专项突破05 弧长及扇形面积、圆锥的侧面积（知识技巧点拨+14种高频考察题型 共42题）期中培优讲练-2025-2026学年苏科版数学九年级上册考前冲刺

专项突破05 弧长及扇形面积、圆锥的侧面积 （知识技巧点拨+14种高频考察题型 共42题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：弧长的计算 1 知识点梳理02：扇形面积的计算 2 知识点梳理03：与圆锥相关的概念 2 知识点梳理04：圆锥的侧面积和全面积 3 优选题型 考点讲练 3 题型1：求弧长 3 题型2：求扇形半径 5 题型3：求圆心角 5 题型4：求某点的弧形运动路径长度 7 题型5：求扇形面积 8 题型6：求图形旋转后扫过的面积 10 题型7：求弓形面积 11 题型8：求其他不规则图形的面积 14 题型9：求圆锥侧面积 15 题型10：求园锥底面半径 17 题型11：求圆锥的高 18 题型12：求园锥侧面展开图的圆心角 19 题型13：圆锥的实际问题 22 题型14：圆锥侧面上最短路径问题 23 知识点梳理01：弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点梳理02：扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5） 求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 知识点梳理03：与圆锥相关的概念 1、圆锥：圆锥是一个底面和一个侧面围成的几何体.圆锥还可以看成由一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形. 2、圆锥的母线：我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线SA，SB 等叫做圆锥的母线．圆锥有无数条母线，它们都相等． 3、圆锥的高：从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高． 4、重要的数量关系 如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长, l表示圆锥的母线长,那么r、h、l 之间数量关系是：由勾股定理得：r2+h2= l2,利用这一关系，已知任意两个量，可以求出第三个量． 、 知识点梳理04：圆锥的侧面积和全面积 1、圆锥其侧面展开图扇形的半径=母线的长l 侧面展开图扇形的弧长=底面周长 2、圆锥的侧面积计算公式：S侧•2πr•l＝π r l 3、圆锥的全面积计算公式：S全＝S底+S侧＝πr2+π r l 题型1：求弧长 1．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，是的直径，为上一点，为弧的中点，过点作于点，交过点的切线于点，交弦于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求弧的长． 2．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点 ，请在网格图中进行如下操作： (1)若该圆弧所在圆的圆心为，则点坐标为___________； (2)连接、，则的半径长为___________（结果保留根号），的度数为___________． (3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的周长为___________．（结果保留根号） 题型2：求扇形半径 4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆． (1)求的度数 (2)连接，，作．若劣弧的长为，求的长 5．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形的圆心角等于，则扇形的半径是 ． 6．（21-22九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，扇形OBA中，点C在弧AB上，连接BC，P为BC中点．若，点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为，则OA的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 题型3：求圆心角 7．（24-25九年级上·河北承德·期末）已知圆锥的底面半径为2，母线长为8，底面圆周上有一点，一只蚂蚁从点出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 8．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．已知，点C，D分别为的中点，且的长度为． (1)求扇形的圆心角度数； (2)依据相关数据，求花窗的面积． 9．（24-25九年级上·河北衡水·期中）如图，是的外接圆，是的直径，平分交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)已知，． ①求的半径长； ②若劣弧的长度为，求的度数 题型4：求某点的弧形运动路径长度 10．（2025·江苏苏州·模拟预测）曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示，当活塞在汽缸内往复运动时，通过连杆带动曲轴做圆周运动．静止时，活塞处于点处，且三点共线，当活塞运动到点处时，完成一次进气过程，已知，且完成一次进气过程，扫过的扇形面积为，则完成一次进气过程中，点运动的路径长为 mm． 11．（2023九年级上·黑龙江哈尔滨·竞赛）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将平移得到，且的对应点，点的对应点分别是，画出平移后的； (2)画出绕点顺时针旋转后得到； (3)在（2）的条件下，直接写出点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 12．（21-22九年级上·山东德州·期末）如图，将矩形绕其右下角的顶点顺时针方向旋转至图①位置，继续绕右下角的顶点顺时针旋转至图②位置，以此类推，这样连续旋转2022次．若，，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（　　） A． B． C． D． 题型5：求扇形面积 13．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是的外接圆，半径为，连接，，， (1)过点作，交于点，若，求的长； (2)若，求阴影部分的面积． 14．（2024九年级上·安徽安庆·竞赛）【知识背景】 当且时，∵， 从而（当时取等号） 设函数由上述结论易得： 当时，该函数有最小值， 【应用举例】 已知函数与函数，则当时，函数有最小值． 【解决问题】 (1)当时，函数有最_____值为_____，此时_____． (2)已知某扇形的面积为4，求其周长的最小值及此时扇形的半径长． (3)如图所示，直线与双曲线的图象交于，两点． ①在轴上存在一点，使得最小，求出点坐标； ②线段上有一动点，双曲线上有一动点D，且平行于轴，试求的最大值． 15．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在扇形中，已知，，过的中点C作，，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为 ． 题型6：求图形旋转后扫过的面积 16．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，将直角三角板绕直角顶点顺时针旋转角度得到，点在斜边上，若，，则点运动路径长度及边扫过的面积分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 17．（2025·山东东营·模拟预测）如图，在中，，，．可以绕点A旋转，旋转的角度为，连续旋转两次，分别得到和，则图中阴影部分的面积为 ． 18．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）． A． B． C． D． 题型7：求弓形面积 19．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，为正三角形的外接圆，直线经过点C，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积． 20．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，是的直径，点是上的一点，点是的中点，连接并延长至点，交于点，连接，． (1)证明：为的切线； (2)若，． ①求的长； ②求阴影部分的面积． 21．（23-24九年级上·江苏·周测）【材料阅读】 材料：以角内一点为圆心画圆，若圆与该角的两边相交所截的两条弦相等，则这一点在该角的角平分线上．如图，为内一点，在射线截得弦，则在角平分线上．    材料：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作这个三角形的“等弦圆”． 认真研读以上材料，完成以下问题： 【问题1】对于“等弦圆”下列描述正确得有_____________________________（填序号） 每个三角形都有“等弦圆”；一个三角形的“等弦圆”的圆心就是这个三角形的内心；每个三角形都只有一个“等弦圆”；若一个三角形的三个顶点可以同时在它的“等弦圆”上，那么这个三角形一定是等边三角形． 【问题2】如图2，是经过两点的“等弦圆”，交边于．求证：．    【问题3】已知等腰直角三角形腰为2，则“等弦圆”半径的取值范围为_____________________； 【问题4】如图，中，，是经过点的“等弦圆”，交边于，交边于，交边于（在的右边）．    （1）连结，则_______________________； （2）若，求弦与弧围成阴影部分的面积． 题型8：求其他不规则图形的面积 22．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）如图，在正方形中，和交于点，过点的直线交于点（不与，重合），交于点．以点为圆心，为半径的圆交直线于点，．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 23．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，四边形内接于，为直径，过点C作于点E，连接． (1)求证：； (2)如图2，若是的切线，，，连接，判断四边形的形状并说明理由，且求出阴影部分的面积． 24．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，O是边上的点，与相切，切点为D，与相交于点E，且． (1)求证：是的切线； (2)的半径为_________；与相交于点M，求阴影部分的面积； (3)F为上的一个动点（不与点D，E重合），过点F作的切线，分别与边，交于点G，H，连接，．嘉淇认为：随着点F位置的变化，的度数不变．请你判断他说得是否正确，并说明理由； (4)在（3）的条件下，设（），，直接写出y与x之间满足的函数关系． 题型9：求圆锥侧面积 25．（24-25九年级下·湖北黄石·阶段练习）“打陀螺”是人们喜爱的一项运动，如图所示是一个陀螺的结构图．已知底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，那么这个陀螺的表面积是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）把一个圆心角为，半径为的扇形纸片，通过用胶水粘贴制作成了一个底面周长为的圆锥侧面，如图所示，则圆锥上粘贴部分（图中阴影部分）的面积是（   ） A． B． C． D． 27．（24-25九年级上·全国·阶段练习）小华的爸爸要用一块矩形铁皮加工出一个底面半径为，高为的锥形漏斗，要求只能有一条接缝（接缝忽略不计） 你能求出这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角吗？ 如图，有两种设计方案，请你计算一下，哪种方案所用的矩形铁皮面积较少？    题型10：求园锥底面半径 28．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，，，过这三个点作一条圆弧． (1)用无刻度直尺画出该圆弧的圆心M（保留作图痕迹）． (2)的半径长为___________． (3)点在___________（填“内”“外”“上”）． (4)若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是___________． 29．（24-25九年级上·山东东营·开学考试）如图，是的半径，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，连接，交于点C和点D，交半径于点B，连接，，，若把小于半圆的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 ． 30．（20-21九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，正方形的边长为，以点为圆心，为半径，画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（   ） A． B． C． D． 题型11：求圆锥的高 31．（2023·云南红河·一模）如图，从边长为的正方形铁皮中，剪下一块圆心角为的扇形铁皮，要把它做圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（   ） A． B． C． D． 32．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）如图，正六边形的边长为3，B，F在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为 ． 33．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）如图1，小明在综合实践课上用正方形纸板剪下一个扇形和一个半径为的圆形，使之恰好围成如图2所示的一个圆锥，则圆锥的高是（   ） A． B． C． D． 题型12：求园锥侧面展开图的圆心角 34．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，扇形是圆锥的侧面展开图，圆锥的母线，底面圆的半径． (1)当时，求的度数； (2)当时，分别求的度数；（直接写出结果） (3)当（n为大于1的整数）时，猜想的度数（直接写出结果）． 35．（2025·福建福州·二模）综合与实践 问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半径为，圆心角为的扇形． (1)探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长______；（填“相等”或“不相等”）若，则______． (2)问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为，侧面展开图会得到一个半径为，圆心角为的扇形，请用含r，l的式子表示． (3)拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草㡌，是线段中点，如今计划要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够长，并说明理由． 36．（22-23九年级上·山西临汾·阶段练习）综合与实践 问题情境：如图，将一个圆锥的侧面展开后可得到一个圆心角为，半径为l的扇形，圆锥底面是一个半径为r的圆．母线在展开图上对应的半径经过的中点． (1)特例研究：当，时， ，展开图上，与OB的夹角为 ． (2)问题提出：求证：． (3)问题解决：如图2，一种纸质圆锥形生日帽，底面直径为，母线长也为，为了美观，想在底面圆上一点A和与之相对的母线PB中点C之间拉一条细彩带进行装饰，求彩带长度的最小值．（提示：尝试画出圆锥侧面展开图） 题型13：圆锥的实际问题 37．（2022·湖南邵阳·模拟预测）在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 38．（2022·广西崇左·一模）如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片，分别裁出扇形和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则 ． 39．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为． (1)求图2中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留） 题型14：圆锥侧面上最短路径问题 40．（2025·广东梅州·一模）综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 41．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是 ． 42．（22-23八年级上·重庆·期中）如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若=120°，OA=，则蚂蚁爬行的最短距离是 ． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破05 弧长及扇形面积、圆锥的侧面积 （知识技巧点拨+14种高频考察题型 共42题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：弧长的计算 1 知识点梳理02：扇形面积的计算 2 知识点梳理03：与圆锥相关的概念 2 知识点梳理04：圆锥的侧面积和全面积 3 优选题型 考点讲练 3 题型1：求弧长 3 题型2：求扇形半径 7 题型3：求圆心角 10 题型4：求某点的弧形运动路径长度 13 题型5：求扇形面积 17 题型6：求图形旋转后扫过的面积 21 题型7：求弓形面积 24 题型8：求其他不规则图形的面积 31 题型9：求圆锥侧面积 38 题型10：求园锥底面半径 40 题型11：求圆锥的高 44 题型12：求园锥侧面展开图的圆心角 46 题型13：圆锥的实际问题 50 题型14：圆锥侧面上最短路径问题 54 知识点梳理01：弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点梳理02：扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5） 求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 知识点梳理03：与圆锥相关的概念 1、圆锥：圆锥是一个底面和一个侧面围成的几何体.圆锥还可以看成由一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形. 2、圆锥的母线：我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线SA，SB 等叫做圆锥的母线．圆锥有无数条母线，它们都相等． 3、圆锥的高：从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高． 4、重要的数量关系 如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长, l表示圆锥的母线长,那么r、h、l 之间数量关系是：由勾股定理得：r2+h2= l2,利用这一关系，已知任意两个量，可以求出第三个量． 、 知识点梳理04：圆锥的侧面积和全面积 1、圆锥其侧面展开图扇形的半径=母线的长l 侧面展开图扇形的弧长=底面周长 2、圆锥的侧面积计算公式：S侧•2πr•l＝π r l 3、圆锥的全面积计算公式：S全＝S底+S侧＝πr2+π r l 题型1：求弧长 1．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，是的直径，为上一点，为弧的中点，过点作于点，交过点的切线于点，交弦于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求弧的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）要证，需通过切线性质、弧中点性质以及直角三角形的角的关系，证明． （2）要求弧的长，先根据和弧中点性质得出相关弧的度数，再结合圆的半径，利用弧长公式计算． 【规范解答】（1）解：连接 ∵ 是的切线 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ； （2）解：连接， ∵ 为弧的中点 ∴ ∵ ， ∴， ∴ ∴ ∵ 是的直径， ∴ 的半径， ∴ 所对的圆心角 ∴弧的长为 【考点剖析】本题主要考查了圆的切线性质、等腰三角形性质、弧长公式等知识，熟练掌握圆的相关性质和弧长公式是解题的关键． 2．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了弧长计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键．连接，先根据平行线的性质求出，，，根据平行线的性质得出，根据弧长公式求出结果即可． 【规范解答】解：连接，如图所示： ∵， ∴， 根据作图可知：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 故选：C． 3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点 ，请在网格图中进行如下操作： (1)若该圆弧所在圆的圆心为，则点坐标为___________； (2)连接、，则的半径长为___________（结果保留根号），的度数为___________． (3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的周长为___________．（结果保留根号） 【答案】(1) (2)； (3) 【思路引导】本题考查的是圆锥的计算、勾股定理及其逆定理，掌握扇形面积公式、正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得出D点位置，结合图形得到点D的坐标； （2）利用点的坐标结合勾股定理得出的半径长，根据勾股定理的逆定理得出的度数； （3）利用圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图的扇形弧长即可得出答案． 【规范解答】（1）解：分别作、的垂直平分线，两直线交于点D， 则点D即为该圆弧所在圆的圆心， 由图形可知，点D的坐标为， 故答案为：； （2）解：圆D的半径长， ， ∴ ， 则， ∴， 故答案为：；； （3）解：圆锥的底面圆的周长． 题型2：求扇形半径 4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆． (1)求的度数 (2)连接，，作．若劣弧的长为，求的长 【答案】(1)的度数为； (2)的长为． 【思路引导】（1）根据多边形的内角和公式计算即可； （2）先求出中心角，是等边三角形，根据弧长公式求得半径为2，由等边三角形的性质，结合已知可得，根据勾股定理即可得的长． 【规范解答】（1）解：， ∴的度数为． （2）解：∵正六边形，是它的外接圆， ∴中心角， ∵劣弧的长为， ∴， 解得：， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的长为． 【考点剖析】本题考查正多边形的内角，圆与正多边形，解直角三角形，正多边形的中心角，弧长公式，等边三角形的判定和性质，勾股定理． 5．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形的圆心角等于，则扇形的半径是 ． 【答案】 【思路引导】根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，列式解答即可． 本题考查了弧长公式，扇形与圆锥的关系，熟练掌握扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长是解题的关键． 【规范解答】解：设扇形的半径是r，则， 解得， ∴扇形的半径是4． 故答案为：4． 6．（21-22九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，扇形OBA中，点C在弧AB上，连接BC，P为BC中点．若，点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为，则OA的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【思路引导】连接，易得，点P是在以点的中点D为圆心，为半径的圆上运动，再由弧长公式求出的半径，即可得出的长度． 【规范解答】解：连接， ， 为等腰三角形， 为中点， （三线合一）， 即， 点P是在以点的中点D为圆心，为半径的圆上运动，如图所示： 当点C运动到点A的时候，点P到达点的位置， 点P所经过的路径为， 连接,为 中点，为中点， ， ，， ， 即; 故选：C ． 【考点剖析】本题考查了动点的运动轨迹问题，根据定弦定角确定圆所在的位置，以及等腰三角形的性质，中位线的性质，弧长公式等，熟练掌握这些公式和性质是解题的关键． 题型3：求圆心角 7．（24-25九年级上·河北承德·期末）已知圆锥的底面半径为2，母线长为8，底面圆周上有一点，一只蚂蚁从点出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了平面展开图-最短路程问题，勾股定理，扇形的弧长等知识，要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开， 进而根据“两点之间线段最短”得出结果，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意，将圆锥展开如下图所示的扇形，连接，则线段就是蚂蚁爬行的蛭短距离， ∵点是母线的中点，， ∴， 扇形的弧长， 设扇形的圆心角为，则有： ， 解得：， ∴扇形的圆心角为， ∴蚂蚁爬行的最短距离为：， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．已知，点C，D分别为的中点，且的长度为． (1)求扇形的圆心角度数； (2)依据相关数据，求花窗的面积． 【答案】(1)扇形圆心角的度数为 (2)花窗的面积为 【思路引导】本题考查求圆心角与扇形面积，熟练掌握弧长与扇形面积公式是解题的关键． （1）设的度数为，根据弧长公式列方程求解即可； （2）先根据扇形的面积公式求出、，再由求解即可． 【规范解答】（1）解：由题知，，点C，D分别为的中点， ∴， 设的度数为， ∵的长度为． ∴，解得， ∴扇形圆心角的度数为； （2）解：∵ ， ∴， ∴花窗的面积为． 9．（24-25九年级上·河北衡水·期中）如图，是的外接圆，是的直径，平分交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)已知，． ①求的半径长； ②若劣弧的长度为，求的度数 【答案】(1)见解析 (2)①的半径长为5；② 【思路引导】本题考查了垂径定理及其推论、勾股定理、弧长的计算等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． （1）首先证明，然后根据垂径定理的推论，即可得到结论； （2）①首先根据垂径定理可得，再根据勾股定理解得，即可获得答案；②设，根据弧长公式解得，即，然后确定的度数即可． 【规范解答】（1）证明：∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵，，， ∴，， ∴，即， 解得， ∴的半径长为5； ②设， ∵劣弧的长度为， ∴， ∴，即， ∵，， ∴． 题型4：求某点的弧形运动路径长度 10．（2025·江苏苏州·模拟预测）曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示，当活塞在汽缸内往复运动时，通过连杆带动曲轴做圆周运动．静止时，活塞处于点处，且三点共线，当活塞运动到点处时，完成一次进气过程，已知，且完成一次进气过程，扫过的扇形面积为，则完成一次进气过程中，点运动的路径长为 mm． 【答案】 【思路引导】本题考查了扇形的面积和弧长的求法：设与交于点，完成一次进气过程，扫过的扇形为扇形，设根据扇形面积公式求出n，再根据弧长计算方法计算出弧长即可． 【规范解答】解：如图， 设与交于点，完成一次进气过程，扫过的扇形为扇形， 设 完成一次进气过程，扫过的扇形面积为 ，解得 ， 由题意得，完成一次进气过程，点运动的路径即为， 点运动的路径长为． 故答案为：． 11．（2023九年级上·黑龙江哈尔滨·竞赛）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将平移得到，且的对应点，点的对应点分别是，画出平移后的； (2)画出绕点顺时针旋转后得到； (3)在（2）的条件下，直接写出点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 【答案】(1)图象见解析 (2)图象见解析 (3) 【思路引导】（1）根据平移变换的性质找出对应点即可得出平移后的三角形； （2）根据旋转变换的性质找出对应点画出图形即可得出结果； （3）点旋转到点的过程中所经过的路径为以为圆心，为半径的圆的，根据圆的周长公式即可计算． 本题是三角形的综合题，考查了作图--平移变换，旋转变换，弧长的计算，熟记平移变换、旋转变换的性质是解题的关键． 【规范解答】（1）向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到； 按同样的平移方法，得到的点分别为； 如图： （2）找到绕点顺时针旋转后得到点，连接三点即可得到： （3）， 点旋转到点的过程中所经过的路径为以为圆心，为半径的圆的， ∴其长度为． 12．（21-22九年级上·山东德州·期末）如图，将矩形绕其右下角的顶点顺时针方向旋转至图①位置，继续绕右下角的顶点顺时针旋转至图②位置，以此类推，这样连续旋转2022次．若，，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查旋转的性质、矩形的性质、勾股定理及弧长公式，熟练掌握旋转的性质、矩形的性质、勾股定理及弧长公式是解题的关键；连接，由题意易得，然后可得转动一次A的路线长是：，转动第二次的路线长是：，转动第三次的路线长是：，转动第四次的路线长是：0，以此类推，每四次循环，进而问题可求解． 【规范解答】解：连接，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 转动一次A的路线长是：， 转动第二次的路线长是：， 转动第三次的路线长是：， 转动第四次的路线长是：0， 以此类推，每四次循环， 故顶点A转动四次经过的路线长为：， ∵， ∴顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为：， 故选：D． 题型5：求扇形面积 13．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是的外接圆，半径为，连接，，， (1)过点作，交于点，若，求的长； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）利用垂径定理得出，再结合勾股定理求出，进而得到． （2）先根据圆周角定理求出圆心角的度数，然后用扇形面积公式得到阴影部分面积． 【规范解答】（1）解：，， ， 在中，，， ∴， ； （2）解：， ， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理、扇形面积公式，熟练掌握这些定理和公式是解题的关键． 14．（2024九年级上·安徽安庆·竞赛）【知识背景】 当且时，∵， 从而（当时取等号） 设函数由上述结论易得： 当时，该函数有最小值， 【应用举例】 已知函数与函数，则当时，函数有最小值． 【解决问题】 (1)当时，函数有最_____值为_____，此时_____． (2)已知某扇形的面积为4，求其周长的最小值及此时扇形的半径长． (3)如图所示，直线与双曲线的图象交于，两点． ①在轴上存在一点，使得最小，求出点坐标； ②线段上有一动点，双曲线上有一动点D，且平行于轴，试求的最大值． 【答案】(1)小；；； (2)周长的最小值是8，此时扇形的半径长为2； (3)①点；②的最大值是1． 【思路引导】（1）根据题意把式子变成题目中举例的形式，运用整体思想，把两个变量进行整体变换，再根据题目中的例子得到答案即可； （2）先根据扇形的面积公式得到圆心角和半径的关系，再根据扇形周长公式列出等式，把上面的关系代入即可得到题目中举例的性质即可解决问题； （3）①先根据一次函数和反比例函数的交点问题得到交点坐标，再根据将军饮马模型得到点，根据一次函数待定系数法求出直线解析式即可得到点的坐标，即可解决问题； ②根据题意先设出点和点的坐标，用含的式子表示出的长度，把式子变成题目中举例的形式即可解决问题； 【规范解答】（1）解：∵ ∴ 即 令 ∴ 由题意可知：当，有最小值是 ∴ 故答案为：小，4，3； （2）解：设扇形的半径为，圆心角为，则 即， ∴扇形的周长， 由上可知：当即时，扇形的周长有最小值为． 故扇形周长的最小值是8，此时扇形的半径长为2； （3）①解：由题意可得：， 解得：或， 经检验：或都是原方程的解， ∴，， 如图，作点关于轴的对称点， ∴， 连接交轴于点， 设直线的表达式为， 则， 解得：， ∴直线的表达式为， 令时，， 解得：， ∴点； ②由题可设点，点， 由题可得：， 即， 则当时，则， ∴， 故的最大值是1． 【考点剖析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数，将军饮马模型，不等式的计算等知识点，解决此题的关键是合理的利用题目中举例的性质． 15．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在扇形中，已知，，过的中点C作，，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【思路引导】如图：连接，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，再根据证明，根据全等三角形的性质得到，从而得到矩形是正方形，再求出正方形的边长，再根据扇形和正方形的面积公式求解即可． 【规范解答】解：如图：连接， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点C是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∵， ∴，解得：， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系、扇形面积的计算、矩形的判定、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键． 题型6：求图形旋转后扫过的面积 16．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，将直角三角板绕直角顶点顺时针旋转角度得到，点在斜边上，若，，则点运动路径长度及边扫过的面积分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【思路引导】根据旋转的性质得到，得出，根据三角形内角和定理求出，根据弧长公式，扇形面积公式求出点运动路径长度及边扫过的面积即可． 【规范解答】解：直角三角板绕直角顶点顺时针旋转角度得到，点在斜边上， ， ， ， ， 点运动路径长度为， 边扫过的面积为， 故选：B． 【考点剖析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，弧长公式，扇形面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 17．（2025·山东东营·模拟预测）如图，在中，，，．可以绕点A旋转，旋转的角度为，连续旋转两次，分别得到和，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查扇形的面积，旋转的性质，含角的直角三角形，掌握不规则图形面积的计算是解题的关键． 由直角三角形的性质求出，的长，由阴影的面积，应用扇形面积计算公式，三角形面积计算公式，即可求解． 【规范解答】解：由题意知，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴阴影的面积 ． 故答案为：． 18．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查旋转的性质、扇形的面积、勾股定理等知识点，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 利用勾股定理求出，利用旋转的性质可得，进而求出和，再结合图形即可解答． 【规范解答】解：， ， 将绕点A逆时针旋转后得到， ， ， ． 故选：C． 题型7：求弓形面积 19．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，为正三角形的外接圆，直线经过点C，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【思路引导】（1）由正三角形的性质可得，由平行线的性质可得，求出，可证直线与相切； （2）由圆周角定理得，根据阴影部分的面积等于，即可求解． 【规范解答】（1）解：直线与相切，理由如下： 如图，连接， 是正三角形， ， 为正三角形的外接圆的圆心， ∴也是正三角形的内接圆的圆心， 平分， ， ， ， ， 是半径， 直线与相切； （2）解：如图，连接，作于点H， ， ， ． ，， ，， ， ， ． 图中阴影部分的面积为：． 【考点剖析】本题考查切线的判定，正三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆中弓形面积的计算，熟练掌握切线的判定定理，并根据题意得到阴影部分的面积为是解题的关键． 20．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，是的直径，点是上的一点，点是的中点，连接并延长至点，交于点，连接，． (1)证明：为的切线； (2)若，． ①求的长； ②求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【思路引导】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，扇形的面积的计算，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键． （1）根据三角形中位线定理得到，根据垂直的定义得到，于是得到，根据切线的判定得到为的切线； （2）①设的半径为，由，得到，根据，由（1）知，根据直角三角形的性质得到，，根据勾股定理得到； ②由①知，，根据直角三角形的性质得到，，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【规范解答】（1）证明：点是的中点，点是的中点， ， ， ， ，， ， ， 为的切线； （2）解：①设的半径为， ， ， 由（1）知， ， ， ，， ， ； ②由①知，， ，， 阴影部分的面积的面积扇形的面积． 21．（23-24九年级上·江苏·周测）【材料阅读】 材料：以角内一点为圆心画圆，若圆与该角的两边相交所截的两条弦相等，则这一点在该角的角平分线上．如图，为内一点，在射线截得弦，则在角平分线上．    材料：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作这个三角形的“等弦圆”． 认真研读以上材料，完成以下问题： 【问题1】对于“等弦圆”下列描述正确得有_____________________________（填序号） 每个三角形都有“等弦圆”；一个三角形的“等弦圆”的圆心就是这个三角形的内心；每个三角形都只有一个“等弦圆”；若一个三角形的三个顶点可以同时在它的“等弦圆”上，那么这个三角形一定是等边三角形． 【问题2】如图2，是经过两点的“等弦圆”，交边于．求证：．    【问题3】已知等腰直角三角形腰为2，则“等弦圆”半径的取值范围为_____________________； 【问题4】如图，中，，是经过点的“等弦圆”，交边于，交边于，交边于（在的右边）．    （1）连结，则_______________________； （2）若，求弦与弧围成阴影部分的面积． 【答案】[问题1]①②④；[问题2]见解析；[问题3]；[问题4]（1）；（2） 【思路引导】[问题1]根据材料1和材料2逐项分析判断即可求解； [问题2] 连接，证明得出，即可得证； [问题3] 过点作于点，则，过点作，则是等腰直角三角形，分别求得，即可求解； [问题4] （1）连接，得出是等腰直角三角形，进而可得，根据圆周角定理即可求解； （2）根据问题2可得，，设，，，勾股定理得出，又，即，得出，则半径为，进而根据，即可求解． 【规范解答】解：[问题1]根据材料1材料2，可得一个三角形的“等弦圆”的圆心就是这个三角形的内心， 每个三角形都有“等弦圆”，故①正确； 一个三角形的“等弦圆”的圆心就是这个三角形的内心，故②正确； 每个三角形有无数多个“等弦圆”，故③错误； 若一个三角形的三个顶点可以同时在它的“等弦圆”上，则三条弦相等，那么这个三角形一定是等边三角形，故④正确 [问题2]证明：如图所示，连接，    ∵是经过两点的“等弦圆”， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 根据材料1，可得是的角平分线， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，即； [问题3]解：如图所示，等腰直角三角形腰为2，即    ∴ 过点作于点，则， 过点作，则是等腰直角三角形， 设，则， 又∵ ∴ 解得： 则, ∵是的“等弦圆” 当经过点直角顶点，点时，此时半径为 当与相切时，半径为 ∴“等弦圆”半径的取值范围为， 故答案为：． [问题4]（1）如图所示，连接    ∵中，，是经过点的“等弦圆”， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， 又∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． （2）根据问题2可得， 设，， ∵是直角三角形， ∴ 即， 整理得，， 又∵，即， ∴（负值舍去） 即， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查了“等弦圆”的定义，圆周角定理，三角形的内心，全等三角形的性质与判定，勾股定理，求扇形面积，理解新定义解题的关键． 题型8：求其他不规则图形的面积 22．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）如图，在正方形中，和交于点，过点的直线交于点（不与，重合），交于点．以点为圆心，为半径的圆交直线于点，．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】由四边形是正方形，得，，，所以，，以为圆心，为半径作弧，可得，，所以，然后通过勾股定理得，最后由即可求解． 【规范解答】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， 如图，以为圆心，为半径作弧， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【考点剖析】本题考查了正方形的性质，扇形面积，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 23．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，四边形内接于，为直径，过点C作于点E，连接． (1)求证：； (2)如图2，若是的切线，，，连接，判断四边形的形状并说明理由，且求出阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析； 【思路引导】（1）先判断出，再用等角的余角相等，即可得出结论； （2）先判断出，再判断出，进而得出四边形是平行四边形，即可得出四边形是菱形，先求出，，再用面积的和，即可得出结论． 此题是圆的综合题，主要考查了同角的余角相等，切线的性质，菱形的判定，扇形的面积公式，判断出是解本题的关键． 【规范解答】（1）证明：四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ； （2）解：四边形是菱形， 理由如下： ， ， 是的切线， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是菱形， ， 由（1）知， ， ， ， ， 在中，， ， ， ，与围成阴影部分的面积为 ． 24．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，O是边上的点，与相切，切点为D，与相交于点E，且． (1)求证：是的切线； (2)的半径为_________；与相交于点M，求阴影部分的面积； (3)F为上的一个动点（不与点D，E重合），过点F作的切线，分别与边，交于点G，H，连接，．嘉淇认为：随着点F位置的变化，的度数不变．请你判断他说得是否正确，并说明理由； (4)在（3）的条件下，设（），，直接写出y与x之间满足的函数关系． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)2，阴影部分的面积为； (3)他说得正确，理由见解析； (4)与之间满足的函数关系为． 【思路引导】（1）由切线的性质得到．再证明，得到，即．则可证得结论； （2）证明，得到，即可得的半径，再根据阴影部分的面积，列式计算即可； （3）由切线长定理得到，．再证明，，得到，，则．证明，则，即可判断他说得是否正确； （4）由等腰直角三角形的性质可得，，，则，根据勾股定理，即可得y与x之间满足的函数关系． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， ∵与相切，切点为D， ∴． 在与中， ∴， ∴，即． 又∵是半径， ∴是的切线． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为2， 故答案为：2； ∴阴影部分的面积为． ∴阴影部分的面积为． （3）解：他说得正确，理由如下： 如图，连接， ∵都与相切， ∴，． 又∵，，， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，即的度数不变． （4）解：∵，， ∴， ∵与相切，切点为D， ∴, ∴为等腰直角三角形， ∴， 设（），， 由（3）知，，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴与之间满足的函数关系为． 【考点剖析】本题考查圆的性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理与性质定理，等腰直角三角形的判定与性质，扇形的面积公式，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理． 题型9：求圆锥侧面积 25．（24-25九年级下·湖北黄石·阶段练习）“打陀螺”是人们喜爱的一项运动，如图所示是一个陀螺的结构图．已知底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，那么这个陀螺的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了圆柱和圆锥的计算，勾股定理等知识，根据勾股定理求出圆锥的母线长，再根据圆的面积公式，扇形面积公式，矩形面积公式求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：由勾股定理可得： 圆锥的母线长为：， ∴陀螺的表面积为：， 故选：D． 26．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）把一个圆心角为，半径为的扇形纸片，通过用胶水粘贴制作成了一个底面周长为的圆锥侧面，如图所示，则圆锥上粘贴部分（图中阴影部分）的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查圆锥的计算和扇形面积的计算，先求出围成圆锥的扇形弧长为，已知扇形的弧长为，可知粘贴部分的弧长为，利用扇形面积的计算方法进行计算即可． 【规范解答】解：∵圆锥的底面周长为， ∴围成圆锥的扇形弧长为， ∵已知扇形的弧长为， ∴粘贴部分的弧长为， ∴圆锥上粘贴部分的面积是． 故选：B． 27．（24-25九年级上·全国·阶段练习）小华的爸爸要用一块矩形铁皮加工出一个底面半径为，高为的锥形漏斗，要求只能有一条接缝（接缝忽略不计） 你能求出这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角吗？ 如图，有两种设计方案，请你计算一下，哪种方案所用的矩形铁皮面积较少？    【答案】（1）120°（2）方案二所用的矩形铁皮面积较少 【思路引导】（1）先根据勾股定理求出母线长为60，然后根据圆锥侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式计算锥形漏斗的侧面展开图的圆心角；（2）如图1，矩形的一边长等于母线长60，再利用含30度的直角三角形三边的关系计算出OB，从而得到BC长，再计算矩形ABCD的面积；如图2，矩形的一边长等于母线长60，再利用含30°的直角三角形三边的关系计算出OF，从而得到CG长，再计算矩形EFGH的面积，然后比较两矩形的面积即可． 【规范解答】圆锥的母线长， 设这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角为， 所以，解得，    即这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角为；如图，，， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∴方案一所需的矩形铁皮的面积， 如图，，， 在中，∵， ∴，    ∴， ∴方案二所需的矩形铁皮的面积， ∴方案二所用的矩形铁皮面积较少． 【考点剖析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形半径等于圆锥的母线长. 题型10：求园锥底面半径 28．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，，，过这三个点作一条圆弧． (1)用无刻度直尺画出该圆弧的圆心M（保留作图痕迹）． (2)的半径长为___________． (3)点在___________（填“内”“外”“上”）． (4)若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是___________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)内 (4) 【思路引导】本题考查了垂径定理、勾股定理、弧长公式、点与圆的位置关系等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据垂径定理，圆心是线段和垂直平分线的交点，作图即可； （2）由图可得，再结合勾股定理计算即可得解； （3）先求出，计算得出，再结合点与圆的位置关系即可得解； （4）先判断出为直角三角形，即，再利用弧长公式得出弧的长为，由此即可得解． 【规范解答】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：由图可得，， 故由勾股定理可得：， 故的半径长为， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴点在内， 故答案为：内； （4）解：∵的半径长为， ∴， ∵, ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴弧的长为， ∴该圆锥的底面圆半径为， 故答案为：． 29．（24-25九年级上·山东东营·开学考试）如图，是的半径，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，连接，交于点C和点D，交半径于点B，连接，，，若把小于半圆的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查的是圆锥的计算、线段垂直平分线的性质、尺规作图，掌握圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键． 根据尺规作图得到是线段的垂直平分线，根据余弦的定义求出，进而求出，根据弧长公式、圆的周长公式计算即可． 【规范解答】解：由作图可知：是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴扇形的弧长为：， ∴圆锥的底面半径为：， 故答案为：． 30．（20-21九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，正方形的边长为，以点为圆心，为半径，画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查的知识点是圆锥侧面展开图的性质(圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长)正方形的性质(正方形的对角线平分内角，角度为)、扇形弧长公式(，其中为圆心角度数，为扇形半径)．先求出扇形的弧长，再根据圆锥底面圆周长等于侧面展开图扇形弧长这一关系，求出圆锥底面半径；涉及正方形性质、扇形弧长公式、圆锥侧面展开图性质等知识点． 【规范解答】解：∵正方形中，， ∴扇形的圆心角， 已知扇形半径，圆心角， 据扇形弧长公式，可得弧长， 设圆锥底面半径为，圆锥底面圆周长， 又因为圆锥底面圆周长等于侧面展开图扇形弧长， 所以， 解方程可得， 故选：B． 题型11：求圆锥的高 31．（2023·云南红河·一模）如图，从边长为的正方形铁皮中，剪下一块圆心角为的扇形铁皮，要把它做圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了扇形与圆锥之间的关系，勾股定理，弧长公式；理解扇形与圆锥之间的关系是解题的关键．由弧长公式得圆锥的底面圆的周长为，再由圆锥的底面圆的半径、高、母线之间的关系，即可求解． 【规范解答】解：圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥的底面圆的半径为， 则， 解得：， 则这个圆锥形容器的高为（）， 故选：C． 32．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）如图，正六边形的边长为3，B，F在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为 ． 【答案】 【思路引导】根据正六边形的内角和，即可求得内角的度数，进而根据边长等于的半径，根据弧长公式求得弧的长，再根据底面圆的周长就是弧的长，求得底面圆的半径，进而根据母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形，求解． 【规范解答】解：∵正六边形的边长为3， ∴，， ∴弧的长为：， ∵图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图， ∴弧的长即为圆锥底面的周长， 设圆锥底面圆的半径为，则， 解得：， ∴圆锥的高， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了正多边形的内角，圆锥的侧面展开图的弧长与底面圆的关系，母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形的关系，勾股定理，弄清弧长与圆锥的底面圆的周长的关系及母线、底面圆的半径和高的关系是解题的关键． 33．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）如图1，小明在综合实践课上用正方形纸板剪下一个扇形和一个半径为的圆形，使之恰好围成如图2所示的一个圆锥，则圆锥的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】此题主要考查了圆锥展开图以及勾股定理等知识．利用已知得出底面圆的半径为，周长为，进而得出母线长，即可得出答案． 【规范解答】解：∵半径为的圆形， ∴底面圆的半径为2，周长为， 扇形弧长为：， ∴，即母线为， ∴圆锥的高为：． 故选：A． 题型12：求园锥侧面展开图的圆心角 34．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，扇形是圆锥的侧面展开图，圆锥的母线，底面圆的半径． (1)当时，求的度数； (2)当时，分别求的度数；（直接写出结果） (3)当（n为大于1的整数）时，猜想的度数（直接写出结果）． 【答案】(1)180度 (2)120度；90度 (3) 【思路引导】本题主要考查扇形弧长公式．注意对弧长公式的运用，注意区分公式中的各个量之间的关系． （1）运用弧长公式计算即可； （2）运用弧长公式计算即可； （3）由（1）、（2）可得规律为． 【规范解答】（1）解：设的度数为，则， ∵， ∴，即． （2）解：设的度数为，则， ∵， ∴， ∴， 即， 同理：当时，， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得：， ∴， ∴． 35．（2025·福建福州·二模）综合与实践 问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半径为，圆心角为的扇形． (1)探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长______；（填“相等”或“不相等”）若，则______． (2)问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为，侧面展开图会得到一个半径为，圆心角为的扇形，请用含r，l的式子表示． (3)拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草㡌，是线段中点，如今计划要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够长，并说明理由． 【答案】(1)相等，6 (2) (3)不够长；理由见解析 【思路引导】（1）根据圆锥侧面展开图的意义，得到圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长是相等的，由，则解答即可． （2）根据题意，得圆锥底面圆的周长为，侧面展开图的扇形弧长为，根据问1的结论，得到等式，变形表示即可． （3）根据（2）得，得到，计算最短，继而得到，比较解答即可． 【规范解答】（1）解：根据圆锥侧面展开图的意义，得到圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长是相等的，由，则， 解得， 故答案为：相等，6． （2）解：根据题意，得圆锥底面圆的周长为，侧面展开图的扇形弧长为，根据问1的结论，得， 解得． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴够长． 【考点剖析】本题考查了圆锥的侧面展开，弧长公式，扇形与底面圆的关系，勾股定理，熟练掌握展开图的意义是解题的关键． 36．（22-23九年级上·山西临汾·阶段练习）综合与实践 问题情境：如图，将一个圆锥的侧面展开后可得到一个圆心角为，半径为l的扇形，圆锥底面是一个半径为r的圆．母线在展开图上对应的半径经过的中点． (1)特例研究：当，时， ，展开图上，与OB的夹角为 ． (2)问题提出：求证：． (3)问题解决：如图2，一种纸质圆锥形生日帽，底面直径为，母线长也为，为了美观，想在底面圆上一点A和与之相对的母线PB中点C之间拉一条细彩带进行装饰，求彩带长度的最小值．（提示：尝试画出圆锥侧面展开图） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)彩带长度的最小值为． 【思路引导】（1）圆锥的底面周长等于扇形的弧长，求出，再根据半径经过的中点，得到，即可求出与OB的夹角； （2）根据（1）即可证明结论； （3）先求出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，得到，再连接，利用勾股定理得到长，即可求出彩带长度的最小值． 【规范解答】（1）由题意可知，圆锥的底面周长等于扇形的弧长， ， ， ，， ， 经过的中点， ， ， 与OB的夹角为， 故答案为：，； （2）由（1）得：， ； （3），， ， 圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，如下图， ， ， 连接，即为彩带长度的最小值， ，， 由勾股定理得：， 彩带长度的最小值为． 【考点剖析】本题考查了圆锥的性质，弧长公式，同弧或等弧所对的圆心角相等，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键． 题型13：圆锥的实际问题 37．（2022·湖南邵阳·模拟预测）在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 【答案】(1)能，见解析 (2) 【思路引导】此题考查了圆锥侧面积实际应用． （1）证明表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．即可得到结论； （2）求出扇形弧长为，则圆心角为，滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为，由重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半，进一步即可得到滤纸重叠部分每层面积． 【规范解答】（1）解：如图所示： ∵表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇形， ∴表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等． 由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥侧面的关系． 将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为圆， 则围成的圆锥形的侧面积． ∴它的侧面展开图是半圆，其圆心角为度， 如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，展开的扇形弧长为：， 该侧面展开图的圆心角为． 由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等． ∴该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁． （2）如果抽象地将母线长为，开口圆直径为的特殊规格的漏斗内壁圆锥侧面展开，得到的扇形弧长为， 圆心角为， 滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为， 又∵重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半， ∴滤纸重叠部分每层面积． 38．（2022·广西崇左·一模）如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片，分别裁出扇形和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了圆锥的相关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．设，则，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可． 【规范解答】解：设，则， 根据题意，得： ， 整理得： ∴ 解得：， 即：． 故答案为：． 39．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为． (1)求图2中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形的性质． （1）由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，从而求出，再由即可求解； （2）先根据等腰直角三角形的性质得到，再利用扇形的面积公式，利用进行计算． 【规范解答】（1）解：根据题意得， ， ∴； （2）解：，，， 而， ， ． 题型14：圆锥侧面上最短路径问题 40．（2025·广东梅州·一模）综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【思路引导】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【规范解答】解：， ． ， ． 将圆锥侧面展开后得到圆心角为的扇形，如下图所示： 由图可知，． ， ． 在中，由勾股定理，得 彩带长度的最小值为． 41．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧展开图圆心角的大小是解题关键．由题意可求出圆锥的侧展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可． 【规范解答】解：∵圆锥的侧展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为n， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． ∵，， ∴， 故最短路径长是． 故答案为：． 42．（22-23八年级上·重庆·期中）如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若=120°，OA=，则蚂蚁爬行的最短距离是 ． 【答案】3 【思路引导】连接，作于点，根据题意，结合两点之间线段最短，得出即为蚂蚁爬行的最短距离，再根据三角形的内角和定理得出，再根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据勾股定理，得出，再根据三线合一的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，得出即可解答． 【规范解答】解：如图，连接，作于点， ∴即为蚂蚁爬行的最短距离， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． ∴蚂蚁爬行的最短距离为3． 故答案为：3 【考点剖析】本题考查了圆锥侧面上最短路径问题、三角形的内角和定理、直角三角形的特征、勾股定理、三线合一的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形和直角三角形是解题的关键． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $