专项突破04 直线与圆的位置关系（知识技巧点拨+16种高频考察题型 共48题）期中培优讲练-2025-2026学年苏科版数学九年级上册考前冲刺

专项突破04 直线与圆的位置关系 （知识技巧点拨+16种高频考察题型 共48题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：直线和圆的位置关系 2 知识点梳理02：直线和圆的位置关系的性质和判定（重点） 2 知识点梳理03：切线的判定（难点） 2 知识点梳理04：切线的性质（重点） 3 知识点梳理05：三角形的内切圆 3 知识点梳理06：切线长定理（难点） 4 优选题型 考点讲练 5 题型1：证明某直线是圆的切线 5 题型2：切线的性质定理 10 题型3：切线的性质和判定的综合应用 14 题型4：应用切线长定理求解 20 题型5：应用切线长定理求证 26 题型6：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 30 题型7：圆外切四边形模型 34 题型8：三角形内心有关应用 37 题型9：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 41 题型10：三角形内切圆与外接圆综合 44 题型11：过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 48 题型12：圆内知识综合（圆的综合问题） 54 题型13：圆与三角形的综合（圆的综合问题） 59 题型14：圆与四边形的综合（圆的综合问题） 64 题型15：圆与函数的综合（圆的综合问题） 71 题型16：其他问题（圆的综合问题) 74 知识点梳理01：直线和圆的位置关系 (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． 　　(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． 　　(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 知识点梳理02：直线和圆的位置关系的性质和判定（重点） 　　由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 要点诠释： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定． 知识点梳理03：切线的判定（难点） （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 要点诠释： 　　切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 知识点梳理04：切线的性质（重点） （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直． 知识点梳理05：三角形的内切圆 1.三角形的内切圆： 　　与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 　　三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等. 要点诠释： 　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； 　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 　　(3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 知识点梳理06：切线长定理（难点） （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 题型1：证明某直线是圆的切线 1．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【思路引导】（1）连接，由知，则，由可证，根据得，得证； （2）设，在中由勾股定理求得 【规范解答】（1）证明：连接， ， ． ． ， ． ． ． ， ， 又是半径． 是的切线． （2）解：设， ， ． 在中， ，，， ． 解得． 的半径是3． 【考点剖析】本题主要考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理及平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定是关键：连接半径，证明半径与直线垂直． 2．（24-25九年级上·四川·期末）如图，是的外接圆，且，点D在上运动，过点D作，交的延长线于点E，连结． (1)求证：； (2)当点D运动到什么位置时，是的切线？请说明理由． (3)当，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)当点D是弧的中点时，是的切线，理由见解析 (3) 【思路引导】本题主要考查了圆与三角形的综合题，涉及了垂径定理，切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理等． （1）根据等腰三角形的性质以及平行线的性质可得，即可求证； （2）根据垂径定理以及切线的判定定理解答即可； （3）连结，并延长交于点F，则，根据三角形外接圆的性质可得，再由勾股定理可得．设的半径为，在中，利用勾股定理求出r的值，即可． 【规范解答】（1）证明：在中，∵， ∴．      ∵， ∴， ∴．          又∵， ∴． （2）解：当点D是弧的中点时，是的切线．理由如下： 当点D是弧的中点时，则有，且过圆心O． 又∵， ∴． ∴ 是的切线． （3）解：连结，并延长交于点F，则， ∵， ∴． 又∵， ∴． 设的半径为， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径是． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的直径、是的弦，给出下列信息： ①于点；②平分；③切于点． 请从以上三条信息中选择两个作为补充条件，余下一个作为结论，组成一个真命题，并说明理由． 你选择的补充条件是________，结论是________(填序号)． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查圆的性质，切线的判定与性质．选择任意两条信息作为条件，都可以得到第三条信息．连接，，．若平分，则；若于点，则，；若切于点，则，；根据以上信息即可作答． 【规范解答】（1）选择的补充条件是①②，结论是③． 证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∵是圆的半径， ∴切于点． （2）选择的补充条件是①③，结论是②． 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 即平分． （3）选择的补充条件是②③，结论是①． 证明：连接， ∵， ∴， ∵切于点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ， ∴，， 即于点． 题型2：切线的性质定理 4．（2024·湖南·模拟预测）如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【思路引导】连接，，由，，，求得，由与，，的切点分别为，，，得，，，由，求得，则，再证明四边形是正方形，所以，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：连接，， ，，， ， 与的切点分别为 D，E，F， ，，，，， ， ， ， ，， 四边形是正方形， ， 的半径长为2， 故选：B． 【考点剖析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，求得，并且证明四边形是正方形是解题的关键． 5．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，以为圆心，为半径的圆交于，延长交于，连接，，若是的切线，    (1)求证：是的切线； (2)若，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）连接，证出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）求出，根据三角形的面积公式求出，根据平行四边形的面积公式求出即可． 【规范解答】（1）解：∵是的切线， ∴， 连接，如图，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：过作于，如图，    ∵四边形是平行四边形， ∴， 由（）得 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形的面积． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 6．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在矩形中，，，、、分别与相切于、、三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查切线的性质，矩形的性质，勾股定理. 连接，，，，证明四边形，是正方形，结合切线的性质和矩形的性质，得到 ，结合勾股定理求出，即可得到的长. 【规范解答】解：连接，，，，如图所示， 在矩形中， ∵，， ∵，，分别与相切于，，三点， ∴， ∴四边形，是正方形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴，， ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴. 故选：D． 题型3：切线的性质和判定的综合应用 7．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，切点为点． (1)若，则两个同心圆组成的圆环面积为______； (2)若以为圆心，长为半径画弧，交大圆于点，连接，请在备用图中补全图形，猜想与小圆的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)补全图见详解，与小圆相切，理由见详解 【思路引导】（1）连接、，由切线的性质得，结合勾股定理即可求解； （2）连接、、、，过点作于E，由判定，由全等三角形的性质及切线的判定方法，即可得证． 【规范解答】（1）解：连接、， 大圆的弦是小圆的切线，切点为点， ， ， ， 两个同心圆组成的圆环面积为： （）， 故答案为：； （2）解：补全图如下： 与小圆相切， 理由如下：连接、、、，过点作于E， ，，， （）， ， 与小圆相切． 【考点剖析】本题考查了垂径定理、圆的面积、勾股定理，全等三角形的判定与性质、切线的性质与判定等；掌握垂径定理、切线的性质与判定相关定理及性质，构造出全等三角形是解题的关键． 8．（2025·广东佛山·三模）如图，是的弦，为过点的切线上一点，且，分别在上，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查切线的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质、切线的判定与性质是解答的关键． （1）连接，先根据等腰三角形的性质得到，再根据切线的性质定理可得，进而根据切线的判定定理可得结论； （2）证明得到，利用等腰三角形的性质求得，进而利用三角形的内角和定理和平角定义得到． 【规范解答】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：在与中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 9．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）九（1）班数学课代表小华在学习“直线与圆位置关系”时，利用手中的量角器及三角尺深入研究了如下直线与圆位置关系的动态问题，请你也来试试看． 已知半圆和．半圆的直径，在中，，，．半圆的直径和的边在水平直线上． (1)如图1，保持不动，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上．设运动的时间为，当时，半圆在的左侧，．当为何值时，某一条边所在的直线能与半圆所在的圆相切？ (2)如图2，将图1中的绕点逆时针旋转至的位置．保持不动，半圆仍然以原来方式运动，请直接写出的边能与半圆所在的圆相切（切点在边上）时的可取的一切值． 【答案】(1)当，，，时，的一边所在直线与半圆所在的圆相切 (2)当或或时，的边能与半圆所在的圆相切（切点在边上） 【思路引导】（1）随着半圆的运动分四种情况：①当点与点重合时，与半圆相切；②当点运动到点时，与半圆相切； ③当点运动到的中点时，再次与半圆相切；④当点运动到点的右侧时，的延长线与半圆所在的圆相切；接下来分别求得半圆的圆心移动的距离后，再求得运动的时间即可． （2）分为①如图，当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时，②如图，当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时，③如图，当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时，分别画图解答即可． 【规范解答】（1）解：①如图1， 当点与点重合时，，，与半圆相切， 此时点运动了，所求运动时间为：． ②如图2，当点运动到点时，过点作，垂足为． 在中，，， 则，即等于半圆的半径， 所以与半圆所在的圆相切． 此时点运动了，所求运动时间为：． ③如图3，当点运动到的中点时，，，与半圆相切． 此时点运动了，所求运动时间为：． ④如图，当点运动到点的右侧，且时， 过点作，垂足为． 在中，，则， 即等于半圆所在的圆的半径， 所以直线与半圆所在的圆相切． 此时点运动了，所求运动时间为：． 综上所述，当，，，时，的一边所在直线与半圆所在的圆相切． （2）解：①如图，当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时， 假设切点为，连接，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时点运动了，所求运动时间为：． ②如图，当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时， 假设切点为，连接，则，， ∵， ∴， ∴， 此时点运动了，所求运动时间为：． ③如图， 过点作， ∵， ∴，， ∵， ∴边上所有点到的距离都是，等于半圆所在的圆的半径， 所以边与半圆所在的圆相切． 当半圆与边相切于点A时，点运动了，所求运动时间为：， 当半圆与边相切于点B时，点运动了，所求运动时间为：， 故当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时，， 综上，当或或时，的边能与半圆所在的圆相切（切点在边上）． 【考点剖析】该题考查了切线的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，二次根式的性质等知识点，解题的关键是利用分类讨论思想解答． 题型4：应用切线长定理求解 10．（24-25九年级上·湖北·期末）如图，、切于A、B，及其延长线分别交于C、D，为⊙O的直径，连接、，下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【思路引导】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质： ①在圆中相等圆心角所对应弧相等，，连接，，则． ②，，则，正确． ③根据角的互余关系证明即可； ④条件不足，无法确定． 【规范解答】解：连接，如图， 由切线性质知，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴，①正确； 由切线性质知，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴②正确； ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴平分，③正确； ④若，则，即是等边三角形， 根据已知条件无法得到这一结论，故④错误． 故选：A． 11．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知，． (1)在图中，用尺规作出的内切圆的圆心（保留痕迹，不必写作法）； (2)画出与边，，的切点、、，连接，，若则___________； (3)若，则所作内切圆半径___________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2 【思路引导】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，作图-复杂作图，关键是掌握三角形的内心是三角形角平分线的交点． （1）分别作和的平分线，它们相交于点O，则点O为内切圆圆心； （2）过点O作于F，然后以点O为圆心，为半径作圆；连接、，根据切线长定理得出，，从而可求出； （3）由三角形的面积等于其内切圆的半径与周长积的一半，即可求得的内切圆的半径． 【规范解答】（1）解：如图，点O即为的内切圆圆心， （2）解：连接，， 由切线长定理得，， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：； （3）解：设内切圆的半径为r， ∵在中，， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：2． 12．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知线段、与相切，切点分别为、，，． (1)过点作的切线（在线段的上方）与的延长线交于点，切点为点．（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）． (2)求证：与相切． (3)若，，求的半径． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 (3) 【思路引导】（1）连接并延长交于点，以为圆心为半径作弧交于点，连接，延长交的延长线于点； （2）由（1）可得结论； （3）设的半径为，过点作于点，则四边形是矩形，利用勾股定理构建方程求解． 【规范解答】（1）解：如图，连接并延长交于点，以为圆心为半径作弧交于点，连接，延长交的延长线于点，连接、、， ∴， ∵线段、与相切，切点分别为、，， ∴，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是的直径，即点在上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴与相切于点， 则即为所作； （2）证明：由（1）知：即，且点在上， ∴与相切； （3）解：设的半径为， 过点作于点，则， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵、、都是的切线， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为． 【考点剖析】本题考查作图—复杂作图，切线的判定和性质，切线长定理，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 题型5：应用切线长定理求证 13．（2022·湖南长沙·二模）如图，为的直径，且，和是的两条切线，切于点，交于，交于点，设，． (1)求证：； (2)求与的函数关系式？ (3)若、是方程的两个根，求、的值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)，或，． 【思路引导】（1）根据切线长定理得到，，根据平行线的性质得到，根据三角形内角和定理计算，证明结论； （2）过点作，垂足为，根据勾股定理列式计算，得到答案； （3）根据一元二次方程根与系数的关系得到，根据函数关系式列出方程，解方程即可． 【规范解答】（1）证明：、是的两条切线， ， 同理可得，， 为的直径，和是的两条切线， ∴， ， ， ， ； （2）解：过点作，垂足为， 则四边形为矩形， ，， 切、、于、、， ，， ，， 在中，，即， ， ． （3）解：、是方程的两个根， ，即， 整理得，， 解得，，， 则，， ，或，． 【考点剖析】本题考查的是切线的性质、切线长定理、矩形的性质、求函数关系式、一元二次方程根与系数的关系，掌握切线长定理、一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 14．（2025·江西·模拟预测）【课本再现】如图1， 是的切线， 为切点， 是的直径．若， (1)求的度数． (2)【变式设问】如图2，是的直径， 与相切于点为上一 点，的延长线与射线相交于点D， 若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】此题考查了切线的性质和切线长定理，三角形内角和定理，等腰三角形性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）利用圆的切线性质得到，由切线长定理知，得到 ，最后根据三角形内角和定理求出． （2）连接 ，利用等腰三角形性质得到 ，推出 ． 结合已知条件，得到 ，从而判定是切线，根据切线长定理即可得证． 【规范解答】（1）是的切线 ． （2）根据题意， 如图，连接， 可得 ， 又 是的切线 ． 15．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，的平分线交于点，以点为圆心，长为半径的圆与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为． 【思路引导】（）过点作于点，根据角平分线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （）根据切线的性质得到，在中，设，根据和勾股定理列方程即可得到结论； 本题考查了切线的判定，切线长定理，角平分线的性质定理，勾股定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：过点作于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的半径，， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴与相切， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴，， 在中，设， 则，即， 解得：， ∴， ∴， ∴的长为． 题型6：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 16．（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线剪一个，则的周长为 ． 【答案】12 【思路引导】设的内切圆切三边于点，连接，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，得四边形是正方形，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长． 【规范解答】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，    由切线长定理可知，，， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 则四边形是正方形， ∵是的内切圆， ∴内切圆的半径， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：12． 【考点剖析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质． 17．（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内切圆和面积，设的内切圆为，与 分别相切于点，由，，得，，连接，由可得，即得，同理得，进而即可求解，正确地作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：设的内切圆为，与 分别相切于点， ∵，，， ∴， ， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴， 连接，，，，，，则， ∵，且，，， ∴， 解得：， 同理可得，， 解得， ∴， 故选：D． 18．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，…，依此规律，第2020次滚动后，内切圆的圆心的坐标是 ． 【答案】 【思路引导】作交于，交于，交于，连接、、，由、的坐标得出，，由勾股定理可得，再由内切圆的性质可得，设，根据三角形的面积计算出，从而得到，根据旋转可得出的坐标为：，即，设的横坐标为，根据切线长定理可得：，即可得到的坐标，从而得到每滚动3次为一个循环，最后根据，进行计算即可得到答案． 【规范解答】解：如图，作交于，交于，交于，连接、、， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点是内切圆的圆心，，，， ， 设， ，， ， 解得：， ， 将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为， 由图可得的坐标为：，即， 设的横坐标为， 根据切线长定理可得：， 解得：， ， 的坐标为，即， 每滚动3次为一个循环， ， 第2020次滚动后内切圆的圆心的横坐标是：，即的横坐标是8081， ， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了坐标与图形、三角形内切圆的相关性质、勾股定理、旋转的性质等知识点，得出每滚动3次为一个循环是解此题的关键． 题型7：圆外切四边形模型 19．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在 上，若，则的直径为 ．    【答案】 【思路引导】连接，由题意可知过点，，且 ，列出方程求解即可． 【规范解答】解：如图所示，连接，过点作于，过点作于，    ∵正方形，正方形和正方形都在正方形内， ∴， ∵分别与，，，相切， ∴四边形是正方形， ∴过点，， 四边形为正方形， ， ，． ． ． 设的直径为，则 ． ， ． ， ， （） 解得： ． 即的直径为 ． 故答案为： ． 【考点剖析】本题考查了正方形的性质及正方形的内切圆，掌握相关知识是解题的关键． 20．（2025·北京·模拟预测）如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则 ． 【答案】8 【思路引导】本题主要考查了四边形的内切圆的性质、比例的应用等知识点，掌握圆的外切四边形的对边之和相等是解题的关键． 利用圆的外切四边形的性质得到，设、、，则，即，接着利用四边形的周长为32列方程求解即可． 【规范解答】解：如图， ∵的外切四边形， ∴， ∴， ∵， ∴设、、，则，即， ∵四边形的周长为32， ∴，解得：， ∴． 故答案为：8． 21．（2024九年级·全国·专题练习）如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：. 【答案】见解析. 【思路引导】由切线长定理可得AD+BC=AB+CD=2AB，根据梯形中位线定理可得AD+BC=2EF，进而可得EF=AB. 【规范解答】∵等腰梯形ABCD是的外切等腰梯形， ∴AD+BC=AB+CD=2AB， ∵梯形中位线为EF， ∴AD+BC=2EF， ∴EF=AB. 【考点剖析】本题考查切线长定理及梯形的中位线，从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角；熟知圆外切四边形对边和相等是解题关键. 题型8：三角形内心有关应用 22．（25-26九年级上·江苏·期中）如图，点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了圆周角定理、三角形的外心与内心、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，根据三角形内心的定义可得，则，再由等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【规范解答】解：如图，连接， ∵点O是的外心， ∴， ∵点I是的内心，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：B． 23．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，若的半径为，，则的值和的大小分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可． 【规范解答】解：如图，连接． ∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 24．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)已知的半径是，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】（1）由圆周角定理得出，由内心得出，，，由三角形的外角性质得出，即可得出结论； （2）连接，过点作于，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，由，，推出，得到，根据勾股定理可求的长，即可得出结果． 【规范解答】（1）证明：∵为的直径， ， 点是的内心， ，， ， ，， ， ． （2）解：如图，连接，过点作于， 为的直径，的半径是，， ，是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查了三角形的内切圆与内心、圆周角定理、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 题型9：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 25．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片．若，则三角形纸片的周长为 ． 【答案】7 【思路引导】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型. 设三角形与相切于，与相切于，根据切线长定理和三角形的周长公式即可得到结论． 【规范解答】解：设三角形与相切于点，与相切于点． 由题意，得． 三角形纸片的周长为，，， ∴三角形纸片的周长． 故答案为：． 26．（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F， (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【规范解答】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设，则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2），，， ∴半周长， 又 ， ， ， 则的长为． 27．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）（1）如图①，在中，，，垂足为D．若，，则的长为______； 问题解决 （2）如图②所示，某工厂剩余一块型板材，其中，，．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆形部件的圆心O的位置，并求出的半径，若不可以，请说明理由． 【答案】（1）；（2）可以．画图见解析，，⊙O的半径为 【思路引导】（1）首先根据勾股定理求出，然后利用等面积法求解即可； （2）根据三角形内最大的圆是三角形的内切圆可求出点的位置，过点作于，于，于，连接，，，过点作于，设，的半径为，则，再根据勾股定理列出关于的方程得，则，进而得，则，然后根据，得，据此可得的半径． 【规范解答】解：（1）∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）可以． 三角形内最大的圆是三角形的内切圆， 所求圆的圆心是△的内心， 作和的平分线，交于点， 则点就是裁出的最大圆型部件的圆心的位置， 过点作于，于，于，连接，，，过点作于，如图所示： 设，的半径为， ，，， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 点为的内心， ， ， ， 即， ． 【考点剖析】此题主要考查了三角形的内切圆和三角形的内心，勾股定理，理解三角形的内切圆是三角形内最大的圆，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式法进行计算是解决问题的关键． 题型10：三角形内切圆与外接圆综合 28．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，锐角． (1)分别作出的外接圆、的内切圆（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)已知点是外接圆的圆心，点是内切圆的圆心．试探究与的度数之间的关系； (3)如果，那么的度数是多少？ 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【思路引导】本题考查了圆周角定理，三角形内切圆和外接圆的性质，尺规作图——作角平分线和垂直平分线，掌握知识点的应用是解题的关键． （）作垂直平分线交于点，作和角平分线交于点即可； （）由点是外接圆的圆心，得，由点是内切圆的圆心，则，，从而可得，然后代入可得； （）由（）得，，然后代入即可求解． 【规范解答】（1）解：如图， ∴的外接圆、的内切圆即为所求； （2）解：，理由， 如图， ∵点是外接圆的圆心， ∴， ∵点是内切圆的圆心 ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（）得，， ∵， ∴． 29．（2025·河北张家口·二模）如图，已知正方形的边长为2，的直角顶点M落在线段上，直角边经过点A，直角边与直线交于点E，连接．设点O为的内心，当点O在的内部（包括边界）时，的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】当点M与点D重合时，点E与点C重合，此时点O在上．此时最短，当点O落在上时，最大，过点M作于点F，于点G，于点K，由角平分线的性质得，证明四边形为矩形，得，，进而证得，得，进而得，，，再根据等角对等边得，即可求解． 【规范解答】解：当点M与点D重合时，点E与点C重合，此时点O为的内心． 四边形为正方形， 为的平分线， 点O在上．此时最短． 如图，当点O落在上时，最大． 过点M作于点F，于点G，于点K． ， ， 是等腰直角三角形， ． ，，，， 四边形是正方形， ． ，，， 四边形为矩形， ， ． ， ， ． 在和中，， ， ， 为等腰直角三角形． 点O为的内心， ， ． 又， ， ， 的取值范围是． 【考点剖析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形的内切圆与内心及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 30．（2025·河北唐山·二模）如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则 ． 【答案】65 【思路引导】本题考查三角形内切圆与外接圆的综合，涉及三角形的内心的性质、圆周角定理、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．由I是的内心，得到，，根据三角形内角和定理得到，又根据圆周角定理，可知，最后由三角形外角的性质即可求出． 【规范解答】解：∵I是的内心， ∴分别平分， ∴，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 故答案为：65． 题型11：过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 31．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：和外一点． 求作：过点的的切线． 作法：如图， 连接； 分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点； 作直线，交于点； 以点为圆心，的长为半径作圆，交于，两点； 作直线，． 直线，即为所求作的切线． (1)请根据上述作法完成尺规作图； (2)连接，，可证，理由是 ； (3)直线，是的切线，依据是 ． 【答案】(1)见解析； (2)直径所对的圆周角为直角； (3)见解析 【思路引导】本题考查了作图—作垂直平分线，线段垂直平分线的性质、圆周角定理，切线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据几何语言画出对应的几何图形即可； （）根据圆周角求解； （）根据切线的判定定理求解． 【规范解答】（1）解：如图，为所求；     （2）解：∵为直径， ∴； 故答案为：直径所对的圆周角为直角； （3）解：∵， ∴，， ∵为的半径， ∴直线，是的切线． 故答案为：过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线． 32．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）已知是外一点，用直尺和圆规过点作的切线．以下是甲、乙两人的作法： 下列判断正确的是（    ） 甲：①如图1，连接，以为直径作圆，交于，两点． ②连接，，，就是的切线． 乙：①如图2，连接，交于点．以点为圆心，为半径画弧，交于点． ②连接，就是的切线． A．甲、乙的作法都正确 B．甲、乙的作法都错误 C．甲的作法错误，乙的作法正确 D．甲的作法正确，乙的作法错误 【答案】D 【思路引导】本题考查了切线的作法，切线的判定．甲：连接、，利用圆周角定理求得，即可证明是的切线；乙：连接，不能证明是的切线． 【规范解答】解：甲：连接、， 由作图知，是直径， ∴， 又∵、是的半径， ∴是的切线； ∴甲的作法正确； 乙：连接， 由作图知，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 若是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵不一定等于， ∴不一定是的切线， ∴乙的作法不正确； 故选：D． 33．（2023·福建福州·模拟预测）如图，正方形中，是的直径，点是上的一动点（点不与点，重合，且在左侧）．    (1)尺规作图：做出点使得； (2)在（1）的条件下，延长交于，求证． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）连接，作的垂直平分线，交于点K，以K为圆心，为半径作圆，交于点E，即可得出答案； （2）延长交于点G，证明，证明，得出，求出，即可证明． 【规范解答】（1）解：如图，连接，作的垂直平分线，交于点K，以K为圆心，为半径作圆，交于一点，该点即为所求作的点E；    连接、，、，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵为的直径， 又∵直径所对的圆周角为直角， ∴点C在上， ∵是的直径， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，   ∴； （2）证明：延长交于点G，如图所示：    ∵为的直径， ∴， ∴，， ∵，为半径， ∴、为的切线， ∴， ∴， ∵四边形为正方形，   ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，   ∵为半径， ∴为的切线， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分，     ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了正方形的性质，圆的切线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，垂直平分线的判定，余角的性质，切线长定理，直径所对的圆周角是直角，解题的关键是作出辅助线，数形结合． 题型12：圆内知识综合（圆的综合问题） 34．（2025·北京西城·一模）在中，，为边上一点，点与点关于直线对称，过点作的垂线，交线段的延长线于点，连接交直线于，连接，，设． (1)如图，当时． ①求的大小（用含的式子表示）； ②请用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (2)当时，请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1)①；②，证明见解析； (2)． 【思路引导】（1）①连接，，利用等腰直角三角形的性质求得，，再利用四边形内角和来求解；②过点作交于,易得，利用全等三角形的性质得到，再利用对称性来求解； （2）利用②的方法来求解． 【规范解答】（1）解：①连接，，如下图 为边上一点，点与点关于直线对称， ，，， ． 在中，， ，， ． ， ， ， ． ② 证明：过点作交于, ∴. ∵ ∴, ． ∵在中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴点在以点为圆心，的长为半径的圆上， ∴， ， ∴． 在和中 ， ∴， ∴． ∵点与点关于直线对称， ∴， ， ， ， ， ． （2） 证明：同②的方法． 【考点剖析】本题考查了对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，四点共圆，四边形内角和度数，理解相关知识，作出辅助线是解答关键． 35．（2023·海南海口·一模）如图，⊙O的直径，弦，过⊙O上一点D作切线，交的延长线于点E，若，则的长为（    ） A．3 B．2 C．4 D．4 【答案】B 【思路引导】连接交于点F，证明四边形是矩形，点O圆心且，可得是的中位线，可得F为的中点，由勾股定理的，即可求出的长． 【规范解答】解：连接交于点F点， 为直径， ， ∴， 又为切线， ， ∴， 四边形是矩形， ，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ，故B正确． 故选：B． 【考点剖析】本题考查圆知识的综合应用，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角定理、矩形的判定、垂径定理． 36．（22-23九年级上·天津北辰·期末）已知为的直径，，为上一点，连接，． (1)如图①，若为的中点，求的大小和的长； (2)如图②，若，为的半径，且，垂足为，过点作的切线，与的延长线相交于点，求的长． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】（1）根据圆周角定理得到，，进而求出，根据勾股定理求出； （2）根据切线的性质得到，证明四边形为矩形，根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，根据垂径定理解答即可． 【规范解答】（1）解：为的直径， ， 为的中点， ， ， ； （2）是的切线， ， ，， 四边形为矩形， ， 在中，，，， 则， ， ， ． 【考点剖析】本题考查的切线的性质、垂径定理、矩形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 题型13：圆与三角形的综合（圆的综合问题） 37．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，是的直径，C是的中点，连结并延长到点D，使，E是的中点，连结并延长交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若交于点H，连接，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）连接，根据垂径定理可证为的中位线，再根据中位线的性质可得，即可得证； （2）根据证明，再根据勾股定理求得，再根据等面积法即可得解． 【规范解答】（1）证明：连接，如图， 是的直径，C是的中点， ， ， 为的中位线， ， ， 是的切线； （2）解：E是的中点， ， ， ， ， ， 在中，， ， 为直径，   ， ， ． 【考点剖析】本题考查了切线的判定，三角形的中位线，垂径定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，解题的关键综合运用以上知识点，正确作出辅助线． 38．（2025·广西来宾·模拟预测）如图，内接于是的直径，过点作于点，且平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）连接．根据切线的判定定理，证明即可； （2）利用三角形相似，勾股定理，解方程计算解答即可． 【规范解答】（1）证明：证明：如答图，连接． ∵平分， . ， ， ， . ， 又是的半径， 是的切线． （2）解：是的直径， . ， . ， ， . ， ， 在中，由勾股定理，得， ， 解得（负值已舍去）， ， 的半径为． 【考点剖析】本题考查了圆的性质，切线的判定，三角形相似的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的解法，熟练掌握切线的判定，勾股定理是解题的关键． 39．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）如图，是的直径，C，D 是上两点，连接，，平分，交延长线于点 E． (1)写出图中与相等的一个角： ； (2)求证：是的切线； (3)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见详解 (3) 【思路引导】（1）由角平分线的定义，即可求解； （2）由等腰三角形的判定与性质，以及三角形外角性质得，由同弧所对的圆周角相等得，结合平行线的性质得，即可得证； （3）由正弦函数得，， ，结合勾股定理，即可求解． 【规范解答】（1）解： 平分， ， 故答案为：；（答案不唯一） （2）证明： 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （3）解： 的半径为5， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， 解得：， ， ． 【考点剖析】本题考查了切线的判定，圆的基本性质，等腰三角形判定及性质，勾股定理，一般角的正弦函数等；掌握切线的判定方法，能熟练利用，勾股定理，一般角的正弦函数进行求解是解题的关键． 题型14：圆与四边形的综合（圆的综合问题） 40．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）点，，在上，将沿折叠后，与交于． (1)若，求的度数． (2)如图，点恰是翻折所得的中点，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题是圆的综合题目，考查了圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，本题综合性强，熟练掌握圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）将还原后点的对应点为，连接、，则，，求出，由三角形的外角性质即可得出答案； （2）由（1）得，证出，由等腰三角形的性质得出，，设，则，在中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可； 【规范解答】（1）解：将还原后点的对应点为，连接、，如图所示： 则，， ， ； （2）（2）由（1）得， ，， ， 点是翻折所得的中点， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，由三角形内角和定理得：， 解得， 即． 41．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接，则就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路与球门线垂直，D为垂足，点C在上，当最大时就是带球线路上的最佳射门角．若，则球员甲在此次带球中获得最佳射门角时，的长度为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查角度的最值问题，矩形的判定，圆的基本性质，通过角度构造圆是解决问题的关键． 构造的外接圆，当为圆的切线时，的角度最大，易证为矩形，通过勾股定理求得的长度，从而得到结果． 【规范解答】解：如图所示，为的外接圆， 延长交于点，连接，则， ，当的半径最小时，最大， ∵点C在上， ∴当为的切线时，最大． 连接，过点O作于点F，则， ， ， ∴四边形为矩形， ， ， ． 故选择：C． 42．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，在矩形中， ， ，点以1.5的速度从点向点运动，点以2的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与直线CD的位置关系是 ； (2)在点从点向点运动过程中，①圆心的运动路径长是 ；②当与直线相切时，求的值． (3)连接，交于点，如图2，当时，求的值． 【答案】(1)，相离 (2)； (3) 【思路引导】（1）过点作于，交于，根据矩形的性质，得出，，再根据圆周角定理和平行线的性质，得出的直径是，，再根据题意，得出当时，，，进而根据线段之间的数量关系，得出，，再根据勾股定理，得出的值，进而得出的半径，再根据中位线的性质得出的值，进而得出的值，即可判断与直线的位置关系； （2）①根据、运动的速度与、的比相等，得出圆心在对角线上，再根据图形和题意，得出和两点在时在点重合，当时，直径为对角线，根据中点的性质得出，再根据勾股定理解得的值，进而得出的长，即为圆心的运动路径长；②当与相切时，设切点为，连接并延长交于，再根据线段之间的数量关系和题意，得出，，再根据勾股定理解得的值，再根据圆的性质，得出，再根据中位线的性质，得出，根据线段之间的数量关系，列出关于的方程，求解即可得出答案； （3）过作，交的延长线于点，连接，证明，再根据全等三角形的性质得出，根据线段之间的数量关系得出，再根据勾股定理，列出方程，求解即可得出答案． 【规范解答】（1）解：如图，过点作于，交于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴的直径是，， 当时，，， ∵ ， ， ∴，， ∴， ∴的半径为， ∵，是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴与直线的位置关系是相离． 故答案为：；相离； （2）解：①如图， ∵、运动的速度与、的比相等， ∴圆心在对角线上， 由图可知，和两点在时在点重合， 当时，直径为对角线，是的中点， ∴，由勾股定理，可得， ∴， ∴圆心的运动路径长是． 故答案为：； ②如图，当与相切时， 设切点为，连接并延长交于， 则，， 则，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，解得， ∴的值为； （3）解：如图，过作，交的延长线于点，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去），， ∴的值为． 【考点剖析】本题是四边形与圆的综合问题，主要考查了矩形的性质、圆周角定理、勾股定理、中位线的性质、切线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线． 题型15：圆与函数的综合（圆的综合问题） 43．（21-22九年级上·湖北鄂州·期末）如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的横坐标为 ． 【答案】2或或0 【思路引导】当⊙P与x轴相切时，圆心P的纵坐标为1或-1，根据圆心P在抛物线上，所以当y为±1时，可以求出点P的横坐标． 【规范解答】解：当y=1时，有1=-x2+1，x=0． 当y=-1时，有-1=-x2+1，x=． 故答案是：2或或0． 【考点剖析】本题考查的是二次函数的综合题，利用圆与x轴相切得到点P的纵坐标，然后代入抛物线求出点P的横坐标． 44．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的半径为5，圆心P坐标是（5，a）（a＞5），函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4，则a的值是 ． 【答案】/ 【思路引导】作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，由于OC=5，PC=a，易得D点坐标为（5，5），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE=BE=AB=2，在中，利用勾股定理可计算出PE=1，则PD=PE=，所以a=5+． 【规范解答】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图， ∵⊙P的圆心坐标是（5，a）， ∴OC=5，PC=a， 把x=5代入y=x得y=5， ∴D点坐标为（5，5）， ∴CD=5， ∴△OCD为等腰直角三角形， ∴△PED也为等腰直角三角形， ∵PE⊥AB， ∴AE=BE=， AB=×4=2， 在Rt△PBE中，PB=5， ∴PE=， ∴PD=PE= ∴a=5+． 故答案为：5+． 【考点剖析】本题考查一次函数的综合应用，涉及圆的性质、垂径定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点．解题关键是作出P到x轴的距离、求得D点的坐标． 45．（2024·四川泸州·中考真题）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为　　 A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【思路引导】先根据题意，画出图形，令直线y= x+ 与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，作OH⊥CD于H； 然后根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得C、D两点的坐标值； 再在Rt△POC中，利用勾股定理可计算出CD的长，并利用面积法可计算出OH的值； 最后连接OA，利用切线的性质得OA⊥PA，在Rt△POH中，利用勾股定理，得到，并利用垂线段最短求得PA的最小值即可. 【规范解答】 如图， 令直线y=x+与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H， 当x=0时，y=，则D（0，）， 当y=0时，x+=0，解得x=-2，则C（-2，0）， ∴， ∵OH•CD=OC•OD， ∴OH=. 连接OA，如图， ∵PA为⊙O的切线， ∴OA⊥PA， ∴， 当OP的值最小时，PA的值最小， 而OP的最小值为OH的长， ∴PA的最小值为. 故选D. 【考点剖析】本题考查了切线的性质，解题关键是熟记切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系． 题型16：其他问题（圆的综合问题) 46．（2022·江苏南京·二模）点是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点向轴，轴作垂线段，若垂线段的长度的和为，则点叫做“垂距点”例如：下图中的是“垂距点”． (1)在点，，中，是“垂距点”的点为 ； (2)求函数的图象上的“垂距点”的坐标； (3)的圆心的坐标为，半径为若上存在“垂距点”，则的取值范围是 ． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【思路引导】（1）由题意利用“垂距点”的定义垂线段的长度的和为4，对点，，进行分析判断； （2）由题意可知点横纵坐标的绝对值的和为4，依次列式求出“垂距点”的坐标； （3）设“垂距点”的坐标为，则，画出函数图像，分情况讨论即可解得． 【规范解答】（1）解：由题意得 ，垂线段的长度的和为4． ，， 故答案为：． （2）解：设函数的图像上的“垂距点”的坐标． 由题意得 ． ①当时，． ∴． ②当时，． ∴（不合题意，舍）． ③当时，． ∴． ∴  综上所述，函数y＝2x＋3的图像上的“垂距点”的坐标是，． （3）解：设“垂距点”的坐标为，则 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当与相切时，过点作直线于点，则为等腰直角三角形， ∴ 当过点时，上不存在“垂距点”， 此时 ∴若存在“垂距点”，则的取值范围是． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查平面直角坐标系相关，结合题干定义以及书本所学点到轴的距离即为横纵坐标的绝对值进行分析计算． 47．（22-23九年级上·天津河西·期末）如图，在边长为1的正方形中，将射线绕点A按顺时针方向旋转度（），得到射线，点M是点D关于射线的对称点，则线段长度的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】由轴对称的性质可知，故此点M在以A圆心，以AD为半径的圆上，故此当点在一条直线上时，有最小值． 【规范解答】解：如图所示：连接． ∵四边形为正方形， ∴． ∵点D与点M关于对称， ∴． ∴点M在以A为圆心，以长为半径的圆上． 如图所示，当点在一条直线上时，有最小值． ∴的最小值 1． 故选：B． 【考点剖析】本题主要考查的是旋转的性质，依据旋转的性质确定出点M运动的轨迹是解题的关键． 48．（21-22九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知点P(，)和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为(1，1)，半径为1，直线AB的表达式为，P是直线AB上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是 ．    【答案】 【思路引导】连接，先根据点与圆的位置关系可得当点为与的交点时，取得最小值，再根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，然后利用点到直线的距离公式可得的长，由此即可得． 【规范解答】解：的半径为1， ， 如图，连接， 则当点为与的交点时，取得最小值，最小值为， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 直线的表达式为，的坐标为， 的最小值为， 则的最小值为， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了点与圆的位置关系、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时，点的位置是解题关键． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破04 直线与圆的位置关系 （知识技巧点拨+16种高频考察题型 共48题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：直线和圆的位置关系 2 知识点梳理02：直线和圆的位置关系的性质和判定（重点） 2 知识点梳理03：切线的判定（难点） 2 知识点梳理04：切线的性质（重点） 3 知识点梳理05：三角形的内切圆 3 知识点梳理06：切线长定理（难点） 4 优选题型 考点讲练 5 题型1：证明某直线是圆的切线 5 题型2：切线的性质定理 7 题型3：切线的性质和判定的综合应用 8 题型4：应用切线长定理求解 10 题型5：应用切线长定理求证 11 题型6：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 13 题型7：圆外切四边形模型 13 题型8：三角形内心有关应用 15 题型9：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 16 题型10：三角形内切圆与外接圆综合 17 题型11：过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 18 题型12：圆内知识综合（圆的综合问题） 20 题型13：圆与三角形的综合（圆的综合问题） 22 题型14：圆与四边形的综合（圆的综合问题） 23 题型15：圆与函数的综合（圆的综合问题） 25 题型16：其他问题（圆的综合问题) 25 知识点梳理01：直线和圆的位置关系 (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． 　　(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． 　　(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 知识点梳理02：直线和圆的位置关系的性质和判定（重点） 　　由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 要点诠释： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定． 知识点梳理03：切线的判定（难点） （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 要点诠释： 　　切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 知识点梳理04：切线的性质（重点） （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直． 知识点梳理05：三角形的内切圆 1.三角形的内切圆： 　　与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 　　三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等. 要点诠释： 　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； 　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 　　(3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 知识点梳理06：切线长定理（难点） （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 题型1：证明某直线是圆的切线 1．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，，求的半径． 2．（24-25九年级上·四川·期末）如图，是的外接圆，且，点D在上运动，过点D作，交的延长线于点E，连结． (1)求证：； (2)当点D运动到什么位置时，是的切线？请说明理由． (3)当，求的半径． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的直径、是的弦，给出下列信息： ①于点；②平分；③切于点． 请从以上三条信息中选择两个作为补充条件，余下一个作为结论，组成一个真命题，并说明理由． 你选择的补充条件是________，结论是________(填序号)． 题型2：切线的性质定理 4．（2024·湖南·模拟预测）如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 5．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，以为圆心，为半径的圆交于，延长交于，连接，，若是的切线，    (1)求证：是的切线； (2)若，，求平行四边形的面积． 6．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在矩形中，，，、、分别与相切于、、三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型3：切线的性质和判定的综合应用 7．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，切点为点． (1)若，则两个同心圆组成的圆环面积为______； (2)若以为圆心，长为半径画弧，交大圆于点，连接，请在备用图中补全图形，猜想与小圆的位置关系，并说明理由． 8．（2025·广东佛山·三模）如图，是的弦，为过点的切线上一点，且，分别在上，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的度数． 9．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）九（1）班数学课代表小华在学习“直线与圆位置关系”时，利用手中的量角器及三角尺深入研究了如下直线与圆位置关系的动态问题，请你也来试试看． 已知半圆和．半圆的直径，在中，，，．半圆的直径和的边在水平直线上． (1)如图1，保持不动，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上．设运动的时间为，当时，半圆在的左侧，．当为何值时，某一条边所在的直线能与半圆所在的圆相切？ (2)如图2，将图1中的绕点逆时针旋转至的位置．保持不动，半圆仍然以原来方式运动，请直接写出的边能与半圆所在的圆相切（切点在边上）时的可取的一切值． 题型4：应用切线长定理求解 10．（24-25九年级上·湖北·期末）如图，、切于A、B，及其延长线分别交于C、D，为⊙O的直径，连接、，下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．②③④ 11．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知，． (1)在图中，用尺规作出的内切圆的圆心（保留痕迹，不必写作法）； (2)画出与边，，的切点、、，连接，，若则___________； (3)若，则所作内切圆半径___________． 12．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知线段、与相切，切点分别为、，，． (1)过点作的切线（在线段的上方）与的延长线交于点，切点为点．（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）． (2)求证：与相切． (3)若，，求的半径． 题型5：应用切线长定理求证 13．（2022·湖南长沙·二模）如图，为的直径，且，和是的两条切线，切于点，交于，交于点，设，． (1)求证：； (2)求与的函数关系式？ (3)若、是方程的两个根，求、的值． 14．（2025·江西·模拟预测）【课本再现】如图1， 是的切线， 为切点， 是的直径．若， (1)求的度数． (2)【变式设问】如图2，是的直径， 与相切于点为上一 点，的延长线与射线相交于点D， 若，求证：． 15．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，的平分线交于点，以点为圆心，长为半径的圆与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 题型6：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 16．（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线剪一个，则的周长为 ． 17．（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 18．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，…，依此规律，第2020次滚动后，内切圆的圆心的坐标是 ． 题型7：圆外切四边形模型 19．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在 上，若，则的直径为 ．    20．（2025·北京·模拟预测）如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则 ． 21．（2024九年级·全国·专题练习）如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：. 题型8：三角形内心有关应用 22．（25-26九年级上·江苏·期中）如图，点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，若的半径为，，则的值和的大小分别为（    ） A． B． C． D． 24．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)已知的半径是，，求的长． 题型9：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 25．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片．若，则三角形纸片的周长为 ． 26．（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F， (1)求的长． (2)已知，求的长． 27．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）（1）如图①，在中，，，垂足为D．若，，则的长为______； 问题解决 （2）如图②所示，某工厂剩余一块型板材，其中，，．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆形部件的圆心O的位置，并求出的半径，若不可以，请说明理由． 题型10：三角形内切圆与外接圆综合 28．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，锐角． (1)分别作出的外接圆、的内切圆（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)已知点是外接圆的圆心，点是内切圆的圆心．试探究与的度数之间的关系； (3)如果，那么的度数是多少？ 29．（2025·河北张家口·二模）如图，已知正方形的边长为2，的直角顶点M落在线段上，直角边经过点A，直角边与直线交于点E，连接．设点O为的内心，当点O在的内部（包括边界）时，的取值范围是 ． 30．（2025·河北唐山·二模）如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则 ． 题型11：过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 31．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：和外一点． 求作：过点的的切线． 作法：如图， 连接； 分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点； 作直线，交于点； 以点为圆心，的长为半径作圆，交于，两点； 作直线，． 直线，即为所求作的切线． (1)请根据上述作法完成尺规作图； (2)连接，，可证，理由是 ； (3)直线，是的切线，依据是 ． 32．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）已知是外一点，用直尺和圆规过点作的切线．以下是甲、乙两人的作法： 下列判断正确的是（    ） 甲：①如图1，连接，以为直径作圆，交于，两点． ②连接，，，就是的切线． 乙：①如图2，连接，交于点．以点为圆心，为半径画弧，交于点． ②连接，就是的切线． A．甲、乙的作法都正确 B．甲、乙的作法都错误 C．甲的作法错误，乙的作法正确 D．甲的作法正确，乙的作法错误 33．（2023·福建福州·模拟预测）如图，正方形中，是的直径，点是上的一动点（点不与点，重合，且在左侧）．    (1)尺规作图：做出点使得； (2)在（1）的条件下，延长交于，求证． 题型12：圆内知识综合（圆的综合问题） 34．（2025·北京西城·一模）在中，，为边上一点，点与点关于直线对称，过点作的垂线，交线段的延长线于点，连接交直线于，连接，，设． (1)如图，当时． ①求的大小（用含的式子表示）； ②请用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (2)当时，请直接写出线段之间的数量关系． 35．（2023·海南海口·一模）如图，⊙O的直径，弦，过⊙O上一点D作切线，交的延长线于点E，若，则的长为（    ） A．3 B．2 C．4 D．4 36．（22-23九年级上·天津北辰·期末）已知为的直径，，为上一点，连接，． (1)如图①，若为的中点，求的大小和的长； (2)如图②，若，为的半径，且，垂足为，过点作的切线，与的延长线相交于点，求的长． 题型13：圆与三角形的综合（圆的综合问题） 37．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，是的直径，C是的中点，连结并延长到点D，使，E是的中点，连结并延长交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若交于点H，连接，，求的长． 38．（2025·广西来宾·模拟预测）如图，内接于是的直径，过点作于点，且平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 39．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）如图，是的直径，C，D 是上两点，连接，，平分，交延长线于点 E． (1)写出图中与相等的一个角： ； (2)求证：是的切线； (3)若的半径为5，，求的长． 题型14：圆与四边形的综合（圆的综合问题） 40．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）点，，在上，将沿折叠后，与交于． (1)若，求的度数． (2)如图，点恰是翻折所得的中点，若，求的度数． 41．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接，则就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路与球门线垂直，D为垂足，点C在上，当最大时就是带球线路上的最佳射门角．若，则球员甲在此次带球中获得最佳射门角时，的长度为（   ） A．4 B．6 C． D． 42．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，在矩形中， ， ，点以1.5的速度从点向点运动，点以2的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与直线CD的位置关系是 ； (2)在点从点向点运动过程中，①圆心的运动路径长是 ；②当与直线相切时，求的值． (3)连接，交于点，如图2，当时，求的值． 题型15：圆与函数的综合（圆的综合问题） 43．（21-22九年级上·湖北鄂州·期末）如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的横坐标为 ． 44．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的半径为5，圆心P坐标是（5，a）（a＞5），函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4，则a的值是 ． 45．（2024·四川泸州·中考真题）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为　　 A．3 B．2 C． D． 题型16：其他问题（圆的综合问题) 46．（2022·江苏南京·二模）点是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点向轴，轴作垂线段，若垂线段的长度的和为，则点叫做“垂距点”例如：下图中的是“垂距点”． (1)在点，，中，是“垂距点”的点为 ； (2)求函数的图象上的“垂距点”的坐标； (3)的圆心的坐标为，半径为若上存在“垂距点”，则的取值范围是 ． 47．（22-23九年级上·天津河西·期末）如图，在边长为1的正方形中，将射线绕点A按顺时针方向旋转度（），得到射线，点M是点D关于射线的对称点，则线段长度的最小值为（　　） A． B． C． D． 48．（21-22九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知点P(，)和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为(1，1)，半径为1，直线AB的表达式为，P是直线AB上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是 ．    第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $