第3章 勾股定理（复习课件）数学苏科版2024八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了勾股定理及其逆定理、勾股数、验证方法及应用，通过知识图谱和考点串讲（结合图形语言、几何语言）构建知识网络，串联起定理内容、验证、逆定理及实际应用的逻辑脉络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”分层设计，如折叠问题、最短路径问题等题型搭配例题与变式，培养学生几何直观和推理能力，实际应用案例（梯子、汽车超速问题）强化模型意识，助力学生巩固知识，教师高效开展复习教学。

单元复习课件 第三章 勾股定理 2024苏科版·八年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1. 掌握勾股定理，能运用勾股定理求直角三角形中未知边长；会用拼图方法验证勾股定理 3.能运用勾股定理和逆定理解决实际问题。 2. 理解勾股数的概念，掌握勾股定理的逆定理及其证明，并会用该定理证明一个三角形是直角三角形． 单元学习目标 勾股定理 直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。 定理验证 逆定理 定理内容 三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 勾股数 应用 拼图法 单元知识图谱 考点一、勾股定理 1.勾股定理： 直角三角形两直角边的 等与斜边的平方． 2.图形语言： 3.几何语言： 平方和 4.常用变形： 考点串讲 考点二、勾股定理的验证 1.勾股定理的验证和推导方法： 勾股定理的验证和推导通常采用图形的“割”、“补”、“拼”，将一个图形用两种 表示出来，然后将所得的代数式化简，利用等式的性质变形，得出结论。 2.勾股定理的验证常用的几个著名图形： 不同的方法 考点串讲 考点三、勾股定理的逆定理 图形语言 文字语言 如果一个三角形的三边长分别为且,那么这个三角形是直角三角形。 几何语言 应用 判断一个三角形是不是直角三角形 勾 股 定 理 逆 定 理 考点串讲 考点四、勾股数 1．勾股数概念：如果三个正整数，满足,那么称为勾股数． 2．三个数要成为勾股数的条件： （1）三个数必须是 数； （2）三个数必须满足关系： 。 正整 3．勾股数规律：勾股数的正整数倍仍是勾股数。 考点串讲 考点五、勾股定理及其逆定理的应用 1.勾股定理的作用：已知 三角形的两边长求 。 2.勾股定理的逆定理作用：判断一个三角形是不是直角三角形。 3．利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）根据题意画出 ； （2）找包含所求问题的 （如没有，可以作辅助线构造）； （3）根据勾股定理列方程，求解； （4）写出答案。 考点串讲 题型一、根据勾股定理求边长 例1：如图所示，在Rt△ABC中，AD⊥BC，若AB=5,AC=12，则AD= ． 【详解】解：∵在中， ， ∴， ， ． 故答案为： ． 题型剖析 题型一、根据勾股定理求边长 变式：若一直角三角形两边长分别为3和4，则这个三角形的第三边长为 ． 【详解】解：当这个直角三角形的两直角边长分别为6和8时，第三边为斜边，斜边长=； 当这个直角三角形的一直角边长3、斜边长为4时，第三边为直角边，这条直角边的长= ； 故答案为：5或 ． 5或 题型剖析 题型二、根据勾股定理解决折叠问题 例2：如图，折叠长方形纸片ABCD的一边，使点D落在BC边的D′处，AE是折痕，已知AB=6cm，BC=10cm，求CE的长． 【详解】解：∵四边形是长方形， ， 由折叠性质可知，cm，， ∴在中， =8(cm)， ∴cm， 设cm，则cm， 在中，，∴， 解得 ，，∴CE的长为cm． 题型剖析 题型二、根据勾股定理解决折叠问题 变式：如图，在长方形ABCD中，AB=4cm,BC=3cm,P为AD上一点，将△ABP沿着BP翻折至△EBP，PE与CD交于点O，且OE=OD，求DP的长． 【详解】解：如图，设CD与BE交于点G． ∵四边形ABCD是长方形∴∠D=∠A=∠C=90°,AD=BC=3cm，CD=AB=4cm．由折叠的性质可知△ABP≌△EBP， ∴EP=AP,∠E=∠A=90°,BE=AB=4cm． 在△ODP和△OEG中，∠DOP=∠EOG,OD=OE,∠D=∠E， ∴△ODP≌△OEG，∴OP=OG,PD=GE，∴DG=EP， 设AP=EP=cm，则PD=GEcm,DG=cm， ∴CGcm,BG=cm． 根据勾股定理，得，即，解得，∴APcm，(cm)． 题型剖析 题型三、勾股定理的验证 例3：我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是 ( ) A. B. C. D. 【详解】解：A、，故A能证明勾股定理；B、小正方形的面积等于，∴，故B能证明勾股定理，C、等腰直角三角形的面积为，∴ ，故C能证明勾股定理；D选项中的图形不能证明勾股定理，符合题意； 故选：D． D 题型剖析 题型三、勾股定理的验证 变式：在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是 ( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 【详解】解：在图①中，整理得，故①可以在图②中，，整理得，故②可以； 在图③中，，整理得，故③可以； 在图④中，连接BD，， 即，整理得，故④可以； 故选：D． D 题型剖析 题型四、勾股数 例4：下列几组数中，是勾股数的是 ( ) A.1，2，3 B.0.3，0.4，0.5 C.， ， D.6，8，10 【详解】解：A．，不能构成三角形，不符合题意； B．，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； C． ， ， ，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； D．，是勾股数，符合题意． 故选：D． D 题型剖析 题型四、勾股数 变式：下列各组数为勾股数的是 ( ) A.0.3,0.4,0.5 B. ， ， C.8，15，17 D.4，5，6 【详解】解：选项A：0.3,0.4,0.5，不是正整数，不符合勾股数定义． 选项B： ， ，不是正整数，不符合勾股数定义． 选项C：8，15，17，均为正整数，验证得 ，满足勾股定理，是勾股数． 选项D：4，5，6，均为正整数，但 ，不满足勾股定理． 故选： C． C 题型剖析 题型五、利用勾股定理逆定理判定直角三角形 例5：如图，在△ABC中，AB=8，BC=15，AC=17，D是BC上一点，AD=10，求CD的长． 【详解】解： ，， ， ， ， ， 又∵， ． 题型剖析 变式：一个三角形三边满足，则这个三角形是 三角形 【详解】 ， 即， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 题型五、利用勾股定理逆定理判定直角三角形 题型剖析 题型六、勾股定理的实际应用：梯子问题 例6：如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为 米． 【详解】解：由题意可得： ， 在中， ， ∵AC=AD ， ∴， ∵AB>0， ∴AB=2米， ∴小巷的宽度为0.7+2=2.7(米)． 故答案为：2.7． 题型剖析 变式：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长为25m的云梯AB，如图，云梯斜靠在一栋楼的外墙面上，这时云梯底端距墙脚的距离BC=7m，∠DCE=90°．当消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑4m到A′位置上(云梯长度不改变)，即AA′=4m，那么它的底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′是多少？ 【详解】，m，m， (m)， ∴(m)， 在Rt△A′B′C中，∠A′CB′=90°，，， ∴(m)， ∴(m)， 答：它的底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′是8m． 题型六、勾股定理的实际应用：梯子问题 题型剖析 例题7.某地遭台风袭击，马路边竖有一根高为8m的电线杆AC，被大风从离地面2m的B处吹断裂，倒下的电线杆顶部C是否会落在与它的底部A的距离为5m的快车道上？说明理由． 题型七、勾股定理的实际应用：折竹问题 【详解】解：根据题意， 则， ∴， 又， ∴倒下的电线杆顶部会落在与它的底部A距离5m的快车道上． 题型剖析 变式.在《九章算术》中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折者高几何？译文：一根竹子原高一丈，从A处折断，其竹稍B恰好抵地，BC为3尺，试问：折断处离地面有多高？(注：1丈=10尺) 题型七、勾股定理的实际应用：折竹问题 【详解】解：由题意可得， ， ， 即 解得 ∴折断处离地面尺． 题型剖析 例题8.滨海西大道的限速为60km/h(已知1m/s=3.6km/h)．如图，一辆小汽车在滨海西大道上的直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方40m的C处(即AC=40m)，过了2s后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离AB为50m，问：这辆小汽车超速了吗？ 题型八、利用勾股定理解决汽车超速问题 【详解】解：根据题意得，由勾股定理得 ∴小车的速度为30÷2=15m/s=15×3.6=54km/h， ∵54<60， ∴这辆小汽车没有超速． 题型剖析 变式.某条东西走向的公路上，按规定小汽车的行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在这条公路上由东向西匀速行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车在B处与车速检测仪A之间的距离为50m．这辆小汽车超速了吗？请通过计算说明理由． 题型八、利用勾股定理解决汽车超速问题 【详解】在中，， 根据勾股定理，得， 所以． 因为小汽车2s行驶了40m， 所以它的速度为(m/s)． 因为20m/s=72km/h，且72>70， 所以这辆小汽车超速了． 题型剖析 例题9.如图所示，四边形ABCD是长方形地面，长AB=20m，宽AD=10m．中间竖有一堵墙，高MN=2m．一只蚂蚱从点A爬到点C，它必须翻过中间那堵墙，求它至少要走多长的路程． 题型九、利用勾股定理解决最短路径问题 【详解】解：如图所示，将图展开，连接AC，图形长度增加2MN，原图长度增加4m，则AB=20+4=24(m)， ∵四边形ABCD是长方形，AB=24m，宽AD=10m， ∴AC²=AB²+BC²=676， ∴AC=26m，负值舍去， 即蚂蚱从点A爬到点C，它至少要走26m的路程． 题型剖析 变式.如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，E是边AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，求PB+PE的最小值． 题型九、利用勾股定理解决最短路径问题 【详解】 题型剖析 例题10.如图，在四边形ABCD中，AB=1,BC=2,CD=2,AD=3，且AC⊥CD． (1)求证：AB⊥BC； (2)求四边形ABCD的面积． 题型十、利用勾股定理逆定理解决面积问题 【详解】(1) ∴△ABC是直角三角形，且，； (2)解：，四边形ABCD的面积= + ， ∴四边形ABCD的面积． 题型剖析 变式.已知AB=3，BC=4，CD=13，DA=12，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积． 题型十、利用勾股定理逆定理解决面积问题 【详解】解：如图，连接AC， ， ∴△ABC是直角三角形， ， ， ，即， ∴△ACD是直角三角形，∠CAD=90°， ∴， ∵， ∴ =6+30=36， ∴四边形ABCD的面积为36． 题型剖析 1.如图，在△ABC中，AB⊥AC，BD是AC边上的中线，AB=5,AD=6，则BC= ( ) A.13 B.12 C.169 D.61 【详解】解：∵BD是AC边上的中线，AD=6， ∴， ∵， ∴． 故选：A． A 针对训练 2.下列各组数中，是勾股数的是(    )． A.0.3,0.4,0.5 B. C.6，8，10 D.1.5,2,2.5 C 【详解】解：A．∵0.3,0.4,0.5不是正整数， ∴0.3,0.4,0.5不是勾股数，不符合题意； B．∵ 不是正整数， ∴ 不是勾股数，不符合题意； C．∵6²+8²=100,10²=100，即，且6，8，10是正整数， ∴6，8，10是勾股数，符合题意； D．∵1.5,2.5不是正整数， ∴1.5,2,2.5不是勾股数，不符合题意； 故选C． 针对训练 3.在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是 甲、乙 【详解】解：甲方案：， ∴整理得，因此甲方案可以. 乙方案：，∴， 因此乙方案可以.故填：甲、乙． 针对训练 4．如图所示，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则下列结论错误的是 ( ) A. B. C. D. D 【详解】解：由勾股定理得：，，， 故选项A、B不符合题意，∵，，∴， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°， 故选项C不符合题意； 选项D符合题意， 故选：D 针对训练 5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm，现将△ABC进行折叠，使顶点A,B重合，则折痕DE的长为 ( ) A B C. D.5 【详解】解：， ∴，∴． 由折叠的性质可得， ．设，则，．在Rt△BCE中，， ∴，解得 ， 即，∴， ∴．故选C． C 针对训练 6．如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°,AB=2,AC=3，沿AD和EF将纸片折叠，使点B和点C都落在边BC上的点P处，则AE的长是 ． 【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点P处，∴AP=AB=2，∠B=∠APB， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴CE=PE，∠C=∠CPE， ∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠APB+∠CPE=90°，∴∠APE=90°， 在Rt△APE中，， 设，则， ∴ ， 解得： ，即， 故答案为： ； 针对训练 7．如图1，某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人．如图2，云梯最多能伸长到25m(即AB=CD=25m)，消防车高4m，救人时云梯伸长至最长，在完成从19m(即BE=19m)高的B处救人后，还要从28m(即DE=28m)高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？(延长AC交DE于点O，AO⊥DE，点B在DE上，OE的长即为消防车的高4m) 【详解】解：， ∴， 在Rt△ABO中， ∴， ∴． 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为13米． 针对训练 8．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离CA、CB分别为150km、200km，又AB=250km，以台风中心为圆心周围130km以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为20km/h，台风影响海港C持续的时间有多长？ 【详解】(1)解：海港C受台风影响，理由如下：如图所示，过点C作CD⊥AB于D,=62500，， ∴，， ∴， ∴ ∵120<130， ∴海港C受台风影响； 针对训练 8．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离CA、CB分别为150km、200km，又AB=250km，以台风中心为圆心周围130km以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为20km/h，台风影响海港C持续的时间有多长？ (2)解：如图所示，在线段AB上取两点E、F，使得，连接CE，CF， 在Rt△CED中，由勾股定理得 在Rt△CDF中，由勾股定理得 ∴， ∵台风中心移动的速度为20km/h，且100÷20=5， ∴台风影响海港C持续的时间有5h， 答：台风影响海港C持续的时间有5h． 针对训练 ✅ 知识构建：勾股定理与逆定理 勾股定理→验证→应用 ✅ 思想方法： 将非直角三角形直角三角形问题 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $