精品解析：福建省三明第一中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

三明一中2025－2026学年高一上学期10月月考 数学科试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合以及集合间的关系逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为0是元素，是自然数集，则，故A错误； 对于选项B：因为与都是集合，且元素为数值，用表示两集合关系不对，故B错误； 对于选项C：因为是整数集，则，可知，故C正确； 对于选项D：因为是有理数集，则，故D错误； 故选：C. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由命题否定的定义即可得解. 【详解】命题“，”的否定是，. 故选：C. 3. 设，，则（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】运用作差法比较大小即可. 【详解】因为，所以. 故选：A. 4. 设a，b是实数， 则""是""的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】举出反例，得到充分性和必要性均不成立，得到答案. 【详解】充分性，不妨令，此时满足，但，充分性不成立， 必要性，不妨令，此时满足，但，必要性不成立， 故是的既不充分也不必要条件. 故选：D 5. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶次根式以及分式需满足的条件结合抽象函数定义域求解方法求出结果. 【详解】由题意可知，解得， 所以定义域为， 故选：D. 6. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】根据相同函数概念，定义域相同且对应关系相同，逐个计算分析判断即可. 【详解】对于A选项，对于，根据根式的性质，所以，其定义域为. 而，其定义域为.但是与的对应关系不同，当时，，所以A选项错误. 对于B选项，对于，其定义域为. 的定义域为.与定义域不同，所以B选项错误. 对于C选项，对于，因为，所以，，定义域为. ，定义域为.与定义域相同，对应关系也相同，所以C选项正确. 对于D选项，对于，其定义域为，且. 的定义域为.与定义域不同，所以D选项错误. 故选：C. 7. 《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有人，观看了《浪浪山小妖怪》的有人，观看了《长安的荔枝》的有人，三部电影都观看了的有人，观看了其中两部电影的有人，这三部电影都未观看的有人．则接受调查的市民共有（ ） A. 100人 B. 人 C. 人 D. 178人 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意用Venn图表示题设中的集合关系，根据三个集合的容斥关系公式计算得到答案. 【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的市民分别用集合表示， 则，，，． 不妨设总人数为，观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》的人数为， 观看了《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的人数为， 观看了《南京照相馆》、《长安的荔枝》的人数为， 则，，，． 由三个集合容斥关系公式得 ， 解得，故接受调查的市民共有人． 故选：B． 8. 设，记，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依次计算，可归纳出为周期函数． 【详解】依题意，则， ，，， ∴是周期函数，且周期为4， ∴． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下面四个说法中正确的是（ ） A. 10以内的质数组成的集合是； B. 由2，3组成的集合可表示为或； C. 方程的所有解组成的集合是； D. 与不是同一个集合． 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数，需找出10以内所有符合质数定义的数组成集合；对于选项B，集合中的元素具有无序性，即集合中的元素顺序不影响集合本身，结合集合元素的无序性判断即可；对于选项C，集合中的元素具有互异性，即集合中的元素不能重复，先求解方程，再根据元素的互异性判断即可；对于选项D，：不含有任何元素的集合，：仅含有一个元素的集合，由此即可判断正误. 【详解】10以内的质数组成的集合是，故A正确； 由集合元素的无序性可知，2，3组成的集合可表示为或，故B正确； 由集合元素的互异性可知，的所有解组成的集合是，故C错误； ：不含有任何元素的集合，：仅含有一个元素的集合，故D正确． 故选：ABD． 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用不等式的性质、特殊值、的单调性、作差法、依次判断各选项即可得出结果. 【详解】对于A，由可得，又，因此可得，即A正确； 对于B，若，此时，即B错误； 对于C，若，所以，即C正确； 对于D，由可得，即， 同理，由可得，即，所以，即D错误. 故选：AC 11. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则关于的不等式的解集为，或 D. 若为常数，且，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，利用二次函数的图象可知A正确；B项，令，当时，不等式的解集不为，B不正确；C项，根据求出，，代入所求不等式求出解集，可知C正确；D项，根据得到且，将代入，然后换元利用基本不等式可求出最小值可得. 【详解】A选项，若，即一元二次不等式无解， 则一元二次不等式恒成立， 且，故A正确； B选项，令（），则、、， ∴可化为， 当时，可化为，其解集不等于，故B错误； C选项，若， 则，且和是一元二次方程的两根， ，且，，， 关于的不等式可化为， 可化为，，，解得或， 即不等式的解集为或，故C正确； D选项，为常数， 且，， ，，令，则， ， 当且仅当，则，且为正数时，等号成立， 所以最小值为，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知实数集合，若，则______． 【答案】－1 【解析】 【分析】根据条件，分别讨论和两种情况，分别求得a值，分析计算，即可得答案. 【详解】因为，且集合， 所以， 若，解得或（舍），此时集合， 所以，即， 所以； 若，则，此时集合， 所以，解得（舍），或者，解得（舍）， 综上，. 故答案为： 13. 已知函数的定义域为R，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】将的定义域为R转化为的解集为R.分和两种情况进行讨论，从而得到结果. 【详解】的定义域为R， 的解集为R. 即的解集为R. ①当时，恒成立，满足题意； ②当时，，解得：. 实数m的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知实数a，b，，设，，这三个数的最大值为，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先把化成，再利用基本不等式求其最小值，即可得到的最小值. 【详解】由题意可得，，， 即有， 由， 可得，当且仅当，即时，取得最小值； 同理可得在时，取得最小值； 在时，取得最小值. 则，即.可得M的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，． （1）求，； （2）若是的真子集，求实数的取值范围． 【答案】（1），或． （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的概念以及集合的交、并、补运算进行计算即可； （2）分是空集和不是空集两种情况讨论计算即可. 【小问1详解】 ，或， 或． 【小问2详解】 因为是的真子集， ①当时，，即． ②当时，，即，且等号不能同时取得， 解得． 综上所述，． 16. 已知函数． （1）求； （2）当时，求x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，所以，代入求解即可； （2）分和分别求解即可. 【小问1详解】 因为时，，所以； 因为时，，所以； 即； 【小问2详解】 由，得或， 解得或， 所以x的取值范围是． 17. 已知关于x的不等式， （1）若的解集为，求实数a，b的值； （2）若求关于x的不等式的解集． 【答案】（1）， （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，然后代入方程求出，解一元二次不等式求解. （2）按照，和分类讨论，根据一元二次不等式的解法解不等式即可. 【小问1详解】 若的解集为， 则是方程的一个根，即，解得， 所以不等式为，解得：，所以. 即，. 【小问2详解】 因为，即， 当时，令，解得， 若时，，不等式解集为：； 若时，，不等式解集为：； 若时， ，不等式解集为：； 综上所述： 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 18. 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求M在AB上，N在AD上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，设AN的长度为x. （1）用x表示AM的长； （2）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，求x的取值范围； （3）当AN的长度x是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积. 【答案】（1）；（2）或；（3）当米时，最小值为24平方米． 【解析】 【分析】 （1）由线线平行，可得，再由对应边成比例，可得； （2）可令写出矩形面积的表达式，由，求解一元二次不等式，结合，可得的范围； （3）令，则，整理可得关于的函数，运用基本不等式可得函数的最小值，求得最值取得的条件，即可得到所求结论． 【详解】（1）由， 可得，即，得； （2）矩形的面积， 令，得，即， 可得，解得或， 又，可得或； （3）令，则， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 当米时，矩形面积取最小值为24平方米． 【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答． 19. 已知集合，其中为整数，由中元素可构成两个点集和，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质． （1）已知集合与集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合；若无，请说明理由； （2）集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ （3）试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明． 【答案】（1）答案见解析 （2）4950 （3）充分不必要条件，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，. （2）利用定义，探讨出与的关系式，代入求值. （3）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合与集合个数的大小关系，推理得证. 【小问1详解】 由于，不符合定义，故不具有性质； 集合具有性质，对应集合，； 【小问2详解】 由题意可知集合A的元素构成有序数对，共有个， 因为，所以，共有k个， 又因时，，所以时，， 所以集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为4950个， 故中元素的个数最多4950. 【小问3详解】 充分不必要条件，理由如下： 当集合具有性质时， ①对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②可知. 若，则， ， 满足，而集合不具有性质. 所以集合具有性质是的充分不必要条件. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三明一中2025－2026学年高一上学期10月月考 数学科试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，，则（ ） A. B. C. D. 不确定 4. 设a，b是实数， 则""是""的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 7. 《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有人，观看了《浪浪山小妖怪》的有人，观看了《长安的荔枝》的有人，三部电影都观看了的有人，观看了其中两部电影的有人，这三部电影都未观看的有人．则接受调查的市民共有（ ） A. 100人 B. 人 C. 人 D. 178人 8 设，记，若，则（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下面四个说法中正确的是（ ） A. 10以内的质数组成的集合是； B. 由2，3组成的集合可表示为或； C. 方程的所有解组成的集合是； D. 与不是同一个集合． 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则关于不等式的解集为，或 D. 若为常数，且，则的最小值为 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知实数集合，若，则______． 13. 已知函数的定义域为R，则实数m的取值范围为______． 14. 已知实数a，b，，设，，这三个数的最大值为，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，． （1）求，； （2）若是的真子集，求实数的取值范围． 16. 已知函数． （1）求； （2）当时，求x的取值范围． 17. 已知关于x的不等式， （1）若的解集为，求实数a，b的值； （2）若求关于x不等式的解集． 18. 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求M在AB上，N在AD上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，设AN的长度为x. （1）用x表示AM的长； （2）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，求x的取值范围； （3）当AN的长度x是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积. 19. 已知集合，其中为整数，由中元素可构成两个点集和，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质． （1）已知集合与集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合；若无，请说明理由； （2）集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ （3）试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $