【课件】“新高考1卷 第19题 ”-2025年第七届全国高考数学讲题比赛暨高考试卷分析研讨会（北部）

该高中数学课件聚焦三角函数最值问题，以2025新高考I卷第19题为核心，从射频工程谐波叠加现实情境导入，关联教材双重最值基础模型，通过求导分析、三角恒等变换等方法搭建从基础到真题的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光与思维，借助琴生不等式、切比雪夫多项式等多种解法及现实背景，培养学生创新意识与逻辑推理能力。含思维导图梳理思路，助力教师系统教学，学生提升解题效率与探究兴趣。

弦波探骊·最值寻臻 ——基于射频背景的新高考I卷第19题的深度研析 参赛人：吴锭昂 杨文军 俞丁丁 所在单位：北京师范大学台州附属高级中学 浙江省台州中学 台州市黄岩中学 (3)若存在使得对任意x，都有 ，求b的最小值. (2)给定，设a为实数，证明： 存在，使得； 设函数. (1)求在的最大值； 三角函数 核心知识与关键能力 逻辑之涌 1 试题总览 巅峰之涛 基础之浪 设函数. (1)求在的最大值； 求最值. 三角函数 三角恒等变换 求导分析 琴生不等式 2 解法探骊 思路1：求导分析：. 方法1：诱导公式 令，即， 解得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故是的极大值点，得. 诱导公式求根 分析单调性 求最大值 系数相同 思路1：求导分析：. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故是的极大值点，得. 方法2：和差化积 令， 解得. 和差化积求根 分析单调性 求最大值 函数名相同 思路2：三角恒等变换 第一步：转化为的函数 方法1：倍角公式 思路2：三角恒等变换 第一步：转化为的函数 方法2：切比雪夫多项式 由切比雪夫函数 方法1：求导 思路2：三角恒等变换 第二步：求最大值 当单调递增； 当单调递减； ，解得 令 即 换元求导求根 分析单调性 求最大值 单变量的函数 方法2：5元均值不等式 思路2：三角恒等变换 第二步：求最大值 即 ， 令 换元平方 凑不等式取等 求最大值 单变量的函数 当且仅当时，即时等号成立， 故. 思路3：琴生不等式 当时，显然有成立； 当时，由加权琴生不等式得： 当且仅当时，即时等号成立， 定区间的上凸函数 函数的凹凸性 加权琴生不等式 取等求最大值 因为上是上凸函数， ， 所以 已知定义域和函数表达式，求函数最大值 思路1：求导分析 思路2：三角恒等变换 思路3：琴生不等式 方法1：诱导公式 方法2：和差化积 方法1：倍角公式 方法2：切比雪夫多项式 单变量的函数问题 求导 五元均值不等式 求得函数的极大值 求得函数的最大值 第(1)题的思维导图 多法求值 导析万象数理穷， 三角和差化积功。 均值琴生争伯仲， 通途一道贯西东。 设函数. 证明 给定参数 几何直观 (2)给定，设a为实数，证明：存在，使得； 函数思想 单位圆定义 三角函数图象 函数最值 不等式性质 思路1：单位圆的定义 综上所述，存在，使得. 因为区间的长度为， 函数的周期为，不妨设， 方法1：分类讨论 单位圆定义 分类讨论 找到y的值 正向思维 ①当时，即，故； ②当时，即，故； ③当时，即，故 方法2：反证法 先作假设 建立关系 推翻假设 逆向思维 要使得，成立， 即， 即， 得 证明结论 不妨假设对，都有成立. 因此需满足， 所以存在，使得 故不存在满足条件的， 思路2：三角函数图象 方法3：抽屉原理 要使得成立，即， 所以存在 抽屉原理 区间有交集 存在y满足 正向思维 由抽屉原理可得， 思路3：函数最值与不等式性质 令， 即存在，使得成立. 综上所述，所以存在，使得. ①当时，取成立； ②当时，即当时，有 . 构造函数 必有一者小于等于0 证明结论 第(2)题的思维导图 含参不等式的证明问题 几何直观 函数思想 思路1：单位圆定义 思路2：三角函数图象 方法1：分类讨论 方法2：反证法 方法3：抽屉原理 思路3：函数最值+不等式性质 方法：作差比大小、和差化积、零点存在性定理 证得：存在，使得 存在有据 圆规天工锁迹踪， 波浮函数现真容。 抽屉原理反证斗， 存在昭然九重中。 设函数. (3)若存在使得对任意x，都有，求b的最小值. 求最值 给定参数 主元思想 前后联系 求导分析 先猜后证 思路1：求导分析 方法1：主元思想 结合周期性，不妨设， 令， 求导得， 令，即， 得或 ， 构造函数 求导分析 求极值点 以x为主元 即，或. 多个极值点 分类讨论 构造函数 结合性质研究 令， ①当时，， ②当时，， 由周期性和对称性，只需取. 比较最值 得最大值的最小值 当时，，而，即； 当时，，而，即； 当时，而，即； 综上所述，. 而， 所以b的最小值为. 思路2：先猜后证 第一步：大胆猜想 方法1：前后联系 联系第(1)的求解结果，发现当时，都有 成立.即至少小于等于. 取时， ，故，结合步骤一 分析结果，故. 方法1：取特殊点 第二步：严谨证明 数学直觉 取特殊点 分析得结论 多个变量 思路2：先猜后证 方法2：数形结合 第一步：大胆猜想 取时， 画出与的图象. 结合图象的左右平移 分析得此时b的最小值为. 令，由的周期为， 不妨设，. ①当时，，此时. ②当 ，使得成立， 思路2：先猜后证 方法2：联系第(2)题 第二步：严谨证明 结合周期 缩小范围 得出结论 构造函数 即有成立. 所以，故. 所以b的最小值为. 思路2：先猜后证 方法2：联系第(2)题 第二步：严谨证明 由(1)猜想 由(2)证明 求解第(3)题 符合梯度设计 思路流畅 逻辑严谨 第(3)题的思维导图 含参函数的最值问题 思路1：求导 思路2：先猜后证 方法：以 x 为主元求导分析函数的极值 方法1：前后联系 方法2：数形结合 方法1：取特殊点证明 方法2：借助第2小题结论求证 求得： 双峰寻优 双重最值探无穷， 参数优迁主元融。 先猜后证形影同， 终得乾坤最优峰。 3.1 命题溯源 本题的第三问即为双重最值问题（即求最大值的最小值或最小值的最大值）是高中数学的核心考察内容，其求解范式体现了分类讨论、数形结合与先猜后证等核心数学思想方法。 3 命题探源 1.人教A版必修一第68页例6 给定函数，，， (1)在同一直角坐标系中画出函数，的图象； (2),用表示 ，的较大者，记为； 请分别用图象法和解析法表示函数. 2.人教A版必修一第69页练习3 给定函数，，， (1)在同一直角坐标系中画出函数，的图象； (2)，用表示，中的较小者，记为. 请分别用图象法和解析法表示函数. 3.人教A版选修4-5第10页第15题 已知：，且，求证：. 4.2016年浙江卷·理科18题 已知，函数，其中，求解下列问题： 1.求使得等式成立的的取值范围； 2.(1)求的最小值 (2)求在区间上的最大值 基础模型 必修一例6 必修一练习3 进阶应用 选修4-5 练习15 高考实战 2016浙江卷 2025新高考I卷 继承 发展 主元转化 先猜后证 双重最值问题虽然函数形式多样（线性、绝对值、三角函数等），但其核心数学思想高度统一。解题时主要体现两大策略： 确定内层函数 分类讨论最值 优化外层函数 观察猜想 对称性、特殊值分析 严谨证明 3.2 现实背景 本题核心函数及其变形并非纯粹的数学构造，其在射频（Radio Frequency）工程领域具有明确的物理意义，紧密关联于谐波电压叠加原理。 3.2 现实背景 第3问引入相位偏移，要求找到最小的常数和对应的，使得不等式对所有实数成立。这等价于在射频工程中，通过调整五次谐波分量的相位偏移，来最小化合成信号的峰值幅度。 谐波叠加 数学建模 最小化合成信号的峰值幅度 分析函数性质 数学建模 优化参数 万物皆数 3.3 命题推广与变式 给定正整数，若存在实数，对， 有，求的最小值. 解：先求当时， 的最大值， 注意到函数为偶函数，只需研究， 大胆猜想 单变量函数求最值 ， 由有 或 此时或 大胆猜想 单变量函数求最值 求导分析 当时， ，此时. 当时，， 而易有，令 即有. 大胆猜想 单变量函数求最值 求导分析 最值讨论 【变式】关于的函数，试求实数的值， 使得的最大值取得最小，即确定的值. 数形结合 解：首先若，易有， 大胆猜想 解：其次若，取，使得 ，，则 ， 综上有，此时. 【变式】关于的函数，试求实数的值， 使得的最大值取得最小，即确定的值. 数形结合 大胆猜想 严谨取点 得出结论 推广变式 参数迁移 问法殊途 特殊化 一般化 峰值规律改变 改主函数 题设重构 函数性质分析 万变不离其宗，殊途终归同旨 4.1 回归课标教材，强化教考衔接 新高考数学日益强调对基础知识和核心原理、方法的考查。备考应以课标为纲、教材为本，做好教学与考试的衔接。以本题为例，研究三角函数最值问题，既要掌握导数等工具分析函数性质，更要深入理解其原始定义和图象本质。 4 研题悟道 4.2 注重通法本质，拓展解题视野 解决三角函数问题需关注定义、图象、对称性、周期性等要素；处理函数与导数问题则聚焦单调性、极值最值、恒成立问题等核心，并贯穿参变分离、数形结合、分类讨论、转化化归等思想方法。教学中应强调通法和普遍规律，在拓展解题视野的同时，深入探索数学的本质。 4.3 培养解题直觉，提升思维灵活性 高考作为选拔性考试，要求学生在有限时间内准确作答。灵活运用特殊值法、先猜后证、必要性探路等策略，可显著提升解题效率与得分。因此，日常学习中需注重数学直觉的培养，以有效激发思维活力，优化解题路径。 研题三昧 弦波探骊解法丰， 溯源活水教材功。 射频点睛融数理， 教考相承万法通。 $