平均速度分别是多少？ 【答案】走路线的平均速度是40千米时，走路线的平均速度是60千米时． 【分析】本题考查分式方程解决实际问题．设走路线的平均速度为千米时，则走路线的平均速度为千米时，走路线需用时小时，走路线需用时小时，根据“走路线能比走路线少用分钟”即可列出方程，求解并检验即可解答． 【详解】解：设走路线的平均速度为千米时， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是该分式方程的解，且符合题意． ． 答：走路线的平均速度是40千米时，走路线的平均速度是60千米/时． 41．（24-25八年级下·上海·期中）A、B两地间的路程为150千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，2小时相遇．相遇后，两车各以原来的速度继续行驶，甲车到达B地后立即原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A地，求甲、乙两车的速度． 【答案】甲车的速度为、乙车的速度 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 先设甲的速度为，乙的速度为，由第一次相遇可知路程和为得到，则，再由“甲、乙两车同时到达A地”可知时间相同，继而建立分式方程求解． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为， 由题意得：， ∴， ∴， 解得：， 经检验：时原方程的解，且符合题意， 则 答：甲车的速度为、乙车的速度． 42．（24-25八年级下·四川成都·期中）为提升成都历史文化街区风貌，市政府计划修建一条连接锦里古街与金沙遗址的文化步道，全长7000米，甲工程队修3000米后，因另有其它任务离开，调来乙工程队接着修路，乙队修完后，甲、乙两队共用50天，乙工程队每天修路的长度是甲工程队每天修路长度的2倍，求甲队每天修路多少米． 【答案】100米 【分析】本题考查分式方程的应用，设甲队每天修路x米，则乙队每天修路米，根据甲、乙两队共用50天，列分式方程，求出解后进行检验即可． 【详解】解：设甲队每天修路x米，则乙队每天修路米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：甲队每天修路100米． 43．（24-25八年级下·吉林长春·期中）某工厂现在平均每天比原计划多生产50件产品，现在生产1200件产品所需时间与原计划生产900件产品所需时间相同，求现在平均每天生产产品的数量． 【答案】现在平均每天生产产品200件 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设现在平均每天生产产品x件，根据生产1200件产品所需时间与原计划生产900件产品所需时间相同，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设现在平均每天生产产品x件，则原计划平均每天生产产品件， 根据题意，得．解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：现在平均每天生产产品200件． 44．（24-25八年级下·四川成都·期中）今年春节，《哪吒之魔童降世》上映后非常火爆，哪吒、敖丙等角色的玩偶深受大家的喜爱，成都某商场准备采购一批这样的玩偶套装进行销售，用16000元采购A套装的件数是用7500元采购B套装的件数的2倍，并且一件A套装的进价比一件B套装的进价多10元． (1)求A、B套装每套的进价分别是多少元？ (2)若该商场购进A、B套装共150件进行试销，已知每件A套装的售价为230元，每件B套装售价为210元，这批货全部售出且获得的利润不多于9800元．求至多购进A套装多少件？ 【答案】(1)160元；150元 (2)80件 【分析】（1）设B套装每套的进价是x元，则A套装每套的进价是元，根据用16000元采购A套装的件数是用7500元采购B套装的件数的2倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进A套装m件，则购进B套装件，根据这批货全部售出且获得的利润不多于9800元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】（1）解：设B套装每套的进价是x元，则A套装每套的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ， 答：A套装每套的进价是160元，B套装每套的进价是150元； （2）解：设购进A套装m件，则购进B套装件， 由题意得：， 解得：， 答：至多购进A套装80件． 45．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）2025年2月7日第九届亚洲冬季运动会开幕式在哈尔滨举行，此次亚冬会的吉祥物是以东北虎为原型的卡通形象“滨滨”和“妮妮”，某商店出售亚冬会吉祥物的挂件，已知每个“滨滨”挂件的进价比每个“妮妮”挂件的进价多10元．用180元购进“滨滨”挂件与用120元购进“妮妮”挂件的个数相同． (1)求每个“滨滨”挂件和每个“妮妮”挂件的进价各是多少元； (2)若商店老板准备购买“滨滨”和“妮妮”两种挂件共100个，且总费用不超过2700元，则最多购买“滨滨”挂件多少个？ 【答案】(1)每个“滨滨”挂件进价元，则每个“妮妮”挂件的进价元； (2)最多购买“滨滨”挂件个． 【分析】本题考查了分式方程以及一元一次不等式的应用． （1）设每个“滨滨”挂件进价元，则每个“妮妮”挂件的进价元，根据“用180元购进“滨滨”挂件与用120元购进“妮妮”挂件的个数相同”，进行方程，解出，注意验根，即可作答； （2）设购买个“滨滨”，则购买个“妮妮”，根据“总费用不超过2700元”，进行列不等式，解出，即可作答． 【详解】（1）解：设每个“滨滨”挂件进价元，则每个“妮妮”挂件的进价元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元）， 答：每个“滨滨”挂件进价元，则每个“妮妮”挂件的进价元； （2）解：设购买个“滨滨”，则购买个“妮妮”， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为， 答：最多购买“滨滨”挂件个． 46．（24-25八年级下·江苏南京·期中）一个长方体容器的容积为，开始用一根细水管向容器内注水，水面高度到达容器高度一半后，改用一根注水速度为细水管注水速度2倍的水管注水，向容器中注满水全过程共用，求两根水管各自的注水速度． 【答案】第一根细水管进水速度为，则第二根水管进水速度为 【分析】本题考查分式方程的应用，设第一根细水管进水速度为，则第二根水管进水速度为，一个长方体容器的容积为，开始用一根细水管向容器内注水，水面高度到达容器高度一半后，改用一根注水速度为细水管注水速度2倍的水管注水，向容器中注满水全过程共用可列方程求解． 【详解】解：设第一根细水管进水速度为，则第二根水管进水速度为，根据题意得 ， 解得：， 经检验是原方程的解． 答：第一根细水管进水速度为，则第二根水管进水速度为． 47．（24-25八年级下·吉林长春·期中）某实验室使用模型进行大型文本处理任务．但在实际处理时．由于优化了算法，每小时处理的文档数量比原计划增加了，结果完成600篇文档的处理任务时，实际用时比原计划少用了2小时．求原计划每小时处理多少篇文档？ 【答案】原计划每小时处理篇文档 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意找到关系式，建立分式方程是解题的关键． 设原计划每小时处理篇文档，则实际每小时处理篇文档，根据“完成600篇文档的处理任务时，实际用时比原计划少用了2小时”建立方程求解即可 【详解】解：设原计划每小时处理篇文档，则实际每小时处理篇文档， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是此方程的根， 答：原计划每小时处理篇文档． 题型十 分式的新定义问题（共4小题） 48．（24-25八年级下·重庆万州·期中）已知有序代数式串：，对其进行如下操作： 第1次操作：用第二个式子除以第一个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：，，；第2次操作：用第三个式子除以第二个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：，，，；依次进行上述操作，下列说法： ①第3次操作后得到的代数式串为：，，，，； ②第次操作后得到的新代数式与第次操作后得到的新代数式相同； ③第次操作后得到的代数式串之积为； 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查规律类探索、分式的除法，准确找出代数式串变化的规律是解题的关键．根据所给操作规则找出所得代数式串的变化规律，利用规律逐项判断即可． 【详解】解：由题意知，第3次操作时，用第四个式子除以第三个式子得到新代数式，，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新代数式串： ，，，，，故①正确； 依次类推，第4次操作后得到新代数式串：，，，，，， 第5次操作后得到新代数式串：，，，，，，， 第6次操作后得到新代数式串：，，，，，，，， 第7次操作后得到新代数式串：，，，，，，，，， …… 观察可知，从第7次操作开始，第次操作与第次操作后得到的新代数式相同，因此第次操作得到的新代数式与第次、第次操作后得到的新代数式相同，与第次操作后得到的新代数式不同，故②错误； 观察可知，从第5次操作开始，新代数串按照，，，，，的顺序循环出现，且每个循环中代数式的乘积为， 第次操作后所得新代数式串中有个代数式，， 前个代数式的积为，第至第个代数式的积为， 第次操作后得到的代数式串之积为，故③正确， 综上所述，说法正确的有个， 故选：B． 49．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求t的值； (3)已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”为4，若此时关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A与B是互为“和整分式”，“和整值” (2)①；② (3)或 【分析】（1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案； ②由，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：A与B是互为“和整分式”，理由如下： ∵，， ∴ ． ∴A与B是互为“和整分式”，“和整值”； （2）解：①∵，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数， ∴或， ∴或（舍去） ∴； （3）解：， ∴， ∴， 整理得：， ∵方程无解， ∴当时 解得：， ∴当，即时，方程有增根， ∴， 解得：， 综上，的值为：或． 【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键． 50．（24-25八年级下·四川眉山·期中）综合与探究 我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，∴，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，∴，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则______，______； (2)若十字分式方程，的两个解分别为，，求的值； (3)若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为，（，），求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题为新定义问题，考查了分式方程的解，分式的加减运算，完全平方公式的变形求解，因式分解的应用等知识，理解新定义，并将方程或式子灵活变形是解题关键． （1）类比题目中“十字分式方程”的答题方法即可求解． （2）结合运用“十字分式方程”得到，，将变形为，整体代入即可求解； （3）将原方程变形为，结合运用“十字分式方程”得到，，代入即可求解． 【详解】（1）解：依题意，可化为， ，． 故答案为：； （2）解：由已知得，， ； （3）解：原方程变为， ， ∵，且， ，， ，， ． 51．（24-25八年级下·福建泉州·期中）对于形如的分式方程，若，，容易检验，是分式方程的解，所以称该分式方程为“易解方程”． 例如：可化为， 容易检验，是方程的解， 是“易解方程”： 又如可化为， 容易检验，是方程的解， 也是“易解方程”．根据上面的学习解答下列问题： (1)若是“易解方程”，则______，______．（） (2)若，是“易解方程”的两个解，求的值； (3)设为自然数，若关于的“易解方程”的两个解分别为，（），求的值． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题属于材料分析题，考查分式方程的解、代数式求值等，理解题中“易解方程”的定义是解题的关键． （1）可化为，根据“易解方程”的定义即可判断； （2）根据“易解方程”的定义可知，，代入即可求解； （3）设，方程可化为，根据“易解方程”的定义求出方程的解，代入即可求解． 【详解】（1）解：是“易解方程”， 理由：可化为，， 该方程的解为，； （2）解：由题意可得，， 故； （3）解：由题意得是“易解方程”， 设，方程可化为， 易知n和是这个方程的解， ∵n为自然数， ∴， ∴必有，， ∴，， ∴． $