尊敬的各位评委老师，大家好，我是上海市闵行中学刘艳。今天我和上海市华东师范大学附属枫泾中学沈诗妍老师一起分享2025年上海市高考数学试卷第11题的多解研究及背景分析。我们将从以下六个方面进行阐述，真题在线试题解析、教学建议。教材问源。类题改编、教学启发。小森同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上。某鞋面上有两根长为一米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为AB它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光。其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米，另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0点四五米。求斜面的底角本体以物体在太阳光下形成影子的自然现象为背景，巧妙的借助两根细直杆来构建测量模型。要求学生能够准确的绘制几何示意图，建立合理的三角关系模型，并灵活的运用正弦定理或余弦定理等三角形知识，通过最优化的计算路径来求解斜面的底角。绘制几何示意图，如图，MNCD为光线，MABC是体感，体感BC的影子为BD体感MA的影子为AN。由题可知，MA等于BC等于1，AN等于0.4，BD等于0.45。通过提取关键信息，建立三角关系模型，从而求解斜面的底角。我们提供了4种解题思路，思路一，化学为直，思路二正弦定理，思路三余弦定理，思路四面积公式。我们先来讲解思路一化协为直，过D做平行于水平面的直线，交CB的延长线于E构造直角三角形CED和直角三角形BED。借助相似三角形或勾股定理等平面几何知识使问题得以解决。提供两种解法方法。一，在直角三角形BED中，角BDE等于西塔，那么BE等于0.45 sine西塔，DE等于0.45 cosine西塔。根据三角形amn相似于三角形ECD，则AN除以ED等于AM除以EC即0.4除以0.45 cosine西塔等于一除以1加0.45。Sine西塔利用计算器可得，西塔约等于12.58度。方法2，由tent x等于2.5，从而在三角形CED中判定的角CDE等于2.5。设BE等于Y则DE等于1加Y除以2.5。在三角形BDE中，由勾股定理Y方加1加Y除以2.5，括号的平方等于0点四五平方米，解得Y约等于0.098，于是西塔约等于12.58度。接下来我们讲解思路二正弦定理我们提供两种解法方法三过B作平行于水平面的直线，交CD于E在三角形BDE中，已知BE为0.4，BD等于0.45，根据角CEB等于90度加角C。已知角C。从而可以求得角D的大小。在三角形BDE中，根据三角形的内角和等于180度，从而求得角西塔，这是方法三的解答步骤。方法是延长CDCD交直线NA的延长线于EH2点。在三角形BDC中，已知BC等于1，BD为0.45。角C是已知的，根据两边对角符合正弦定理，从而可以求得角CDB的大小。在三角形AHB中。根据三角形的内角和为180度，从而可以列出西塔等于90度，减角CDB再减去角C从而求得角西塔，这是方法四的解答步骤。继续讲解思路，三余弦定理过D做平行于水平面的直线，交CB的延长线于E点。我们发现在三角形CDB中和三角形BDE中都包含共用边BD参考教材中拇指三角形的模型意识到可以通过共享边建立两个三角形之间的关联。在三角形BDC中有余弦定理可得CD的长度。在三角形CDE中，CE等于CD乘以sine西塔。接下来在直角三角形BED中，sine西塔等于BE除以BDBE又等于CE减1，从而求解西塔。这是方法五的解答步骤。最后我们讲解思路四面积公式，过B作平行于水平面的直线，交CD于E根据三角形CBE的面积加三角形EBD的面积等于三角形CBD的面积，根据面积公式化简得到45倍的cosine西塔等于40加18倍的sine西塔。根据式子一从而求解西塔的大小，我们提供两种解法，第一种同角平方关系。第二种解法构造法。方法6，将一式进行平方，得到式子2，再根据sine西塔的平方加cosine西塔的平方等于一，从而可以求得西塔约等于12.58度。方法7，设A倍的sine西塔加B倍的cosine西塔等于MA倍的cosine西塔减去B倍的sine西塔等于N将一式平方与二的平方求和，从而得到ABMN之间的关系。因为45倍的cosine西塔减18倍的sine西塔等于40，从而45倍的sine西塔加18倍的cosine西塔就应该等于根号下749。联立34可求sine西塔等于261分之5倍的括号，根号下749减16括号，从而可以求得西塔约等于12.58度。本题的多种解法并非偶然所得，而是基于对问题特征的深度剖析与数学思维方法的应用。在教学过程中，可以先让学生尝试用最直观的化简为直法，把复杂图形简单化，培养学生空间想象图形转化能力。再引导用正弦余弦定理规范求解，通过找准三角形、套用公式培养模型，建立逻辑推理能力。最后鼓励学有余力的学生探索面积法，比较不同解题方法的优劣性，通过换个角度思考问题来培养学生创新思维能力。通过试题解析，我们发现该题的设置理念取自教材，解题思路自然流畅。该题与沪教版高中数学必修二第50页历史的解题思路一致，运用直角三角形中的母子模型即可求解。在课堂教学中，教师若选用不同的解三角形公式，会形成不同的解题路径，不仅运算量有差异，难易程度也截然不同。因此，在课堂教学中，教师要会用教材例题引导学生选择最优解法，不仅可以有效提升解题效率，还能培养学生的思维灵活性。而在解答时，将实际情境转化为数学问题，绘制平面几何示意图，将问题转化为求两个直角三角形公共的直角边长的问题，最后借助正弦定理求解答案及上述分析，我们的整体认识是，考题立足教材，融合教材，内化教材，最后高于教材，凸显对能力的考察，充分体现了数学学科核心素养的培养目标。有关解三角形的实际应用问题是高中数学重要考点之一，试题的背景材料常常涉及测量工程、航空、航海等方面，具有很强的实际意义。一、学生需将实际应用问题转化为解三角形的问题，再结合三角函数基础知识构建几何模型去解题。下面对教材原题中所涉及的母子模型进行分析，以此提高同学在解答这类问题时构建几何模型的能力和应用模型的意识。如图7，过三角形ABD的顶点A作ac垂直于BD交线段BD于点C构造的两个直角三角形ABD和直角三角形ABC组成了母子模型。其中ac是两个直角三角形公共的直角边琦是沟通两个直角三角形之间边角关系的重要桥梁。基于对教材和高考试题的理解，我们对题目进行了相关的改编。我们布置了如下的一个作业本，作业是拓展型作业，也是实践型作业，希望积极引导学生到大自然中去，到现实生活中去，发现数学、运用数学、感受数学的研究路径和思想方法。通过对试题的解析，我们有如下的启发，一、深耕教材本源，构建知识网络。近年试题强化主干知识与核心素养的考查，很多题目源于教材立体改编，凸显教考衔接的重要性。教学中应深挖课标要求，强化概念理解，善用教材例题，避免脱离课标，切实减轻学生的学业负担。2、聚焦通信通法，发展思维品质教师应研究教材的典型例题，以做一题、会一类为目标，将数形结合、分类讨论等数学思想融入日常教学。教学需侧重培养学生的思维能力，重视通性通法的迁移应用，引导学生落实基础知识的融合与逻辑推理的能力。这要求教师有针对性的选题编题，通过课堂活动，引导学生综合运用所学知识，逐步培养其面对新情境问题时镇定、自信的心态以及实际解决问题的能力。3、融合素养培育创新教学实践以情境为载体，融合竖形双视角，在问题解决中沉淀数学思想，培育逻辑推理、数学建模等核心素养，通过教材回归、方法贯通、素养落地的三维实施，实现教学从知识本位向素养导向的转型，最终达成解法多元拓思维，溯源究理现真知的教学境界。各位评委，我们的讲题到此结束，谢谢观看，欢迎批评指正。