【课件】“北京卷 第16题 ”-2025年第七届全国高考数学讲题比赛暨高考试卷分析研讨会（南部）

该高中数学课件以2025北京高考解三角形真题为核心，系统梳理正弦定理、余弦定理等定量方法，结合几何辅助线、向量法构建解题支架，衔接初中定性研究与高中定量探究，帮助学生形成知识脉络。 其亮点在于通过思维导图呈现多元解题思路，如向量法联系几何与代数体现数学思维，劣构性试题分析培养数学眼光，学生讲题点评强调逻辑细节提升数学语言表达。教师可借鉴多方法教学，学生能提升思维灵活性与严谨性。

讲解内容：北京卷第16题——解三角形 参赛同学：刘清元 黄浩茗 指导教师：刘雅文 李铮铮 北京景山学校远洋分校 在高中数学体系中占据核心地位，下面以2025年北京市高考题为例，谈谈解决问题的方法与思维过程. 分析与思维导图 （Ⅰ）思路1:正弦定理法 正弦定理 已知 （Ⅰ）思路2:几何辅助线法 思路2：辅助线 构造包含已知条件的 （Ⅱ）选项排除：我们需要注意“条件①”是不可以选的. （Ⅱ）思路1：面积法 余弦定理 思路3： 向量法 相关试题链接 学生讲题亮点评析 思路清晰，逻辑连贯：推导过程环环相扣，条理分明，让听者能快速跟进解题脉络 方法多元，视角开阔：拓展到向量、几何辅助线，对 “知识联系” 深刻理解，打破单一解题模式局限 关注细节，直击关键：对易错点的强调，在解题中既有 “解题技巧”，更有 “避坑意识”，体现数学严谨性 本道2025北京高考16题学生解决问题出错原因是，开始并没有阅读数学试题，标注关键数学信息。没有在读题时关注∠A为钝角，这个角是三角形中最大的角。刚才两位同学讲的非常好——瞻前顾后。本道劣构性试题，部分学生没有认真分析条件，没有分析第1问与第2问的联系，直接选条件①，没有借助内角和定理分析条件①有错，造成了解答问题出错。今后在解题过程中，要关注数学阅读能力的提升。 总结 第一问考查的是对正弦定理的定量运算,属于表象理解。大部分学生都可以很好地解决。第二问属于结构不良问题。相较于结构良好问题, 由于其初始状态、目标状态、中间状态中至少有一个是不确定的,因此在解决这类问题的过程中,需要学生从多个角度进行思考,通过对备选条件与已知条件的组合分析,考虑多种可能情况,寻找不同的问题解决路径。这种试题形式的命制,能很好地考查学生思维的系统性、灵活性。通过研究学生的解题策略,也可以清晰地看到学生的数学理解层次。 总结 本道2025北京高考16题充分考察了在解三角形中的对于三角函数、正弦定理、余弦定理等知识的应用，在解题时需要充分读题，分析已知条件的适用公式和情境，并且可以画图帮助理解. 另外，在解三角形的题目应用中，不仅可以使用高中学习的三角函数等知识，还可以联系使用几何方法直接作图分析求解，另外在学习了向量这一联系几何与代数的有力工具后，在求解几何题目中的长度、面积等代数问题时可以联想使用向量方法. 结束语 初中数学更多的是定性方式研究三角形，高中阶段更多是利用定量的手段对三角形进行研究。在研究过程中，我们通常利用的核心知识与工具有正弦定理，余弦定理以及它们的等价变形形式。 隐含知识与工具是三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，大边对大角，小边对小角。三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 结束语 解决三角形问题时，要明确已知条件中的边、角的数量关系，既有题目中直接给出的，也有隐含的需要我们进一步探究才能得出的条件，分析出所求问题与已知条件的关系，合理选取正、余弦定理及相关结论，同时关注知识的综合运用，从而达成解决所求问题的目标. 在解决劣构试题的过程中,学生要明确试题所涉及的知识,并对知识进行重新建构,设计解决问题的思路,主动产生知识间的联系,巩固、完善已有的知识体系.近年的高考中多次出现劣构型试题,对学生能力及素养的考察更全面,引起大家广泛关注. 结束语 试题呈现 在中,,． （Ⅰ）求c的值； （Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知，使得存在，求 BC 边上的高． 条件 ①：； 条件 ②：； 条件 ③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 已知，，所以可确定是一个钝角. 题目给出的值，要求出的值, 则需要一个链接的工具. 因此只需使用正弦定理即可求出的值 【解析】因为，所以，所以， 在中由正弦定理可得，因为，所以. 【分析】：是中边上的高.过点作，与直线交于. 因为已求出、已知、要求，所以我们可找出包含三个已知条件的三角形——. 在中利用的正弦值与的长度即可求出. 【解析】过作于.则， 因为，所以. 因为，所以，所以. 因为，所以由诱导公式，. 在中，，又因为，所以，即. 【证明】因为，，所以， 所以. 因为且，所以， 所以，所以， 与中矛盾. 所以条件①不可以选. 【分析】要想求出高可以利用面积与底边长，我们需求出a的值与的面积. 若要求出我们可以先求出的值，再利用余弦定理求出, 从而可以选条件③，这样就已知面积.又由于已知，即已知边上的高，就可求出边. 若选条件②可以利用公式即可求出面积. 【解析】选择条件③. 因为，又因为且且，所以. 在中，由余弦定理得=81，因为所以. 设上的高为，则，所以 【分析】选择条件②，或选择条件③并利用公式求出条件②. 利用正弦定理与条件②求出的值. 这时只需使用余弦定理求出便可利用正弦值公式求出或. 思路2：利用或求高 【解析】选择条件②.在中由正弦定理， 因为，所以，在中由余弦定理得，因为，所以.设上的高为，在中由正弦定理 ( i ) 将，，代入，解得，所以. ( ii ) 将，，代入，解得，所以. 【分析】先求出的值，利用向量和表示高，利用垂直求出再求出的长. 【解析】选择条件③.因为，又因为且且，所以.所以.因为D在AB上，所以，因为且垂直于，所以，，所以，解得，所以，所以. （2018年北京理科高考·15）在中，，，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求边上的高． （Ⅰ）在中，因为，所以．由正弦定理得．由题设知，所以．所以．（Ⅱ）在中，因为，所以边上的高为． （2024北京高考·16）在中，为钝角，，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）再从条件 ①、条件 ②、条件 ③ 这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件 ①：；条件 ②：；条件 ③：． 边上的高为 $