专题04 期中真题百练通关 113题6大压轴题型（期中专项训练）九年级数学上学期湘教版

专题05 期中真题百练通关（113题6大压轴题型） 说明：真题集训性质，选用期中真题/中高考真题，加题源。 选填小压轴 解答压轴 题型1 反比例系数k的几何意义 题型4 反比例函数与几何综合 题型2 韦达定理应用 题型5 动态几何问题 题型3 相似三角形的多结论问题 题型6 相似三角形综合证明与计算 题型一 反比例系数k的几何意义（共8小题） 1．（24-25八年级下·四川内江·期中）如图，点A在双曲线上，过点A作轴交双曲线于点B，点C、D都在x轴上，连接、，若四边形是平行四边形，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．2 D．1 2．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 3．（2024·浙江宁波·一模）如图，点为反比例函数上一点，连结并延长交反比例函数于点，且．点在轴正半轴上，连结并延长交轴于点，连结交轴于点，若，，则的面积为 ． 4．（2023·陕西·中考真题）如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ． 5．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，矩形的一边在轴上，点是对角线与的交点，双曲线恰好经过点、，且交于点，连接． （1）若点的坐标为，， ； （2）若的面积为2时． ． 6．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，点在反比例函数上，垂直轴于，是轴负半轴上一个动点，是斜边上一点，，若的面积为9，则 ． 7．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边，分别交于点M，N，连接，，，若，，则k的值为 ． 8．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图所示，在中，轴，点、在轴上，点、在反比例函数图象上，若的面积为，则的值为 ． 题型二 韦达定理应用（共7小题） 9．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知为互不相等的实数，且，，则的值为（    ） A． B．0 C． D．2 10．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 12．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，点C在y轴负半轴上，连接，交x轴于点D，，，且，若是关于x的方程的两个实数根，则m的值为 ． 14．（2025·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 15．（2025·四川广安·中考真题）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为 ． 题型三 相似三角形的多结论问题（共9小题） 16．（2023·山东泰安·中考真题）如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 17．（2023·山东东营·中考真题）如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（        ）    A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③ 18．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，把一个边长为5的菱形沿着直线折叠，使点C与延长线上的点Q重合．交于点F，交延长线于点E．交于点P，于点M，，则下列结论，①，②，③，④．正确的是（    ）    A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 19．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在正方形中，点分别是上的动点，且，垂足为G，将沿翻折，得到交于点P，对角线交于点H，连接，下列结论正确的是：①；②；③若，则四边形是菱形；④当点E运动到的中点，；⑤．（    ）    A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤ 20．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，过点D作交的延长线于点C，连接交于点O．下列结论中，正确的个数是（   ） ①；②；③；④；⑤． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 21．（24-25九年级上·广东茂名·期中）如图，已知在矩形中，是边的中点，与垂直，交直线于点，连接，则下列四个结论中：①；②；③；④．正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 22．（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号） 23．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点E、F，连接与相交于点H，给出下列结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的为 ． 24．（24-25九年级上·河北衡水·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点，连接与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ． 题型四 反比例函数与几何综合（共8小题） 25．（23-24八年级下·全国·期中）如图，已知双曲线经过点，点是双曲线上在第三象限内的动点，过点作轴，过点作轴，垂足分别为，，连接，，． (1)的值为________； (2)若的面积为，求点的坐标； (3)判断直线与的位置关系，并说明理由． 26．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，其中点坐标为． (1)求双曲线和直线的表达式； (2)请直接写出反比例函数值大于一次函数值的自变量的取值范围； (3)将直线向下平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点时，请求出直线的解析式； (4)在轴上是否存在点使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 27．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数的解析式． (2)当时，直接写出的取值范围． (3)若点是第二象限内双曲线上一点，且，求点的坐标． 28．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）反比例函数的图象经过点和点．    (1)求、的值； (2)如图①，在反比例函数的图象上有一点，小明发现将点绕原点顺时针方向旋转后得到的点在另一个反比例函数图象上，求出点所在的函数表达式，并写出自变量取值范围； (3)如图②，已知直线和，将反比例函数的图象绕原点旋转后得到新图象，在新图象上任取一点，过点作，垂足分别为点，点．求四边形的面积． 29．（24-25九年级下·重庆永川·期中）如图，在矩形中，，，对角线、交于点．动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿着→→运动，同时动点从点出发，以相同的速度沿→运动，点是线段上一动点，满足设点、运动的时间都为（），的面积为为，点到的距离为． (1)请直接写出，关于x的函数关系式，并并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当 时x的取值范围． （近似值保留小数点后一位，误差不超过） 30．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标分别为，． (1)若反比例函数的图象经过直线上的点，且点的坐标为，求的值及反比例函数的解析式； (2)若（2）中的反比例函数的图象与相交于点，连接，在直线上找一点，使得，求点的坐标． 31．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）几何图形是数学研究的主要对象之一，图形的形状、大小和位置是几何中研究的主要内容，平面几何中，平移、翻折、旋转是常见的图形变换．鹿鸣学堂数学兴趣小组的同学们在学习了反比例函数的相关内容后，进一步探究反比例函数的图像的平移、旋转、翻折的相关问题，过程如下： (1)如图1，将反比例函数的图像向左平移3个单位，求平移后的图像与y轴的交点坐标； (2)如图2，将反比例函数（）的图像绕点O顺时针旋转60°，点P为旋转后图像上的一点，过点P作直线的垂线，垂足是H，若，求的值； (3)如图3所示，反比例函数（）的图像沿直线翻折得到新图像．若直线与两条曲线交于E、F，直线与两条曲线交于G、H，同学们发现E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，当这个矩形的面积是4时，直接写出b的值． 32．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．    (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 题型五 动态几何问题（共7小题） 33．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图：为平行四边形，的长分别为方程的两根，，． (1)如图1，求点D的坐标． (2)如图2，动点P从O出发沿线段方向以每秒个单位长度的速度向终点D运动，点P运动时间为t，连接，请你用含t的式子表示的面积S，并直接写出t的取值范围． (3)在（2）条件下连接，是否存在t值，使为以为腰的等腰三角形？如果存在请求出t的值；如果不存在请说明理由． 34．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，M，N同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为． (1)小明认为：可以平分的周长，请判断他的说法是否正确，并说明理由； (2)小亮认为：可以平分的面积，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 35．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒．    (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (2)在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (3)取的中点，运动过程中，当时，直接写出的值为________． 36．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，在正方形中，E为的中点，正方形的边长是方程．的根．点P从点B出发，沿向点D运动，同时点Q从点E出发，沿向点C运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度．