现在由我来代表我们组给大家，和大家共同探讨2025年的全国数学新高考一卷的第十一题。好，我们先看题目。首先这道题是一道选择题的压轴题，然后题目中总共包含了三个题设条件。我们来看第一个提示条件，面积为4分之1，那这个提示条件我们自然要应用到我们的面积公式。第二个提出的条件，cosine 2A加cosine 2B加二倍的sine c等于2。对于这个提升条件，我们肯定是要利用到我们的二倍角公式，可以把cosine 2A和cosine 2B分别化简。第三个提示条件，cosine a乘cosine b乘sine c等于4分之1。对于这个方程，我们可以发现这个方程我是不经常见到的，是三个三项未知数相乘。那么我们可以先对这个4分之1进行考虑，这是一个正数。那我们是不是可以通过这一个正值来压缩一下角的范围呢？好，我们接下来就看一下我们题设条件的处理方式。第一个公式我们不再说。第二个用二倍角公式我们就可以化简得到sine c等于sine a方加sine b方，这也是我们的选项A由此可见，我们这一道十一题我们拿到两分是非常轻松的这也是我们大多数同学可以做到的。难点在于什么呢？难点就在于我们接下来B选项、C选项、D选项都基于一个结论，也就是角C等于二分之派。这个结论能否成功的找到并且证明出来角C等于二分之派就是我们这一题的关键所在。好，我们看第三个提升条件cosine a乘cosine b乘sine c是等于4分之1大于零的。那么我们可以知道sine c是恒正的那这里cosine a与cosine b的乘积肯定恒正。那么在一个三角形中，两个角的余弦值的乘积大于0，意味着两个角的余弦值是同时为正或同时为负。那么能不能同时为负呢？肯定是不行的。所以说两个角的cos值都为正，两个角都是0到2分之派的锐角。好，这是我们对我们提车条件的预处理。好，我们接下来看我们是如何找到C等于二分之派，并且证明C等于二分之派的。总共是有六个思路。好，这六个思路简单的分析一下。首先我们对A选项进行处理，我们来到第一个。思路。对A选项sine c等于sine a方加sine b方进行处理。我们根据正弦定理就可以得到小C是等于A倍sine a加B倍的sine b的那我们为什么要用这个例子呢？因为我们的B选项是让我们求出来AB的值，AB就是边C所以说我们要得到边C先用这项定理得到小C等于A倍sine a加B倍sine b我们看到这个方程之后，想必有些同学就感觉比较熟悉，它和什么比较相似呢？是不是射影定理射影定理说小C是等于A倍cosine b加B倍的cosine a的那这里面这两个方程有相似之处，那么是不是立即就可以得到一个特殊的必然成立的一个结论，就是当我们角C是二分之派的时候，这一题肯定是可以的。他肯定是可以满足汽车条件一，满足汽车条件2，满足汽车条件3，也就是说我们的sine a等于cosine b对于这一题而言肯定是成立的，肯定是满足的。那么我们就可以先从这一点出发，猜想这个角C是不是就是二分之派呢？也就是说sine a是不是肯定等于cosine b cosine a是不是就等于cosine等于sine b呢？我们可以先暂时假设，那我们假设完之后就可以来证明。好证明的话我们可以先讨论sine a等于cosine b的时候是肯定成立的。那么假如sine a不等于cosine b我们会发生什么呢？好，若在A不等于cosine b不等的话，那就意味着要么一个大于另一个，要么sine a大于cosine b要么cosine a大于sine b好，这里sa如果大于cosine b的话，我们把它化为同一个同名的三角函数值。比如把cosine b化成sine 2分之派减B那我们这里就能够得到sine a大于sine 2分之派减B而我们知道这里我们这个提示条件三对AB角的处理就起到了关键的作用，对AB角的处理是AB都是锐角是吧？那我们这里角A和二分之派减B也都是锐角，对于锐角而言，三角函数值sine a是大于在二分之派减B的，那么能够得到什么结论呢？角A大于二分之派减B. 同理我们也可以。对第二个式子cosine a大于sine b进行处理。这里面我们化为同名三角函数值，可以得到角A小于二分之派减1。那由这两个不等式我们就可以推出来矛盾。因此我们的假设并不成立，在A并不是不等于cosine b的，在A必须等于cosine b角C必须是直角，这就是我们的第一个思路。我们证明出来角C等于二分之派之后，接下来BC第三个选项就迎刃而解了。我们来看角C等于二分之派是直角，我们要求的是边C现在对于一个直角三角形而言，直角边小C它是什么呢？它是就是我们的外接圆的直径。我们根据面积公式，S等于2分之1，AB sine c等于4分之1，还有cosine a cosine b sine c等于4分之1。第三个条件我们可以得到什么？得到小A乘小B等于2分之1，得到cosine a乘cosine b等于4分之1。那我们的小A小B和cosine a乘cosine b有什么样的关联呢？我们可以知道sin a乘sin b如果知道的话，那我们是不是就可以通过正弦定理求出来我们的4R方呢？所以说我们关键的就是得到sine a乘sine b那sine a乘sine b如何得到呢？就是通过sine c或者说cosine c是等于二分之派，cosine c等于20分之派。于是利用两角和的余弦值，两角和的余弦值就可以得到sine a和sine b的乘积，是等于cosine a和cosine b的乘积的等于4分之1。那么有了AAB的乘积，有了sine a sine b的乘积，我们就可以得到轻松得到小C的值。好，这就是B选项。而C选项和DA选项，我们接下去讲完这几个思路再进行讲解。好，这是我们的第一个方法。我们有的时候是不是猜不出来这个角C等于二分之派？对于猜不出来的时候，我们有没有更一般的思路或者说更一般的想法去做这些题呢？我们看我可以通过分类讨论。我在初步运算的时候就。已经知道。这个角A角B的范围是可以限制出来的，都是锐角。那么我们能不能也限制一下角C的范围，把角C的范围给从隐含条件中挖掘出来呢？我们看一下对于我们的A选项，我们得到了这个结论，sine c等于sine a方加sine b方。我们知道这个方程并不是我们常见的，其次是我们就有第一个思路把它化为其次是利用什么？利用sine c是大于等于sine c方的，化成一个其次的不等式，sine a方加sine b方大于等的西。方化简到这个地方之后，我们就可以利用正弦定理将它化为边的关系。A方加B方大于等于C方。于是我们就知道这根据余弦定理，我们不用余弦定理，我们也知道这肯定是一个什么样什么三角形，肯定是一个锐角三角形。Cosine c肯定要大于等于0，于是角C的锐角或者直角三角形。所以说角C的范围肯定是0到2分之派的左派右弼，这也就出不确定了角C的一个范围。那我们接下去还有几个思路，就是第一，我们可以再进行确定角C的范围分类讨论。确定角C范围也可以看一下有没有其他的隐含条件，进一步确定角C方。我们先看分类讨论。好，如果角C是0到2分之派，这是这也是我们非常常见的一个分类讨论的形式。把角分为锐角和直角，那我们这里角C是一个锐角的话，A加B肯定大于二分之派，于是我们化简为A大于二分之派减B那得到A大于二分之派减B这两个角都是锐角内的角。所以我们能够根据正弦函数的单调性得到sine a大于cosine b这一个条件。得到这个条件之后，我们就能够代入A选项，sine c等于sine a方加sine b方，这里就大于一了。那说明什么？说明角C能不能是锐角？肯定是不行的。所以说角C只能等于二分派，这也是我们的另一个思路。当你发现不了特殊的关系，你猜测不出来的时候，就可以利用压缩角的范围去找一下隐含条件中有没有包含着哪个角的放，这是我们的常见的思路。好。当我们得到C等于二分之派之后，依然的我们可以利用刚才思路一中的结论，得到小C也是等于根号二的。好，这里面我们第三个压缩角的范围我们就不再细讲。好，接下来再讲一个方法。我们在教教学的过程中，并没有给我们大范围的练习。和差化积计划和差这两个公式应用的也是比较少。但是如果我们会使用这两个方式，这两个方程的话，那么我们能够有更好的方法。或者说在你遇到解决不了的问题的时候，你就可以尝试用和差化机计划核查进行解决，看看有没有更好的思路。好，我们来看依然是处理好角C以及角A角B的范围。我们接下来就对条件2，也就是说cosine 2A加cosine 2B加二倍sine c等于二这一个方程进行处理。我们知道cosine 2A加cosine 2B这是两个比较对称的一个代数式。那么我们就可以利用和差化积将cosine 2A与cosine 2B的和化简成为cosine a加B与cosine a减B的乘积。好，我们化简代入得到派C等于一减cosine a加B乘以cosine a减B那么我们知道A加B是等于派减C的，所以说我们进一步化简化，简为一加cosine c cosine a减B的效果。那这达到这一效果有什么好处呢？我们可以发现角变少了，达到了消炎的作用。角变少是不是就更利于我们分析了？好，我们接下来看如何分析。我们知道A减B肯定是两个锐角做差，肯定是负二分之派到二分之派的范围。于是cosine a减B肯定是大于零的，而cosine c也是大于零的，于是sine c肯定大于一了。那这里我们就能够推翻角C是0到2分之派这个范围，于是角C也是只能等于二分之派，这也是一个很好的思路。并且在这个做题的时候，我们就可以知道，原来这个核查化积公式和计划核查公公式是可以帮助我们进行消元的。那么我们由此启发，我们可以对第二个方程进行和差化积公式。第二个方程式cosine 2A加cosine 2B加sine c加二倍sine c等于2。那么我们是不是也能对第三个公式cosine a乘cosine b乘sine c等于4分之1化简，这是三个相乘的，我们是不是也可以进行化简，这个就是我们的方法五。校园这里我们对两个公式分别化简，一个利用和差化积，一个利用计划和差公式分别化简消元。这个不再细讲，大家可以下课之后自学，学会这个核查化积公式再精进一步。还有计划核查公式用好了之后，大家自己自行考虑。然后这边回过头来可以再对一下这边的PPT上面的答案。好。最终达到效果，就是我们这边cosine c加二倍sine c cosine c方等于23C方减2 sine c的形式。那这里面是不是只有一个角C这一个变量，那我们解决问题就是相当程度的一个化简了。好，最后一个方法是比较。比较要求比较高的一个方法，比较巧妙的一个方法，也是并不是一个通话。他要求我们什么呢？观察力比较强，并且还有一定的做题的经验。好，我们来看一下，我们对于第一个方程而言，我们把它把角C代入进行化简。这是我们的角A选项的一个方程。Sine c等于sine a方加sine b方。然后我们这边就可以得到sine a cosine b加cosine a sine b等于sine a方加sine b方，这是我们利用两角和的正弦公式，然后我们可以发现这两个方程式比较像的，左右两边的代数式是比较像的。于是我们整理sine a cosine b减sine b方等于sine a方减cosine a乘sine b那为什么要整理成这样呢？那一个重要的原因就是我们的这个两角和的正弦余弦公式叫和和与它的这个项公式。那我们要做到什么？要做到每一个部分都是两个角的正弦余弦，并且每一个代数式方程左边的代数式和方程右边的代数式。比如方程左边的代数式，我们要包含同一个角的两个函数值。比如说sine阿尔法cosine b加cosine阿尔法sine b我们得有sine阿尔法与cosine阿尔法，这里面我们就做到这种效果，是令sine斐等于根号下sine a方加sine方分之sine a并cosine斐等于这个。然后我们就能够将左边的化简，将右边的化简，两边同时去掉根号就能够得到只包含有翡和角B另一边是只包含有角F和角A。这边我们接下去让它俩相等。我们知道我们如果化为同一个同名的三角函数，我们就可以根据我们的。角a sine a等于sine b的话，A等于B加2K派。那我们这里就得到斐减B等于A加斐减二分之派加2K派。于是得到角A和角B的关系，进一步得到角C等于二分之派。这是比较巧妙的一个方法，大家可以借鉴并内化成为自己的方法。好，这就是主流的几个方法，当然还有其他方法。比如说把这个三角函数的题目化为结算函数的题目，直接化为函数的题目。那么由这一题我们C选项和DA选项比较简单，就不再看。由这一题我们来看一下它是由哪道题改编而来的。这道题是由。第十七届苏联数学奥林匹克改编而来，我这一题步骤我们就放在这里，大家自行观看。我们如果想改变这道题目的话。这个我们可以从两个方面去考虑。第一个，我们的cosine 2A加cosine 2B加二倍的sine c等于2，实际上就是用来提供角C的范围的。同样我们的第三个方程cosine a cosine b乘sine c等于4分之1，也是为了提供我们的角A角B的范围。并且角A角B的范围我们实际上是用不到，AB都是0到2分之派的。我们可以关键点就在于角A和角B差值的cosine值大于零这一个。条件好，这就是我们改编题的思路，这里有两个便士，大家下去可以做。好。这里我们放上去几个可以用来练习的试题。好，谢谢观看。