【课件】03“新高考1卷 第19题 ”-2025年第七届全国高考数学讲题比赛暨高考试卷分析研讨会（南部）

该高中数学课件聚焦三角函数化简与导数求最值，通过2025年高考真题呈现与思维导图导入，梳理三角恒等变换（倍角、和差角公式）与导数工具的联系，搭建从函数化简（换元为二次函数）到单调性分析的学习支架。 其亮点在于结合切比雪夫多项式溯源与多视角变式练习，运用分类讨论、转化化归等思维方法，培养逻辑推理与数学运算素养，例如通过不同三角公式化简函数展示思维灵活性。学生能提升思维敏捷性，教师可获得系统的教学资源支持。

参 赛 人：李英刚 罗仕明 罗超逸 所在单位：四川省资中县第三中学 四川省内江市第六中学 变换思维角度，探索解题思路 —以2025年全国一卷第19题为例 一 二 三 四 五 真题呈现 思维导图 试题解答 溯源与推广 变式与练习 六 建议与总结 目录 CONTENTS 真题 呈现 1 变换思维角度，探索解题思路 2025年高考数学（全国一卷）第19题 思维导图 2 变换思维角度，探索解题思路 2025年高考数学（全国一卷）第19题 切比雪夫妙理栽 倍角余弦巧展开 三角变换奇无穷 导数锋芒势若虹 恒等拆解藏玄机 求导探根显神通 试题解答 3 变换思维角度，探索解题思路 2025年高考数学（全国一卷）第19题 第一小问 的解答 两种化简 方式 变换思维角度 探索解题思路 第一小问 的解答 变换思维角度 探索解题思路 第一小问 的解答 变换思维角度 探索解题思路 对应相等 第一小问 的解答 变换思维角度 探索解题思路 第一小问 的解答 变换思维角度 探索解题思路 类比 第一小问 的解答 变换思维角度 探索解题思路 差化积 方便求极值点 第一小问 的解答 变换思维角度 探索解题思路 最值点必为极值点或区间端点 第一小问 的解答 变换思维角度 探索解题思路 对5x是否 在第一象限 进行分类讨论 第一小问 的解答 变换思维角度 探索解题思路 为了将余弦去掉 第一小问 的解答 变换思维角度 探索解题思路 构造位于 同一凹凸 区间的点 第二小问 的解答 变换思维角度 探索解题思路 讨论依据 第二小问 的解答 变换思维角度 探索解题思路 第二小问 的解答 变换思维角度 探索解题思路 函数值 为cosθ 第二小问 的解答 变换思维角度 探索解题思路 第二小问 的解答 变换思维角度 探索解题思路 第二小问 的解答 变换思维角度 探索解题思路 寻找矛盾 第二小问 的解答 变换思维角度 探索解题思路 分“锐、钝”角讨论 第二小问 的解答 变换思维角度 探索解题思路 先由周期性缩小a的范围，再根据定义域内是否含有θ、2π-θ进行分类讨论 第三小问 的解答 变换思维角度 探索解题思路 第三小问 的解答 变换思维角度 探索解题思路 缩小讨论范围 第三小问 的解答 变换思维角度 探索解题思路 多个极值比较大小 第三小问 的解答 变换思维角度 探索解题思路 第三小问 的解答 变换思维角度 探索解题思路 也可以 构造π-x 第三小问 的解答 变换思维角度 探索解题思路 先猜：由第（1）小 问的已有经验猜测 再证：由第（2）小问的已有经验猜测 第三小问 的解答 变换思维角度 探索解题思路 第三小问 的解答 变换思维角度 探索解题思路 第三小问 的解答 变换思维角度 探索解题思路 第三小问 的解答 变换思维角度 探索解题思路 变换思维角度 探索解题思路 变换思维角度 探索解题思路 溯源推广 4 【试题溯源一】 切比雪夫多项式 【试题溯源一】 切比雪夫多项式 ①偏差与偏差点的定义 设是定义在上的连续函数，定义与直线的偏差为 . 若存在满足，则称为直线的偏差点. 特别地，若有，称为正偏差点；若有，称为负偏差点. 【试题溯源二】 切比雪夫距离 ②两点间的切比雪夫距离 它是向量空间中的一种度量，二个点之间的距离定义为其各座标数值差绝对值的最大值. 以(x1,y1)和x2,y2)二点为例，其切比雪夫距离为max(|x2-x1|,|y2-y1|) 【试题溯源二】 切比雪夫距离 ③最佳逼近直线 记集合，若存在 使得对任意 ，恒有成立，则称为函数在切比雪夫意义下的最佳逼近直线. 将上式子改写成为式子 .即求函数最大值的最小值. 【试题溯源二】 切比雪夫距离 【试题溯源二】 切比雪夫距离 （2024年T8联考第19题）记 ，若 ，满足：对任意对任意 ，均有： 则称 为函数 在 上 “最接近”直线. 已知函数 ， 问： ①若 ，证明：对任意 ，； ②略 【试题溯源二】 切比雪夫距离 （2020年中学生学术能力诊断测试题） 设函数，若对于任意的实数a、b， 总存在，使得，则实数m的最大值为 . 【试题溯源二】 切比雪夫距离 评注：此题考虑其否定，即对于存在的实数a、b，对于任意，使得，即含参函数最大值的最小值，即“一动一定”的两函数图象间的切比雪夫距离的最小值.与高考真题第19题的第三小问非常类似. 如何 推广 哪些方向能变形、推广呢？ 运算法则 函数名称 指数次幂 倍角大小 具体与抽象 变式练习 5 建议总结 6 【备考建议】 研析考情定向：深入分析高考试题，把握命题趋势，聚焦能力立意，为复习精准定向，提升备考效率 回归教材固基：以教材为基础，深入挖掘知识点、探究内容及图表，筑牢知识根基 融合知识构架：综合题常涉及多知识点交叉，使知识结构化，便于理解、迁移和解题时快速调用 聚焦核心素养：复习应引导学生厘清数学知识本质，贯穿核心素养培养，提升其综合分析与应用能力 锤炼思维提能：培养思维灵活性与敏捷性，打破思维定式，引导学生根据题目特点选择最优解题方法 【结语】 近年来，高考数学的命题风格愈发凸显出综合性、层次性与能力导向性三大特征，尤其注重多知识模块的有机融合与思维能力的深度考察．在解题过程中，用不同的视角思考问题虽能获得多种不同方法，但方法的差异性较大，运算差异也大，数学思维是从具体运算向抽象本质的跃迁，这也便体现了数学能力的培养并非机械套用公式．当运用化归与转化策略化简复杂问题，或借助分类讨论厘清参数关系时，数学素养便在“拆解—重构”的思维训练中沉淀．这种素养的积累，远比“题海战术”更能赋予学生应对创新题型的从容与自信． 切比雪夫妙理栽，倍角余弦巧展开。 思维跃迁拓疆界，素养沉淀破雾来。 三角变换奇无穷，导数锋芒势若虹。 恒等拆解藏玄机，求导探根显神通。 高观本质素养现，初等解法思维开。 融会贯通自从容，数理光华照未来。 【试题】全国Ⅰ卷第19题 （1）求函数 在区间 的最大值； （2）给定 和 ，证明：存在 使得 ； （3）设 ，若存在 使得 对 恒成立，求b的最小值. 【试题解读】 第1小问是定义域给定且不含参数的与三角函数相关的函数最大值问题； 第2小问是定义域含参且解析式给定的与三角函数相关的函数存在性问题； 第3小问是多个参数的与三角函数相关的函数存在性与恒成立的综合问题. 【思路一】先化简函数f (x)，再利用导数获取函数单调性后求f (x)的最大值. 【解法1】 和差角与倍角公式 或 ， 由和差角公式结合二倍角公式或三倍角公式化简可知 ， 令 ， ，则 ， 求导得 ，因此 在 单增，在 单减. 因此f (x)在 单调递增，在 单调递减，故 . 【思路一】先化简函数f (x)，再利用导数获取函数单调性后求f (x)的最大值. 【解法1】 和差角与倍角公式 化简方式1： ，统一为余弦函数， 化简方式2： ， 【思路一】先化简函数f (x)，再利用导数获取函数单调性后求f (x)的最大值. 【解法2】 棣莫弗定理与n倍角公式 由棣莫弗定理 知 ，对复数 展开得： ， 则 . 代入化简得函数表达式： 接下来，同解法1求函数的最大值，即 . 【思路一】先化简函数f (x)，再利用导数获取函数单调性后求f (x)的最大值. 【解法3】 化简函数后不换元直接求最值 ， ， 由 ， 得极值点 ，因此f (x)在 单调递增，在 单调递减， 故 . 【思路二】不化简函数，直接求导获取函数单调性求最值. 【解法4】 直接求导后利用倍角公式化简导函数 由 ，得 ， 同化简f (x)的方法化简导函数 ，得 . . 因为 ， ，令 ，得 ， 故 在 上为增函数，在 为减函数， 故 在 上的最大值为 . 【思路二】不化简函数，直接求导获取函数单调性求最值. 【解法5】 直接求导后利用和差化积公式化简导函数 故 在 上为增函数，在 为减函数， 故 在 上的最大值为 . 【思路三】比较极值点与端点处的函数值大小，进而求得函数最值. 【解法6】 直接求导后利用和差化积公式化简导函数 为了求函数极值点，令 . 对于方程的变形有以下两种恒等变形方式： 方式1：解方程 ，由 解方程得 . 方式2：积化和差变形方程，即解方程 ，由 解方程得 . 通过比较函数值的大小，得 【思路四】分段讨论导数正负，获取函数单调性. 【解法7】 对定义域分段讨论 ， 当 时， ，则有 ，故 ； 当 时， ，则有 ，故 ； 当 时， ，则有 ，则有 ； 因此f (x)在 单调递增，在 单调递减，故 . 【思路五】不获取原函数单调性，通过不等式放缩求函数最值. 【解法8】利用均值不等式放缩求函数最大值 ， ，因为 ，为了凑常数，用六元均值不等式得： ，则 故 ，当且仅当 . 【思路五】不获取原函数单调性，通过不等式放缩求函数最值. 【解法9】利用琴生不等式放缩求函数最大值 为求函数最大值，不妨考虑 ， 余弦函数在 为上凸函数， 由琴生不等式 知 则 因此 (当且仅当 ，即 取等). 【思路一】函数思想解决不等式中的存在性问题 【解法1】分类讨论求函数的最小值 由 的周期 ，不妨设 ，故 ， . 考虑 在 的单调性，以 是否含有极小值点 进行讨论： ①当 时， 有 ， 所以 成立. ②当 时 由 知 在 要么单减，要么先增后减， 【思路一】函数思想解决不等式中的存在性问题 【解法1】分类讨论求函数的最小值 所以 ，由 ， 知 .则 成立 ③当 时 由 知 在 单增或先增后减， 所以 又由 ，得 ，则 成立 综上， ，则 ，使 成立. 【思路一】函数思想解决不等式中的存在性问题 【解法2】找特殊点刻画存在性问题 不妨设 ， ， ， 以区间 与 的位置关系进行讨论： ①当 时，由 ，取 ，则 成立； ②当 时，由 ， 取 ，则 成立； 综上可得： ，使 成立. 【思路二】解三角不等式 【解法3】利用三角函数图象解三角不等式 解不等式 ，解集为 ， 记区间 要证： ，使 . 即证： . 如图，由 与 之间的距离长度为 . 区间 的区间长度也为 ，知 ，得证. 【思路二】解三角不等式 【解法4】利用余弦线解三角不等式 如图，由余弦线可知：要使 ，只需 的终边落在阴影区域. 因为 . 所以考虑 在阴影或不在阴影区域的两种情况. ①若 取 ，即 得证. ②若 .即 . 此时 ，即 . 取 ，即 得证. 【思路三】若原命题的否定为假命题，则原命题为真命题. 【解法5】反证法 原命题的否定： ，均有 . ，则 与给定实数 矛盾，则原命题否定为假命题. 所以 使 . 【思路四】对含参定义域进行分类讨论. 【解法6】对参数θ分类讨论 由 ，考虑以下两种情况： ①当 时， . 因为 ， 所以 中必有一个小于等于 . ②当 时， , 且 . 故区间 与区间 长度之和为 .又因为余弦函数的周期为 ，所以 ，则 ，使 .综上： ， ，使 . 【思路四】对含参定义域进行分类讨论. 【解法7】对参数a分类讨论 由 ，考虑以下三种情况： ①当 时， ， 取 ，必有 ； ②当 时， ， 取 ，必有 ； ③当 时， ，取 ， 必有 . 【思路一】求函数 的最大值h(φ)的最小值. 【思路一】求函数 的最大值h(φ)的最小值. 【解法1】极值大小比较 本题转化为求函数 的最大值 的最小值. ，令 ，得 ， 或 ，则 ，或 ， . 所以 的最大值为 ， 由周期性不妨设 ， ， ， 【思路一】求函数 的最大值h(φ)的最小值. 【解法1】极值大小比较 由 知， ， ， ， ， ， ， 则 时，函数值最大，即 ， 【思路一】求函数 的最大值h(φ)的最小值. 【解法1】极值大小比较 所以 的最大值为 ，令 ， 又因为 使 ，所以 的最小值小于等于 . 由 知 ，所以 . 【思路一】求函数 的最大值h(φ)的最小值. 【解法2】利用不等式放缩求函数的最大值h(φ) ，由周期性不妨设 . 为求 ，必有 ， ， 不妨设 ，由琴生不等式知： ， 当且仅当 时， 取最大值 ，下同解法1. 【思路二】先猜后证：猜测当 时，函数最大值为 . 【根据特殊情况进行猜想】 当φ=0时， 由第(1)小问知故 在 ， 上为增函数，在 为减函数. 故 时， .而 为偶函数，则 时 .因为 周期为 ，则对 ，有 . 猜测 为 的最大值的最小值. 即证：当φ≠0时， 的最大值不小于 . 【思路二】先猜后证：猜测当 时，函数最大值为 . 【解法3】取特殊点进行证明一般性 证明如下： 要证：当φ≠0时， 的最大值不小于 . 即证：当 时， ，有 成立， 取 ，则 .则 ，得证. 所以 的最大值的最小值为 ，即 . 【思路二】先猜后证：猜测当 时，函数最大值为 . 【解法4】类比第二小问解法进行证明一般性 要使 ，有 成立； 只需 成立；不妨取 ，此时 .由第(2)小问知若 必有 使 .则取 ，必有 . 即 ,则 的最大值≥ . 故 的最大值的最小值为 .即 . 【思路三】转化为两函数间的切比雪夫距离： . 【解法5】（几何法）切比雪夫距离 定义两函数间的切比雪夫距离为 . 由问题(1)知 .即 的切比雪夫距离为 . 如图，当 或 时，线段AB、CD的长度均为 . 【思路三】转化为两函数间的切比雪夫距离： . 【解法5】（几何法）切比雪夫距离 令 ，其图象可看作由 的图象向左或向右平移. 如下图，当 向左平移时，显然 ；同理，当 向右平 移时，显然 ；则 的最小值大于等于 . 因此 的最大值的最小值为 . （2010·福建高考T15）观察下列等式： ①cos 2α＝2cos2α－1； ②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1； ③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1； ④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1； ⑤cos 10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1. 可以推测m－n＋p＝ . (苏教版教材 阅读材料题)由倍角公式 ，可知 可以表示为 的二次多项式．对于 ，我们有 EMBED Equation.DSMT4 ．可见 可以表示为 的三次多项式．一般地，存在一个 次多项式 ，使得 ，这些多项式 称为切比雪夫多项式． 请尝试求出 ，即用一个 的四次多项式来表示 ．利用结论 ，求出 的值? ④两个函数间的切比雪夫距离 它是衡量两个函数之间差异的一种方式. 对于定义在区间 上的两个函数 和 ，它们的切比雪夫距离为 . 即在区间 上，函数 和 的差值的绝对值的最大值. 两个函数间的切比雪夫距离的几何意义：两个函数图像之间的“铅垂距离”的最大值. （1）求函数 在区间 的最大值； （2）给定 和 ，证明：存在 使得 ； （3）设 ，若存在 使得 对 恒成立，求b的最小值. 【试题推广】 五种不同视角对高考试题进行推广 改变“运算法则”进行推广1 推广1-1 设函数 ，求 在R上的最大值. 推广1-2 设函数 ，求f2(x)在R上的最大值. 改变“函数名称”进行推广2 推广2-1 设函数 ，求g1(x)在R上的最大值. 推广2-2 设函数 ，求 在R上的最大值. 【试题推广】 五种不同视角对高考试题进行推广 改变“指数次幂”进行推广3 推广3-1设函数 ，求 在R上的最大值. 推广3-2设函数 ，求 在R上的最大值. 【试题推广】 五种不同视角对高考试题进行推广 改变“倍角大小”进行推广4 推广4-1 若 (n为正整数)，则 在R上的最大值为 . 推广4-2 给定正整数n，若函数 ，不妨设 ，则f(x)在R上的最大值为 . 【试题推广】 五种不同视角对高考试题进行推广 从具体函数到抽象函数进行推广5 推广5-1 给定正整数n，有函数 ， 存在最大值为 ，其中 是周期为T的偶函数，且 在区间 上单调递减，则存在实数使得对 都有 ，那么b的最小值是 . 【推广试题解析】 (知识准备)琴生不等式：若函数 图像在定义域 上连续不断，且对任意 ，恒有 ，则称函数 是区间 上的上凸函数；恒有 ，则称函数 是区间 上的下凸函数（也称凹函数）.将不等式(以上凸为例)推广：若 是上凸函数，对任意 ，有 ， 当且仅当 时等号成立，这个不等式即为著名的琴生不等式. 【推广试题解析】 推广1-1 设函数 ，求 在R上的最大值. 推广1-2 设函数 ，求f2(x)在R上的最大值. 解析如下： （1-1） ， 时取最大值6. （1-2） ， 由极值点为 或 ， ，得f2(x)取最大值为5. 【推广试题解析】 推广2-1 设函数 ，求g1(x)在R上的最大值. 推广2-2 设函数 ，求 在R上的最大值. 解析如下： （2-1） ，当 时取最大值3. （1-2） ，极值点为 或 ， ，当 时， ，此时 ，所以 的最大值为5. 【推广试题解析】 推广3-1 设函数 ，求 在R上的最大值. 推广3-2 设函数 ，求 在R上的最大值 解析如下： （3-1） 因为 是周期为 的函数，不妨设 令 ， ，则 ，则y(t)= -t5+5t. 求导后得最大值为1. （3-2） 同（3-1）解法得最大值为1. 【推广试题解析】 推广4-1 若 (n为正整数)，则 在R上的最大值为 . 解析如下： 是周期为 的偶函数，不妨设 ，则 ，由余弦函数的凹凸性可使用琴生不等式： ， 当且仅当 ，即 时取等号，所以 的最大值为 . 【推广试题解析】 推广4-2 给定正整数n，若函数 ，不妨设 ，则f(x)在R上的最大值为 . 解析如下：因为f(x)是周期为2π的偶函数， ， 不妨设 ，则 ，由余弦函数的凹凸性可使用琴生不等式， ，当且仅当 ，即 时取等号，所以f(x)的最大值为 . 【推广试题解析】 推广5-1 给定正整数n，有函数 ， 存在最大值为 ，其中 是周期为T的偶函数，且 在区间 上单调递减，则存在实数使得对 都有 ，那么b的最小值是 . 解析如下：当 时，由题干可知 最大值为 ，所以 ，当 时，下面证明总存在 ，使得 成立，不妨设 【推广试题解析】 ，则 ，因为 是周期为T的偶函数， 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 恒成立，同理易知存在 ，使得 ，所以 ，有 成立，又因为存在 ，使得 ，所以总存在实数，使得对 都有 ,所以 ．综上，b的最小值是 . 【变式练习】 练习1 已知对任意正整数 ，均有 ， 我们称 为 次切比雪夫函数. (1)若 为3次切比雪夫函数，求 的值. (2)已知 为 次切比雪夫函数，若数列 满足 . 证明：①数列 中的每一项均为 的零点； ②当 时， . 【变式练习】 练习2 已知函数 ． (1)当 时，判断 的奇偶性； (2)当 为偶数时，方程 有解，求 的最小值； (3)若存在 ，使得关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 练习3 已知△ABC的三边长为有理数 (1)求证cosA是有理数 (2)对任意正整数n，求证cosnA也是有理数 $