2.1圆学案2025-2026学年苏科版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“圆”的核心内容，涵盖圆的定义、相关概念、基本性质及点与圆的位置关系。通过实际情境（如木棒摆动轨迹）导入，衔接平面几何知识，以定义辨析、性质归纳为支架，引导学生构建知识体系。 资料特色在于例题与变式训练结合图形与实际情境，层次分明。通过几何直观培养空间观念，借助推理分析提升逻辑思维，融入坐标系应用发展数学表达能力，助力学生理解概念本质，提升解决问题的能力。

2.1 圆 【重难点】 1、了解圆的相关定义和有关概念； 2、了解判断点与圆的位置关系。 【知识梳理】 知识点一、圆的认识 1、圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。 2、与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等。 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。顶点在圆心的角叫做圆心角。圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。能够互相重合的两个圆叫做等圆。能够互相重合的弧叫做等弧。 3、圆的基本性质：①轴对称性；②中心对称性；③同圆或等圆半径相等。 知识点二、点与圆的位置关系 1、点与圆的位置关系有3种。设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r； ②点P在圆上⇔d＝r； ①点P在圆内⇔d＜r； 2、点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系。 3、符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端。 【典型例题】 题型一、圆的认识 【例1】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，求AB的长是　 　． 【分析】先连接OC，在Rt△ODC中，根据勾股定理得出OC的长，即可求出AB的长． 【解答】解：连接OC，∵CD=4，OD=3，在Rt△ODC中， ∴OC==5， ∴AB=2OC=10，故答案为：10． 【点睛】此题考查了圆的认识，解题的关键是根据勾股定理求出圆的半径，此题较简单． 【变式训练】 1、能决定圆的位置的是（ ）。 A．圆心 B．半径 C．直径 D．周长 【分析】根据圆的定义即可解答． 【解答】解：根据圆的定义可知，能决定圆的位置的是圆心，故选A． 【点睛】本题考查了圆的认识，熟悉圆的定义是解题的关键． 2、如图，在△ABC中，∠C=90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．若∠A=25°，求∠DCE的度数． 【分析】先利用互余计算出∠B=65°，再利用半径相等得到CB=CD，所以∠CDB=∠B=65°，然后利用三角形外角性质计算∠DCE的度数． 【解答】解：∵∠C=90°，∠A=25°，∴∠B=90°-∠A=65°， ∵CB=CD，∴∠CDB=∠B=65°， ∵∠CDB=∠DCE+∠A，∴∠DCE=65°-25°=40°。 【点睛】本题考查了圆的认识：常常利用半径相等组成等腰三角形，再利用等腰三角形的性质解决问题． 题型二、点与圆的位置关系 【例2】⊙O的半径为3，点P在⊙O外，点P到圆心的距离为d，则d需要满足的条件（ ）。 A．d＞3 B．d=3 C．0＜d＜3 D．无法确定 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法求解． 【解答】解：∵点P在⊙O外，∴d＞3．故选：A． 【解答】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r． 【变式训练】 1、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D是以点A为圆心，2为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值为 　3.5　． 【分析】取AB 的中点E，连接AD、EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后确定CM的范围． 【解答】解：取AB 的中点E，连接AD、E、CE． 在直角△ABC 中，AB==5． ∵E是直角△ABC 斜边AB上的中点，∴CE=AB=2.5． ∵M是BD的中点，E是AB的中点，∴ME=AD=1． ∵2.5 -1≤CM≤2.5+1，即15≤CM≤3.5．∴最大值为3.5，故答案为：3.5． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形三边之间的关系解答． 2、阅读下列材料： 平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离表示为|P1P2|=，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P（x，y）是圆心坐标为C（a，b）、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为=r，变形可得：（x-a）2+（y-b）2=r2，我们称其为圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程． 例如：由圆的标准方程（x-1）2+（y-2）2=52可得它的圆心为（1,2），半径为5．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题． （1）圆心为C（3,4），半径为2的圆的标准方程为：　（x-3）2+（y-4）2=4　； （2）若已知☉C的标准方程为：（x-2）2+y2=22，圆心为C，请判断点A（3，-1）与☉C的位置关系． 【分析】（1）根据圆的标准方程的定义求解即可．（2）求出AC的长，可得结论． 【解答】解：（1）圆心为C（3,4），半径为2的圆的标准方程为：（x-3）2+（y-4）2=4． 故答案为：（x-3）2+（y-4）2=4． （2）由题意圆心为C（2,0）， ∵A（3，-1），∴AC==＜2，∴点A在☉C内部． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，方程的定义，坐标与图形性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解圆的标准方程的定义，灵活运用所学知识解决问题． 题型三、圆的基本概念辨析 【例3】如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（     ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 【答案】C 【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧． 【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点A的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的一段圆弧， 故选：C． 【变式训练】 1、平面上有⊙O及⊙O内一点P，P到⊙O上一点的距离最长为10cm，最短为4cm，则⊙O的半径为 cm． 【答案】7 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．点P在⊙O的内部，则⊙O的直径为10cm和4cm的和． 【详解】解：点P在⊙O的内部，则⊙O的直径为10+4=14（cm）， 所以⊙O的半径为7cm；故答案为7． 2、设AB=2cm，作图说明满足下列要求的图形： （1）到点A和点B的距离都等于1.5cm的所有点组成的图形． （2）到点A的距离小于1.5cm且到点B的距离大于1cm的所有点组成的图形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． （1）分别以点A、B为圆心，1.5cm为半径画⊙A和⊙B，则到点A和点B的距离都等于1.5cm的点为两圆的公共部分，即它们的交点； （2）到点A的距离小于1.5cm的点在以A点为圆心，1.5cm为半径圆内；到点B的距离大于1cm的所有点在以B点为圆心，1cm为半径的圆外． 【详解】（1）解：如图1， 分别以点A、B为圆心，1.5cm为半径画⊙A和⊙B，它们的交点为所求； （2）解：以A点为圆心，1.5cm为半径画⊙A；以B点为圆心，1cm为半径画⊙B， 如图2，⊙A和⊙B相交于P和Q，则在⊙A内，除去⊙A与⊙B的公共部分为所求． 第 2 页 共 2 页 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $