【课件】“天津卷 第14题 ”-2025年第七届全国高考数学讲题比赛暨高考试卷分析研讨会（北部）

该高中数学课件聚焦平面向量数量积综合运算，以三角形中点及定比分点为几何载体，通过基底法、坐标法引导学生用向量基本定理表示向量AE，搭建从几何图形建模到数量积计算的学习支架，衔接向量表示与模长、垂直关系的应用。 其亮点在于融合几何直观与代数运算，通过一题多解（如基底法分解向量、坐标法设点计算）和变式训练（从定点E到动点E求取值范围），培养学生数学思维中的推理能力与运算能力。教师可借助动态几何问题分析提升教学效率，学生能深化对向量综合应用的理解，发展数学眼光与模型意识。

推理为经，运算为纬，织就几何代数交融的思维脉络 ——天津卷第14题 参赛教师：陈琳 李倩 王倩 指导教师：肖伟华 所在单位：天津市滨海新区塘沽第一中学 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 一、题目呈现 （2025年天津卷第14题） 整 体 分 析 题目条件涉及多个点 几何关系转化为向量关系 向量平行四边形法则 向量三角形法则 涉及模长及向量垂直 数量积运算 基底法 定义法 坐标法 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 二、过程分析 利用基底法解决向量数量积问题 思路一基底法 进行模长和垂直表达建立方程组直接求解 进行模长和垂直表达建立方程组待定系数求解 利用垂直关系及模长再进行数量积运算 建立方程组求解参数再进行数量积运算 挖掘垂直关系 思路二定义法 数量积定义中投影向量转化 利用模长得出结果 合理选择坐标系 思路三坐标法 利用坐标运算解决问题 巧妙表示点坐标 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 二、过程分析 利用基底法解决向量数量积问题 思路一基底法 进行模长和垂直表达建立方程组直接求解 进行模长和垂直表达建立方程组待定系数求解 利用垂直关系及模长再进行数量积运算 建立方程组求解参数再进行数量积运算 挖掘垂直关系 思路二定义法 数量积定义中投影向量转化 利用模长得出结果 合理选择坐标系 思路三坐标法 利用坐标运算解决问题 巧妙表示点坐标 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （2025年天津卷第14题） A B C D E 2 1 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路一：用基底思想解决向量数量积问题 A B C D E 解法一： 由于，， 又因为，代入得到基底表达式： 根据已知，将基底表达式平方后得到： 再根据已知，得到 化简得：，代入可得： 所求 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路一：用基底思想解决向量数量积问题 解法二： 基底表达式： 利用模长可得： 再根据已知，得到 所求 待定系数列方程组得： 代入验证：满足条件 所求 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路一：用基底思想解决向量数量积问题 解法三： 根据题意，可得基底表达式：， 所以， 可得 所求 A B C D E 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路一：用基底思想解决向量数量积问题 解法四： 设，即，， 又因为 列出方程组求解： 所求 A B C D E 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 基底 表示 利用 模长 利用 垂直 联立 代入 化简 基底 表示 利用 模长 利用 垂直 待定系数 代入 验证 解方 程组 基底 表示 运用 公式 利用垂直 利用模长 基底 表示 利用基底 展开表达式 联立 计算 数量积 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 基底为舟渡数洋，拆分万象入诗行。 正交斜向支梁柱，动静权衡定纪纲。 夹角模长依序解，共趋轨迹顺藤量。 千般变换归根本，握此金针破雾茫。 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 二、过程分析 利用基底法解决向量数量积问题 思路一基底法 进行模长和垂直表达建立方程组直接求解 进行模长和垂直表达建立方程组待定系数求解 利用垂直关系及模长再进行数量积运算 建立方程组求解参数再进行数量积运算 挖掘垂直关系 思路二定义法 数量积定义中投影向量转化 利用模长得出结果 合理选择坐标系 思路三坐标法 利用坐标运算解决问题 巧妙表示点坐标 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路二：利用投影向量的几何意义，解决向量数量积问题 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 =(设) === + ==1得，，从而得到=1 思路二：利用投影向量的几何意义，解决向量数量积问题 延长交于则有 + 利用比例关系 得到的长度 利用向量共线定理找到垂足位置关系 利用 数量积 定义 得出结果 利用投影向量转化 B 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路二：利用投影向量的几何意义，解决向量数量积问题 分析位置关系 图形具体化 数量积问题简化为线段长度问题 追本溯源 人教版必修二第24页拓展探索21题 复杂问题简单化 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 二、过程分析 利用基底法解决向量数量积问题 思路一基底法 进行模长和垂直表达建立方程组直接求解 进行模长和垂直表达建立方程组待定系数求解 利用垂直关系及模长再进行数量积运算 建立方程组求解参数再进行数量积运算 挖掘垂直关系 思路二定义法 数量积定义中投影向量转化 利用模长得出结果 合理选择坐标系 思路三坐标法 利用坐标运算解决问题 巧妙表示点坐标 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路三：用建系思想解决向量数量积问题 垂直建系 写出点坐标 设未知量 算出点纵坐标 列方程 利用相似 设而不求 代入计算 得出结果 B 相似比为1:3， 设 ，易知 2 2 因为 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 投影为锋破雾纱，数形相映绽奇花 垂踪映影藏机巧，模长夹角入理嘉 数轴纵横织锦章，坐标妙解向量长 点列成序藏玄理，数对为匙启秘房 数形相映通幽径，一卷风云墨里彰 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 优先级 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 改编Ⅰ 改条件： A B C D M H ，因为 E 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 代数 几何 平面向量 数 形 B A C D M E 知二求二 A B C D E F P 当三角形两边上的定比分点比例已知时，连接三角形顶点与对应分点所得线段的交点，会将其所在线段分割成特定比例，该比例同样可求. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 改编Ⅱ 改结论： A B C D M E 若点是线段上的动点，求 的最小值 Q 由前面解题过程中得知： 所以根据基本不等式： 投影向量 即最小值为-9 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 改编Ⅲ 改条件+结论： A B C D M E 若点是线段上的动点 求 的取值范围 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 改编Ⅲ 改条件+结论 A B C D M E 改编Ⅲ 原题 条件 点E为线段定点 点E为线段上的动点 结论 =（定值） 基底法 定义法 建系法 确定数据的代数运算 的取值范围 关于的表达式 函数值域问题 共线向量 知识方法 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 ) 求 的取值范围. A B C D M E ， H 1- 1- 1 = 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 三、要点梳理 平面向量数量积的综合运算 向量模长与夹角的计算 平面向量基本定理应用 几何图形背景下的向量建模 基本不等式在向量最值中的应用 坐标法与基底法的灵活选择 以几何图形为载体 代数与几何的结合 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 “重几何，强计算”，强化核心能力 重点突破基底法与坐标法的灵活切换 中国高考评价体系说明中指出：新高考的调整，减少对静态知识的直接考查，而将考查重点放在能力和素养的培养过程中必须具备的可迁移的知识上。 三、要点梳理 训练动态几何问题的分析能力 加强投影向量的深度理解 强化共线向量分解技巧 动态几何与探索 跨章节综合探究 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 平实厚重承一脉，基础中档显锋芒； 函数图形描幻梦，几何架构筑宏篇； 方程巧解迷津破，思维计算两相彰； 教材为本破刷题，通法寻真育栋梁。 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 $