【课件】01“北京卷 第20题 “-2025年第七届全国高考数学讲题比赛暨高考试卷分析研讨会（南部）

该高中数学课件聚焦导数应用，以2025年北京高考导数题为核心，系统呈现函数最值、切线证明、代数式范围等问题的解题思路。通过“认知栈道”设计，从直观到抽象拆解微积分思维，抽离“原函数”扶手，搭建高中与大学数学思维的衔接支架。 其亮点在于融合数学眼光与思维，试题溯源联系2013北京卷、2024上海卷等真题及教材拓广探究，采用代数推理与几何直观双解法，培养学生抽象能力与创新意识。教学启示强调素养培育，弱化超前灌输，助力学生提升探究能力，教师优化教学效率。

北京卷第20题 抽象与直观——回归本质解决导数问题 参赛人：官琪、胡周杰、刘杨 所在单位：北京市海淀区北京市育英学校 引言 导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数性质的基本工具。 高中导数课程的真正价值，并非教会学生算几个极值、最值，而是提前把学生进入大学后进一步学习所需的“极限感、符号翻译能力、以直代曲”等思维的种子提前埋进认知的土壤。 引言 当学生步入大学校园，这些种子会在、雅可比、泰勒、梯度、流形等阳光下同步发芽，最终长成能够支撑现代分析学、优化理论与应用数学的参天大树。 因此，高中导数教学应该像一条精心设计的“认知栈道”，把大学微积分那座云雾缭绕的抽象高峰拆解成逐级抬升的台阶：每一步都保留直观扶手，又悄悄把扶手换成更抽象的材质，让学生在无意识中完成从“看得见”到“想得深”的跨越。 引言 2025年北京高考导数题尝试悄悄抽离“原函数”这一扶手，留给今年考生和数学教师诸多讨论和思考。 【试题呈现】 已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； (3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 【试题分析】 令，求得唯一极大值点 得在递增，在递减 求解 令 得到 求最大值 第（1）问 突破迷雾 促使反思 原函数表达式并非必需，面对陌生情境需回归问题本质。 启发思路 该问处理策略为后续“无原函数”情境解决提供了思路。 【试题详解】 第（1）问 突破迷雾 设，， 由可得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的最大值为. 【试题分析】 第（2）问 洞悉本质 淡化函数形式 凸显一般方法 该过程淡化具体函数，凸显“以导数研究函数”的一般方法，对学生的抽象能力与工具运用提出了更高要求。 思考的图象变化 先求得 转化为证明在,当时 写出曲线在处的切线 根据的正负值判断 聚焦和大小关系，得 分类 讨论 【试题详解】 第（2）问 洞悉本质 直线的方程为，即 设，求得， 由（1）可知，在单调递增，而， 所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，而当时，，所以总有，单调递增. 故，从而命题得证. 求解代数式范围 几何角度 写出直线和解析式 求得与轴交点横坐标和 将和代入代数式中 化简得到 由（1）中范围，求得结果 绘制出直线和及其与轴交点 寻找所求代数式几何意义，即 关注点A处切线斜率为,经三角恒等变形 得到所求代数式为 基于代数结构变形 【试题分析】 代数角度 第（3）问 多元联系 【试题详解】 第（3）问 多元联系 解法一：代数角度 由题意得，直线， 直线， 所以，， 当时，，在上单调递增，所以， 【试题详解】 第（3）问 多元联系 解法一：代数角度 所以 由(1)得当时，，得，， 得到. 【试题详解】 第（3）问 多元联系 解法二：几何角度 如图，记直线与轴交点分别为，则横坐标分别为.取线段中点，连接。过点作轴垂线，交轴于点. 则，由，， 且由，. 【试题详解】 第（3）问 多元联系 解法二：几何角度 其中，. 【试题详解】 第（3）问 多元联系 解法二：几何角度 则，由(1)可得当时，]， 所以]，，所以. 【试题详解】 第（3）问 多元联系 解法二：几何角度 则，由(1)可得当时，]， 所以]，，所以. 【试题溯源1】 构造函数 构造函数证明问题是高考导数中的热门命题点，如何准确地理解题意，并且把题意翻译表示为代数表达式，是非常考验同学们的能力的地方。 2025年的高考题被很多老师认为是13年北京卷18题的高仿版和威力加强版。 【试题溯源1】 构造函数 （2013·北京·高考真题18）设l为曲线C：在点(1，0)处的切线. (1)求l的方程； (2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方. 【试题溯源1】 构造函数 【详解】(1)设f(x)＝，则f′(x)＝ ，f′(1)＝1，则l方程y＝x－1. (2)证明：令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外， 曲线C在直线下方等价于g(x)>0(∀x>0，x≠1)． g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x). 当0＜x＜1时，x2－1＜0，ln x＜0，所以g′(x)＜0，故g(x)单调递减； 当x>1时，x2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增． 所以，g(x)>g(1)＝0(∀x>0，x≠1)．所以除切点之外，曲线C在直线下方． 【试题溯源1】 构造函数 2024年丰台一模则将该类型的题目发挥到了极致，命题设计的函数类似，在的切线类似在原点处的切线，切线都是横穿曲线。 【试题溯源1】 构造函数 （2024·北京丰台·一模）已知函数，曲线在点处的切线为，记 ． (1)当时，求切线的方程； (2)在（1）的条件下，求函数的零点并证明； (3)当时，直接写出函数的零点个数．（结论不要求证明） 【试题溯源1】 构造函数 做完该题，有熟悉拉格朗日中值定理证明的同学认为该题（2）的证明方法很像该定理的证明方法。我们参考同济版《高等数学》第七版P127页关于拉格朗日定理构造辅助函数的证明： 【试题溯源2】 直线和切线垂直问题 第三问的直线和切线垂直相关问题非常经典，可追溯至2019人教A版P82页拓广探究。 【试题溯源2】 直线和切线垂直问题 高考题中考察垂直的有2020年全国卷，考察平行关系的更多，有15年山东卷，有18年北京卷和天津卷。而和25年北京卷第三问最相仿的有24年上海卷第二问。 【试题溯源2】 直线和切线垂直问题 （2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”． (1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”； (2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点P处的切线垂直； 【试题溯源2】 直线和切线垂直问题 （2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”． (3)已知在定义域R上存在导函数，且函数在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性． 【拓展延伸】 试题命制 （自编训练题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最小值； (2)除切点A外，若曲线在直线的上方，求这时的范围？ (3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 【拓展延伸】 试题分析 从的解析式可以看出，高中生要观察得到的原函数会更加困难，即使学过积分的高三学生可能也不一定能积出来，基本断绝了学生运用原函数做工作的可能性，摒弃对具体函数形式的依赖，回归问题本质。 【拓展延伸】 试题分析 从上图可看出在上有2个拐点，， 【拓展延伸】 试题命制 故第（3）问还可以设置的更难一点，变成（4）： （4）设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 因为 这样在求解范围的最小值时需要比较两个拐点的大小才能求出最小值。 【拓展延伸】 试题命制 另外从直角三角形的射影定理出发，根据几何性质，设计问题（5）： （5）设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，试探究是否为定值，若是求出定值，若不是请说明理由。此问表面看貌似韦达定理形式，实则是射影定理的代数形式。 【教学启示】 1.以评促教 实现从 “知识传授” 到 “素养培育” 的转向。 2.立足课标 搭建 “具体到抽象” 的衔接桥梁，弱化高等知识超前灌输。 3.着眼长远 将导数学习转化为可持续的思想训练。 $