当点运动到点时，两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒的面积为S． (1)通过取点、测量，得到了S与t的几组值，如下表： t 0 1 2 3 4 s 0 m 8 n 8 请直接写出_______，________； (2)请直接写出关于的函数解析式； (3)的面积是的面积2倍时，求线段的长． 37．（24-25八年级上·广东深圳·期中）我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间的数量关系的相关问题．我国汉代数学家赵爽（公元世纪）就通过一幅“弦图”，证明出勾股定理，后人称之“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是由个全等的直角三角形拼成的一个大正方形，记为“正方形”，设直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，面积为． 小桐用这个直角三角形拼出图所示的正方形，发现：若、的值确定，则正方形的面积、正方形的面积、直角三角形的面积的值都唯一确定， 当，时，_________，_________； 小桐进一步思考，并提出问题：已知、、中的任意两个量可否求出、的值？于是给出以下条件，并进行探索： 条件 条件 条件 选择条件 ，则_________，_________； 选择条件 ，请你帮小桐计算出，的值； 【探索发现】选择条件 ，由得：，由得：，进而得出关于的方程：，小桐尝试从“形”的角度来确定的值，将看作是长为，宽为的长方形，且长方形面积为，根据“赵爽弦图”的构图思路，小桐用个这样的长方形构造“空心”大正方形（如图），则图中大正方形的面积为：，也可以表示为：，于是：，因此，所以或（舍去），故，．这正是赵爽在《勾股圆方图注》中记载的一类方程的几何解法． 【类比迁移】小桐继续根据以上解法求解方程，请将其解答过程补充完整．第一步：利用四个全等的长方形构造“空心”大正方形； 第二步：根据大正方形的面积可得新的方程__________________，解得原方程的一个正根为_________； 【拓展应用】一般地，对于关于x的方程可以构造图求解．已知图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，那么，此方程中的_________，求得方程的正根为_________． 38．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到A即停止点；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为． (1)当______时，四边形是矩形； (2)当______时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 39．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)两平行线与之间的距离是__________． (2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值． (3)，以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求t的值． 题型六 相似三角形综合证明与计算（共8小题） 40．（22-23八年级上·全国·期中）如图，四边形是矩形，点在坐标轴上，绕点顺时针旋转得到，点在轴上，直线交轴于点，交于点，且． (1)求直线的解析式； (2)判断与是否相似？并说明理由． (3)点在轴上，平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 41．（22-23九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，点C为线段上的一个动点，分别以、为边在x轴上方作正方形和正方形，连接交直线于点P，设P点坐标为． (1)当C运动到点时，求P点坐标； (2)当点C从点A运动到点B的过程中（包含A、B两点），试求出点P运动路径图象的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)连接、，在点C的运动过程中，是否存在和相似，若存在，试求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 42．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在平行四边形中，，，点E是对角线上一点． (1)求平行四边形的面积； (2)当时，求的长； (3)作平行四边形，连接，试问：是否存在点E，使得？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 43．（24-25九年级上·福建·期中）如图1，在四边形中，，，对角线平分，交于E点，将沿翻折得．    (1)求证：； (2)若， ①求的值； ②如图2，连接交于H点．求证：． 44．（24-25九年级上·福建·期中）如图，E点在正方形的边的延长线上，交于F点，点在的延长线上，且，的延长线交于H点．过点G作，交，，于M，O，N三点． (1)求证：； (2)探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)求证：B，O，D三点共线． 45．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）四边形为菱形，，点E、G在边上，点F在边上． (1)如图1，若， ①求证：； ②若为等边三角形，求四边形的面积； (2)如图2，若，，点H为的中点，求的长． 46．（24-25九年级上·四川资阳·期中）【基础巩固】 （1）如图，在中，，于点D，求证：． 【尝试应用】 （2）如图，在矩形 中，，点F在 上，，于点E，求的长． 【拓展提高】 （3）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点C的对称点F在边上，G为 中点，连接交 于点M，，若，求的长． 47．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在矩形中，点为的中点，连接，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，求证：． 1．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线交于点．双曲线经过，两点，双曲线经过点，则平行四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．设是方程的一个根，则（    ） A． B． C． D．无法确定 3．如图，在正方形中，E为的中点，P为边上一点，在下列条件中：①；②； ③P为的中点； ④．其中能得到与相似的是 （   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③ 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点．连接，若． (1)求反比例函数与一次函数的关系式； (2)直接写出不等式组的解集； (3)已知是轴上一点，若以点、、为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点的坐标． 5．已知，为等腰直角三角形，，点D为中点，点E为上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点F作，交延长线于点N，交延长线于点M． (1)如图1，当点E与点D重合时，求证：； (2)如图2，连接， ①用等式表示线段与的数量关系，并证明； ②若，取中点O，连接，补全图形，并直接写出在旋转过程中的最小值． 6．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“___________倍根方程”； (2)若关于的方程是“二倍根方程”，求的值； (3)直线与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 期中真题百练通关（113题6大压轴题型） 说明：真题集训性质，选用期中真题/中高考真题，加题源。 选填小压轴 解答压轴 题型1 反比例系数k的几何意义 题型4 反比例函数与几何综合 题型2 韦达定理应用 题型5 动态几何问题 题型3 相似三角形的多结论问题 题型6 相似三角形综合证明与计算 题型一 反比例系数k的几何意义（共8小题） 1．（24-25八年级下·四川内江·期中）如图，点A在双曲线上，过点A作轴交双曲线于点B，点C、D都在x轴上，连接、，若四边形是平行四边形，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的综合运用，解决问题的关键是明确平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等；由轴可知，A、B两点纵坐标相等，且都设为b，根据点A在双曲线，B在双曲线上，求得，而的边上高为b，根据平行四边形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵点A在双曲线上，B在双曲线上，且轴， ∴A、B两点纵坐标相等，且都设为b， 则，， ∴， 故的边上高为b， ∴． 故选：C． 2．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ∴ ∴，即与的面积一定相等；故①正确， 由①可得 当与的面积相等时，如图，连接， ∴ ∴在直线上，则重合， ∴与的面积不可能相等，故②不正确， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确, 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误 综上，①④正确、②③错误. 故选：B． 3．（2024·浙江宁波·一模）如图，点为反比例函数上一点，连结并延长交反比例函数于点，且．点在轴正半轴上，连结并延长交轴于点，连结交轴于点，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数比例系数的几何意义．过点作轴于，过点作轴于，根据反比例函数比例系数的几何意义得，再由，得，证相似得，则，可设，，再证和相似得，则，由此可得的面积． 【详解】解：过点作轴于，过点作轴于，如图所示： 点在反比例函数的图象上， 点在反比例函数的图象上， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：，， ， ， ， ， 轴，轴， ∴， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 即：， 轴， ∴， ， ， ， 轴， ∴， ， ， 即， ， ， 可设，， ， ， 解得：， ． 故答案为：． 4．（2023·陕西·中考真题）如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】设正方形的边长为m，根据，，得到，根据矩形对边相等得到，推出，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到，得到，推出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设正方形的边长为m， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设反比例函数的表达式为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性质，k的几何意义． 5．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，矩形的一边在轴上，点是对角线与的交点，双曲线恰好经过点、，且交于点，连接． （1）若点的坐标为，， ； （2）若的面积为2时． ． 【答案】 2 6 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，反比例函数的比例系数k的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图像与性质，矩形的性质． （1）由的坐标为，可得，得出，可得，将代入，得，即反比例函数关系式为，再由矩形的性质得出轴，，将代入，得，可得，，从而求出结果； （2）设，可得，，，再由的面积为2，可得的面积为4，再由三角形面积公式可得，最后求解即可． 【详解】解：（1） 的坐标为， ， ， ， 将代入，得， 反比例函数关系式为， 四边形矩形， 轴，， 将代入，得， ，， ， 故答案为：2； （2）设， 四边形矩形， ， 点D的纵坐标为， 将代入，得， ， ， 轴， 点F的横坐标与点C的横坐标相同，即， 将代入，得， ， 的面积为2， 的面积为4， ， ， 解得：， 故答案为：6 6．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，点在反比例函数上，垂直轴于，是轴负半轴上一个动点，是斜边上一点，，若的面积为9，则 ． 【答案】 【分析】此题重点考查反比例函数中比例系数的几何意义，解题的关键是正确地作出辅助线． 过点作轴的垂线，得到矩形，连接，则矩形的面积是面积的2倍，所以只要根据的面积求出的面积即可． 【详解】解：如图，连接，作轴于点， ∵垂直轴，， ∴四边形为矩形， ， ， ， ，， ， ， ∵， ∴． 故答案为：． 7．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边，分别交于点M，N，连接，，，若，，则k的值为 ． 【答案】 【分析】由反比例函数的图象与正方形的两边、分别交于点、，证明，即可得，可得，然后作于点，证明为等腰直角三角形，设，则，由勾股定理可求得的值，继而可设正方形的边长为，则，，由勾股定理求出a，则可得到点的坐标，继而求得答案． 【详解】解：点、都在反比例函数的图象上， ，即， 四边形为正方形， ，， ， 在和中， ， ； ， 作于点，如图， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， ， 在中，， ，即， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 设正方形的边长为，则，， 在中，， ， 解得，（舍去）， ， ， ， 点坐标为， 将点代入反比例函数，得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算．求出点N的坐标是解师的关键． 8．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图所示，在中，轴，点、在轴上，点、在反比例函数图象上，若的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，三角形的面积公式；根据平行四边形的性质求得的面积是解题的关键． 设点的横坐标为，代入求得点、的坐标，求得，，根据平行四边形的对边平行且相等可求得点、的坐标，求得，推得，结合平行四边形的平行和三角形的面积公式可求得的值，结合图象即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上， 故设点的横坐标为， 将代入得， ∴设点的坐标为， ∵轴，点在轴上， ∴点的坐标为， 故，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 即， 结合图象可得点的横坐标为：， 将代入得， ∴点的坐标为， ∵轴，， ∴轴， 又∵点在轴上， ∴点的坐标为， 故， ∴； 连接，如图： 在中，点、在轴上， ∴是的对角线， 故， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴． 故答案为：． 题型二 韦达定理应用（共7小题） 9．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知为互不相等的实数，且，，则的值为（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．由题意可求出，，即说明m和n可以看作方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，． ∵为互不相等的实数， ∴m和n可以看作方程的两个根， ∴， ∴． 故选A． 10．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设原方程为，两个根为和．新方程为，两个根为2和．则可得，，．将①②联立可解得．则可得或，再与联立可得a、b、c之间的关系．由根与系数的关系可求出与的值，进而可求出的值． 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，推导出a、b、c之间的关系是解题的关键． 【详解】解：设原方程为，两个根为和． 新方程为，两个根为2和． 则，，， 得， 由题意得， ∴， ∴， ∴． 当时，， 联立，得， 则，， 则． 当时，， 联立，得， 则，， 则． 综上，原方程两根的平方和是． 故选：D． 11．（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为和，则，． 【详解】解：∵和是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：C 12．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 13．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，点C在y轴负半轴上，连接，交x轴于点D，，，且，若是关于x的方程的两个实数根，则m的值为 ． 【答案】 【分析】过点A作轴于点T，由，则，设点，则，由平行线分线段成比例求出点，利用得到B的坐标，进而求解． 【详解】解：过点A作轴于点T， ∵，则， 设点，则， ∵，即， ∴，故点， 过点A作轴交过点B与x轴的平行线于点M，交过点C与x轴的平行线于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 则和的相似比为， 即， 设点， 则且， 解得：且， 则，， ∵是关于x的方程的两个实数根， ∴，， 解得，则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，平行线分线段成比例、三角形相似的判定和性质、根与系数的关系等，其中，设点A的坐标，用三角形相似确定点B坐标得方法，是解决问题的关键． 14．（2025·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键．根据根与系数之间的关系，得到，将代数式用多项式乘以多项式的法则展开后，利用整体代入法进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴ ； 故答案为：． 15．（2025·四川广安·中考真题）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得：，，把整理可得：，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， ，， ， ． 故答案为：． 题型三 相似三角形的多结论问题（共9小题） 16．（2023·山东泰安·中考真题）如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等腰三角形两底角相等与，得到，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，得到，推出，得到，推出，①正确；根据等角对等边得到，，根据三角形外角性质得到，得到，推出，②正确；根据，得到，推出，③错误；根据时， ，得到,推出，④正确． 【详解】∵中，，， ∴， 由作图知，平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，①正确； ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，②正确； 设，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，③错误； 当时，， ∵， ∴, ∴，④正确 ∴正确的有①②④，共3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义和线段垂直平分线的性质． 17．（2023·山东东营·中考真题）如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（        ）    A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③ 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明，通过等量转化即可求证，利用角平分线的性质和公共边即可证明，从而推出①的结论；利用①中的部分结果可证明推出，通过等量代换可推出③的结论；利用①中的部分结果和勾股定理推出和长度，最后通过面积法即可求证④的结论不对；结合①中的结论和③的结论可求出的最小值，从而证明②不对. 【详解】解： 为正方形， ，， ， ， . , , ， ， . 平分， . ， . ， ， 垂直平分， 故①正确. 由①可知，，， ， ， ， 由①可知， . 故③正确. 为正方形，且边长为4， ， 在中，. 由①可知，， ， . 由图可知，和等高，设高为， ， ， ， . 故④不正确. 由①可知，， ， 关于线段的对称点为，过点作，交于，交于， 最小即为，如图所示，    由④可知的高即为图中的， . 故②不正确. 综上所述，正确的是①③. 故选：D. 【点睛】本题考查的是正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角形全等，三角形面积法，解题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点. 18．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，把一个边长为5的菱形沿着直线折叠，使点C与延长线上的点Q重合．交于点F，交延长线于点E．交于点P，于点M，，则下列结论，①，②，③，④．正确的是（    ）    A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】由折叠性质和平行线的性质可得，根据等角对等边即可判断①正确；根据等腰三角形三线合一的性质求出，再求出即可判断②正确；由得，求出即可判断③正确；根据即可判断④错误． 【详解】由折叠性质可知：， ∵， ∴． ∴． ∴． 故正确； ∵，， ∴． ∵， ∴． 故正确； ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 故正确； ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴与不相似． ∴． ∴与不平行． 故错误； 故选A． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键． 19．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在正方形中，点分别是上的动点，且，垂足为G，将沿翻折，得到交于点P，对角线交于点H，连接，下列结论正确的是：①；②；③若，则四边形是菱形；④当点E运动到的中点，；⑤．（    ）    A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤ 【答案】B 【分析】根据正方形的性质可得，从而证明，即可判断①；由折叠的性质可得，再由平行线的判定即可判断②；由可得在同一直线上，从而可得，再根据折叠的性质可得，，再根据菱形的判定即可判断③；设正方形的边长为，则，利用勾股定理求得，证明，可得，从而证得，可得，，即可判断④；证明，可得，从而证明，可得，再证明，可得，进而可得，即可判断⑤． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ，故①正确， ∵将沿翻折，得到， ， ∵， ，故②正确， 当时，， ， ，即在同一直线上， ， ， 通过翻折的性质可得，， ∴，， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是菱形，故③正确， 当点E运动到的中点，如图，    设正方形的边长为，则， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 在中，，故④错误， 由折叠的性质可得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ，故⑤正确； 综上分析可知，正确的是①②③⑤． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，正切的概念，熟练按照要求做出图形，利用寻找相似三角形是解题的关键． 20．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，过点D作交的延长线于点C，连接交于点O．下列结论中，正确的个数是（   ） ①；②；③；④；⑤． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，可求出，由旋转的性质可得，，，可证明四边形是矩形，得到；可证明，得到，，故①正确；可证明，得到，故②错误；证明，，则可证明，故③正确；由全等三角形的性质可得，设，则，由勾股定理得，则，可得；证明，得到，据此可判断④；由全等三角形的性质可得，则，故⑤正确； 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由旋转的性质可得，，， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故③正确； ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ∴，即，故④正确； ∵， ∴， ∴ ，故⑤正确； 故选：A． 21．（24-25九年级上·广东茂名·期中）如图，已知在矩形中，是边的中点，与垂直，交直线于点，连接，则下列四个结论中：①；②；③；④．正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】通过证明可得，再结合是边的中点，可证，故①正确；过D作交于G，可证四边形是平行四边形，可得，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得，故②正确；由平行线性质可得，，可证，故④正确；由可得，由，可得，由可得，进而可得，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，故③正确． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ，， ， ， ∵是边的中点， ， ， ， ， 故①正确； 如图，过D作交于G， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ，且， 是的垂直平分线， ， 故②正确； ∵四边形是矩形， ∴， ， ， 又， ， ， 故④正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故③正确； 故选：D． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，中垂线的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 22．（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】由，可得，故①符合题意；如图，连接，，，与的交点为，利用的几何意义可得的面积等于四边形的面积；故②符合题意；如图，连接，证明四边形为矩形，可得当最小，则最小，设，可得的最小值为，故③不符合题意；如图，设平移距离为，可得，证明，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵，，四边形是矩形； ∴， ∴，故①符合题意； 如图，连接，，，与的交点为， ∵， ∴， ∴， ∴的面积等于四边形的面积；故②符合题意； 如图，连接， ∵轴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小，则最小， 设， ∴， ∴， ∴的最小值为，故③不符合题意； 如图，设平移距离为， ∴， ∵反比例函数为，四边形为矩形， ∴，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④符合题意； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 23．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点E、F，连接与相交于点H，给出下列结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的为 ． 【答案】①②④⑤ 【分析】由是等边三角形，得，而，故①正确；由，，可判定②正确；由，对应边成比例，由与同高，得，则判定③错误，过点D作于M，过点P作于N，然后根据三角形面积公式即可判断④，由，得，可判定⑤正确． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， 又∵与同高， ∴， ∵，F不是中点， ∴， ∴,故③错误； 过点D作于M，过点P作于N， 由题意可得， ∴，， ∴， ∴，故④正确， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故⑤正确， ∴正确的为①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 24．（24-25九年级上·河北衡水·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点，连接与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】由正方形的性质得出，由等边三角形的性质得出，进而得出，得出，，所以是等边三角形，所以，即可判断选项①；由等腰三角形的性质得出，由正方形对角线的性质得出，求出，得出，由平行线的性质得出，得出，得出，即可判断选项②；由三角形内角和定理求出，进而求出，而，即可判断选项③；由，得出，由相似三角形的性质得，而，得出，即可判断选项④；从而得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，故①符合题意； ∴， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④符合题意； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识是解决问题的关键． 题型四 反比例函数与几何综合（共8小题） 25．（23-24八年级下·全国·期中）如图，已知双曲线经过点，点是双曲线上在第三象限内的动点，过点作轴，过点作轴，垂足分别为，，连接，，． (1)的值为________； (2)若的面积为，求点的坐标； (3)判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的图象与性质、用待定系数法求一次函数的解析式． 把点的坐标代入中，即可求出的值； 因为轴，点的坐标是，可知，设中边上的高为，根据的面积是即可求出，根据点的纵坐标是，即可求出点的纵坐标是，把点的纵坐标代入反比例函数的解析式中，即可求出点的横坐标； 根据点、、、的坐标，分别求出直线、，根据它们的比例系数相等，即可判断． 【详解】（1）解：双曲线经过点， ， 解得：， 故答案为：； （2）解： 轴，点的坐标是， ， 设中边上的高为， 的面积为， ， ， 解得：， 点的坐标是， 点的纵坐标为， 由可知，双曲线的解析式为， 把代入， 可得：， 解得：， 点的坐标是； （3）解：， 理由如下， 点的坐标是； 点的坐标是， 点的坐标是， 点的坐标是， 设直线的解析式为， 可得：，解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 可得：，解得：， 直线的解析式为， 直线和直线的比例系数相等， ． 26．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，其中点坐标为． (1)求双曲线和直线的表达式； (2)请直接写出反比例函数值大于一次函数值的自变量的取值范围； (3)将直线向下平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点时，请求出直线的解析式； (4)在轴上是否存在点使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数解析式为，直线的解析式为 (2)当或时，反比例函数图象在一次函数图形上方，即反比例函数值大于一次函数值 (3)直线的解析式为或 (4)存在，点的坐标为或，理由见详解 【分析】（1）把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）联立方程组得到的坐标，结合图形，由函数交点求不等式解集的方法作答即可； （3）根据函数的平移得到平移后的解析式，根据只有一个交点，联立方程得到，根据判别式为，由此即可求解； （4）根据题意得到即是等腰直角三角形，如图所示，过点作轴于点，由圆的基础知识得到点在轴的位置，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：直线与双曲线交于，两点点坐标为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵， ∴反比例函数解析式为； （2）解：联立方程组得，， 整理得，， 解得，， ∴， ∴当或时，反比例函数图象在一次函数图形上方，即反比例函数值大于一次函数值； （3）解：∵直线的解析式为， ∴设直线向下平移了个单位长度，则对应的函数解析式为， ∵平移后的直线与双曲线只有一个交点， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为或，如图所示， （4）解：存在，点的坐标为或，理由如下， 直线的解析式为， 当时，，即， 当时，，即， ∴，即是等腰直角三角形， 如图所示，过点作轴于点， ∵，， ∴， 同理，是等腰直角三角形，， ∴以点为中点，以为半径画圆，交轴于点，连接， ∴，，， ∴， ∴， ∴在轴上是否存在点使得，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查反比例函数，一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法，图象法解不等式，函数与几何图形的综合知识的运用，数形结合分析思想是关键． 27．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数的解析式． (2)当时，直接写出的取值范围． (3)若点是第二象限内双曲线上一点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（）先把代入一次函数解析式求出点坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （）求出点坐标，再结合函数图象解答即可求解； （）设直线与轴相交于点，可得，进而可得，即得，由得点到的垂线段长，再分当点在直线上方和下方两种情况，分别画出图形解答即可求解； 本题考查了待定系数法求反比例函数解析，反比例函数与一次函数图象的交点问题，反比例函数的几何应用，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：把代入，得， ∴， ∴， 由图象可知，当时，或； （3）解：设直线与轴相交于点， ∵一次函数， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设点到的垂线段长为，则， ∴， 当点在直线上方时，如图，过点作的平行线，交轴于点，过点作于点， 则为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 由，解得或， ∵点是第二象限内双曲线上一点， ∴， 同理，当点在直线下方时，经过点且与平行的直线解析式为， 由，解得或， ∵点是第二象限内双曲线上一点， ∴； 综上，点的坐标为或． 28．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）反比例函数的图象经过点和点．    (1)求、的值； (2)如图①，在反比例函数的图象上有一点，小明发现将点绕原点顺时针方向旋转后得到的点在另一个反比例函数图象上，求出点所在的函数表达式，并写出自变量取值范围； (3)如图②，已知直线和，将反比例函数的图象绕原点旋转后得到新图象，在新图象上任取一点，过点作，垂足分别为点，点．求四边形的面积． 【答案】(1)， (2)点所在的函数表达式为 (3)矩形的面积为6 【分析】（1）将点和点代入，解答即可． （2）作轴，轴，构造一线三垂直全等模型，确定Q的坐标解答即可． （3）在上取点，使得，作轴，轴，根据旋转性质，三角形全等的判定和性质，反比例函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：将点和点代入，得： ， 解得． （2）解：作轴，轴，    根据题意，得 ， ， 轴，轴， ， ， ， 设，则， 设， ， 点所在的函数表达式为． （3）解：方法①：    在上取点，使得，作轴，轴， 由旋转得， ， ， 即四边形和四边形为矩形， ， 设， 矩形的面积矩形的面积． 方法②：    设，作，交延长线于点， 为等腰直角三角形， 点， 直线的函数表达式为， 设， ， ， ， ， ， ， 矩形的面积 ． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握性质，待定系数法是解题的关键． 29．（24-25九年级下·重庆永川·期中）如图，在矩形中，，，对角线、交于点．动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿着→→运动，同时动点从点出发，以相同的速度沿→运动，点是线段上一动点，满足设点、运动的时间都为（），的面积为为，点到的距离为． (1)请直接写出，关于x的函数关系式，并并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当 时x的取值范围． （近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】(1)； ； (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、解直角三角形、反比例函数的图象和性质等知识，数形结合正确列出函数解析式是解题的关键． （1）分和两种情况分别求出函数关于x的函数关系式及自变量的取值范围，根据三角形面积公式得到，即可得到关于x的函数关系式及自变量的取值范围即可； （2）根据自变量的取值范围画出函数图象即可，并写出的一条性质即可； （3）根据函数图象的交点横坐标及函数图象即可得到答案. 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∴， ∴， 当时，如图，作，垂足分别为点F，连接， 则， ∴， 即， ∴， ∴当时，， 当时，如图，作，垂足分别为点M，连接， 则， ∴， 即， ∴， ∴当时，， ∴； ∵．点E到的距离为． ∴， ∴ ； （2）解：函数图象如图所示： 在时，函数随着x的增大而减小 （3）解：如图， 根据图象估计当时，即函数图象在函数图象上方， 此时x的取值范围是． 30．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标分别为，． (1)若反比例函数的图象经过直线上的点，且点的坐标为，求的值及反比例函数的解析式； (2)若（2）中的反比例函数的图象与相交于点，连接，在直线上找一点，使得，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由题意易得，，求出直线的解析式，把的坐标代入求出的值，从而求得反比例函数的解析式； （2）当点在下面时，延长至，使，连接，过点作直线 交直线于，则，求出直线的解析式，进而得出直线的解析式，从而求出点的坐标；当点在上面时，在上取点，使，连接，则，，过点作直线 交直线的延长线于，则，求出直线的解析式，从而求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵矩形的边在轴上，点的坐标分别为，， ∴，，， ∴，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点直线上， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：情况一：延长至，使，连接，则， 在 中，当 时，， ， ∴， 过点作直线 交直线于，则， 设直线的解析式为， 则，得 ， ， 设直线的解析式为，代入 解得：， ， 当时， 点； 情况二：在上取点，使，连接，则，， 过点作直线 交直线的延长线于，则， 设直线的解析式为，代入 解得：， ， 当时， 点； 综上所述，点坐标为或． 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形性质，平行线的性质，待定系数法确定函数解析式，数形结合是解题的关键． 31．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）几何图形是数学研究的主要对象之一，图形的形状、大小和位置是几何中研究的主要内容，平面几何中，平移、翻折、旋转是常见的图形变换．鹿鸣学堂数学兴趣小组的同学们在学习了反比例函数的相关内容后，进一步探究反比例函数的图像的平移、旋转、翻折的相关问题，过程如下： (1)如图1，将反比例函数的图像向左平移3个单位，求平移后的图像与y轴的交点坐标； (2)如图2，将反比例函数（）的图像绕点O顺时针旋转60°，点P为旋转后图像上的一点，过点P作直线的垂线，垂足是H，若，求的值； (3)如图3所示，反比例函数（）的图像沿直线翻折得到新图像．若直线与两条曲线交于E、F，直线与两条曲线交于G、H，同学们发现E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，当这个矩形的面积是4时，直接写出b的值． 【答案】(1) (2)2或3 (3)7或3 【分析】（1）根据函数图像变换规律“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式，进而求解即可； （2）设点为点P旋转前的图像上的对应点，过点作轴于，则，设点坐标为，则①，②,解得，或，，则或；证明直线与x轴的夹角为；证明得到即可求解； （3）联立方程组求得，，进而求得，根据矩形性质求得，分当点H在点G右上方时和当点H在点G左下方时两种情况求得点H坐标，进而利用矩形的性质求得对角线的交点坐标，进而可求解． 【详解】（1）解：∵将反比例函数的图像向左平移3个单位， ∴平移后的函数解析式为， ∵当时，， ∴平移后的图像与y轴的交点坐标； （2）解：设点为点P旋转前的图像上的对应点，过点作轴于，如图， 则，设点坐标为， 则①，②, 解得，或，， 则或； 如图，在直线取一点，过T作轴于S， 则，，， ∴，满足直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半， ∴，即直线与x轴的夹角为； ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 即的值为2或3； （3）解：解方程组，得或（舍去）， ∴； 解方程组，得或（舍去）， ∴， ∴， ∵E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，且面积是4， ∴， ∴， ∵直线与两条曲线交于G、H， ∴当点H在点G右上方时，形成矩形为， ∴，此矩形对角线的交点为的中点，坐标为， 根据轴对称性质，将代入得， 解得； ∴当点H在点G左下方时，形成矩形为， ∴，此矩形对角线的交点为的中点，坐标为， 根据轴对称性质，将代入得， 解得； 综上，满足条件的b值为7或3． 【点睛】本题考查平移的性质、旋转的性质、轴对称的性质以及图形变换的应用、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、矩形性质等知识，熟练掌握图形变换的性质是解答的关键． 32．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．    (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)在x轴上存在一点，使周长的值最小,最小值是． 【分析】（1）过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，证明，则，由得到点A的坐标是，由A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上得到，解得，得到点A的坐标是，点B的坐标是，进一步用待定系数法即可得到答案； （2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，利用轴对称的性质得到，，则，由知是定值，此时的周长为最小，利用待定系数法求出直线的解析式，求出点P的坐标，再求出周长最小值即可． 【详解】（1）解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D， 则，    ∵点，， ∴ ， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标是， ∵A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． ∴， 解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， ∴， ∴反比例函数的解析式是， 设直线所对应的一次函数的表达式为，把点A和点B的坐标代入得， ，解得, ∴直线所对应的一次函数的表达式为， （2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，    ∴点A与点关于x轴对称， ∴，， ∵， ∴的最小值是的长度， ∵，即是定值， ∴此时的周长为最小， 设直线的解析式是， 则， 解得， ∴直线的解析式是， 当时，，解得， 即点P的坐标是， 此时， 综上可知，在x轴上存在一点，使周长的值最小，最小值是． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 题型五 动态几何问题（共7小题） 33．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图：为平行四边形，的长分别为方程的两根，，． (1)如图1，求点D的坐标． (2)如图2，动点P从O出发沿线段方向以每秒个单位长度的速度向终点D运动，点P运动时间为t，连接，请你用含t的式子表示的面积S，并直接写出t的取值范围． (3)在（2）条件下连接，是否存在t值，使为以为腰的等腰三角形？如果存在请求出t的值；如果不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，t的值为或 【分析】（1）解一元二次方程求出，进而求出，再求出，进而求出，再根据平行四边形的性质即求出点坐标； （2）过点D作轴于点H，过点P作轴于点G，则，，由（1）知，得到，求出，根据题意得，根据，推出，由平行四边形的性质结合三角形外角的性质可得，求出，根据，即可解答； （3）由（2）知，，求出，，；分，，两种情况，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：解方程， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为平行四边形， ∴，， ∴， （2）解：过点D作轴于点H，过点P作轴于点G，则，， ∵， ∴， ∴， 根据题意得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：存在，t的值为或时，为以为腰的等腰三角形， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，延长交于点Q， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； 如图，当时， 则，即， 解得：或（舍去）； 综上，t的值为或． 【点睛】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，解一元二次方程及应用，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 34．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，M，N同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为． (1)小明认为：可以平分的周长，请判断他的说法是否正确，并说明理由； (2)小亮认为：可以平分的面积，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)说法错误，见解析 (2)说法正确，见解析 【分析】（1）根据动点以的速度移动,动点以的速度移动,运动时间为 ，则，，，，根据题意，点运动停止运动，点运动停止运动，根据题意，平分的周长，得到，构造方程，若方程有正数解且小于3秒即可判定说法正确，反之错误． （2）根据题意，，，若平分的面积，得，解方程解答即可． 【详解】（1）解：可以平分的周长说法错误．理由如下： ∵，，， ∴； ∵动点以的速度移动,动点以的速度移动,运动时间为 ， ∴，，，， 根据题意，点运动停止运动，点运动停止运动， 根据题意，平分的周长， ∴， ∴， 解得， 大于了3秒． 故平分的周长的说法是错误的． （2）解：平分的面积说法正确．理由如下： 根据题意，得，， 若平分的面积，得， 解得（舍去）． 故当时，平分的面积． 【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的周长，解一元一次方程，解一元二次方程，熟练解方程是解题的关键． 35．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒．    (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (2)在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (3)取的中点，运动过程中，当时，直接写出的值为________． 【答案】(1)的长度能为，或 (2)不能，理由见解析 (3)8或 【分析】（1）根据题意可知：，，，根据勾股定理及一元二次方程根的判别式，即可判定； （2）设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，，根据两点间的距离公式，解方程即可解决问题． 【详解】（1）解：的长度能为，理由如下： ∵点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止， ∴，，，， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 解得：或， ∴的长度能为； （2）解：不能；理由如下： 设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， 即， ， ， 方程无实数根， 的面积不能为； （3）解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，    ∴，，，， 是的中点， ， ，， ，，， ， ， 整理得：， 解得：，． 的值为8或． 故答案为：8或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了一元二次方程的应用，勾股定理、直角三角形的性质，矩形的性质，坐标与图形，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解题的关键是熟练掌握所涉及到的知识点并灵活运用． 36．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，在正方形中，E为的中点，正方形的边长是方程．的根．点P从点B出发，沿向点D运动，同时点Q从点E出发，沿向点C运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度．当点运动到点时，两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒的面积为S． (1)通过取点、测量，得到了S与t的几组值，如下表： t 0 1 2 3 4 s 0 m 8 n 8 请直接写出_______，________； (2)请直接写出关于的函数解析式； (3)的面积是的面积2倍时，求线段的长． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）先解方程，根据正方形的性质求出，根据t的值，画出示意图，即可解答； （2）当时和分别计算函数解析式即可； （3）当时，，当，时， 如图3，，分别计算面积即可． 【详解】（1）解：， 解得： ， 正方形的边长为4， 为的中点， ， 当时，如图，点在上，点在上，且， 则，即； 当时，如图，点在上，点在上， ∵，， ∴， 则 ，即； （2）解：当时，， ， 当时， ， ， ， 综上． ； （3）解：当时， 如图2， ， 的面积 解得：或 (舍去)． 当 时， 当时， 如图3，， 的面积 解得：或 (舍去)． 当时， 综上所述：的面积是 的面积2倍时，线段长为或． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 37．（24-25八年级上·广东深圳·期中）我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间的数量关系的相关问题．我国汉代数学家赵爽（公元世纪）就通过一幅“弦图”，证明出勾股定理，后人称之“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是由个全等的直角三角形拼成的一个大正方形，记为“正方形”，设直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，面积为． 小桐用这个直角三角形拼出图所示的正方形，发现：若、的值确定，则正方形的面积、正方形的面积、直角三角形的面积的值都唯一确定， 当，时，_________，_________； 小桐进一步思考，并提出问题：已知、、中的任意两个量可否求出、的值？于是给出以下条件，并进行探索： 条件 条件 条件 选择条件 ，则_________，_________； 选择条件 ，请你帮小桐计算出，的值； 【探索发现】选择条件 ，由得：，由得：，进而得出关于的方程：，小桐尝试从“形”的角度来确定的值，将看作是长为，宽为的长方形，且长方形面积为，根据“赵爽弦图”的构图思路，小桐用个这样的长方形构造“空心”大正方形（如图），则图中大正方形的面积为：，也可以表示为：，于是：，因此，所以或（舍去），故，．这正是赵爽在《勾股圆方图注》中记载的一类方程的几何解法． 【类比迁移】小桐继续根据以上解法求解方程，请将其解答过程补充完整．第一步：利用四个全等的长方形构造“空心”大正方形； 第二步：根据大正方形的面积可得新的方程__________________，解得原方程的一个正根为_________； 【拓展应用】一般地，对于关于x的方程可以构造图求解．已知图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，那么，此方程中的_________，求得方程的正根为_________． 【答案】，； ，； ； 【类比迁移】，； 【拓展应用】，方程的正根为或． 【分析】当，时，可以求出，，根据正方形的面积公式分别求出大正方形和小正方形的面积； 根据正方形的面积公式可得、，再根据正方形的边长不能是负数可得方程组，解方程组求出、的值； 根据三角形的面积公式和正方形的面积公式可得，， ，利用完全平方公式之间的关系可得：，从而得到：、，解方程组求出、的值； 仿照i小桐的方法构造正方形，利用正方形的面积公式可得方程，解方程求出：，，因为表示的是正方形的边长，所以要把负数舍去； 【拓展应用】：仿照【类比迁移】构造正方形，利用正方形的面积公式求解． 【详解】解：当，时， ，， ，；     解：，， ，， 、表示的是三角形的边长， ，， ， 解得：， ，；     ， ， ， 、表示的是三角形的边长， 、表示的均为正数， ，     ， ，、均为正数， ， 方程组， 得：； 【类比迁移】：如下图所示，长方形的长为，长比宽多， 则长方形的面积为，小正方形的边长为， 大正方形的面积可以表示为， 大正方形的面积也可以表示为， 整理得：， ， 解得：，(舍去)， 故答案为:，； 【拓展应用】：如下图所示，已知每个矩形的面积为， ， ， 中间围成的正方形的面积为， ， 或(舍去)， ， 整理得：， ， 解得：，， 方程的正根为或． 【点睛】本题主要考查了数形结合的思想，解决本题的关键是根据方程中未知数之间的关系构造正方形，利用正方形的面积公式解一元二次方程． 38．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到A即停止点；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为． (1)当______时，四边形是矩形； (2)当______时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【答案】(1)当时，四边形为矩形； (2)当时，四边形为菱形； (3)不存在某一时刻使得，理由见解析 (4)当等于或时，翻折后点的对应点恰好落在边上． 【分析】（1）当四边形是矩形时，，据此求得的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间； （3）过作，交于，，得出四边形是矩形，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出答案； （4）根据折叠的性质得出，进而在中，，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由已知可得，，， 在矩形中，， ，， 当时，四边形为矩形， ∴， 解得：， 故当时，四边形为矩形； （2）解： ，， ∴， 即， ∵， 四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形， 根据勾股定理得：，， ∴此时， 解得， 故当时，四边形为菱形； （3）解：不存在；理由如下： 过作，交于，如图所示： 则， ∵， 四边形是矩形， ，， ， 矩形中， ∴为直角三角形， ， ， ， 即： ， ， 此方程无实数根， 不存在某一时刻使得； （4）解：如图所示， 根据折叠可知： ，， 在矩形中， ， ， ， ， ∵， ∴在中，根据勾股定理得： ， ， 即：， 解得：， 答：当等于或时，翻折后点的对应点恰好落在边上． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程．折叠的性质，解决此题注意结合方程的思想解题． 39．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)两平行线与之间的距离是__________． (2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值． (3)，以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求t的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】此题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）过点作于点，由勾股定理可得出答案； （2）分两种情况，由平行四边形的性质可得出答案； （3）分两种情况，列出的方程可得出答案． 【详解】（1）过点作于点， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）在中， ，， ， ， Ⅰ．当四边形为平行四边形时，， ， ， Ⅱ．当四边形为平行四边形时，， ， ， 综上所述当点、与 的某两个顶点围成一个平行四边形时，或； （3）Ⅰ．当在边上时，边上的高是， ， 解得， 舍去）， Ⅱ．当在边上时， ， 解得． 综上所述或时，平行四边形的面积为． 题型六 相似三角形综合证明与计算（共8小题） 40．（22-23八年级上·全国·期中）如图，四边形是矩形，点在坐标轴上，绕点顺时针旋转得到，点在轴上，直线交轴于点，交于点，且． (1)求直线的解析式； (2)判断与是否相似？并说明理由． (3)点在轴上，平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)和不相似，理由见解析 (3)存在，或或 【分析】（1）根据矩形的性质和旋转的性质，得到，，然后利用待定系数法，即可求出直线的解析式； （2）根据矩形的性质和旋转的性质，得到，再求出直线与轴的交点，得到，然后利用坐标两点的距离公式，求得，最后利用等边对等角的性质，得出，即可判断与是否相似； （3）分①当为对角线，②当为矩形的对角线，③当为矩形的对角线，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：， ， 是绕点顺时针旋转得到的， ， ， 设直线解析式为， 把坐标代入可得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：不相似，理由如下： 四边形是矩形， ，， ， 由旋转的性质可知，， ， 由（1）可知直线的解析式为， 令，则， ， ， ， ， ， ， ， 与不相似； （3）解：存在，理由见解析． ①当为对角线时，如图， ∵，四边形为矩形， ∴与重合，即， ②当为矩形的对角线时，连接， 由题意可得，即， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由（1）可知直线的解析式为， 联立，解得， ∴， 设， 则，即， 解得，即； ③当为矩形的对角线，连接， 同理得，即， 解得，即； 综上，存在点的坐标为或或，使为顶点的四边形为矩形． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、旋转的性质、矩形的性质、相似三角形的性质等．注意分类讨论思想的应用． 41．（22-23九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，点C为线段上的一个动点，分别以、为边在x轴上方作正方形和正方形，连接交直线于点P，设P点坐标为． (1)当C运动到点时，求P点坐标； (2)当点C从点A运动到点B的过程中（包含A、B两点），试求出点P运动路径图象的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)连接、，在点C的运动过程中，是否存在和相似，若存在，试求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据坐标可得点E和F的坐标，根据待定系数法可得直线的解析式，根据点P的横坐标为，可得点P的坐标； （2）设，确定直线的解析式：，将代入可得结论； （3）由（2）知：设，分两种情况：①当时，②当时，列比例式可得结论． 【详解】（1）解：∵点A坐标为，点B坐标为，点C的坐标为， ∴，， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴； （2）解：设， ∴，， ∴，， 同理得：， ∵连接交直线于点P，设P点坐标为． ∴， 当时，； （3）解：由（2）知：设，，，，，， ∴，，， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 当和相似时，有两种情况： ①当时，， 即， ∴， ∴， 此方程无解； ②当时，， ， 解得：（舍），， ∴． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了利用待定系数法求函数解析式，三角形相似的性质和判定，正方形的性质，等腰直角三角形的性质等综合应用，正确求得直线的解析式是关键． 42．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在平行四边形中，，，点E是对角线上一点． (1)求平行四边形的面积； (2)当时，求的长； (3)作平行四边形，连接，试问：是否存在点E，使得？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在； 【分析】（1）如图1，过点C作于H，解直角三角形求得，进而得出结果； （2）过点C作于H，过点D作，交的延长线于F，设和交于点O，可证得∽，从而，依次得出和的值，进一步得出结果； （3）作，过点C作，交直线于F，过点C作交于E，则点E是符合条件的点，反向延长至G，使，连接，可证得≌，从而，，进而得出，从而得出，从而，可推出，结合（2）得出的值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图1， 过点C作于H， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ； （2）如图1， 过点C作于H，过点D作，交的延长线于F，设和交于点O， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∽， ， ，， ，， ， ， ， ， ； ∴， ， ∵， ， ； （3）如图3， 存在点E，使，理由如下： 作，过点C作，交直线于F，过点C作交于E，则点E是符合条件的点，反向延长至G，使，连接， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 由（2）知，，，， ，， ， ， ， 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是具有较强的计算能力． 43．（24-25九年级上·福建·期中）如图1，在四边形中，，，对角线平分，交于E点，将沿翻折得．    (1)求证：； (2)若， ①求的值； ②如图2，连接交于H点．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）由已知证明，从而可得，进而可得，即证得；而由折叠可知，由此即可得出结论. （2）作于点， 设，易证，可得，继而可得，由相似三角形得面积比等于相似比的平方得，由折叠可知，由此即可得出. ②作于点，交于点，连接，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，再根据，可得，由此得出，进而可得，得出，从而有，且，故四边形为平行四边形，即证得． 【详解】（1）证明：，， ， ∵，对角线平分， ∴， ∴， ， ， ，即； 由折叠可知：， ∴ （2）①解：作于点，如图1所示：    由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ． 由折叠可知， ∴， ∴ ②证明：作于点，交于点，连接，如图2所示：    由①中结论可知．，， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故． ，且， 故四边形为平行四边形， ． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上内容并根据条件作出准确恰当的辅助线是解此题的关键． 44．（24-25九年级上·福建·期中）如图，E点在正方形的边的延长线上，交于F点，点在的延长线上，且，的延长线交于H点．过点G作，交，，于M，O，N三点． (1)求证：； (2)探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)求证：B，O，D三点共线． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，综合运用这些知识解决问题是本题的关键． （1）先根据四边形是正方形，证明，推出，进而可得，根据，由等角的余角相等推出，据此即可得出； （2）连接，由（1）可得垂直平分，从而可得，再证明，即可得出，由此可得； （3）连接，，由（2）可知证明是等腰直角三角形，进而可得，再证明可得，结合（2）得结论可得，由此证明，从而可得，进而得出，由此得出B，O，D三点共线． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ∵， ∴ ， ； （2）结论：， 证明：连接， ∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ，， ， ∴， ∴， ∵； ∴； （3）证明：连接，， 由（2）得， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ，, ∴ ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ ，，三点共线． 45．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）四边形为菱形，，点E、G在边上，点F在边上． (1)如图1，若， ①求证：； ②若为等边三角形，求四边形的面积； (2)如图2，若，，点H为的中点，求的长． 【答案】(1)①详见解析；② (2) 【分析】（1）①证，得出； ②连接，在上截取，证明，得出，则四边形的面积的面积，则作于H，则，，则可得出答案； （2）连接并延长交的延长线于E，延长交于点Q，作于P，证明，得出，，证明，得出，即，则可得出答案． 【详解】（1）①证明：∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：连接，在上截取，如图2所示： 同（1）得：， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形的面积的面积， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 作于H，则，， ∴四边形的面积的面积=； （2）解：连接并延长交的延长线于E，延长交于点Q，作于P，如图3所示： ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得： ， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、相似三角形的与性质等知识，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 46．（24-25九年级上·四川资阳·期中）【基础巩固】 （1）如图，在中，，于点D，求证：． 【尝试应用】 （2）如图，在矩形 中，，点F在 上，，于点E，求的长． 【拓展提高】 （3）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点C的对称点F在边上，G为 中点，连接交 于点M，，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由，得到，再由，得到，从而得到，变形即可得到答案； （2）由矩形的性质得，，从而得到，即，由（1）可得，，从而得到，计算即可得到答案； （3）与关于直线对称，得，从而得到，再通过证明得到，由（1）可得，，设，解方程求出的值即可． 【详解】解：（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）∵ ∴ 在矩形中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 即： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ； （3）解：在矩形中， ∴ ∵与关于直线对称 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵是的中点 ∴ 由（1）可得： ∴ 设 则 ∴ 解得：或(舍去负根) ∴ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质是解题的关键． 47．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在矩形中，点为的中点，连接，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质可证、，根据平行线的性质可证，根据垂直平的性质可证，根据有两个角对应相等的三角形的两相似，可证，根据相似三角形的性质可证结论成立； （2）设，则，，利用勾股定理可得，因为，所以可得，所以可得，根据，可得关于的方程，解方程求出的值，根据矩形的性质即可求出的长； （3）连接，分别延长，交于点，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证结论成立． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 即； （2）解：，点为的中点， ． ， ， 设，则，， ， 由（1）知， ，即， ， ，且， ， 解得：， ， 的长是； （3）证明：如图，连接，分别延长，交于点， ∵， ，． 在和中，， ， ， ，是的中点， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据矩形的性质找到相等的角和边，从而证明三角形相似或全等，利用相似三角形或全等三角形的性质证明结论成立． 1．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线交于点．双曲线经过，两点，双曲线经过点，则平行四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数系数的几何意义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平行四边形的性质得到，因为双曲线经过点，所以可设的坐标是，则的纵坐标是，作，由得到的坐标是，代入双曲线求得的值，然后代入的纵坐标，可得到的横坐标是，根据平行四边形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：平行四边形的对角线交于点， ， ∵双曲线经过点， ∴设的坐标是， 则C的纵坐标是， 作， ， ， ， ， 的坐标是， ∵双曲线经过点，代入得： ， ∴反比例解析式为， ∵双曲线经过C点，将C点纵坐标代入得： ， 得：， 即的横坐标是， ， 平行四边形的面积点的纵坐标， 故选：B． 2．设是方程的一个根，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.根据方程的解的定义可得：，整理可得：，，整体代入代数式计算即可． 【详解】解： 是方程的一个根， ， 可得：，， ． 故选：A． 3．如图，在正方形中，E为的中点，P为边上一点，在下列条件中：①；②； ③P为的中点； ④．其中能得到与相似的是 （   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③ 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定、正方形的性质以及直角三角形的性质．熟练掌握三角形的判定方法是解题的关键． 由四边形是正方形，可得，，当①，根据有两角对应相等的三角形相似，证得与相似；当②，可得，继而可得与相似；③若P为的中点，则，此时不相似；当④若，可得，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可判定与相似． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ①若， ∵， ∴； ②若，则， ∵， ∴， ③若P为的中点， 则， ∴， ∴此时不相似； ④若， 则， ∵， ∴． 故选：C． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点．连接，若． (1)求反比例函数与一次函数的关系式； (2)直接写出不等式组的解集； (3)已知是轴上一点，若以点、、为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点或或或 【分析】（1）一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，根据，得确定，继而利用待定系数法，求两个函数的解析式即可． （2）利用交点的横坐标，数形结合思想直接解答即可． （3）设点，根据两点间距离公式，得点， ，，根据勾股定理的逆定理，分类建立方程解答即可． 本题考查了待定系数法，交点坐标的求解，数形结合求不等式组的解集，两点间距离公式，勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，点，点，， ∴，， 解得， ∴点， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 根据题意，得， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：根据题意，得， 故不等式组的解集为 （3）解：设点，根据两点间距离公式，得点，， ， 当时，此时三角形是直角三角形， 故， 整理，得， 解得或， 此时点或； 当时，此时三角形是直角三角形， 故， 解得， 此时点； 当时，此时三角形是直角三角形， 故， 解得， 此时点； 综上所述，存在点P使得以点、、为顶点的三角形是直角三角形，且点或或或． 5．已知，为等腰直角三角形，，点D为中点，点E为上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点F作，交延长线于点N，交延长线于点M． (1)如图1，当点E与点D重合时，求证：； (2)如图2，连接， ①用等式表示线段与的数量关系，并证明； ②若，取中点O，连接，补全图形，并直接写出在旋转过程中的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①，证明见解析；②见解析，旋转过程中的最小值为1 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）证明得出，又，等量代换即可求解； （2）①证明，根据相似三角形的性质，即可求解； ②根据题意补全图形，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，当重合时，最小，进而根据等腰直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，，点为中点， ∴， ， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：①． 证明：如图所示，连接， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵点为中点， ∴ ∴是等腰三角形，则， ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴即 ②如图所示，取中点，连接， ∵，则 又， ∴当取得最小值时最小 ∴当与点重合时，在上，此时点与点重合， ∴ 又 ∴ ∴旋转过程中的最小值为． 6．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“___________倍根方程”； (2)若关于的方程是“二倍根方程”，求的值； (3)直线与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 【答案】(1)四 (2)10或82 (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与几何综合，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）先解关于的方程得，由题意可得或，再代入求解即可； （3）利用待定系数法求出直线解析式为；再根据题意可得，则可得点P在直线上，求出直线与直线的交点坐标，直线与直线的交点坐标，根据点在的内部（不包含边界），结合函数 图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵， ∴是“四倍根方程”； （2）解：解关于的方程得， ∵关于的方程是“二倍根方程”， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，的值为10或82； （3）解：设直线解析式为， 把代入到中得， ∴， ∴直线解析式为； ∵一个五倍根方程的两个根为和， ∴， ∴点P的坐标为， ∴点P在直线上， 联立，解得， 联立，解得， ∵点在的内部（不包含边界）， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 2 / 34 学科网（北京）股份有限公司 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