第08讲 整式（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年人教版七年级数学上册同步讲义与测试

第08讲 整式（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.单项式 2.多项式 3.整式 题型巩固 一、单项式的判断 二、单项式的系数、次数 三、写出满足某些特征的单项式 四、单项式规律题 五、多项式的判断 六、多项式的项、项数或次数 七、多项式系数、指数中字母求值 八、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 九、整式的判断 强化训练 单选题（7） 填空题（7） 解答题（6） 知识梳理 知识点1.单项式 1. 单项式 由数或字母的积组成的式子叫作单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式，例如-3，n 都是单项式. 2. 单项式的系数与次数 (1)系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数. 特别提醒：①单项式的系数包括它前面的符号，且只与数字因数有关； ②当单项式的系数为1 或－1 时，通常省略不写； ③“π”是数而不是字母，含有“π”的单项式中，系数包括“π”. (2)次数：单项式中所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.如果一个单项式的次数是n，那么称这个单项式是n 次单项式. 特别提醒：① 单项式的次数仅与字母的指数有关，与系数的指数无关； ②若单项式的某个字母没写指数，实际上这个字母的指数为1，计算时不要遗漏； ③对于一个非零的数，规定它的次数为0 . 知识点2.多项式 1. 多项式：几个单项式的和叫作多项式. 说明： 多项式中的每一项都是单项式且每一项包括它前面的符号. 2. 多项式的项：在多项式中， 每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项，一个多项式含有几项，就叫几项式. 3. 多项式的次数：多项式里， 次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数. 4. 确定了多项式的次数和项数后，这个多项式常被称为“几次几项式”.例如， 有三项，最高次项的次数是3，所以 叫作三次三项式. 知识点3.整式 1. 定义：单项式与多项式统称整式. 2. 整式、单项式、多项式之间的关系 题型巩固 题型一、单项式的判断 1．在整式中，单项式的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查了单项式的定义，根据单项式的定义：数字与字母的乘积的形式，单个数字和字母也是单项式，进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，单项式为，， ∴单项式的个数是2个， 故选：C． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）在式子①，②，③，④4，⑤，⑥中，是单项式的有 （填序号）． 【答案】①②④⑤ 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查了单项式的概念，不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，根据单项式的定义解答即可，掌握单项式的定义是解题的关键． 【详解】解：①，是单项式； ②，是单项式； ③，有加法运算，不是单项式； ④，是单项式； ⑤，是单项式； ⑥，有减法运算，不是单项式； 故答案为：①②④⑤ ． 3．（24-25七年级·全国·假期作业）观察下列式子，它们都有哪些共同点？ 【答案】都是单项式 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查了单项式的定义，根据单项式的定义进行解答即可． 【详解】解：通过观察可发现以上式子都为单项式， 故它们的共同点为都是单项式． 题型二、单项式的系数、次数 4．（25-26七年级上·吉林长春·期中）单项式的系数与次数分别为（    ） A．2，2 B．2，5 C．，2 D．，5 【答案】D 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题主要考查了单项式的系数和次数，根据单项式的次数是字母的指数和，单项式的系数是数字因数解题即可． 【详解】解：单项式的系数与次数分别为，5． 故选：D． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）若单项式是关于的九次单项式，那么 ． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式的次数，根据单项式的次数的定义即可求解，掌握单项式的次数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵单项式是关于的九次单项式， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）用单项式表示下列各量，并说出它们的系数和次数． (1)原产量为吨，增产之后的产量为多少？ (2)底面积为、高为的圆锥的体积为多少？ (3)某商店上个月盈利元，这个月盈利比上个月减少25%，则这个月盈利多少元？ (4)小刚步行上学的速度为千米/小时，若小刚家到学校的距离为，则他上学需走多少小时？ 【答案】(1)吨，系数为，次数为； (2)立方厘米，系数为，次数为； (3)元，系数为，次数为; (4)小时，系数为，次数为. 【知识点】列代数式、单项式的系数、次数 【分析】(1)增产后的产量为再化成吨，根据单项式系数和次数概念写出系数与次数即可； (2)根据圆锥体积公式体积为立方厘米，根据单项式系数和次数概念写出系数与次数即可； (3)盈利为再化成元，根据单项式系数和次数概念写出系数与次数即可； (4)小刚上学需走小时，根据单项式系数和次数概念写出系数与次数即可. 【详解】（1）解：增产之后的产量为：吨，故：单项式为，系数为，次数为； （2）解：体积为，故：单项式为，系数为，次数为； （3）解：这个月盈利为元，故：单项式为，系数为，次数为； （4）解：小刚上学需走小时，故：单项式为，系数为，次数为. 【点睛】本题考查了列代数式，单项式的系数和次数，注意代数式的书写格式和掌握单项式系数和次数是解本题的关键. 题型三、写出满足某些特征的单项式 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】单项式的系数、次数、写出满足某些特征的单项式 【分析】此题考查单项式问题，解答此题需灵活掌握单项式的系数和次数的定义． 根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：此题规定了单项式的系数和次数，但未规定单项式中含几个字母． A、系数是，次数是，故符合题意； B、系数是，次数是，故不符合题意； C、系数是，次数是，故不符合题意； D、系数是，次数是，故不符合题意． 故选：A． 8．（25-26七年级上·全国·期中）写出一个只含一个字母，且系数为2，次数为3的单项式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】写出满足某些特征的单项式 【分析】本题考查的是单项式的定义，根据单项式系数、次数的定义写出结论即可． 【详解】解：只含一个字母，且系数为2，次数为3的单项式是， 故答案为：（答案不唯一）． 9．符合下列条件的单项式有几个? 请你一一写出来. ①系数为；②所含字母为m，n；③次数为5. 【答案】m4n，m3n2，m2n3，mn4． 【知识点】单项式的系数、次数、写出满足某些特征的单项式 【分析】根据题意结合单项式的次数、系数定义得出符合题意的答案． 【详解】由题意可得：符合条件的单项式有：m4n，m3n2，m2n3，mn4． 【点睛】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数的确定方法是解题关键． 题型四、单项式规律题 10．（2025·云南临沧·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】单项式规律题 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给单项式，发现其系数及次数的变化规律是解题的关键．观察所给单项式的系数及次数，发现规律：第个单项式的系数为；第个单项式的次数为，即可解决问题． 【详解】解：根据前几项单项式排列可知：各单项式的系数可表示为：，，，，，， 各单项式字母的部分规律为：． 第个单项式是． 故选：A． 11．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列单项式：，，，，…，，， …，根据你发现的规律，第2024个单项式是 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查单项式中的规律探究，解题的关键是找出题目中单项式之间的规律，并用代数式表示出来． 根据单项式系数、字母指数之间的规律，第n个单项式是，即可求出结果． 【详解】解：根据题意，第n个单项式的系数是，次数是， ∴第n个单项式是， ∴第2024个单项式是． 故答案是：． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）有一列单项式：，，，，，，， (1)你能说出这一列单项式的排列规律吗？ (2)写出第个单项式； (3)写出第个单项式． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查单项式规律探究； （1）观察发现，奇数项的系数为负，偶数项的系数为正，系数的绝对值以及的指数均与式子的次序相同； （2）根据规律写出第2024个单项式； （3）根据规律写出第n个单项式． 【详解】（1）解：观察这一列单项式： ，，，，，，， 发现它们的排列规律：奇数项的系数为负，偶数项的系数为正，系数的绝对值以及的指数均与式子的次序相同． （2）由（1）知第个单项式为：． （3）由（1）知，第(是正整数)个单项式为． 题型五、多项式的判断 13．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列式子：①；②0；③；④；⑤；⑥，多项式的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】多项式的判断 【分析】本题考查了多项式，多项式的组成元素是单项式，根据几个单项式的和叫做多项式分析判断． 【详解】解：根据多项式的定义可知：①是多项式；②0是单项式；③是单项式；④是分式；⑤是多项式；⑥是分式， 故多项式的个数是2个． 故选：B． 14．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）在代数式，，，，0，中，多项式有 个． 【答案】3 【知识点】多项式的判断 【分析】本题考查了整式、单项式、多项式的识别，只含有加、减、乘、乘方的代数式叫做整式；其中不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；含有加减运算的整式叫做多项式．根据多项式的定义分析即可． 【详解】解：，，是多项式，共3个， 0，是单项式， 的分母含字母，不是整式； 故答案为：3． 15．（25-26七年级上·全国·随堂练习）下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中． 【答案】见解析 【知识点】单项式的判断、多项式的判断 【分析】本题考查单项式和多项式，根据单项式和多项式的定义，进行作答即可． 【详解】解：由题意，填图如下： 题型六、多项式的项、项数或次数 16．（25-26七年级上·吉林长春·期中）关于多项式的说法错误的是（    ） A．有三项，次数是4 B．常数项为9 C．不含一次项 D．各项分别是，，9 【答案】D 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的相关概念，根据多项式的相关定义逐项分析即可得解，熟练掌握多项式的相关定义是解此题的关键． 【详解】解：A、多项式有三项，次数是4，故原说法正确，不符合题意； B、多项式的常数项为9，故原说法正确，不符合题意； C、多项式中不含一次项，故原说法正确，不符合题意； D、多项式各项分别是，，9，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 17．（24-25七年级上·河南周口·期末）若一个多项式每项的次数都相等，则称该多项式为齐次多项式．例如是四次齐次多项式．若是齐次多项式，则的值为 ． 【答案】9 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查的是多项式的次数的含义，乘方运算的含义，根据是齐次多项式，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵是齐次多项式， ∴， 解得：，， ∴． 故答案为： 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)求m，n的值． (2)请写出多项式的各项，并求出各项的系数和． 【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】此题考查了整式次数与系数概念的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识． （1）根据多项式与单项式次数的定义进行求解； （2）根据单项式系数的定义进行求解． 【详解】（1）解：由题意，得，解得． 因为与的次数相同， 所以，解得． （2）各项：． 系数和：． 题型七、多项式系数、指数中字母求值 19．（25-26七年级上·全国·期中）如果两个多项式恒等，那么将两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等．已知关于x的一元多项式（其中a，b，c，d为常数）恒等，则（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题考查了多项式，根据两个多项式恒等可得对应系数相等，即可得解，熟练掌握多项式的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：根据题意得， ∴，，，， ∴， 答案：A． 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）多项式是关于的二次三项式，则k的值是 ． 【答案】 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题考查了多项式的概念，根据“多项式的次数是多项式中最高的项的次数，项数是多项式中单项式的个数”求解即可. 【详解】解：是二次三项式， 这个多项式最高次项的次数为，且有三项， 且 则； 故答案为： ． 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于x的整式． (1)若该整式是二次式，则k的值为 ． (2)若该整式是二项式，则k的值为 ． 【答案】(1) (2)或 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】此题考查了单项式和多项式，解题的关键是熟悉几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． （1）由整式为二次多项式，可得到且，求出k的值即可； （2）由整式为二项式，得到①且；②；依此即可求解． 【详解】（1）解：∵关于x的整式是二次多项式， ∴且， 解得：， （2）解：若该整式是二项式，分三种情况讨论： ①当时，或； 若，原式为（单项式），不符题意； 若，原式为（二项式），符合题意； ②当时，，已在①中讨论，不符合题意； ③当时，，原式为（二项式），符合题意； 综上所述，的值为或． 题型八、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 22．（24-25七年级上·全国·期中）多项式是（   ） A．按x的升幂排列 B．按x的降幂排列 C．按y的升幂排列 D．按y的降幂排列 【答案】C 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握多项式降幂，升幂排列的定义． 根据降幂排序和升幂排列的定义进行解答即可． 【详解】解：多项式是按y的升幂排列． 故选：C 23．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段练习）把多项式按字母作降幂排列是 ． 【答案】 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题主要考查了多项式的降幂排列，熟练掌握确定各项中指定字母的指数并按从高到低顺序排列是解题的关键．先确定多项式中每一项的指数，然后依据指数大小从高到低重新排列各项． 【详解】解： ， 故答案为：． 24．（24-25七年级·四川乐山·期中）将多项式按下列要求进行排列： (1)按的降幂排列； (2)按的升幂排列． 【答案】(1) (2) 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题考查多项式的有关知识，关键是掌握多项式降幂或升幂排列的概念． （1）把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做多项式按照这个字母降幂排列，由此即可得到答案． （2）把一个多项式的各项按照某个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做多项式按照这个字母升幂排列，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：多项式按的降幂排列为： （2）解：多项式按的升幂排列： 题型九、整式的判断 25．下列各式中，不属于整式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】整式的判断 【分析】本题考查了整式的识别，熟练掌握整式的定义是解题的关键．根据整式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A：为整式，故A不符合题意； B：为整式，故B不符合题意； C：为分式，故C符合题意； D：为整式，故D不符合题意； 故选：C． 26．（2024七年级上·全国·专题练习）在式子中，整式有 个． 【答案】3 【知识点】整式的判断 【分析】此题主要考查了整式的定义：单项式和多项式统称为整式，直接利用整式的定义分析得出答案． 【详解】解：式子，，，，中，整式有：，，，共3个． 故答案为：3． 27．把下列各式填在相应的集合里： ，，0，，，， （1）单项式集合： （2）多项式集合： （3）整式集合： 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】整式的判断、单项式的判断、多项式的判断 【分析】根据整式的分类，多项式和单项式的定义填写即可． 【详解】（1）单项式集合： （2）多项式集合： （3）整式集合： 【点睛】本题考查了判断单项式，多项式和整式，理解定义是解题的关键．数字与字母的积的代数式叫做单项式．单独一个数或一个字母也叫单项式． 多项式，若干个单项式的和组成的式叫做多项式，整式为单项式和多项式的统称． 强化训练 一、单选题 1．下列式子是单项式的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的概念判断，解题的关键是依据“单项式是由数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项式，分母含字母、含加减运算的式子不是单项式”进行区分． 先明确单项式的定义，再逐个分析选项：排除含加减运算的多项式（A、B），排除分母含字母的分式（C），确认单独的数（中是常数）属于单项式． 【详解】解：A、含减法运算，是多项式，不是单项式，此选项不符合题意； B、含加法运算，是多项式，不是单项式，此选项不符合题意； C、分母含字母，是分式，不是单项式，此选项不符合题意； D、中是常数，是单独的数，属于单项式，此选项符合题意； 故选：D． 2．关于整式的概念，下列说法错误的是（    ） A．是二次三项式 B．的系数是 C．是四次单项式 D．的次数是3 【答案】B 【分析】本题考查了多项式和单项式的相关概念：单项式系数是指单项式中与字母相乘的数字因数，单项式次数是所有字母指数的和，多项式是几个单项式的和，多项式的次数是指次数最高项的次数，逐一判断即可解答. 【详解】解：A、是二次三项式，故A不符合题意； B、的系数是不是，故B符合题意； C、是四次单项式，故C不符合题意； D、的次数是3，故D不符合题意. 故选：B. 3．把多项式按x的降幂排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查将多项式进行升降幂排列，根据题意，按照x的降幂进行排列即可． 【详解】解：由题意把多项式按x的降幂排列，得； 故选B． 4．设单项式的系数为a，次数为b，则（       ） A． B． C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查单项式的系数和次数，代数式求值，掌握单项式的系数和次数的定义（单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指数和）是解题的关键． 根据单项式的系数和次数的定义得出，的值，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意可得：，， ∴． 故选：A． 5．下列说法中正确的有（　）个 与的平方差是 必与互为相反数 绝对值相等的两数一定相等 已知、为正整数，则多项式的次数是 是负分数 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，相反数定义，有理数概念，多项式定义等知识，根据列代数式，相反数定义，绝对值意义，有理数概念，多项式定义等知识逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：与的平方差是，原说法错误，不符合题意； 必与互为相反数，原说法正确，符合题意； 绝对值相等的两数相等或互为相反数，原说法错误，不符合题意； 已知、为正整数，则多项式的次数是，原说法错误，不符合题意； 不是有理数，不属于负分数，原说法错误，不符合题意； 综上，仅正确，正确个数为， 故选：． 6．观察下列单项式的特点：．第8个单项式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式规律探究．根据给定的单项式，抽象概括出相应的规律，即可求解．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键． 【详解】解：从可以观察得出第个单项式为. 当时， 故选： ． 7．观察下列关于x的单项式，探究其规律：，，，，，，…按照上述规律，第100个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题为单项式规律题．理解题意，总结出规律，并利用规律解题是关键．根据题意可总结规律为：奇数个单项式的系数为正，偶数个单项式的系数为负，第n个单项式系数，次数是，从而利用规律即可解答． 【详解】解：单项式的次数为：2，，10，，26，， …第n个单项式的系数为：， ∴第100个单项式的系数为：， 单项式的次数为：3，5，7，9，11， ∴ 单项式的次数为：， ∴第100个单项式的次数为， 故第100个单项式是， 故选：D． 二、填空题 8．单项式 的系数是 ，次数是 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了单项式的系数与次数，熟记掌握单项式的系数是指单项式中的数字因数，次数是指所有字母指数的和是解题的关键．根据单项式的系数与次数的定义求解即可． 【详解】解：单项式 的系数是，次数是6， 故答案为：，6． 9．已知多项式是三次三项式，则（m＋1）n＝ ． 【答案】8 【分析】根据多项式的项、次数的定义可得这个多项式中不含，且的次数为3，由此可得出的值，再代入计算即可得． 【详解】解：由题意得：，即， 则， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了多项式的项和次数，掌握理解定义是解题关键． 10．若多项式是关于x的三次二项式，则 ， ． 【答案】 3 2 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项，多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数．根据多项式的性质进行解答即可． 【详解】解：∵多项式是关于x的三次二项式， ∴，， ∴，． 故答案为：3；2． 11．若多项式是关于x的一次多项式，则a的值为 【答案】0 【分析】根据多项式为一次多项式得到三次项系数为0列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值． 【详解】解：根据题意得：，且， 解得：． 故答案为：0 【点睛】此题考查了多项式，熟练掌握多项式的定义是解本题的关键． 12．下列关于多项式的说法中，正确的是 （填序号）． ①它是三次三项式；②它是二次四项式；③它的最高次项是；④它的常数项是1． 【答案】③ 【分析】本题考查多项式的概念，正确掌握多项式的相关概念是求解本题的关键． 根据多项式的相关概念依次判断即可． 【详解】解：多项式是四次三项式，所以①②不符合题意； 它的最高次项为：，所以③符合题意； 它的常数项是：，所以④不符合题意； 故答案为：③． 13．用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第个图形需棋子 枚（用含的多项式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形找出一般规律是解题关键．观察已知图形的棋子枚数，得出第个图形需棋子枚，即可得解． 【详解】解：由图形可知，第1个图形需棋子4枚，， 第2个图形需棋子7枚，， 第3个图形需棋子10枚， …… 观察发现，第个图形需棋子枚， 故答案为：． 14．有规律地排列着这样一些单项式：．…，则第n个单项式（且n为正整数）可表示为 ． 【答案】 【分析】分别观察各单项式的系数，x的指数，y的指数，指数的规律：第n个对应的x的指数是n，y的指数是x的指数的2倍，即可解答． 【详解】解：由题意可知，第n个单项式为：． 故答案为：． 【点睛】本题是一道考查找规律的问题.通过观察得出系数、字母及字母指数的变化规律是解题的关键. 三、解答题 15．下列关于、的多项式是一个四次三项式，试确定、的值，并指出这个多项式是按哪个字母升幂或降幂排列的？ 【答案】，．多项式为，是按的升幂排列的． 【分析】本题考查了多项式的概念及降幂排列，直接利用多项式的定义得出m，n的值，进而得出答案． 【详解】解：∵在多项式中，是常数项，的次数是，的次数是，的次数是，的次数是， ∴最高次数是m， 又多项式是一个四次多项式， ∴， ∴多项式为， 又多项式是一个三项式， ∴． ∴． ∴多项式为，是按的升幂排列的． 16．要对一组对象进行分类，关键是要选定一个分类标准，不同的分类标准有不同的结果．如对下面给出的七个单项式：，，，，，，进行分类，若按单项式的次数分类：二次单项式有；三次单项式有，，；四次单项式有，，．请你用两种不同的分类方法对上面的七个单项式进行分类． 【答案】只含一个字母的单项式：，含两个及以上字母的单项式：；系数为正数的单项式；，系数为负数的单项式： 【分析】根据所含的字母，可分为两类；根据根据单项式的次数字母指数和，可分为两类． 【详解】解：只含一个字母的单项式：， 含两个及以上字母的单项式：； 系数为正数的单项式；， 系数为负数的单项式：．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键． 17．填表： 单项式 系数 次数 【答案】见解析 【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数，容易得出结果． 【详解】解：根据单项式的系数和次数的概念填表即可． 单项式 y 系数 30 1 1 次数 1 3 1 6 4 3 【点睛】本题考查了单项式的系数、次数的概念；正确理解单项式的系数和次数是解决问题的关键． 18．用单项式填空，并指出它们的系数和次数． (1)国家速滑馆“冰丝带”采用了我国自有的二氧化碳跨临界直冷制冰系统，不仅安全，而且绿色环保．如果使用传统制冷剂，同等用量下的碳排放量是二氧化碳制冷剂的3985倍．若使用一批二氧化碳制冷剂的碳排放量为，则相同用量的传统制冷剂的碳排放量为________t． (2)某人经营一家网店，“五一”假期期间他对网店的某种商品进行促销．若每售出一件这种商品获利m元，则售出n件这种商品共获利________元． (3)测量降水量的基本仪器是雨量器．如图，一个雨量器的集雨斗是圆锥形状，其内部的底面半径为r，高为h，则这个集雨斗的容积为________． 【答案】(1)，系数为3985，次数为1 (2)，系数为1，次数为2 (3)，系数为，次数为3 【分析】本题考查列单项式，单项式的系数和次数，正确的列出单项式是解题的关键： （1）根据传统制冷剂，同等用量下的碳排放量是二氧化碳制冷剂的3985倍，列式即可，再根据单项式的系数为数字因式，次数为字母的指数和，进行判断即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列式，再进行说明即可； （3）根据圆锥的体积公式列出单项式，再进行说明即可． 【详解】（1）解：由题意，相同用量的传统制冷剂的碳排放量为； 故答案为：，系数为3985，次数为1； （2）售出n件这种商品共获利元； 故答案为：，系数为1，次数为2； （3）这个集雨斗的容积为； 故答案为：，系数为，次数为3． 19．已知关于x、y的多项式 是五次四项式（m、n为有理数），且单项式 的次数与该多项式的次数相同． (1)求m、n的值； (2)将这个多项式按x的降幂排列． (3)若 ，求该多项式的值． 【答案】(1)  ， (2) (3) 【分析】（1）根据多项式的项数和次数的定义，可得，再由单项式的次数与该多项式的次数相同，可得，再求解即可； （2）按x的指数从大到小排列即可． （3）根据非负数的性质可得，，再代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵多项式是五次四项式，单项式的次数与该多项式的次数相同， ∴，， 解得：，． （2）解：由（1）可知，这个多项式为， 将这个多项式按x的降幂排列为． （3）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴ ； 【点睛】本题考查多项式的项与次数，单项式的次数，求解代数式的值，非负数的性质．掌握基础概念是解本题的关键． 20．如图是一所住宅的建筑平面图（图中长度单位：m），请回答下列问题： (1)用含的式子表示这所住宅的建筑面积（结果化成最简形式）． (2)上面的式子是多项式吗？如果是，它是几次几项式？它的二次项系数，一次项分别是什么？ (3)当时，求此时这所住宅的建筑面积是多少？ 【答案】(1) (2)是多项式，是二次三项式，二次项系数是1，一次项是 (3) 【分析】本题考查代数式求值、列代数式、多项式，掌握正方形和长方形面积计算公式、多项式的定义是解题的关键． （1）利用正方形和长方形面积公式，将四部分图形的面积加起来即可； （2）根据多项式的定义作答即可； （3）将代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得； （2）解：是多项式，是二次三项式，二次项系数是1，一次项是； （3）解：当时， ． 答：当时，此时这所住宅的建筑面积是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 整式（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.单项式 2.多项式 3.整式 题型巩固 一、单项式的判断 二、单项式的系数、次数 三、写出满足某些特征的单项式 四、单项式规律题 五、多项式的判断 六、多项式的项、项数或次数 七、多项式系数、指数中字母求值 八、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 九、整式的判断 强化训练 单选题（7） 填空题（7） 解答题（6） 知识梳理 知识点1.单项式 1. 单项式 由数或字母的积组成的式子叫作单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式，例如-3，n 都是单项式. 2. 单项式的系数与次数 (1)系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数. 特别提醒：①单项式的系数包括它前面的符号，且只与数字因数有关； ②当单项式的系数为1 或－1 时，通常省略不写； ③“π”是数而不是字母，含有“π”的单项式中，系数包括“π”. (2)次数：单项式中所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.如果一个单项式的次数是n，那么称这个单项式是n 次单项式. 特别提醒：① 单项式的次数仅与字母的指数有关，与系数的指数无关； ②若单项式的某个字母没写指数，实际上这个字母的指数为1，计算时不要遗漏； ③对于一个非零的数，规定它的次数为0 . 知识点2.多项式 1. 多项式：几个单项式的和叫作多项式. 说明： 多项式中的每一项都是单项式且每一项包括它前面的符号. 2. 多项式的项：在多项式中， 每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项，一个多项式含有几项，就叫几项式. 3. 多项式的次数：多项式里， 次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数. 4. 确定了多项式的次数和项数后，这个多项式常被称为“几次几项式”.例如， 有三项，最高次项的次数是3，所以 叫作三次三项式. 知识点3.整式 1. 定义：单项式与多项式统称整式. 2. 整式、单项式、多项式之间的关系 题型巩固 题型一、单项式的判断 1．在整式中，单项式的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）在式子①，②，③，④4，⑤，⑥中，是单项式的有 （填序号）． 3．（24-25七年级·全国·假期作业）观察下列式子，它们都有哪些共同点？ 题型二、单项式的系数、次数 4．（25-26七年级上·吉林长春·期中）单项式的系数与次数分别为（    ） A．2，2 B．2，5 C．，2 D．，5 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）若单项式是关于的九次单项式，那么 ． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）用单项式表示下列各量，并说出它们的系数和次数． (1)原产量为吨，增产之后的产量为多少？ (2)底面积为、高为的圆锥的体积为多少？ (3)某商店上个月盈利元，这个月盈利比上个月减少25%，则这个月盈利多少元？ (4)小刚步行上学的速度为千米/小时，若小刚家到学校的距离为，则他上学需走多少小时？ 题型三、写出满足某些特征的单项式 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·全国·期中）写出一个只含一个字母，且系数为2，次数为3的单项式是 ． 9．符合下列条件的单项式有几个? 请你一一写出来. ①系数为；②所含字母为m，n；③次数为5. 题型四、单项式规律题 10．（2025·云南临沧·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列单项式：，，，，…，，， …，根据你发现的规律，第2024个单项式是 ． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）有一列单项式：，，，，，，， (1)你能说出这一列单项式的排列规律吗？ (2)写出第个单项式； (3)写出第个单项式． 题型五、多项式的判断 13．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列式子：①；②0；③；④；⑤；⑥，多项式的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）在代数式，，，，0，中，多项式有 个． 15．（25-26七年级上·全国·随堂练习）下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中． 题型六、多项式的项、项数或次数 16．（25-26七年级上·吉林长春·期中）关于多项式的说法错误的是（    ） A．有三项，次数是4 B．常数项为9 C．不含一次项 D．各项分别是，，9 17．（24-25七年级上·河南周口·期末）若一个多项式每项的次数都相等，则称该多项式为齐次多项式．例如是四次齐次多项式．若是齐次多项式，则的值为 ． 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)求m，n的值． (2)请写出多项式的各项，并求出各项的系数和． 题型七、多项式系数、指数中字母求值 19．（25-26七年级上·全国·期中）如果两个多项式恒等，那么将两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等．已知关于x的一元多项式（其中a，b，c，d为常数）恒等，则（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）多项式是关于的二次三项式，则k的值是 ． 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于x的整式． (1)若该整式是二次式，则k的值为 ． (2)若该整式是二项式，则k的值为 ． 题型八、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 22．（24-25七年级上·全国·期中）多项式是（   ） A．按x的升幂排列 B．按x的降幂排列 C．按y的升幂排列 D．按y的降幂排列 23．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段练习）把多项式按字母作降幂排列是 ． 24．（24-25七年级·四川乐山·期中）将多项式按下列要求进行排列： (1)按的降幂排列； (2)按的升幂排列． 题型九、整式的判断 25．下列各式中，不属于整式的是（    ） A． B． C． D． 26．（2024七年级上·全国·专题练习）在式子中，整式有 个． 27．把下列各式填在相应的集合里： ，，0，，，， （1）单项式集合： （2）多项式集合： （3）整式集合： 强化训练 一、单选题 1．下列式子是单项式的是(   ) A． B． C． D． 2．关于整式的概念，下列说法错误的是（    ） A．是二次三项式 B．的系数是 C．是四次单项式 D．的次数是3 3．把多项式按x的降幂排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．设单项式的系数为a，次数为b，则（       ） A． B． C．4 D．3 5．下列说法中正确的有（　）个 与的平方差是 必与互为相反数 绝对值相等的两数一定相等 已知、为正整数，则多项式的次数是 是负分数 A． B． C． D． 6．观察下列单项式的特点：．第8个单项式为（    ） A． B． C． D． 7．观察下列关于x的单项式，探究其规律：，，，，，，…按照上述规律，第100个单项式是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．单项式 的系数是 ，次数是 ． 9．已知多项式是三次三项式，则（m＋1）n＝ ． 10．若多项式是关于x的三次二项式，则 ， ． 11．若多项式是关于x的一次多项式，则a的值为 12．下列关于多项式的说法中，正确的是 （填序号）． ①它是三次三项式；②它是二次四项式；③它的最高次项是；④它的常数项是1． 13．用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第个图形需棋子 枚（用含的多项式表示）． 14．有规律地排列着这样一些单项式：．…，则第n个单项式（且n为正整数）可表示为 ． 三、解答题 15．下列关于、的多项式是一个四次三项式，试确定、的值，并指出这个多项式是按哪个字母升幂或降幂排列的？ 16．要对一组对象进行分类，关键是要选定一个分类标准，不同的分类标准有不同的结果．如对下面给出的七个单项式：，，，，，，进行分类，若按单项式的次数分类：二次单项式有；三次单项式有，，；四次单项式有，，．请你用两种不同的分类方法对上面的七个单项式进行分类． 17．填表： 单项式 系数 次数 18．用单项式填空，并指出它们的系数和次数． (1)国家速滑馆“冰丝带”采用了我国自有的二氧化碳跨临界直冷制冰系统，不仅安全，而且绿色环保．如果使用传统制冷剂，同等用量下的碳排放量是二氧化碳制冷剂的3985倍．若使用一批二氧化碳制冷剂的碳排放量为，则相同用量的传统制冷剂的碳排放量为________t． (2)某人经营一家网店，“五一”假期期间他对网店的某种商品进行促销．若每售出一件这种商品获利m元，则售出n件这种商品共获利________元． (3)测量降水量的基本仪器是雨量器．如图，一个雨量器的集雨斗是圆锥形状，其内部的底面半径为r，高为h，则这个集雨斗的容积为________． 19．已知关于x、y的多项式 是五次四项式（m、n为有理数），且单项式 的次数与该多项式的次数相同． (1)求m、n的值； (2)将这个多项式按x的降幂排列． (3)若 ，求该多项式的值． 20．如图是一所住宅的建筑平面图（图中长度单位：m），请回答下列问题： (1)用含的式子表示这所住宅的建筑面积（结果化成最简形式）． (2)上面的式子是多项式吗？如果是，它是几次几项式？它的二次项系数，一次项分别是什么？ (3)当时，求此时这所住宅的建筑面积是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $