精品解析：四川省南充启睿实验学校2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

高 2023 级高二（下）第一次月考数学试题 出题人：马平 审题人：张自春 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列满足，且，则（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的定义可判断数列为等差数列，从而可得，利用数列的通项公式即可求解. 【详解】根据题意，因此数列是等差数列，公差， 已知， ， 即，解得， 利用等差数列的通项公式得. 因此，. 故选：B. 2. 在等比数列中，若，，则（ ） A. 6 B. 8 C. D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的定义求出公比q，从而可求等比数列的通项公式，即可得解. 【详解】设等比数列的公比为 因为在等比数列中，，，所以 所以，所以， 故选：D 3. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. 52 B. 104 C. 112 D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质即可求解. 【详解】， 故选：A 4. 若，则（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】先化简得到，转化为导数的定义式，即可求解. 【详解】由， 所以. 故选：A. 5. 记公比大于1的等比数列的前项和为，则（ ） A. 30 B. 40 C. 121 D. 160 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出等比数列的基本量，结合等比数列前n项和公式，即可求得答案. 【详解】由等比数列中，，得， 所以联立， 解得或，设公比为1），由， 解得或（舍）， 所以. 故选：B 6. 已知函数，则（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，通过赋值法求得代入，即可得. 【详解】因为， 所以， 令，得， ∴， 所以，故 故选：D. 7. 数列中，，，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列的周期性计算得出即可求解. 【详解】数列中，因为，所以， 数列周期为3， 则. 故选：A. 8. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，假设两曲线上线的切点，从而得到两曲线的切线，由共切线建立关于的方程组，求得，进而得到切线方程，从而得解. 【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为， 与曲线的切点为， 而的导数为，的导数为， 所以两曲线的切线分别为， 两条切线对应相同，可得，解得， 所以切线方程为，即， 则. 故选：C. 【点睛】方法点睛：用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为： （1）设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：； （2）若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为， 二、多选题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，错选或不选得0分，少选得部份分. 9. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则，，成等比数列 B. 若为等差数列，则为等比数列 C. 若，则数列为等比数列 D. 若，，，则为等比数列 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据特殊数列法判断A，应用等比数列定义及指数幂的运算判断B,D，应用计算得出，然后根据等比数列定义判断C. 【详解】对于A，当时有，此时，，不成等比数列，故A错误； 对于B，若为等差数列，设其公差为，则此时有， 且，所以数列为等比数列，故B正确； 对于C，若，则， （）， 满足，于是， 则，且，所以数列为等比数列，故C正确； 对于D：因为，所以， 而，，，， 因此数列是首项为1，公比为的等比数列，故D正确． 故选：BCD. 10. 已知数列{an}的n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. S16为Sn的最小值 C. D. 使得成立的n的最大值为33 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知条件求得，结合等差数列前项和公式确定正确选项. 【详解】， 当时，， 当时，，也符合上式，所以，A正确. 由于开口向下，对称轴为，所以是的最大值，B错误. 由解得， 所以，C正确. ，所以使成立的的最大值为，D错误. 故选：AC 11. 已知数列满足，，则（ ） A. B. 是递增数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由递推公式依次求出即可判断；对于B，计算即可判断；对于C，将放缩成，利用等比数列求和公式即可判断；对于D，法一，由C可得，借助等比数列求和公式验证即可；法二，由B可知，由可得，利用裂项相消法计算判断. 【详解】对于A，由已知得，，，故A错误； 对于B，因为， 所以，即是递增数列，故B正确； 对于C，由AB知，， 所以， 所以， 所以，故C正确； 对于D，（方法一）由C知， 所以， 两式相减所以，所以， 所以. （方法二）由B知，因为， 所以当时，，所以.， 所以当时， ， 又，所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助数列求通项及和的方法分析、探讨，从而解决问题. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求，再利用与关系求出，再检验是否符合即可求解. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 经检验，不符合上式， 所以. 故答案为： 13. 在数列中，，，数列是等差数列，则______． 【答案】 【解析】 【分析】 求得等差数列的公差，可求得的值，进而可求得的值. 【详解】依题意，数列是等差数列，设其公差为， 则，， ，. 故答案为：. 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查计算能力，属于基础题. 14. 若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用导数求曲线过坐标的切线方程，再列出关于的不等式，进而求得的取值范围. 【详解】由得，设切点坐标为， 则切线斜率， 切线方程为， 又因为切线过，所以，整理得， 又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解， 所以，解得或， 所以的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题：（本题共5小题，共77分，15题13分，16，17题15分/题，18，19题17分/题） 15. 求下列函数的导数： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由两函数积的导数公式求解即可； （2）由三角函数、指数函数及复合函数的求导方法，求解即可. 【小问1详解】 解：因为， 所以 【小问2详解】 解：因为， 所以 . 16. （1）已知数列是等差数列，若，，求； （2）在等比数列中，，，求和公比. 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式结合前项和公式求解即可； （2）利用等比数列的通项公式求解即可. 【详解】（1）因为，，所以. 根据公式，可得. （2）设等比数列的首项为，公比为，因为，， 由等比数列的性质可得，，又， ，， ，解得：， 当时，由，所以； 当时，由，所以， 所以或. 17. 已知曲线. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】（1） （2）和. 【解析】 【分析】（1）“在”某点处的切线方程，求导，代入点斜式即可求得； （2）“过”某点处的切线方程，设切点，结合切点在曲线上，切点在切线上，联立方程组即可求得. 【小问1详解】 ， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 设切点坐标为，由（1）知切线的斜率为， 故切线方程为， 因为切线过点，所以， 即，所以或， 故过点且与曲线相切的直线有两条， 其方程分别是和， 即和. 18. 已知数列是等差数列，首项，公差为d且，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，数列满足，求数列的前n项和. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比中项的性质得到，即可求出，从而求出通项公式； （2）由（1）可得，再利用错位相减法计算可得. 【小问1详解】 因为，，成等比数列，又， 所以，即，解得或， 当时数列的通项公式； 当时数列的通项公式； 所以或. 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 所以， 则， 所以 ， 所以. 19. 记是等差数列的前项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的的最小值； （3）求数列的前项的和． 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意列方程组，求出，即得数列通项； （2）利用求和公式求出，解不等式求得的范围，取整即得； （3）将所求和式按照为奇数和偶数进行分类，利用并组求和法与等差数列求和公式计算即得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意知，，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 由可得，解得或， 因为，故正整数的最小值为. 【小问3详解】 因 当为偶数时， ； 当为奇数时， . 所以数列的前项和为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高 2023 级高二（下）第一次月考数学试题 出题人：马平 审题人：张自春 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列满足，且，则（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 2. 在等比数列中，若，，则（ ） A. 6 B. 8 C. D. 16 3. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. 52 B. 104 C. 112 D. 120 4. 若，则（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. -3 5. 记公比大于1的等比数列的前项和为，则（ ） A. 30 B. 40 C. 121 D. 160 6. 已知函数，则（ ） A. 6 B. 3 C. D. 7. 数列中，，，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 8. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，错选或不选得0分，少选得部份分. 9. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则，，成等比数列 B. 若为等差数列，则为等比数列 C. 若，则数列为等比数列 D. 若，，，则为等比数列 10. 已知数列{an}的n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. S16为Sn的最小值 C. D. 使得成立的n的最大值为33 11. 已知数列满足，，则（ ） A. B. 是递增数列 C. D. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为______. 13. 在数列中，，，数列是等差数列，则______． 14. 若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是______. 四、解答题：（本题共5小题，共77分，15题13分，16，17题15分/题，18，19题17分/题） 15. 求下列函数的导数： （1）； （2）． 16. （1）已知数列是等差数列，若，，求； （2）在等比数列中，，，求和公比. 17. 已知曲线. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求过点且与曲线相切的直线方程. 18. 已知数列是等差数列，首项，公差为d且，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，数列满足，求数列的前n项和. 19. 记是等差数列的前项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的的最小值； （3）求数列的前项的和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $