精品解析：河北省保定市第一中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题

保定一中2025－2026学年度第一学期第一次阶段考试 高一数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的交集和补集运算可得结果. 【详解】由，可得或，则. 故选：B． 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可 【详解】由，得，解得， 因为当时，成立，而当时， 不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 3. 下列选项不正确的是（ ） A. 当时，的最小值是3 B. 已知，则的最大值是 C. 当时，的最大值是5 D. 设，则的最小值为2 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式及对勾函数的性质直接可得. 【详解】对于A：当时，， 当且仅当，即时等号成立.所以的最小值是3，故A正确； 对于B：当，则，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以，即的最大值是，故B正确； 对于C：当时，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是5，故C正确； 对于D：令，所以， 由对勾函数的性质可知，在单调递增，所以，故D错误. 故选：D. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将变形为，变形为，分析结构可知，从而得到结果. 【详解】， ， 表示等奇数， 表示等奇数， . 故选：C. 5. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举出反例可得A、B、D错误；借助作差法计算可得C. 【详解】对A：若，，则有，，此时，错误. 对B：若，，则有，， 此时，错误. 对C：， 由，故，，，故， 即，正确. 对D：若，，则，， 此时，错误. 6. 已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由不等式的解集结合韦达定理代入计算，即可得到，然后求解一元二次不等式，即可得到结果. 【详解】因为不等式的解集为或， 所以方程的两根分别为， 由韦达定理可得，解得， 则不等式可化为， 即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 7. 已知集合，，且满足，则实数的取值范围为（ ）. A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由得到，再分类讨论，利用根与系数的关系进行求解. 【详解】，， 当时，，即； 当时，利用韦达定理得到，解得； 当时，利用韦达定理得到，无解； 当时， 根据韦达定理得到 ，解得 ； 综上，实数a的取值范围是. 故选：A. 8. 已知，且，则的最小值是（ ） A. B. 5 C. D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得，代入，利用基本不等式，即可求解最小值，得到答案. 【详解】，，可得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为7. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，．若，则实数可能的取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出集合，再根据集合包含关系求解． 【详解】由题意， 若，则， 若，则，因为，所以或，即或． 故选：BCD． 10. 设集合，或，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据集合包含的定义即可判断A；根据元素与集合的关系求解判断B；根据交集、并集结果求出参数范围可判断CD. 【详解】对于A，若，则，则，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，无解， 所以若，则，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知且，则下列不等式恒成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用基本不等式，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于A，因为，， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，因为， 当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，， 则，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，因为， 当且仅当，即时取等号，而, 故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，则的真子集的个数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，即可根据真子集的个数公式求解. 【详解】, 集合中有个元素， 则的真子集的个数是. 故答案为：. 13. 已知集合，且，则__________. 【答案】0或 【解析】 【分析】根据集合相等可得出关于实数a、b的方程组，利用集合元素满足互异性可求得实数a的值. 【详解】因为集合，且，分以下两种情况讨论： 当时，解得或， 若，集合A、B中的元素均不满足互异性； 若，则，符合题意； 当时，解得或， 若，集合A、B中的元素均不满足互异性； 若，则，符合题意； 综上所述，或， 故答案为：0或 14. 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】对讨论，结合判别式即可求解. 【详解】当时，则对一切实数都成立，符合题意， 当时，则，解得， 综上可得， 故答案为； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知命题，命题. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用全称量词命题为真求出的范围，再由为真求得答案. （2）由存在量词命题为真求出命题，进而求出，再结合（1）的信息求出结果. 【小问1详解】 对于任意，不等式恒成立，而，则， 即命题，则命题， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 由，得，解得， 即命题，则命题，由（1）知命题， 由命题和均为真命题，得， 所以实数的取值范围是. 16. 已知集合. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简集合A和集合B，再利用交集定义即可求得； （2）按集合C是空集和不是空集两种情况分类讨论，依据子集定义列出关于的不等式组，解之即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为 所以，所以 【小问2详解】 ①当，即时，此时，满足，符合题意； ②当，即时，， 要满足，则， 则解得， 综上所述得.故的取值范围是. 17. 回答下列问题 （1）已知，求的取值范围 （2）若，求的最小值 （3）已知，且，若恒成立，求的取值范围 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用不等式的性质求解取值范围即可. （2）对原式合理变形，利用基本不等式求最值即可. （3）对原式合理变形，将其变为，再利用基本不等式得到最值，进而求解参数范围即可. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以， 得到，则. 【小问2详解】 由题意得， ， 而，由基本不等式得， 当且仅当，此时解得， 则，故，得到的最小值是. 【小问3详解】 因为，所以， 得到，即， 则， ， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，而 此时解得，， 则， 而恒成立，得到. 18. 如图，某农户计划用20米的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜地，设该矩形菜地的长为米，宽为米. （1）当该菜地的长为何值时，该菜地的面积取得最大值？并求出该菜地面积的最大值. （2）求的最小值. 【答案】（1）10米，50平方米 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，从而可得该菜地的面积为，利用基本不等式即可求解. （2）利用，根据“1”的代换利用基本不等式可求最小值. 【小问1详解】 由题意得，都为正数， ∴该菜地的面积为， 当且仅当时，等号成立， ∴当该菜地的长为10时，该菜地的面积取得最大值，最大值为50平方米. 【小问2详解】 ∵，都为正数，∴ ∴ ， 当且仅当，又， 即时，等号成立， ∴的最小值为. 19. 已知为正实数，利用基本不等式证明（1），确定（2），并指出等号成立的条件，然后解（3）中的问题． （1）请根据基本不等式，证明； （2）请根据（1）中的结论，确定与的大小关系（无须推导）； （3）若，求的最小值． 【答案】（1）证明：因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立． 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立． （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）两次利用基本不等式证明即可； （2）令，结合（1）的结论，即可证明； （3）结合（1），（2）利用基本不等式证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，当且仅当时等号成立． 推导如下： 由于，当且仅当时等号成立， 令， 得， 即，故， 所以，当且仅当时等号成立. 【小问3详解】 因为，所以，当且仅当时等号成立，所以， 因此，当且仅当时等号成立，所以的最小值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保定一中2025－2026学年度第一学期第一次阶段考试 高一数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 下列选项不正确的是（ ） A. 当时，的最小值是3 B. 已知，则的最大值是 C. 当时，的最大值是5 D. 设，则的最小值为2 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 6. 已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 已知集合，，且满足，则实数的取值范围为（ ）. A. 或 B. C. 或 D. 8. 已知，且，则的最小值是（ ） A. B. 5 C. D. 7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，．若，则实数可能的取值为（ ） A. B. C. D. 10. 设集合，或，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知且，则下列不等式恒成立的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，则的真子集的个数是______． 13. 已知集合，且，则__________. 14. 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知命题，命题. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 16. 已知集合. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 回答下列问题 （1）已知，求的取值范围 （2）若，求的最小值 （3）已知，且，若恒成立，求的取值范围 18. 如图，某农户计划用20米的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜地，设该矩形菜地的长为米，宽为米. （1）当该菜地的长为何值时，该菜地的面积取得最大值？并求出该菜地面积的最大值. （2）求的最小值. 19. 已知为正实数，利用基本不等式证明（1），确定（2），并指出等号成立的条件，然后解（3）中的问题． （1）请根据基本不等式，证明； （2）请根据（1）中的结论，确定与的大小关系（无须推导）； （3）若，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $