大家好，我们是来自北京市海淀区北京市育英学校的代表队。我是关琪，我是胡周杰，我是刘洋。我们今天将和大家交流的是北京卷第20题，抽象与直观，回归本质，解决导数问题。导数是微积分的核心概念之一，是现代数学的基本概念，蕴含微积分的基本思想。导数定量的刻画了函数的局部变化，是研究函数性质的基本工具。高中导数课程的真正价值并非是教会学生去算几个极值最值，而是要把学生进入大学后进一步学习所需要的极限感、符号翻译能力以及代取等思维的种子提前买入认知的土壤。当学生步入大学校园时，这些种子会在excel、德耳塔、泰勒流行等阳光的照射下同步发芽，最终成长为可以支撑现代分析与优化、理论与应用数学的苍天大树。因此，高中导数教学应该像一条精心设计的认知战道，把大学微积分那座云雾缭绕的抽象高峰拆解成连续抬升的台阶，每一步都保留直观的扶手，又悄悄的把扶手换成更为抽象的材质，让学生在无意识中完成从看得见到想的深的跨越。2025年，北京高考导数题就尝试悄悄抽离原函数这一扶手，留给青年考生和数学教师诸多思考。下面就有请刘洋老师给我们分析一下这道题目。大家好。本题以只给定义域、导函数和初值，却不给原函数这一新颖情境，设置了三道递进式的设问，分别是，求导函数的最大值，论证函数图像的几何特征，求解三元函数的取值范围。命题以无原函数为障眼法，实际则是以用导数研究函数的一般方法，综合考察转化与化归数形结合、分类讨论等思想方法，并且聚焦直观想象和数学抽象核心素养。面对这一陌生情境，学生极易下意识的先求原函数，但若回归问题本质，紧扣给定信息，便能够迅速穿透情境的迷雾，直达解题核心。那一问便可以突破迷雾，这一问要求导函数的最大值，这样的常规任务学生已经驾轻就熟。把F到X视为独立函数GX再借导数判断其单调性即可。然而当题目仅给出导函数而隐藏原函数时，不少同学仍会本能的想先求FX。事实上这道题目的原函数并不难口算，它对结果毫无影响，但却能够在心理上提供一份熟悉感。学生很快的算出来之后，在解决问题的过程中却发现，原函数并非必须要用。那这一问便会促使学生反思，原函数的具体表达并非必须面对陌生情境中更需要回归问题本质。由此第一问的处理策略便为后续无缘函数的问题情境提供了思路，是具体解答过程。那不就班用这道X讨论GX的增减性，进而求出最大值点1减1以及最大值1分之1即可。第二问要求证明函数图像在某点切线L一的上方，旨在考察学生对函数图像特征的认识。借助第一问所得FX的一阶导、二阶导均已得出能够大致刻画出函数的图像趋势未完成证明。可以从直观的角度辅助代数，严谨推理验证。在所论区间内函数二阶导小于0，从而曲线严格下凹，图像自然在切线之上。在凹凸判别虽然并非课程标准学的内容，却在人教B版教材必修二的拓展阅读中有所提示意图也是在引导学生把代数推理和几何直观融为一体，洞察函数形态的整体变化。如果学生在刻画图像趋势时受阻也不难，可以凭经验将证明图像位于切线上方这一几何问题转化为代数不等式，即只需要证明FX减L一大于零即可。那基于题设点A处的切线斜率及方程可以直接写出，于是问题便可以归结为在所论的区间内证明HX等于FX减L一大于零即可。那既然自然而然的会对HX求导，得到H导X等于F导X减F导A那其中F到X的具体表达式就已经并非关注的焦点。而关键在于比较F到X与F到A的大小关系，而这一关系恰好由FX的二阶导所决定，而这正是第一问已给出的结果。至此学生可以完全抛开原函数的具体表达式，仅凭二阶导数的符号判断F导X的单调性。通过分类讨论F导X与F到A的大小关系，这里是具体的解题过程。在分类讨论的过程中，通过分析可以将分为可以将其分为X小于A时，X大于A时得到HX的增减性，可以得到命题得证。这个过程淡化了具体函数，凸显以导数研究函数的一般方法，对学生的抽象能力和工具运用提出了更高的要求。完成了对前两问的探究后，学生已经在无原函数解析式的情境中积累了较为充分的经验。因此，面对第三问，会不再执着于要还原具体函数，而会自觉沿用先整体后局部，先结构后运算的分析框架，使问题的解决路径水到渠成。那当然可以采取非常直观的代数路径，也就是沿用第二问的转化策略，先将几何条件逐步译成代数信息，写出直线L一和L2的解析式，求出横坐，横坐标代入代数式中，然后化简求解。除此之外是否还有其他的想法呢？我们请关老师来给大家呈现。我们来观察这个代数式的几何结构，我们会发现在题目中有两个信息给予了我们这样的启示。这两条直线相互垂直，因此给我们以直角三角形的形状ABC就出现了第二个代代数式的分子中X1加X2和分母X2减X一都是我们非常熟悉的终点坐标和两点间距离的结构相关的一个表达式。因此我们只要对原有的代数式略作变形，在分子中提出S1加S2，然后分子分母同时除以2。这样我们就能够发现分子其实代表的就是线段DE的长度，而分母代表的就是直角三角形的斜边BC的长度的一半，而斜边上的中线等于斜边的一半。所以这时候我们原有的代数式就出现了非常明显的几何特征，它是角ADE的余弦值，而角ADE是等于二倍的角ABE的。因此这时候我们就可以利用三角函数的恒等变换的相关知识，把我们所求代数式的值和斜率联系在一起。所以这道题目我们可以采取比较直接的从代数角度，也可以像关老师所说的这样，通过观察代数式的结构，然后联系几何意义。接下来我来阐述一下具体的思路。在代数角度的具体求解中，解出L一和L2 2条直线的解析式之后，因为简化简时要注意F到A不为零，因此在这一步处需要严谨论证。进而求出两条直线与X轴的交点，横坐标X1和X2，将其代入可化简得到代数式的取值范围只和F到A的范围有关。这里也是将多个未知量转化为只有一个未知量，这又刚好就是第一问已求得的结果。至此原函数的具体形式已非必须，只需要借助第一问得到的F到A及其取值范围，即可以直接求得结果。这个代数式的结果的范围，若执意代入原函数解析式计算的话，虽然也可行，但是却会使运算过程非常冗长，且最终仍然需要回到F到A的范围。可见能否剥离具体解析式，回归导数的本质是第三问从代数角度能否简洁求解的关键。在几何角度中，我们基于所求代数式的结构为其寻找到了几何意义。得到了这样的一个变形之后，已经将问题转化为求解二倍的角ADE的cosine值。接下来就可以应用三角函数恒等变形等相关知识展开变形，就可以得到二倍角角ABE2倍的cosine值。其实最终可以转化为角ABE tangent值相关的一个代数式。而它本身其实就是几何意义，就是F到A所以我们可以将原式化为求像一个负一加上F到A平方加1分之2这样一个代数式的取值范围。这个思路基于所求代数式的结构，从形的角度为其找到几何意义，避免了纷繁的计算。综合运用切线斜率、三角函数、三角函三角形相关知识解决问题，体现了用联系的眼光看问题得到的惊喜。回顾深思本题以函数的单调性最值以及切线的几何特征为核心考点，聚焦导数工具的综合应用。这一设计延续了北京卷对于导数与函数主干知识的传考察传统，强调导数的工具性、思想性与应用性。这三问层层递进，层次分明，难度区分度很明显。题目通过分层设问，引导学生从具体到抽象，从特殊到一般的探究函数性质。最让人眼前一亮的便是它和传统的导数题不同点并没有给出原函数，呈现了一种全新的情境，让学生很不习惯，由此打破了过往的解题套路，真正考察了大学高等数学、微积分最基本的数学思想、思维和方法，体现了考察学科核心素养的本质要求。好，那这道题的解答就到这里，解答和分析就到这里。接下来我们有请胡周杰老师为大为大家带来该题目的溯源和拓展。回顾该题，正如李玟老师所说，本题是以函数的单调性、切线和最值问题等几个特征为核心考点，考察的是导数工具的一个综合应用。它延续了北京卷对于函数与导数的这个主干知识的重点考察，强调了导数的工具性、应用性以及思想性。它第一问是我们常见的最值问题，第二问是考察的曲线与切线的位置关系的问题，第三问考察的是一个函数表达式的一个范围问题。这三问的话都和北京卷以往的考察内容是一脉相承的。我们从高观点来看，该题它既考察了曲线与曲线的位置关系，又深入考察了不等式的证明，还涉及到在高等数学视角下的像拉格朗日中值定理的证明方法中的一个构造函数的思想，函数的凹凸性的思想，以及数学结合分类讨论等数学思想的一个运用。这种设计的话，我们深挖以前的高考题和教材，我们会发现都有其原型的体现。其最早的原型我们可以追溯到北京卷2013年的第十8题，在后续的题目中也不乏体现。那么我们深挖命题背景，其中有一就是构造函数。构造函数的话，它是高考命题中的一个热门命题，如何准确地理解题意，并且把题意翻译表示为代数表达式，他非常考验同学们的能力。我们来看一下13年的北京卷的18题，很多老师认为它是今年北京高考二十题的一个原型。也就是说今年的20题是13年18题的一个改编和威力加强版。我们来看它这个函数的形式，也是当X比上X的一个形式，它也是讨论曲线和它的切线的一个位置关系。那么我们看解决这种问题的典型方法就是构造函数。我们在这里构造了GX等于X减一减去FX是它的切线减去FX的一个形式。然后再讨论这个GX的一个单调性，最后得出曲线C在直线的下方。对这种类型的考察我们也屡见不鲜。比方说2024年北京丰台一模，他考察的就是求函数HX的零点，并证明X乘以X大于等于0，这里的HX是等于FX减去GX也就是说FX这个曲线减去它的切线GX那么我们的这个第二题，他如果要是X大于零的时候，那当然就是HX要大于等于0，也就是说FX要大于等于GX当X小于零的时候，也就是说HX要小于等于0，即FX小于等于GX它本质上也是考察这个曲线FX和它的切线的一个位置关系。第三个也是类似的知识点。还记得高考完不久就有好几个同学跟我说，感觉今年的北京的二十题有点像拉格朗日中值定理的这种证明方法的用的构造函数的形式。我认为是的。我们参考同济版高等数学第七版第2 127页关于拉格朗日定理构造辅助函数的证明，我们发现他们其实非常的相似。试题溯源2，直线与切线的垂直问题。20题的第三问，它涉及到的是直线和切线垂直的相关问题。这类问题非常经典，我们可以追溯到2019版人教A版的第82页的拓广探索问题的11题，它也是一个曲线的切线与直线的垂直的问题，而我们在过往的高考题中也不乏见到这样的问题，比如说2020年的全国卷，当然考察只限于实现平行的关系的就更多了，有15年的山东卷，18年的北京卷和天津卷，然后25年北京卷。第三问，最向往的还有24年上海卷的第二问。我们来看一下他第二问，他问的是判断是否存在一个点P且直线MP与Y等于FX在点P处的切线垂直。在深入研究今年北京卷20题的基础上，我们对它进行了一个改编和命制。首先我们把FX导数给改变了一下，FX导数等于ln x加一乘以X再乘以ln x然后我们把它第二问也改变了一下，原题是已知A的范围，求曲线和它的切线的一个位置关系的问题，我们在此把它颠倒了一下。而第三问的话，我们和原题类似。那么从开始的我说的解析式我们可以看出，终身要观察得到FX的原函数会更加的困难。即使学过积分的高三学生可能也不一定能积出来，基本上断绝了学生运用原函数FX做工作的可能性，并且对具体函数形式的依赖回归了问题的本质。我们用GGB作图研究了一下原函数会发现FX在0到1上有两个拐点，一个在零到2分之1之间，一个在2分之1到一之间。对，我们第三问的话，他是问的A属于0到2分之1之间的这个取值范围。那我们还可以把三个命题设置的更加难一些，有问题是把A的范围改为A属于0到1之间，求这个比值的取值范围。而该比值我们从刘文老师的推导可以得出，它等于负一加上FA的导数的平方加1分之2。这样在求解范围的最小值的时候，就需要比较两个拐点的大小才能求出它的最小值。另外我们还可以从直角三角形的射影定理出发，具有几何性质这几个问题。五他是要探究FA的平方比上A倍的X1加X2减去X1X2再减A的平方是否为定值。若是求出定值，若不是请说出理由。该问表面上看貌似韦达定理的形式，实则是直角三角形里面摄影定理EF的平方等于BF乘以CF的代数形式。我们可以看一下这个图。好了，下面的话我们请关系老师进行总结。听完刘洋老师和胡周杰老师对这道题目的分析以及溯源于拓展之后，我们现在可以沉下心来想想，这对我们的教学有什么启示呢？北京卷导数题目的最大价值不仅是考什么，而是把怎样考变成一根指挥棒，让课堂从教知识转向教素养，把考试功能反向注入到教学流程，形成以平促交的闭环。命题者真正想考察的，正是学生能否在纷繁的表象下迅速锚定其数学本质，进而借助导数这把显微镜，把复杂对象切变成可运算、可推理的单元。正因如此，只要学生能够运用数学的思维方式去观察和分析问题，从具体情境中抽离出数学本质，就能以不变应万变，从容应对各种复杂问题。正如我们这道题在命题分析中提到，也许题目会有一些高等数学的背景，但高中导数教学并不需要我们一股脑的把高等数学的知识作为课堂内容向学生讲解，而应当引导学生借助具体的函数图像，例如人教B版教材中所呈现的初步抽象后的函数图像描述方式，搭建好从具体到抽象的桥梁。正如高中数学课程标准2017年版2020年修正中，学业标准提出，能够通过具体情境，能够运用导数研究简单函数的性质和变化规律，能够利用导数解决简单的实际问题。高中导数学习并非降格的微积分，而是一次提前量的思想训练，他用更温和的方式让学生体验大学同频的抽象化、符号化、模型化三级跳。所以，我们教学时不需要像秀肌肉一样，提前向学生展示洛必达、泰勒、拉格朗日等等大学的微积分知识，而是要致力于将从具体到抽象这条暗线显化，教师就能在高中课堂里买下真正可持续的微积分火种。学生日后面对伊普西隆、德尔塔定义时不会觉得突兀，而会像重逢一位早已熟悉的故人。好，我们的讲解到此结束，谢谢观看，欢迎批评指正。