【课件】“天津卷 第15题 ”-2025年第七届全国高考数学讲题比赛暨高考试卷分析研讨会（南部）

该高中数学课件聚焦二次函数恒成立与参数最值问题，以2025年天津卷第15题为例，课堂导入从教材习题（如必修一二次不等式恒成立题）切入，通过换元设t=2a+b转化问题，搭建从基础到高考真题的学习支架。 其亮点在于融合数形结合、分类讨论思想，用思维导图呈现多解题思路（判别式分析、特殊值探路等），培养逻辑推理与直观想象素养。实例中将不等式转化为抛物线与直线位置关系，帮助学生深化思维，教师可用于专题复习提升教学效率。

数形结合，探寻问题本质 ——2025年天津卷第15题 廖可媛 张启锋 福建省永定第一中学 四、试题研究 一、真题呈现 二、试题分析 三、试题解答 五、教学引导 2025年天津卷第15题 一、试题呈现 试题传承 2023年天津卷第15题 题型上传承2023年以二次函数为压轴 方法上传承了数形结合、分类讨论 能力素养上传承了逻辑推理、化归与转化 引导教学上传承了重视基础、重视思维、多思少算 若a,b∈R，对 ，均有(2a+b) x2+bx -a -1≤0 恒成立，则2a+b的最小值为 . 若函数 f (x)= a x2-2x -|x2-ax+1| 有且仅有两个零点，则 a 的取值范围为 . 以二次函数（不等式）为背景，综合性强，更能展现考生的思维能力 1.思维分析 知识 函数、不等式 思想 转化化归、数形结合 分类讨论、函数与方程 素养 数学运算、逻辑推理 数学建模、直观想象 恒成立问题是高考的热点问题，解题思路呈现百花齐放的状态，符合高考追求的“无思维不命题”、“多思少算”的重要原则 二、试题分析 2.问题分析 2025年天津卷第15题 1.试题呈现 体现化归转化的思想 设 2a+b = t，则 b = t -2a，不等式化为 t x2+(t -2a)x -a -1≤0 对 恒成立. 若a,b∈R，对 ，均有(2a+b) x2+bx -a -1≤0 恒成立，则2a+b的最小值为 . 2.问题分析 求参数最值问题 分离参数法 函数最值法 数形结合法 判别式法 系数符号不确定 参数难以分离 构造变量函数，求函数的最大值 变形后视作两个函数，画出图象 限于二次函数 转化为： t x2+(t-2a) x -a -1≤ 0 对 恒成立，求 t 的最小值. 刘 (刘) - 3.思路分析 问题转化 取适当的 a 值即可使不等式在[-2,2]上恒成立 . 分类讨论 t = 0 和 t<0 当 t = 0 时，-2ax -a -1≤ 0 即 2ax+a+1≥ 0 当 t < 0 时，可从以下思路进行分析 t x2+(t -2a) x -a -1≤ 0 对 恒成立，求 t 的最小值. 3.思路分析 思路一 根据 符号和对称轴位置分类讨论函数最值 思路二 不等式调整为 思路三 取特殊值探路 问题转化 时 t x2+(t-2a) x-a-1≤ 0 对 恒成立，求 t 的最小值. 4.思维导图 对 恒成立，求 t 的最小值 思路三 根据 符号和对称轴位置分类讨论函数最值 约束参数范围 结合端点值验证目标函数 思路一 不等式调整为 抛物线 y=tx2+tx 最大值 直线 y=2ax+a+1过定点 由 得 思路二 令 解得 验证 是否成立 t 的最小值为-4 考查逻辑思维能力以及探究、分析和解决问题的能力 三、试题解答 ∴t = 0 符号题意 从不等式的次数切入，分析不等式的类型，确定分类讨论的标准 （1）当 t = 0 时，-2ax -a -1≤0 即 2ax+a+1≥0 令 f (x)=2ax+a+1, 可知 f (x)的图象恒过定点 , 存在 a∈R（如 a = 0），使 f (x) ≥ 0 在[-2,2]上恒成立, 设 2a+b = t，则 b = t-2a，不等式化为 t x2+(t-2a)x-a-1≤0 对 恒成立. （2）当 t < 0 时， 记 h(x) = t x2+(t-2a)x-a-1 先考虑简单的情况 从函数角度研究，这时函数表示的是一条开口向下的抛物线，先讨论 的符号 解法一： 三、试题解答 ① 时符合题意，即 化简得 解得 又∵t < 0，∴-4 ≤ t < 0 设 2a+b = t，则 b = t-2a，不等式化为 t x2+(t-2a)x-a-1≤0 对 恒成立. （2）当 t < 0 时， 记 两个不等式组均无解， 函数端点的最值 三、试题解答 可得 ② 时，对称轴 或者 因此 t =2a + b 的最小值为 -4. 综上可得 -4 ≤ t ≤ 0 设 2a+b = t，则 b = t-2a，不等式化为 t x2+(t-2a)x-a-1≤0 对 恒成立. （2）当 t < 0 时， 解法二：（数形结合法） 三、试题解答 不等式可化为 t x2+t x ≤ 2ax+a+1 记 g (x)=t x2+t x ，f (x) =2ax+a+1 g (x)的对称轴 最大值 f (x)过定点 要使g (x) ≤ f (x)在[-2,2]上恒成立，只要 即 t ≥ -4 当且仅当 a=0 时等号成立，此时 b=-4， 因此 t =2a + b 的最小值为 -4. 设 2a+b = t，则 b = t-2a，不等式化为 t x2+(t-2a)x-a-1≤0 对 恒成立. 解法三： 把 a 消去，对 x 取特殊值，先求出 t 的下限，然后再验证 记 特殊值探路 三、试题解答 即 当 t = -4 时，不等式化为 解得 t ≥ -4 三、试题解答 验证结果是否成立 即 当 a = 0 时-(2x+1)2 ≤ 0 对 一定成立 设 2a+b = t，则 b = t-2a，不等式化为 t x2+(t-2a)x-a-1≤0 对 恒成立. 当且仅当 时等号成立，此时a=0 ， b=-4， 说明 t = -4 时a,b均存在实数可取到，满足题意， 因此 t =2a + b 的最小值为 -4. 解法三结合了目标导向变形、特殊值代入、代数配方和极端值分析，既符合天津卷“立足基础，注重本质”的命题风格，又能高效解决问题.这种解法体现了数学思维的灵活性，在通性通法中通过特殊值简化复杂问题. 三、试题解答 四、试题研究 1.教材回归 根据问题解析，我们发现该题的设置理念取自教材，解题思路的形成非常自然，与教材的思想一脉相承， （人教A版必修一58页习题6）当 取什么值时，一元二次不等式 对一 切实数 都成立？ （人教A版必修一100页习题4）已知函数 在[5,20]上具有单调性，求 实数 的取值范围. （人教A版必修一160页习题4）已知函数 ，求使方程 的实 数解个数分别为1,2,3时 的相应取值范围. 本考题最早的模型出自于2009年北京大学自主招生考试中，原题为：已知对任意实数 恒成立，求 的最大值. 考题出自教材，融合教材，内化教材，高于教材，突出对能力的考查，反映的是学生的学科核心素养，通过提升学生综合运用数学知识和方法的能力，选拔出有创新思维和应变能力的高校人才. 四、试题研究 1.教材回归 2025年天津卷第15题 若a,b∈R，对 ，均有(2a+b) x2+bx -a -1≤0 恒成立，则2a+b的最小值为 . 2.问题推广 四、试题研究 原考题具有较强的特殊性，在于所求问题恰巧为二次项的系数，降低了试题难度，当目标函数更具有一般性时，利用数形结合和线性规划思想便成为解决问题的最佳途径. 若a,b∈R，对 ，均有(2a+b) x2+bx -a -1≤0 恒成立，求2a+3b的最大值. 原题：若a,b∈R，对 ，均有(2a+b) x2+bx -a -1≤0 恒成立，则2a+b 的最小值为 . 解析：①当 2a+b=0 时，b= -2a，此时不等式化为 -2ax -a -1≤0 即2ax +a+1≥0 对 恒成立， 分析：对二次项系数进行分类讨论，数形结合，列出关于a , b的不等式组， 再根据不等式组表示的平面区域得出目标函数的最优解. 2.问题推广 若a,b∈R，对 ，均有(2a+b) x2+bx -a -1≤0 恒成立，求2a+3b的最大值. ②当 2a+b > 0 时，只需将区间端点代入不等式即可， 由 得对应的可行域如图， 此时 2a +3b = t 过 A(-0.2 , 0.4) 时取得最大值，即 2.问题推广 若a,b∈R，对 ，均有(2a+b) x2+bx -a -1≤0 恒成立，求2a+3b的最大值. ③当 2a+b < 0 时，函数 f (x)=(2a+b)x2+bx -a -1的对称轴 ，可分 为三种情况： ⅰ）当 时， 满足 即 对应的平面区域如图，此时2a+3b=t 过O(0,0)时取得最大值， 即(2a +3b)max= 0 ⅰⅰ）当 时， 满足 即 对应的平面区域如图，此时2a+3b=t 过 时 取得最大值，即 ⅰⅰⅰ）当 时， 满足 ,即 对应的平面区域如图，此时2a+3b=t 过 C(-0.385,0.615)时 取得最大值，即(2a +3b)max= 1.075 体现了线性规划和数形结合的思想方法，更能解决具有一般性的问题 综上可得 3.知识融合拓展 四、试题研究 分析：首先用换元法设 ，然后原不等式转化为二次不等式 恒成立问题，接下来分类讨论，从线性规划角度思考，画出可行域， 问题迎刃而解. 已知对任意的 x∈ R，3a (sinx + cosx) + 2b sin2x ≤ 3（a,b∈R）恒成立，则当 a + b 取得最小值时，a 的值是 . 原题：若a,b∈R，对 ，均有(2a+b) x2+bx -a -1≤0 恒成立，求2a+b的最大值. 3.知识融合拓展 四、试题研究 解析：令 sinx+cosx = t，则 sin2x = t 2-1，不等式化为 3at+2b(t 2-1) ≤ 3 对任 意的 恒成立： 已知对任意的 x∈ R，3a (sinx + cosx) + 2b sin2x ≤ 3（a,b∈R）恒成立，则当 a + b 取得最小值时，a 的值是 . ①当 b=0 时，不等式为 3at ≤ 3 在 上恒成立， ②当 b<0 时，不等式 2bt2+3at-2b-3≤ 0，记 ，对称轴 根据对称轴的位置及其函数的单调性，可得 ③当 b>0 时， 表示开口向上的抛物线，只需端点函数值均为非正数即可 综上，可得点(a,b)在如图可行域内： 由图可知当直线 a+b=t 与椭圆 9a2+16b2+24b=0 相切于第三象限时，t 最小. 此时 通过以上拓展分析与题目设计，旨在帮助学生从不同角度深入理解和掌握二次函数恒成立及相关参数求解问题，提升学生综合运用数学知识和方法的能力，培养学生的创新思维和应变能力，以更好地应对高考及未来数学学习中的各种挑战. 原考题：若a,b∈R，对 ，均有(2a+b) x2+bx -a -1≤0 恒成立，则 2a+b的最小值为 . 问题推广：若a,b∈R，对 ，均有(2a+b) x2+bx -a -1≤0 恒成立，则 2a+3b的最小值为 . 拓展：已知对任意的 x∈ R，3a (sinx + cosx) + 2b sin2x ≤ 3（a,b∈R）恒成立， 则当 a + b 取得最小值时，a 的值是 . 五、教学引导 “已知不等式恒成立，求参数取值范围” 是高考数学的核心考点之一，这类问题综合性强，涉及函数、导数、不等式、方程等多个知识模块，对学生的逻辑推理、转化化归能力要求较高。 结合高考命题特点和学生常见难点，教师在教学（复习）中应明确核心目标与命题特点，做到 “有的放矢”；梳理常用方法，构建“方法体系”；聚焦易错点与难点，实现“精准突破”；设计变式练习，提升“实战能力”. $