5.2二次函数的图象与性质（同步练习）2025-2026学年苏科版（2012）数学九年级下册

2025-2026学年苏科版数学九年级下册 5.2二次函数的图象与性质 （同步练习） （满分100分，时间90分钟） 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2.二次函数图象的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大序排列是（　　） A. B. C. D. 4.抛物线与x轴的交点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ） A. y=﹣2（x+1）2+2 B. y=﹣2（x+1）2﹣2 C. y=﹣2（x﹣1）2+2 D. y=﹣2（x﹣1）2﹣2 6.抛物线经过定点，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 7.已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8.抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中正确结论的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.抛物线的顶点坐标为____． 10.函数与y轴的交点坐标是_______． 11.将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得抛物线的解析式是______． 12.已知二次函数的图象的顶点在轴上，则的值为______． 13.已知点在二次函数（a为常数）的图像上．若，则m______n．（填“”、“ ”或“”）． 14.如图，抛物线的对称轴为直线，点A，B均在抛物线上，且与x轴平行，其中点A的坐标为，则点B的坐标为_____． 15.已知函数，则使成立的值恰好有三个，则的值为______________． 16.如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为______． 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.确定下列函数图像的开口方向、对称轴及顶点坐标. (1)； (2). 18.已知抛物线与轴交于点，，且经过点求出二次函数的解析式． 19.如图，已知抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点． （1）当0＜x＜3时，求y的取值范围； （2）点P为抛物线上一点，若S△PAB=10，求出此时点P的坐标． 20.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标． （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． 21.已知二次函数函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … （1）二次函数图象所对应的顶点坐标为 ； （2）当时，______； （3）与x轴的交点_______； （4）当函数值时，x的取值范围_________． 22.如图是二次函数的图象的一部分，根据图象回答下列问题： （1）的解是 ； （2）确定的值； （3）设抛物线的顶点是P，与轴的另一个交点是B，试求△PAB的面积． 23.如图，抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，抛物线的对称轴交轴于点D，已知，． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是线段上的一个动点（不与B，C重合），过点E作轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点E的坐标． 24.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），，两点的坐标分别为，． （1）则点坐标为 ；点坐标为 ； （2）若二次函数的图象经过点，点是二次函数图象上轴下方一动点，求面积的最大值； （3）若二次函数的图象与线段只有一个交点，求的取值范围． 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2.二次函数图象的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 3.已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大序排列是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 4.抛物线与x轴的交点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 5. 把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ） A. y=﹣2（x+1）2+2 B. y=﹣2（x+1）2﹣2 C. y=﹣2（x﹣1）2+2 D. y=﹣2（x﹣1）2﹣2 【答案】C 6.抛物线经过定点，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 7.已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 8.抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中正确结论的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.抛物线的顶点坐标为____． 【答案】 10.函数与y轴的交点坐标是_______． 【答案】 11.将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得抛物线的解析式是______． 【答案】 12.已知二次函数的图象的顶点在轴上，则的值为______． 【答案】1 13.已知点在二次函数（a为常数）的图像上．若，则m______n．（填“”、“ ”或“”）． 【答案】 14.如图，抛物线的对称轴为直线，点A，B均在抛物线上，且与x轴平行，其中点A的坐标为，则点B的坐标为_____． 【答案】(6，5) 15.已知函数，则使成立的值恰好有三个，则的值为______________． 【答案】 16.如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为______． 【答案】 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.确定下列函数图像的开口方向、对称轴及顶点坐标. (1)； (2). 【答案】(1)由可知，二次项系数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； (2)由可知，二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为. 18.已知抛物线与轴交于点，，且经过点求出二次函数的解析式． 【答案】设二次函数的解析式为 抛物线经过点 解得： 二次函数的解析式为． 19.如图，已知抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点． （1）当0＜x＜3时，求y的取值范围； （2）点P为抛物线上一点，若S△PAB=10，求出此时点P的坐标． 【答案】（1）∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， ∴顶点坐标为（1，﹣4），由图可得当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0． （2）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0， 解得：x1=-1 x2=3 ∵A（﹣1，0）、B（3，0）， ∴AB=4． 设P（x，y），则S△PAB=AB•|y|=2|y|=10， ∴|y|=5， ∴y=±5． ①当y=5时，x2﹣2x﹣3=5，解得：x1=﹣2，x2=4， 此时P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）； ②当y=﹣5时，x2﹣2x﹣3=﹣5，方程无解； 综上所述，P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）． 20.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标． （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】（1），；（2）点P的坐标为 【解析】解：（1）由题意得：， 解得：， ∴， ∴顶点坐标为：； （2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时的值最小， 设直线BC的解析式为：， 由题意得：， 解得， ∴直线BC的解析式为：， 当时，， ∴当的值最小时，点P的坐标为． 21.已知二次函数函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … （1）二次函数图象所对应的顶点坐标为 ； （2）当时，______； （3）与x轴的交点_______； （4）当函数值时，x的取值范围_________． 【答案】（1）观察表格可知当时，，当时，， 所以抛物线的对称轴是，顶点坐标是． 故答案为：； 【小问2详解】 因为对称轴是， 所以和时的函数值相等，所以． 故答案为：5； 【小问3详解】 观察表格可知抛物线与x轴的交点坐标是和． 故答案为：和； 【小问4详解】 当时，，当时，，且抛物线开口向上， 所以当或时，． 故答案为：或． 22.如图是二次函数的图象的一部分，根据图象回答下列问题： （1）的解是 ； （2）确定的值； （3）设抛物线的顶点是P，与轴的另一个交点是B，试求△PAB的面积． 【答案】（1）由图象可知A点坐标为（−4，0）， ∵， ∴抛物线对称轴方程为x＝−1， ∵A、B两点关于对称轴对称， ∴B的坐标为（2，0）， ∴y=的解为， 故答案为：， （2）解：由图象，知A（－4，0）， ∴，解得 （3）由，知P（－1，4）， 时，，解得， ，∴， ∴． 23.如图，抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，抛物线的对称轴交轴于点D，已知，． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是线段上的一个动点（不与B，C重合），过点E作轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点E的坐标． 【答案】（1）解：将，代入抛物线解析式，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，抛物线的对称轴为：， ，， 设直线BC的解析式为， 将B，C点坐标代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ， ， 四边形面积 ， 当时，四边形的面积最大，最大值为，此时E点坐标为． 24.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），，两点的坐标分别为，． （1）则点坐标为 ；点坐标为 ； （2）若二次函数的图象经过点，点是二次函数图象上轴下方一动点，求面积的最大值； （3）若二次函数的图象与线段只有一个交点，求的取值范围． 【答案】（1）在 中，令 得， 解得 或 ， ∴，， 故答案为：，； 【小问2详解】 ∵二次函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴二次函数解析式为， 设， 由（）得，， ∴， ∵点是二次函数图象上轴下方一动点， ∴面积为， ∵， ∴当时，面积有最大值，为； 【小问3详解】 ∵， ∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线与轴交点为， 当时，，， ∴抛物线与轴交点下方，顶点在直线下方， 如图： 在中，令得， ∵， ∴，即时抛物线过点， 由图可知，当时，二次函数的图象与线段只有一个交点； 当时， 若顶点在线段时，如图： 此时 解得； 若顶点在直线上方，即时，如图： ∵二次函数的图象与线段只有一个交点，，， ∴， 解得， 此时满足， ∴， 综上所述，二次函数的图象与线段只有一个交点，的取值范围是或或． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $