大家好，我们是塘沽一中的陈琳。李倩、王倩。我们讲的是天津卷14题，推理为经，运算为纬，织就几何代数交融的思维脉络。从整体来看，本题已知条件中涉及多个点及线段中点。第一小问考察向量的基底表示，我们需要把这些几何关系如何处理呢？需要把它转化为向量关系，利用向量加减法的三角形法则和平行四边形法则求解。第二小问中有给定向量模长以及向量垂直的关系，那么想求数量积如何应用垂直和拇长进行求解呢？根据我们已有的学习经验，我们可以用基底法、定义法、坐标法来进行处理。所以我们有以下三种思路来解决这道题目。首先我们来看思路一，利用基底法解决向量数量积问题，这里的基底选择至关重要。下面请王老师来为我们继续讲解。好的，陈老师。接下来我为大家介绍思路。一用基底的思想来解决向量数量积问题。我们一起来看第一问，这一问的目的重在考察利用平面向量基本定理，以向量A向量B为基底表示向量AE由题目可知CED3点共线，且亦为三等分点。根据平面向量基本定理，我们可以得到向量AE的基底表达式，又因为D为中点代换可得以向量A向量B为记忆力的表达式。我们再一起来研究第二问，解法一，根据已知E为CD3等分点，D为AB的中点以及平面向量基本定理，我们可以得到向量AE的基地表达式。再根据已知向量AE的模长，我们可以想到利用平方来得到表达式。题目中的垂直可以推出数量积为零，化简后代入平方式可以得到向量A方加上四倍，向量A与向量B的数量积等于180。那么这样一个式子对于我们要求解的向量AE与向量CD的数量积有什么作用呢？从结果入手，通过基底代换化简，发现恰好就是刚才算得的表达式，可以直接代入求解。解法二，依旧利用已知得到向量AE的基地表达式，通过模长平方得到方程，利用垂直的数量积为零。这样我们就得到了两个方程式，从结果入手，所求向量AE与向量CD的数量积也可以化简为向量A与向量B的三项式。王老师这里我有一个疑惑，这种解法的切入很自然，可是很多学生在得到这个带球的3小时之后，就不知道该如何突破了。怎么与已知信息建立联系呢？其实通过观察我们不难发现，同样都是向量A方数量积以及向量B方的线性表达式。我们可以运用待定系数法将三项式分解成为M倍的魔方表达式，加上N倍的垂直表达式，系数对应相等，列出方程组，最终得到答案。王老师刚才的解法一和解法二都是用的同一组基地。那么这道题还有其他的集体表示吗？有的，我们来看解法三，还可以尝试有果推。因利用垂直的数量积为零和已知模长，我们把要求的数量积分解为互相垂直的两个向量数量积与魔方的组合。这样我们就只需要把向量CD转化为以向量AE和向量CB为基底的表达式。由题可知向量CD等于向量CB减去2分之1向量A那要想得到准确的基地表达式，势必要把向量A代换掉。通过向量AE向量CB的基地表达式联立计算出向量A代入直接得到答案。王老师之前咱们在进行解法二的时候，是可以用待定系数法来解决的那对于这个新的基底我们可以吗？当然可以了解法四同样是由果推因，不妨利用待定系数来设出未知量，再将向量AE以及向量CB的基底表达式代入得到新的表达。而根据平面向量基本定理，我们可以很轻易的得到向量CD就等于2分之1。向量A减去向量B同一组基底表示同一个向量，因此对应系数相等，列出方程组求解，进而得出结论。非常感谢王老师的分享。基于刚才的分析，我们整体来看，以上是四种解法的思维导图。其实我们不难发现，前两种解法重点是围绕向量AE的基底表达式展开推导，有着一定的计算量。而后两种方法重在利用垂直和拇长简化运算，由果推因，需要先推导出向量CD的基底表达式，用基底法解决向量问题，通过选定基底，将任意向量表示为基底的线性组合，把向量的模夹角、数量积等几何属性转化为基底的代数运算，实现了几何问题代数化为复杂向量问题，提供了标准化的解题路径，强化了数学以算明理的特性，深化了数形结合的转化思维。正所谓基底为周度，沭阳拆分万象入诗行。正交斜向支梁柱，动静权衡定计缸。夹角磨长揖续解，共区轨迹顺藤梁。千般变幻归根本，握此金针破雾忙。感谢王老师的分享，听完王老师的分享主要是代数的思想方法。我们在解决数量级问题的时候，还有其他的角度吗？请陈老师为我们分享一下。可以从几何的角度入手，因为这是一道数量积问题，所以我们想先从数量积的定义出发，利用投影向量的几何意义进行求解。来看解法二回忆教材。在学习投影向量时，我们可以这么理解，投影向量就像把一个向量压到另一个向量所在的直线上，得到的是那个压扁后的影子。这个影子不只是长度，还带着方向和被投影的那个向量同向或者反向，它其实就是原向量在这个方向上真正起作用的部分。回到本题，由题目中垂直关系入手，延长ae交CB于M用向量共线定理找到垂足M的位置，得到向量EM的模长，再用数量积的定义式进行变形，向量AE与向量CD的数量积等于三倍的向量AE与向量CE的数量级，关注向量夹角，找到向量EC在向量AE上的投影向量，最终把问题转化为投影向量长度的计算即可。简单来说，数量积是一个向量的模长与另一个向量在其方向上的投影向量的乘积，直观体现了两向量贡献分量的成绩效果。其实在教材中也出现过类似的题目。我们来看必修二第24页拓展探究的21题，这是一道直接求解投影向量的题目。和处理本题一样，我们要先分析位置关系，发现垂直效应，借助图形将几何关系具体化，再进行向量投影的几何应用。如要进一步求解数量积，可直接把问题简化为线段长度，使复杂问题简单化。陈老师刚刚你利用这个投影向量的几何意义来解决代数问题，我觉得非常的巧妙。那请问还有没有其他的方法来求解呢？当然了，我们在解决向量数量积的问题时，除了基底法作为通法以外，还有一个通法就是坐标法，我们可以在平面直角坐标系里解决此题。下面继续来看思路3，利用间隙解决向量的数量积问题。根据题设中的垂直联想间隙分析图形设出两个关键量，一写出AEC3点坐标由条件已知三角形相似，所以FM的长等于2A结合D为AB中点，所以BF等于FM等于2A从而点B坐标可得。对于点D的坐标，从它是AB的中点角度得到坐标表达式。从已知条件出发，利用相似分析得D的纵坐标为3B建立等量关系解除B而向量CD中的共未知量A在数量积运算中与零相乘不影响结果，从而得到答案。回看解法二解法三，投影微风破雾纱，树形相映战，奇花垂综应影藏技巧，模长夹角入李家。数轴纵横之紧张，坐标妙解向量长点列程序藏玄礼数对为石乞觅房。树形相映通幽径，一卷风云莫里张。纵观这些解题思路，对于这道题来说各有千秋，但在考试中如何筛选出最优解，是需要学生不断探索的那作为教师我们还可以探索哪些方面呢？下面请李老师继续给我们分享他的一些想法。好的，陈老师，基于以上这些思路，我们作为教师不再就题论题尝试着改变，换个角度看看有什么新发现。首先我们可以改条件，先将向量CE等于3分之1的向量CD改为三角形一边CB边上的比例，仿照前面的做法做平行线，利用相似得到了DE等于二倍的EC这样与原题设相汇合，从而得出结论。其实对于这样的改变，是因为在平面向量中有这样一类问题，三角形两边上的定比分点比例已知时，连接三角形的顶点与对应点所得的线段的交点可求其所在线段的特定比。这一规律涉及到两个已知和两个待求的比例，可称为知二、求2。它不仅适用于三角形，在平行四边形中同样适用。第二个改编，从刚刚陈老师提供的一种投影向量的那个思路方法联系我们可以改结论。我们观察当线段AM上有一个动点Q那么如何求QA与QC这个数量积的最小值呢？观察题设只给了AE等于5，从这切入，据前面分析，AM总长为六，即QA与QM的加和为定值。其中QA的模就是定义式中的模，而QM的模是根据AE与CB垂直向量QC在向量QA上的投影向量的模，再结合基本不等式得出答案。好的，李老师我想问刚才点Q是线段AM上的动点，那如果回到这道题，我让点E是AM上的动点会有什么样的改法呢？有的，陈老师，那我们看一下，当条件变为点E是动点，那么这个时候这个结论就得求这个数量积的取值范围了。那么此时需要突破两个难点，第一，动点E如何量化表示，我们知道原题是因为意识定点，所以它的量化语言直接就用贡献向量来表示了。改变后则仅则需要引入变量拉姆达。第二个难点需要突破的就是结论中是含有变量的，那么需要我们对知识进行一个迁移，把它转化为函数值域的问题了。但过程中涉及到的知识方法是万变不离其宗的。这里给出用投影向量的思路的一个解题方法，具体过程不再赘述。针对原高考题，当拉姆达等于3分之1的时候是符合结论的。以上就是对这一道高考原题的几种辨识探究，我们发现，无论如何多变，如果我们深度思考，抽象出数学本质，其实就是一道题。此类问题需要以几何图形为载体，强调代数运算与几何性质相结合。要重几何强计算，关注跨章节综合探究，强化核心能力。正所谓平实厚重承一脉，基础中档显锋芒。函数图形描绘梦，几何架构筑鸿篇。方程巧解迷津破，思维计算两相张。教材为本，破刷题通法，寻真运动栋梁。以上是我们对14题的分享，感谢大家。