【课件】“上海卷 第11题 ”-2025年第七届全国高考数学讲题比赛暨高考试卷分析研讨会（北部）

该高中数学课件聚焦解三角形的实际应用，以生活中影子投射斜面为情境导入，关联教材中测量问题例题，搭建“情境感知-模型构建-多法求解”的学习支架，帮助学生衔接几何直观与抽象建模。 其亮点在于通过化斜为直、正余弦定理等四种解法发展数学思维，结合影子现象培养数学眼光，教材溯源与类题改编强化知识迁移。实例中用相似三角形推导比例关系求θ≈12.58°，学生提升逻辑推理与建模能力，教师可高效落实素养导向教学。

解法多元拓思维，溯源究理现真知 ——2025年上海市高考数学试卷（秋季）第11题的多解研究及背景分析 参赛人：刘燕 所在单位：上海市闵行中学 参赛人：沈思妍 所在单位：上海市华东师范大学附属枫泾中学 目录 01 真题再现 02 试题解析 03 教学建议 04 教材问源 05 类题改编 06 教学启发 真题再现 试题解析 绘制几何示意图 ① ② 同角平方关系 构造法 教学建议 教材问源 “母子”模型 开放性作业 类题改编 教学启发 深挖课标要求 善用教材例题 避免脱离课标 深耕教材本源 构建知识网络 重视通性通法的迁移应用，落实基础知识的融合与逻辑推理能力 聚焦通性通法 发展思维品质 以情境为载体，融合数形双视角，在问题解决中沉淀数学思想，培育逻辑推理、数学建模等核心素养 融合素养培育 创新教学实践 小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为 、 ，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米，则斜面的底角 ．（结果用角度制表示，精确到 ） 本题以物体在太阳光下形成影子的自然现象为背景，巧妙借助两根细直杆来构建测量模型，要求学生能够准确绘制几何示意图，建立合理的三角关系模型，并灵活运用正弦定理或余弦定理等三角学知识，通过最优化的计算路径来求解斜面的底角． 线段 ， 所在直线为光线， ， 是旗杆，接触点 的旗杆影子在水平面上，接触点 的旗杆影子完全在斜面上，不妨设旗杆 的影子为 ，旗杆 的影子为 ，由题可知 ， ， ． 思路二：正弦定理 思路三：余弦定理 思路四：面积公式 提取关键信息，建立三角关系模型，求解斜面的底角 ． 思路一：化斜为直 过 作平行于水平面的直线交 的延长线于 ． 由△ △ ， 得 ， 利用计算器求解 ． 思路一：化斜为直 设 ，由勾股定理得， ， 通过解得 ，求解 ． 过 作平行于水平面的直线交 的延长线于 ，如图， 方法1：由题 且 ，那么 ， ， 因为阳光可视为平行光，所以 ，所以△ △ ， 则 ，即 ， 利用计算器即可得 ． （卡西欧fx-991CNX计算器的“SOLVE”功能） 方法2：由题 ， 在 处满足 ，故设 ，则 ， 在△ 中，由勾股定理得， ， 解得 ，于是 ． 思路二：正弦定理 在△ 中， 由正弦定理得 ， 且 ， 同时 ， 所以求解 ． 过 作平行于水平面的直线交 的于 ． 方法3：过 作平行于水平面的直线交 的于 ，如图，则 ， 在△ 中，由正弦定理得 ，又 ， 那么 ，又 ，于是 ， 又 ， 所以 ， 解得 ． 思路二：正弦定理 在△ 中， 由正弦定理得 ， 又 ， 则 ， 又 ， 所以求解 ． 延长 、 交直线 的延长线于 、 ． 方法4：延长 、 交直线 的延长线于 、 ，如图， 在△ 中，由正弦定理得 ， 又 则 ，又 ， 解得 ． 过 作平行于水平面的直线交 的延长线于 ． 在△ 中，由余弦定理得 ， 在△ 中， ， 所以 ， 所以求解 ． 思路三：余弦定理 过 作平行于水平面的直线交 的延长线于 ，如图， 方法5：在△ 中，由余弦定理得 ， 解得 ， 在△ 中， ，又 ， 所以 ， 解得 ． 过 作平行于水平面的直线交 的于 ． 根据 ， 则 ， 化简 ① 思路四：面积公式 过 作平行于水平面的直线交 的于 ，如图，所以 ， 根据 ， 那么 ， 又 ， 化简得即 ，① 方法6：将①式平方， 可得 ，② 因为 ，③ 联立②③得， ， 解得 ． 方法7：已知 ①， ②， 将 得： ，即 又 ③，且 ， ， 那么 ，④ 于是联立③④ ， 解得 ． 本题的多种解法并非偶然所得，而是基于对问题特征的深度剖析与数学思维方法的应用．教学中，可以先让学生尝试最直观的“化斜为直”法，把复杂图形简单化，培养学生空间想象、图形转化能力，再引导用正弦、余弦定理规范求解，通过找准三角形，套用公式，培养模型建立、逻辑推理能力，最后鼓励学有余力的学生探索面积法，比较不同解题方法的优劣，通过换个角度思考问题来培养学生创新思维能力． （沪教版高中数学必修二第50页例10）金茂大厦是改革开放以来上海出现的超高层标志性建筑．有一位测量爱好者在与金茂大厦底部同一水平线上的 处测得金茂大厦顶部 的仰角为 ，再向金茂大厦前进 到达 处，测得金茂大厦顶部 的仰角为 ．请根据以上数据估算出金茂大厦的高度．（结果精确到 ）． 如图7，构造的两个直角三角形 和 组成了“母子”模型，其中 是两个直角三角形公共的直角边． 是沟通两个直角三角形之间边角关系的重要“桥梁”． 如图，金茂大厦作为上海的超高层地标建筑，建筑高度为 ，金茂大厦底部 位于河 的一侧，有一位测量爱好者位于河岸另一侧点 处，其手中有一个测角器和一个可以测量长度的皮尺． 请设计一种测量方案（不允许过河），并给出计算建筑物的高度 及距离 的公式． $