大家好，我叫赵丽丽，我们参赛组的成员有李娜、荣帆，我们是陕西省西安市经开第三中学老师。今天的主题是一题多解视角下新高考2卷17题的空间几何解法挖觉。一试题呈现如图一，在四边形ABCD中，AB平行于CD角DAB等于90度，F为CD中点E在AB上，EF平行于ADAB等于三倍的AD，CD等于二倍的AD将四边形EFDA沿EF翻折至4边形EFD撇A撇，使得面EFD撇A撇与面EFCB所成二面角为60度。一，证明A撇B平行于平面CD撇F第二问求面BCD撇与面EFD撇A撇所成二面角的正弦值。2、思维导图试题解法分析，第一问一，观察图形特征，平行关系多方法一面面平行或方法二平行四边形存在终点。方法三中位线垂直关系明显。方法4，垂直同一平面图形规则，如直角对称。方法五，坐标系2，代数与几何，几何构造方法2三四代数计算方法53，题目提示终点条件提示中位线。方法三，翻折问题常涉及垂直方法4或坐标系。方法五，第一问思维导图，如图2所示，几何直观反应，面面平行几何构造法二平行四边形法，几何构造法三中位线法，几何何构造法四线面垂直线指法代数计算，房屋间隙法试题解法分析，第二问，一向量法，当几何图形易于间隙且坐标明确时，优先选择向量法，通过法向量直接计算夹角步骤机械的计算量。大二、摄影面积法，当题目中存在垂直关系，如翻折后平面垂直时，可考虑射影面积法，需先证明垂直在计算面积比值。33、垂线法三垂线法是立体几何中用于求空间角如线面角、二面角或距离的重要方法，通过平面垂线构建的摄影，实现面内直线与斜线的垂直关系互推。4、体积法，当问题涉及距离和体积时，体积法可能简化计算，通过体积不变性建立方程间接求解角度。第二问思维导图如图3所示，代数法一间隙法、几何法二摄影面积法法三三垂线法法四四面体。体积。法三解法分析。第一问证法一面面平行法通法通解如图一所示，核心思路通过证明两个平面平行，推出线面平行证明。因为AB平行于CD将四边形EFDA沿EF翻折至4边形EFD撇A撇，所以EB平行于FCA撇E平行于DPF，因为FCDPF在平面CDPF中，所以EB平行于平面CDPF，A撇E平行于平面CDPF又因为EB与A撇E交于A点EB，A撇E在平面A撇EB中，所以平面A撇EB平行于平面CDPF因为A撇B在平面A撇EB中，所以A撇B平行于平面CDPF关键点利用两个平面内的两条相交直线分别平行，证明面面平行。在推出线面平行适用场景图形中存在多组平行关系，且能直接构造平行平面。证法二，平行四边形法如图4所示，核心思路构造平行四边形，将线面平行转化为线线平行证明过点B作EF的平行线，交FC延长线于M连接DPM。因为AB平行于CD所以EB平行于FCEF平行于BM所以四边形EFMB为四边平行四边形，所以EF平行且等于BM又因为A撇D撇平行且等于EF所以A撇D撇平行且等于BM所以四边形A撇D撇MB为平行四边形，所以A撇B平行D撇M又因为DPM在平面CDPF中，所以APP平行于CDPF关键点通过辅助线将问题转化为平行四边形的性质。利用一组对边平行且相等的判定条件，适用场景图形中存在明显的平行关系，如题目中AB平行于CDEF平行于AD适合需要构造辅助线将问题简化的情形。正法三诸位宪法如图5所示，核心思路，通过延长线段构造中位线，利用中位线平行性质证明，延长EFBC交于G连接ag与dp f交于N点连接NC因为AB平行于CDF为CD中点，E在AB上，EF平行于ADAB等于三倍的ADCD等于二倍的AD所以FC平行且等于2分之1EB所以F是EG中点，C是BG中点。因为DPF平行于ae又因为F是EG中点，所以N是A中终点。又因为C是BG中点，所以NC平行于A撇B因为NC在平面CDPF中，所以A撇B平行于平面CDPF关键点，通过延长线构造三角形和中位线，利用中位线平行于底边的性质，这种方法为第二问方法三、方法四提供思路。适用场景，图形中存在终点或可构造中位线的条件，适用于需要通过终点性质简化问题的题目。证法四线面垂直性质法如图6所示。核心思路，通过证明两条直线垂直于同一平面，从而平行证明，取FD撇中点C撇连接cc撇，由已知值A撇E垂直于EF，EB垂直于EF令AB等于一则AB等于3，CD等于二角，A撇EB等于角，D撇FC等于60度。因为EF平行于adf是CD中点，所以DPF等于FC等于D撇C等于1，所以AE等于A撇，E等于一，EB等于2。在三角形A撇EB中，由余弦定理知A撇B的方等于A撇，E方加EB方减二倍的A撇，E乘EB乘cosine 60度等于3，所以A撇B等于根3，所以A撇B垂直于撇E因为EF垂直于EB，EF垂直于A撇。又因为A撇E与EB交于EA撇EB在平面A撇EEB中，所以EF垂直于A撇EB又因为A撇B在平面A撇EBB中，所以EF垂直于A撇B同理可证EF垂直于CC撇。又因为A撇E与EF交于点EA撇EEF在平面A撇D撇FE中，所以A撇B垂直于平面A撇D撇FE在等边三角形D撇FC中，C撇是D撇F中点，所以CCP垂直于DPF因为dpf与ef交于FDPFEF在平面DPFE中，所以cc撇垂直于平面A撇D撇FE所以A撇B平行等于CC撇。因为CC撇在平面CDPF中，所以A撇B平行于平面CDPF。关键点利用垂直于同一平面的两条直线平行的性质，结合线面平行的判定适用场景。题目中存在垂直关系，如翻折后产生二面角，适合需要利用垂直性质简化问题的情形。正房5间隙如图7所示。核心思路通过建立直角坐标系，用向量法证明线面平行证明建立如图所示空间直角坐标系。以E为坐标原点，EB为X轴，EF为Y轴，EZ为Z轴，令AB等于一则AB等于3，CD等于二角，A撇EB等于角，D撇FC等于60度。所以E点坐标为000，B点坐标为200，F点坐标为010，C点坐标为110，A撇点坐标为2分之102分之根三，D撇点坐标为2分之112分之根三。所以向量A撇B等于2分之30负二分之根三。平面CD撇F的法向量为M向量等于010，所以向量A撇B乘以向量M等于0，所以A撇B平行于平面c . dp f. 关键点，利用直线方向向量与平面反向量垂直的代数调节证明线面平行为第二问。方法一提供思路。适用场景，几何关系复杂，但易于用坐标表示，如翻转对称图形通用性强，适合代数能力较强的学生。线面平行无法割面面平行柱通图相交线影两坪扶正法一四边构就平行，网线线迁移入画图正反二中尉延长连远驿，底边随影共持区。阵法三同垂平面双雄并线面凭栏一路区，阵法师间隙开创新世界。向量消弭旧迷途。政法五五班，妙法正通图线面平行一字书。第二问，设面BCD撇与面FD撇，A撇所成角为西塔。解法一，坐标系法向量法通法通解如图7所示。核心思路，通过建立坐标系，用向量法计算两平面的法向量，再利用夹角公式求解，即由第一问正反五之所有点的坐标。设平面BCD撇的法向量为N1，向量等于S1Y1Z1。平面FD瞥A撇的反向量为N2，向量等于X2Y2Z2，所以BC向量等于-1-1 0CDCD撇向量等于-2分之102分之根三，所以N一向量乘BC向量等于0，N一向量乘CD撇向量等于0，即负S1加Y一等于0，-2分之1S1加2分之根3Z1等于0，所以N一向量等于根三根三一，所以FD撇向量等于2分之102分之根三。A撇D撇向量等于010，所以N2向量乘以FD撇向量等于0，N2向量乘以A撇D撇向量等于0，即Y2等于02分之1S2加2分之根三，Z2等于0，所以N2向量等于负根301。所以cos西塔等于N1与N2夹角余弦值的绝对值等于N一向量乘N2向量比N1向量的模乘N2向量的模的绝对值等于二倍根号7分之2等于根7分之1。所以sine西塔等于根号下一减cosine西塔平方等于根号下一减7分之1，等于根号下7分之6，等于七分之根号42。所以面BCD撇与面FD撇A撇所成角的正弦值为七分之根号42。关键点坐标系的选择需简化计算，如利用对称性或垂直关系适用场景向量法通用性强，适合几何关系复杂的题目。解法二，摄影面积法如图6所示，核心思路，利用一个平面在另外一个平面的射影面积与圆面积的比值求二面角，即由第一份证法4至A撇B垂直于平面A瞥D撇FECC撇垂直于平面A撇D撇FE因为A撇BCC撇在平面A撇C撇CB中，所以平面A撇C撇CB垂直于平面A撇D撇FE3角形A撇D撇C撇的面积等于2分之1乘以1乘以2分之1等于4分之1。在直角梯形EFCB中，FC等于1，EF等于1，EB等于2，UBC等于根号。因为AB垂直于平面A撇D撇FE，A撇D撇在平面A撇D撇FE中，所以A撇B垂直于A撇D撇。又因为A撇D撇等于1，A撇B等于根3，所以D撇B等于2。在三角形D撇CB中，由余弦定理指cosine角CD撇B等于4分之3 sin角CD撇B等于根号下一减4分之3的括号平方等于四分之根七。三角形CD撇B的面积等于四分之根七，cos西塔等于三角形A撇D撇C撇的面积比三角形D撇CB的面积等于4分之1，比4分之根七等于根7分之1。所以sine西塔等于根号下一减7分之1，等于根号下7分之6，等于根号下七分之根号是42。关键点需先证明两平面垂直关系，否则摄影面积法不适应适用场景，适用于有垂直关系的几何图形。解法三三垂线法如图8所示。核心思路，利用三垂线定理将空间问题转化为平面问题求解，即延长EFBC交于GGDP与EA撇的延长线交于H取DPH中点P连接PB令AB等于一则AB等于3，CD等于二角，A撇EB等于角，D撇FC等于60度。因为EF平行于ADF是CD中点，所以AE等于A撇，E等于一，所以FC平行且等于2分之1EBA撇D撇平行且等于EF所以FG等于EF等于EGC等于BC等于根2，A撇H等于A撇，D撇等于A撇，E等于E因为GE垂直于H1，所以HD撇等于GD撇等于根2。因为P是D撇H中点，所以A撇P垂直于HD撇，A撇P等于二分之根二由第一种方法，四肢B垂直于平面EGHA撇B等于根3，由锤三垂线定理知角A撇PB等于西塔，所以塔尔西塔等于A撇B比A撇P等于根3，比二分之根二等于根六，所以C西塔等于七分之根号42。三垂线定理平面内的一条直线，如果它和这条这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条线斜线垂直。关键点通过平面内直线与西与斜线摄影的垂直关系，实现该直线与斜线垂直关系的互推。核心是平面射影斜线面内直线间的垂直转换，适合求线面角。求二面角证明线线垂直空间图形中存在明显的斜线摄影平面内直线的垂直关系。解法四，四面体体积法如图9所示。核心思路利用四面体体积关系间接求二面角正弦值，延长EFBC交于G连接GDP。由第一种方法是知EF垂直于平面DPFC，所以FG垂直于平面DPFC由三棱锥GDPFC的体积等于3分之1，乘以三角形D撇FC的面积乘以GF等于3分之1乘2分之1乘以1乘以1乘以sin 60度乘以一等于12分之根三，因为FC平行且等于2分之1EBA撇D撇平行且等于EF所以EG等于EF等于1，gc等于bc等于根2。因为FG垂直于平面D撇FC所以D撇F垂直于FGGD撇等于根号。在三角形D撇GC中，D撇G等于GC等于根号D撇C等于1。由余弦定理之cosine角D撇GC等于4分之3，所以sine角D撇GC等于四分之根七，所以三角形D撇GC的面积等于四分之根七。由三棱锥GD瞥FC的体积等于三棱锥FD撇GC的体积之F到面DPGC的距离H等于根号七分之根号3。由三角形DPFG等于2分之1乘以D撇F乘以FG等于2分之1D撇G乘以D之F到D撇G的距离，D等于二分之根号，所以sin西塔等于H比D等于七分之根号42。关键点体积法将几何问题转化为代数计算，适合距离和角度混合的问题，需熟悉体积公式和距离公式的灵活应用。二面角求解4，反戈坐标向量破迷津，法相夹角算得真。解法一，坐标系法向量法，摄影面积调转化，面积比值定乾坤。解法二，摄影面积法，三垂定理，空间转平面关系互推陈。解法三三垂线法，四面体积常妙算，距离角度带中旬。解法是四面体体积法。4、辨识训练。Div证明。便是2。解解的过程。5、题目溯源。立体几何中二面角在近几年高考试题中曾多次出现回归课本课后习题，如人教A版必修2 171页第14题如下，十四如图，在四棱锥系abcd中，底面abcd为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD垂直底面ABCD，M是PD中点，求证AM垂直于平面PCD。第二问，求侧面PCD与底面ABCD所成2面角的余弦值。6、教学建议，求二面角容易间隙时学生好入手，不好间隙时学生没思路。原因如下，一、误认非垂直于棱的角为平面角，忽略范围领导判。2、几何法找点不当，三垂线定理用错。3、向量法求错法向量误判法，误判法向量夹角与二面角关系。四摄影面积法误用，非正摄影算错面积。五复杂图形中能或平面关系判错。总结来说，避免错误的关键在于紧扣平面角必须垂直于零的定义。几何法注重作图规范性，向量法关注法向量方向判断，摄影面积法明确适用场景，同时结合图形直观验证结果合理性。谢谢大家观看，再见。