【课件】“北京卷 第21题 ”-2025年第七届全国高考数学讲题比赛暨高考试卷分析研讨会（北部）

该高中数学课件以骑士巡游问题为情境，围绕K列定义（相邻项横纵变化3和4或4和3）展开，通过国际象棋骑士走法导入，搭建从集合坐标到奇偶性分析的学习支架，涵盖求项、判断共存、证明非遍历等问题，衔接新定义与集合、逻辑推理知识。 其亮点在于融合数学抽象（抽象K列概念）、逻辑推理（反证法分析矛盾）和数学建模（棋盘区域划分），如第2问用颜色与区域交替性证两点不能同列，第3问用区域数量证全元素非K列。采用情境驱动和多思路辨析，助力学生提升综合思维，为教师提供落实核心素养的优质案例。

骑士巡游问题的奥秘与延伸 ——基于2025 年北京卷第 21 题 参赛人：王顺吉 张傲广 李承龙 所在单位：河南大学附属中学 已知集合，从中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或则称该序列为K列． 1 试题呈现 (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 1 试题呈现 在国际象棋的8×8棋盘上，骑士可以走一个1×2的格子，类似于中国象棋里面的的马可以走“日”，如图所示： 问题:是否存在一个走法，骑士可以从某个格子出发，走遍整个棋盘的每个格子后回到原来的格子，且不会重复落在同一个位置两次? 背景关联 这个问题叫做 Knight‘s Tour Problem(骑士巡游问题).后来，人们将这个问题的棋盘推广到棋盘，走法也进行了推广。 背景关联 或 将1×2的走法改为4×3或者3×4的走法。 (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 1 试题呈现 （1）首先，理解题意，题目中K列的定义是相邻两项的坐标变化必须满足以下两种模式之一，即模式1为横坐标变化±3，纵坐标变化±4. 2 试题分析： 第（1）问的分析 （舍） （舍）   有效解(6,7) 模式1 模式2为横坐标变化±4，纵坐标变化±3.但是需要满足约束条件：由于，变化后的坐标必须在1到8之间，否则无效。 2 试题分析： 第（1）问的分析   （舍） （舍）   有效解(7,6) 模式2 对应到棋盘上就是，骑士位于的位置，下一步只能往哪个地方跳跃？ 由图易得，下一步只能在或者是两个位置上。 第（1）问的分析 第（1）问解答 （1）根据题目定义可知， 或， 若第一项为，显然或不符合题意（不在集合中），所以下一项是或； (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 1 试题呈现 题中判断，能否同时为中的项。 对应棋盘游戏就是，骑士在方块，能否按照4×3或者3×4的走法，走若干次之后，到达的位置？ 第（2）问的分析 黑色格子： ； 白色方格： 奇数。 第（2）问的分析 即每个格子坐标为其中 按照3×4走法，骑士从黑格一定跳到白格，白格一定跳到黑格。 与的奇偶性一定是相反的。 第（2）问的分析——思路① 白色格子到黑色格子必须跳跃若干奇数次. 若和同时在列 1.从格子的颜色分析： 和同时在红色区域， 必须经历经历偶数次。 第（2）问的分析——思路① 2.从格子所在区域分析： 当i为奇数时，，记为绿色区域； 当i为偶数时，，记为红色区域。 i为奇数、偶数交替进行 骑士在红色区域和绿色区域交替跳跃 和同时在红色区域， 必须经历经历偶数次。 第（2）问的分析——思路① 2.从格子所在区域分析： 白色格子到黑色格子必须跳跃若干奇数次 1.从格子的颜色分析： 矛盾 第（2）问的解答 假设二者同时出现在中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设在之前。显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从到必定要向下一项走奇数次. 但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在偶数项集合中，所以从到必定要向下一项走偶数次. 这导致矛盾，所以二者不能同时出现在中. (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 1 试题呈现 在这个K列，能不能取遍所有的元素。棋子从任何一个位置出发，能不能按照4×3或者3×4走完所有的格子。 第（3）问的分析——思路① 16个 16个 16个 16个 现在有两个规则： ①黑格和白格一定是依次交替的； 第（3）问的分析——思路① 现在有两个规则： ②由绿色区域出发，下一个一定是红色； 由红色区域出发，下一个可能是绿色也可能是红色。 第（3）问的分析——思路① 可能1：绿、红区域交替 如果从绿色区域的黑色格子出发，下一个只能是红色区域的白格，依次...... 始终走不到绿白格子，和红黑格子，不符合题意。 第（3）问的分析——思路① …… 可能2：红色到红色 如果从红色区域的黑色格子出发，下一个可能跳到红色区域的白格，那会是什么情况？ 由红色到红色格子，可能会出现几次，出现在第几次？ 第（3）问的分析——思路① 第（3）问的分析——思路① 我们知道，红色格子和绿色格子分别有32个，要想全部取完，必须依次交替 保持（绿红）或者是（红绿）交替进行，因此，（红红）只能是出现在中间的一步，且只有1次。 32个 32个 将这个表格行列转过来，也是符合相同情况。 最后，颜色相同的步只能在这个红色和紫色的公共区域里面跳跃。显然是不符合3*4或者4*3的规则的，矛盾。 综上所述，不存在。 第（3）问的分析——思路① 若中的所有元素构成K列，第（2）问只让。 现在我们“取两遍”，让，的项共有个方格，在图中的绿色区域。 第（3）问的分析——思路② 由题知， 或， 第（3）问的分析——思路② 1 2 7 8 4 5 4 5 5 6 3 4 考虑K列中形如中的6、3只能由2、7同时±4得到。 所以只能取黄色区域中的12个方格。 1 2 7 8 4 5 4 5 5 6 3 4 第（3）问的分析——思路② 即中有16个点，有12个点。 √ √ × × 即中有16个点，有12个点，无法不重复连完。 第（3）问的分析——思路② 结合第（2）问，若中的所有元素构成K列，第（2）问只让，现在我们“取两遍”，让，考虑K列中形如的项共有个， 由题知其下一项为，共计16个， 而根据题意，因为只能6由2来，3只能由7来，横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点，如图3，即对于16个，有12个与之相对应，与题设矛盾．故由M的全部元素组成的序列都不是K列． 第（3）问的解答 超级国际象棋棋盘是一个12×12的方格表，超级马由3×4(或4×3)方格表的一个角上的方格跳到相对角上的方格(如图，可以由方格A跳到方格B)，试问： 超级马能否到遍每个方格刚好一次并回到出发点? 题目推广——棋盘变化 题目推广——棋盘变化 解法： 如图，我们将棋盘中的第1，2，6，7，11，12列中的方格绿色区域集合记为S，将其余各列中的方格集合记为M。 注意：集合S与M中包含相同多个方格，所以在两个区域中应当跳动相同多步。 题目推广——棋盘变化 如果它一次都不滞步：那么它在每个集合中都只能跳入一种颜色的方格，然而，无论是在集合S中，还是在集合M中，都既有白格，又有黑格， 题目推广——棋盘变化 所以，超级马不可能到遍每个方格刚好一次；而若为避免这一点，它必须在走完M中一种颜色的方格后，在M中多走一步，以改变所到方格的颜色，然而这样一来，又不能保证顺利回到出发点。但是，偶数步后，所到的方格不与出发点在同个集合中。 4 题目评析 北京卷试题内容紧扣数学课程标准和教材，注重基础，突出对主干知识的考查。试题淡化机械记忆，强调通性通法，体现数学的本质。 一、考查知识与能力的综合性。本题以骑士巡游为情境，融合新定义、集合论知识，要求学生运用反证法、演绎证明等思想方法解题，对学生知识储备和思维能力要求高，检验学生综合运用知识解决复杂问题的能力。例如在分析骑士跳跃规律时，需借助集合知识划分棋盘区域，利用反证法推导矛盾，以此判断巡游的可能性。 4 题目评析 北京卷试题内容紧扣数学课程标准和教材，注重基础，突出对主干知识的考查。试题淡化机械记忆，强调通性通法，体现数学的本质。 二、聚焦核心素养：着重考查数学抽象素养，学生要从骑士巡游的情境中抽象出数学概念和关系，并用符号语言表达；逻辑推理素养贯穿解题全程，判断是否存在符合要求的走法，需要严密推理。 4 题目评析 北京卷试题内容紧扣数学课程标准和教材，注重基础，突出对主干知识的考查。试题淡化机械记忆，强调通性通法，体现数学的本质。 三、体现创新性：突破常规题型，情境、方法和数学结构新颖，为学生提供展现创新思维的空间，鼓励学生从不同角度思考，提出独特解题思路。 4 题目评析 北京卷试题内容紧扣数学课程标准和教材，注重基础，突出对主干知识的考查。试题淡化机械记忆，强调通性通法，体现数学的本质。 四、具有拓展性：问题可拓展，如将棋盘规模扩大，研究骑士遍历情况，或探讨无法遍历所有点时的最长路径，激发学生深入探究数学问题，培养学生探索精神和创新能力。 4 题目评析 北京卷试题内容紧扣数学课程标准和教材，注重基础，突出对主干知识的考查。试题淡化机械记忆，强调通性通法，体现数学的本质。 综合考查了学生综合应用知识解决问题的创新能力。这充分体现了数学课程标准中“不同的人在数学上得到不同的发展”的要求。 $