各位评委，各位老师，大家好。我们小组这次讲的题目为今年新高考二卷的第17题。首先我们来看一下本试题的一个试题呈现。这是一道空间几何体有关翻折问题。第一问证明空间位置关系，第二问相关的空间二面角计算。从试题不难看出，本试题的立意主要考察学生三个方面，第一，直观想象。第二，逻辑推理。第三，数学运算。其实翻折问题当中最重要的就是构建空间直角坐标系，分析翻折过程当中的变量与不变量。试题目标，立体几何初步我们考察学生的转化与化归思想数形结合能力以及空间想象能力。逻辑推理能力的第二问。空间向量的计算，也考察学生的运算能力以及逻辑的推理能力。翻折问题当中，树形结合以及空间想象就显得尤为重要，我们的数学建模能力以及我们的空间逻辑推理能力在此也有所体现。其实本试题的来源，我们从人教版必修2 170页的第十题当中就有所呈现，也是一个与棱锥相关的翻车问题。在之前我们全国卷当中，16年的新课标二卷，18年的新课标一卷，以及我们19年的新课标三卷都有此类型的。关于翻折空间立体几何问题命题规律，我们大致看为有三点。第一，核心考点比较固定。第一问都是在于线面位置的证明。第二问空间角的计算。有关立体几何还可以牵扯到体积表面积的计算。当然本题主要考察的是一个翻折折叠问题。此类考题的思想方法比较统一，主要在于转化与划归我们的树形结合以及空间的想象力。第31个我们试题的拓展，其实我们平常的教学当中，从背景延伸可以到四边形到多边形的翻折。第21点，我们的跨板块的综合可以综合到其他板块内容当中。第三就是折叠问题当中，我们可以加深一点难度，就是引入动态问题，由此我们就可以引入一些变量。那么关于本试题的入手分析以及如何解决此类型的题目，由我的小伙伴姜老师给大家带来。好的，下面由我来为大家带来入手分析。我们在处理一个翻折问题之前，我们要先确定好所有的翻折问题。它翻折前的基本的关系。比如说一些位置关系，如平行关系、垂直关系、角度以及点的位置等，或者是线段的长度关系。在这里我建议大家可以先在我们翻折前的图形当中，标记好它们各自线段的长度，以方便我们在之后翻折的问题的时候，我们可以更好的去处理他们。而翻折后的平面其实跟翻折前的平面关系是很大的。其最主要的关系其实就是我认为是继承关系。什么叫继承呢？之前我们研究的长度放在现在它仍然是有一部分是成立的，比如说AE等于A撇EDF等于DPF等。还有一些刚才研究的位置关系，一些平行和垂直关系，在整个翻折过程中也仍然成立，所以这是非常关键的信息。而二面角更是翻折问题的体验，题目中给到我们的条件是两个平面所成的二面角为60度，那我们要利用好它，比如说红色这个面和粉色这个面，他们俩的暗面角是60度，结合着刚才的翻译能够得到这两组垂直的继承。而这样的一个继承关系就能方便我们去找到二面角的平面角，也就是这两个角是60度。再结合着刚才得到的长度关系，三角形DPFC它是一个等边三角形，就非常容易找到。而第二组三角形A撇EB这样的一个直角三角形的关系，它的三边关系我们也很容易能发掘。在已经有了这么多先前研究的基础上，我们再来去看第一问。其实这个时候我们的整体的想法就要清晰得多。比如说第一问让我们证明线面平行，那么我们可以找到目标的直线和平面，然后我们就来想一想该怎么样去入手。我们知道一般来说证明平行关系往往有这样的几条路径，从面面平行入手，或者从平行四边形的证明方向入手，亦或是从三角形的中位线关系入手。我们来看第一个方案，第一个方案是从面面平行的性质来入手的，我们可以去找到目标平面，这个目标平面最好是包含了A撇B的这个平面，想方设法的证明它和平面C撇DF平行。当然在这个证明过程当中会遇到很多的问题，我们来一起来解决。首先要想找到包含A撇B的平面，我们可以发现A撇EB这个平面是一个最佳的平面。因为在这个平面内，红色的直线A撇E是平行对应平面的dpf的，而粉色的EB也是平行于对面平面的FC的，且这组直线它们是有一个交点E有一个焦点F的那这个时候我们就找到了目标对应的直线。其实思路是简单的，也是容易出错的。很多同学在处理这个问题的时候，在判定定理的书写上是有问题的。我们一共有39位同学做了这道题，有25位同学使用了该方法，有八名同学做错了。其中一位同学他错误的一个例子，在这个上面呈现一下。他主要的错因其实是直接由线平行去推导面面平行。我们在教材上面其实能够看到面面平行的判定定理是由两组线面平行推导而来的。再加上几个条件，一共是五个条件推导一个结果。所以我们要特别的去注意，要严格的按照教材上面的要求来去书写判定定理。这是详细的解答过程。第二个方案，我们也可以从平行四边形来入手。如果说我们能够在平面CDPF内去找到与A撇B平行的这样的直线，能够去组成一个平行四边形，那么我们也可以证明线面平行。那么怎么样去操作呢？我们现在想要证明这种关系，所以我们可以尝试着把直线A撇B去往我们的目标平面上去平移，然后去寻找有没有这样满足条件的平行四边形。所以当我们平移之后其实能够找到，但是整个这样的直线在平移之后，我们可以发现它是超出了我们的目标平面的。所以此时我们需要对平面进行补形，那么我们就要先对底面去补形。可以发现当我们的底面补形之后，这样的一组这样的关系其实就比较好找到。接下来在空间中，我们只需要在连接DPM，我们就能够去找到一个红色部分的平行四边形。有12位同学使用了这个方法，有两人做错，主要也是线面平行的判定定理的书写上的问题。我们知道教材上面的要求是要有一个直线不在平面和另一个直线在平面这样的一个基本的条件，所以这是一个三推一的一个基本的判定定理，这是方法二的详细解答过程。第三个方案，我们可以从中位线的相似来入手。比如说我们可以先去了解一下我们平移线段以后，是否会出现在平面内。这个直线它如果变短了的话，这个线段变短了的话，我们就可以考虑用三角形的中位线来证明。比如说还是刚才这组线面平行，我们平移直线A撇B在平面CFD撇内，那么我们要想要让这段线段它是要在平目标平面内的话，那么此时这个线段它其实就变短了，那么这个时候我们就可以尝试着去往相似或者说中位线的这样的一个关系上去入手。同样的道理，要想完成这一招也得补形。所以我们把底面补成一个完整的三角形之后，我们就可以发现在连接DPN这个时候，整个立体图形就被我们补齐了。而此时我们再去观察刚才平移之后的那个线段。也就是CG这个。时候我们就能够去找到我们对应的这样的一个三角形，也就是A撇NB在这个三角形当中就会出现中位线，或者说是相似的这样的一个证明的一个关键的信息。那么接下来我们只需要证明点C和点G他们是终点或者等分点即可。那么C点是好证的，难度比较高的是点P所以这个地方我也用红色的这个部分给大家标明清楚。点击要想证明它是终点，其实就是想要说明它是四边形A撇FND1撇对角线的交点即可。而这个四边形它又是一个平行四边形。当然有两个同学使用这个方案，有一位同学他做错的原因其实就是在这个点即是终点这里，他说明的不是很清楚。这是方法三的详细的过程。下面我们来看第二问，第二问让我们去求面BCD1撇与EFD撇A撇所形成的二面角的正弦值，也就是现在我所表示的粉色部分的平面和红色部分平面，他们的一个画面角。主要的思路有如下四种。首先几何法有三种主要的方案，就是要么是从三垂线定理的角度，我们有两种思路，或者是从这个等体积法去找距离的这样的一个角角度，去找到距离和某线段之比。最后就是我们最常规的空间向量的方案，也就是间隙的方案。我们先来回顾一下三垂线定理的方案，去求二面角的平面角。其实在翻折问题当中，我们只要能够去找到目标平面上的一点到对应平面的这样的一个垂线，然后找到垂足，用三垂线定理去过这个垂足，去做交线的垂线。此时我们二面角的平面角其实也就浮现了。那么我们就可以沿着这个思路，关键的是要去找到平面上一点到目标平面的垂线，再去找垂足这样的一个角度。我们来看一下几何法的第一个三垂线定律的思路，关键就是要找到点到目标平面的投影。我们先来看一下立体图形，我们可以看到这个立体图形，它的二面角我们是找不到郊线的。所以第一个药物我们要把交线给找到。我们可以在仿照之前的这样的思路，把底面进行补形。当我们能够补形之后，这个交线我们就比较好找到。接下来的任务其实就是要在这个平面上面去找到一个点到另一个面内的这样的一个垂线它的垂足。其实在刚才的研究中，我们能够挖掘到这样的三角形EA撇B它是一个直角三角形。这样一个直角挖掘出来之后，再结合着刚才的已知的这样的EF它的那个线面垂直的关系，我们就能够去找到这个A撇B是垂直于平面A撇EFD撇的。也就是说这个A撇其实就是点B在目标平面上的垂足。那么我们找到这样的关系之后，我们再去过A撇去做交线的垂线，我们就能找到二面角的平面角了。所以现在我们过A一撇去做交线的垂线，垂足为点G它在HDE撇的延长线上，然后我们连接BG此时角A撇GB就是我们二面角的平面角。只要求出A撇B和BG的长度比，我们就能够得到sine角A撇GB。这是详细的解答过程。第二个三垂线定理的思路，我们又可以找一个不是B点的其他的点来去看他到目标平面的这样的一个垂线。所以我们还是从刚才的这个几何图形去入手，我们要挖掘到一些相关的几何关系。在刚才其实我们在在题目研究正式进入题目研究之前，我们研究清楚了它的一些这个边的关系。比如说D撇FFC和CD撇它们的长度都是一，也就意味着这个三角形是一个等边三角形。那么按这个思路我们还是补形之后，我们可以尝试着利用等边三角形三线合一这样的一个性质，去过点C去做DPF的垂线。那么垂足必然就是DPF的中点。这个时候再结合刚才的条件，也就是EF和这个面FCD撇垂直的这样的一个条件。我们其实很容易能够得到CN是垂直于左边这个平面EFD撇A撇的。那么我们只需要再过N点去做DPH的垂线，垂足为M在连接CM我们。就能够。找到二面角的平面角，也就是这个绿色部分表示的这个角NMC。那么求出它的tangent的值，我们就能得到sine的值。当然难点也是有的，求N到DPH的距离，相对来说在这样的一个立体图形中我们是比较困难的。那么怎么办呢？我们可以不妨想一想，要想在一个翻折问题中去找到它对应的这个几何关系或者是线段长度，我们也可以去借助翻折前的平面图形。比如说在翻折之前，这个N点它是在DF上的，在整个翻折的过程中我们可以找到翻折前N点所在的位置。而在翻车的时候，N到DH的距离是不会发生改变的。也就是说我们可以想象一下，当翻折的过程中，N和DH它的距离始终是一个固定的这样的一个线段。所以照这个思路，我们只需要在翻之前的平面上去求一下N到DH的距离即可。那这个难度相对来说就会低的非常多了。因为角度的关系已知线段长度已知，那么想求NM的长就非常容易。这是一个详细的解答过程。第三个方案，我们可以尝试着去找一下距离。因为我们知道如果我们能够找到点到对应平面的距离，那么这个时候往往二面角我们也是能够去找到平面角的。所以我们可以尝试着去再挖掘一下集合信息。其实在刚才我们能够去挖掘到这样的一个三角形FHD撇，它其实是一个等腰直角三角形。只要你能够找到这样的一个特征，那么我们只需要去过F去做目标直线DPH它的垂线即可。过F去做DPH的垂线，那么此时的R就应该是终点。因为它是等腰直角三角形，它斜边上的中点。所以当我们已知R是终点的时候，并且又知道了垂直关系。那么如果我们能够过F点去做底面的垂线，再连接这个垂足和R那这个时候这两组垂足关系我都有了，所以二面角也是比较容易找到的。所以此时我们只需要去过F点去做对应面的垂线，那么垂足为S即可再连接RS此时sine的值就非常好求了。所以要想去求对应的二面角它的sine的值，我们是只要能够去把这个F点它到这个底面的这个距离给它找到，那么剩下的难度就很低了。可是求FS的长度也并不是一个很容易的事情。那这个时候我们就可以去借助一下我们之前所学习的，我不需要找到S点的位置，我就能得到它的长度。而最经典的方法其实就是等体积法。我在这里用红色部分表示了我们要利用等体积法去求的这样的一个目标的三棱锥。在这个三棱锥当中只需要变换顶点，以F为顶点或以D撇为顶点，我们就能够求出F它到我们目标平面的距离。这是详细的解答过程。最后第四个方法也就是空间向量的方案，我们需要找到3垂直关系间隙即可。好，我们来看一下，这个时候如果我们要间隙的话，大家可以发现Z轴其实是没有具体的依托的，所以需要我们挖掘一定的几何关系。而这个几何关系是什么呢？其实我们需要尽可能的去找到一些面面垂直的关系。比如说在这个地方我们能够发现我们后面这个平面是垂直底面的，当然前面这个平面也垂直。所以我们可以发现，如果你想要间隙，我们最好让Z轴是在垂直底面的平面内的。那么这个时候如右图所示，我们以F点作为坐标原点去间隙，那么相对来说就会更容易一些。所以只要表示清楚关键点的坐标，尤其是D撇点，还有包括A撇点的，那么这个时候我们再去求法向量也好，求二面角的正弦值也好，都会比较容易。或者我们考虑前面这个面EBA1撇，它垂直于底面也是可行的。所以我用前面这个面是垂直底面的这样的一个方式来给大家呈现一下本题的一个解答过程。这是我们组用python编程软件去做的一个这样的动图。大家可以发现这个方法的好处是在于它的A撇点是经过我们的Z轴的。当然了此时的坐标原点它并不是我们常规的这几个点。所以他虽然说在建原点的时候要相对来说复杂一些，可是在描述点的时候会更容易。这么多种方案我们也可以去找一找他们一些同学们在处理的时候做的一些问题。比如说方法也有一位同学使用，但是这个同学他没有做对几何法其实确实也是比较难的，它主要的原因就是三垂线定理他没有证明这个。我们也要规范一下几何法定理。如果你不是教材上的定理，你还是要证明一下的。另外在使用教材定理的时候，也务必要做到规范。第二个方法，有五位同学使用，有两位同学做错，主要也是计算的错误。所以折叠问题其实计算失误还是要特别重视的。所以在刚才那道题的时候，我们是采用了的是去在翻折之前去用平面图形，在平面图形当中去求目标线段的长度，这样的话这个计算难度也会低得多。第三个方案就是有三个同学用，一个同学做错等体积法的计算上面的问题。好，最后一个方法主要是间隙不清晰，点坐标描述等问题。这个最多同学使用。我还是希望大家要做到间隙要有依据，坐标的表示还是要特别的注意。好，那么综上来说，对于方法一，我认为三垂线定理这样的一个关键的方法，大家还是要掌握。只要能够找到一组易发现的线面垂直，再去做交线垂线，那么相对来说难度就会低很多。第二个方法同理。也是一样的。第三个方案，如果说交线的一条中垂线比较容易找到，那么我们也可以考虑去求一下点面距离。而这三个方法的难点其实主要就是空间想象力挖掘翻折的不变量以及一些具体的计算。最后一个方案是非常规间隙，因为Z轴是没有具体依托的，所以需要大家有一定的计算能力。所以这也给了我们一些教学启示，有这样的几个基本的要求，境界的要求和拓展要求。基本要求上大家对通理通法一定要掌握的熟悉，做到简单问题不失分，各种基本方案要罗列书写。而进阶的要求，希望大家能够强化几何法抽象的理解和辅助线构造的技巧，对向量法在非常规间隙当中的应用要做到多法融合。最后要对接高考，要用好教材，要引导我们去关注到一些综合的应用，培养动态分析的能力。最后还是希望以核心素养为导向，紧扣教材，多方法训练逻辑规范到错解防范这样的综合的培养，最后能够灵活的选择策略才是最好的。好，谢谢大家的观看，欢迎批评和指正。