今天我给大家讲解的题目是2025年新课标一卷的第17题，这是这道真题，这里就不念了。我们首先来看一下第一问，第一问要证明的是平面PAB垂直于平面PAD，它主要考察的是线垂直线面垂直与面面垂直三者之间的关系。我们由这个关系图可以知道，要想证明PAB垂直，平面PAD最重要的是需要找到线面垂直，即在一个平面内找到另一个平面的垂线。这里的关键是要证明出来AB垂直平面PAD或ad垂直平面PAB。由这三者之间的关系，我们可以有以下三个思路。第一个思路由PA垂直平面ABCD可以得出两个线垂直，进而由线线垂直导出线面垂直，最终面面垂直。第二个思路由线面垂直找到面面垂直，再找到线面垂直，最终得到面面垂直。第三个思路是基于我们要证的是面面垂直，所以可以根据直二面角来判断面面垂直。第一个我们看一下由PA垂直ABPA垂直AB，PA垂直平面ABCDAB在这个平面内，我们可以证明出AB就垂直于另外一个平面，这个是证明过程，大家可以自己看一下，这里就不念了。第二个思路也是由PA垂直平面ABCD。我们可以证明PA垂直平面PAD垂直平面ABCD那么进而求出线面垂直，最终就证明出PAB垂直平面PAD这是证明过程。这里我们也可以调过来证明平面pac垂直平面abcd也就是可以得出AD垂直平面PAB进而得出面面垂直。这里就没有给出它的证明过程。接下来我们来看一下思路3。思路三的话要想证明面面垂直，我们从二面角的角度第一个找到这个二面角的棱是PA接下来我们就需要在PAB里边找到一条线与PA垂直，在PAD里边找到一条线跟PA垂直。那么这两条线是要有公共交点，证明这个二面角的平面角是直角，来证明这个是两个面面垂直。接下来我们来看一下证明过程。好，这是第一小问。我们来看一下第二小问。第二小问是要证明的是过PBCD4个点的球面的球心在平面ABCD上。这里的关键是我们要找到球心O的具体位置。那么接下来的话就可以有第一个就是找到在平面abcd内找到与pb距离相等的点，与在在AD距离相等的点，这个集合AD上找到与CD相等的点。第二个思路就是先找我们要证明球心O在平面ABCD内，那也就说明我们的ABCD就在平面ABCD内三角形。那么这个三角形的外接圆就是我们所要求的求心，所以我们只需要找到三角形BCD的外接圆就可以。第三个由于BCD这个三角形它并不是一个很容易找到外接圆圆心的三角形。那么在这四个点当中，PBC是一个直角三角形，直角三角形外接圆的圆心是容易找到的，就是圆心是M那么我们可以过这个外接圆的圆心做这个平面的垂线，则球心一定在这个垂线上。那么这个垂线与平面ABCD的交点就是球心O最后再证明OB等于OP等于OB等于OC等于OD等于根号3。接下来的就是间隙这种方法。间隙我们可以利用球心O到球面上任意一点的距离都相等，用OP等于ROB等于ROC等于ROD等于R去解求出球心的坐标，进而证明球心O在平面ABCD上。还有一种也是间隙，因为思路四它的运算要复杂一些。我们可以第二个就是类比圆的垂径定理圆心与弦中点的连线垂直平分弦。类比到球也有类似的垂径定理，即用球心O到这个三棱锥PBCD各棱中点的连线也都垂直于对应的楞，那么就有了它们的数量积等于0，这样的话就是一次的。可以求出球心O我们来具体看一下。第一个在平面abcd内要找到与pb距离相等的点的集合ad这里我们可以看出来，因为PAAB跟AD是两两垂直的，尤其是PA还等于AB也就说明AB上任意一个点，它的PAH与DAH这两个三角形都是全等的那也就说明H点在AD上，只要它在AD上就有PH等于BH那么进而我们在BC上做BC的角平分线，这个角平分线与AB的交点就可。就是O一点，这个O一点它到P点、B点、C点的距离都相等。然后我们再证明这个OE点到D点的距离也等于OEPOEBOEC，进而证明出O一就是球心O我们来看一下具体的证明过程。接下来我们来看一下思路2，思路二是要证明球心O。在平面ABCD内，我们所要找到的也就是BCD的外接圆的圆心。这个圆心一定是它的球心。找外接圆的圆心可利用平面解析几何圆的标准方程或者是两条弦的中垂线的交点来找到，最后再证明OP也等于该外接圆的半径就可以完成证明。那么我们找求角外接圆的圆心，可以利用平面直角坐标系。它是垂径定理，当然也可以用外接圆的圆心到三点距离相等圆的标准方程来求也可以。我们来看一下，我们求出来O一点的坐标是一根号2。接下来求出来它的话，就可以求出来OEB、OEC、OED都是根号3，再证明OEP也是根号3，那么OE就是球心，OO就在平面ABCD上。思路三的话我们刚才说过，它是要找到直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点M那么怎么样去找过M点与平面PBC的垂线，这里我们要看到PAB，PAB这个平面与。PAB这个平面，AE是PB的垂线。那么我们就要想到在立体几何当中，我们常考察的这一个养马的模型。而且经常考察当EM是终点的时候，EM与AN是平行的，然后MN与AE也是平行的。那么AE垂直平面PBC，则MN也就垂直于平面PBC。这样的话我们就找到了这个O点，找到了这个O点在证明这个O一点到平PBCD距离都相等即可，这是他的证明过程。我们来看一下。思路四间隙就比较容易了，因为PAAB与AD是两两垂直的，我们可以求以点A为坐标原点间隙。那么设球心跟半径由OB等于OB等于OC等于OD，可以将XYZ和半径都求出来。那么O点坐标010就证明出点O在平面ABCD上。思路五，我们刚才说过，它是类比圆的垂径定理，也就是球的一个垂径定理。PBCD这三棱锥一共有六条线段，那么我们要求点O的坐标XYZ是有三个未知数，三个未知数通常需要三个方程就可以。这里我们要注意你三个方程的话，如果我们选择的是PBBC跟PC那么这三个三角这就构成了一个三角形。那么我们三个方程其实是两个，所以说我们这三个方程就是三条线，要包含PBCD4个点，也就说明这三条线是不能构成三角形的。接下来我们来看具体的证明过程。第二问。的第二小问，它是要让我们求异面直线所成的角。异面直线所成的角第一个几何法就是通过平移，我们能够构成三角形，求出三边的长度，利用余弦定理求出异面直线组成的角。第二个就是间隙，间隙求出两个条直线上的两个方向向量的坐标，求出两个向量的夹角余弦值，进而求出两条异面直线所成角余弦值。思路三我们也可以不间隙，只是在第二问的基础上，将分子PO点乘PC当中，把PO转化成PA加上AO这样的话因为pa与AC是垂直的，所以PA点乘AC为零。那AO点乘AC的话就等于PO点乘AC这样就容易求出来。我们来看第一个几何法，几何法我们是平移其中的一条线，使得它构成三角形，求出三边长，通过余弦定理求解地面直线所成的角。那么容易想到的就是右边这种就是过点O作OG撇平行ac。在连接PG撇这里边有一个问题，就是因为AD长是根号3加1，AO与OD的比AO与OD的比是一比根号3，所以就是说CC撇CG撇与G撇D的比也是一比根号3。那我们接下来的运算量就是非常大，所以通常我们要使舍弃这个看一下有没有其他更容易的来解决这个问题。首先第一个方向，我们不将ac平移到OGP，而是平移po将PO平移到APP。AP撇与OP平行且相等，这样的话就是OAP撇P构成了一个平行四边形。由于AP是垂直平面abcd的，所以我们过P瞥做ABCD的垂线A撇。那么A撇也就在直线AB上。这样的话它的三边就容易求出来，我们进而就可以求出cosine角P撇AC也就可以求出异面直线所成的角。我们来看一下这个证明过程。这是第一个方向，我们来看一下第二个方向。第二个方向是我们刚才说OG撇，是用OG撇是不容易算出来的那我们就想一下，我能不能截取其中一段，使得它容易求出来，因为我们要求的是角POGP的余弦值，那么它在哪一个位置是不受影响的？所以我们这里想到的将做过C点做CT垂直于AD过O点作ac的平行线交ad于点Q这样的话O点就是AT的中点，那么Q点也就是AT的终点。那作为终点它的运算量就要比我们容易想到的一种方法，运算量就要小很多。我们来看一下具体的证明过程，解决过程。第三个方向，刚才我们是结，现在我们将它延长，延长到与BC的交点H这样的话OA与CH就平行且相等，那么BH就等于3。那么AH由于AB垂直，BCAH也容易算出来，那PH也容易算出来。OH跟AC相等，PO等于根号3，所以这都是容易求出来的。我们来看一下具体的解答过程。接下来我们来看一下方向4，方向四的话我们同样是平行PO跟方向一不同的是，方向一是向外扩展了，这个仍然是在它的内部我们连接OBOB。与ac交于点N过N点作PO的平行线。因为AO等于一，BC等于2，那也就说明AN与AC的比是1比3。那么NK与PO的比就是2比3。这样的话我们通过这种比例关系来求出各边的长，进而可以应用余弦定理。我们来具体看一下。好，我们接下来看一下思路。二间隙。间隙的一种方法就相对来说容易把它的坐标都写出来，然后通过夹角余弦值求出来。那么注意向量夹角余弦值跟我们异面直线所成角的余弦值是不同的，这里需要给他多写两步。我们再看第三个，第三个我们说不间隙，这是有很多同学可能第二问的第一小问它是用几何法解决的，它没有间隙。那么这个时候我们通过第二问知道了这分母，这里的分母PO长是根号3，AC长是根号6，就剩分子PO点乘AC它的运算量不知道该怎么做。那么这个时候我们考虑一下，由于题目当中有PA垂直于这个平面，所以PA点乘AC可以将PO分解为一个量，是PA，由PA加上AO这样的话PA与ac是垂直的，数量级为零。AO的长知道，ac的长也知道。同时我们因为知道AD平行BC所以角DAC与角ACB是相等的。这样的话它们的数量积就很容易解决，从而就能够解决了这个问题。那我们来看一下。好，谢谢大家。